量子コンピューティングの原理を解明する

「量子力学を理解している人は誰もいないと言っても過言ではないと思います。」 — リチャード・ファインマン

量子コンピューティングの話題は常に技術ライターやジャーナリストの注目を集めてきました。その計算能力と複雑さにより、ある種の神秘性が生まれています。特集記事やインフォグラフィックでは、業界の可能性を詳しく説明しながらも、実際の応用についてはほとんど触れられていないことが多々あり、注意力の低い読者を誤解させる可能性があります。

一般的な科学記事では量子システムの説明が省略され、代わりに次のような記述が見られます。

通常のビットは「1」または「0」のいずれかですが、量子ビットは「1」と「0」の両方になります。

運が良ければ（よく分かりませんが）、次のようなことを言われるでしょう。

量子ビットは「1」と「0」の重ね合わせ状態にあります。

こうした説明はどれももっともらしくないように思えます。なぜなら、私たちは非常に伝統的な世界で作られた言語ツールを使用して量子力学的現象を定式化しようとしているからです。量子コンピューティングの原理を明確に説明するには、数学という別の言語を使用する必要があります。 

このガイドでは、量子コンピューティング システムをモデル化して理解するために必要な数学的なツールと、量子コンピューティング ロジックを図解して適用する方法について説明します。さらに、量子アルゴリズムの例を示し、従来のコンピューターに比べてどのような利点があるのか​​を説明します。

できるだけわかりやすい言葉で説明しようと努力しますが、この記事の読者が線形代数とデジタルロジックの基礎を理解していることを願っています（線形代数は ここでデジタルロジックについて - ここで). 

まず、デジタルロジックの原理について説明します。計算を実行するために電気回路を使用することに基づいています。説明をより抽象化するために、電線の状態を「オン」または「オフ」の状態に対応する「1」または「0」に簡略化します。トランジスタを特定の順序で配置することにより、XNUMX つ以上の入力信号値を受け入れ、ブール論理の特定のルールに基づいてそれらを出力信号に変換する、いわゆるロジック要素を作成します。

一般的なロジック要素とその状態テーブル

このような基本要素のチェーンに基づいて、より複雑な要素を作成することができ、さらに複雑な要素のチェーンに基づいて、最終的には、高度な抽象化により、中央プロセッサの類似物を取得できるようになります。

先ほど述べたように、デジタルロジックを数学的に表現する方法が必要です。まず、伝統的な数学的論理を紹介しましょう。線形代数を使用すると、値「1」と「0」を持つ古典的なビットは、XNUMX つの列ベクトルとして表すことができます。

左側の数字は ディラック記法 ベクトル。このようにビットを表現することで、ベクトル変換を使用してビットの論理演算をモデル化できます。 0 ビットを使用するロジック要素では多くの演算 (AND、NOT、XOR など) を実行できますが、1 ビットを使用して実行できる演算は、恒等変換、否定、定数「0」の計算、定数「1」の計算の 1 つだけであることに注意してください。恒等変換ではビットは変更されず、否定変換ではビットの値が反対の値（「0」から「1」または「0」から「1」）に変更され、定数「0」または「XNUMX」を計算すると、ビットは以前の値に関係なく「XNUMX」または「XNUMX」に設定されます。

私たちが提案した新しいビット表現に基づくと、ベクトル変換を使用して対応するビットに対して操作を実行するのは非常に簡単です。

先に進む前に、まずコンセプトを見てみましょう 可逆計算これは、操作またはロジック要素の可逆性を保証するために、出力信号と使用される操作の名前に基づいて入力信号値のリストを決定する必要があることを意味します。したがって、恒等変換と否定は可逆であるが、定数「1」と「0」を計算する演算は可逆ではないと結論付けることができます。感謝 単一性 量子力学では、量子コンピュータは可逆的な操作のみを使用するため、ここではそれに焦点を当てます。次に、不可逆要素を可逆要素に変換して、量子コンピューターで使用できるようにします。

ととも​​に テンソル積 個々のビットはビットのセットとして表すことができます。

必要な数学的概念はほぼすべて理解できたので、最初の量子論理ゲートに進みましょう。これはオペレーターです ない、つまり制御された「Not」（NOT）は、可逆コンピューティングや量子コンピューティングにおいて非常に重要です。 CNOT 要素は 1 ビットに適用され、0 ビットを返します。最初のビットは「制御」ビットとして指定され、XNUMX 番目のビットは「チェック」ビットとして指定されます。制御ビットが「XNUMX」に設定されている場合、チェックビットの値が変更されます。制御ビットが「XNUMX」に設定されている場合、チェックビットは変更されません。

この演算子は、次の変換ベクトルとして表すことができます。

これまで説明してきたことをすべて説明するために、CNOT ゲートをビット セットに適用する例をいくつか示します。

これまでの説明をまとめると、最初の例では、|10⟩をそのテンソル積の部分に分解し、CNOT行列を使用して積の新しい対応する状態を取得します。次に、先ほど示したCNOT値表に従って、それを|11⟩に因数分解します。

これで、従来のコンピューティングと通常のビットを理解するのに役立つすべての数学のルールをカバーしました。これで、最新の量子コンピューティングと量子ビットに進むことができます。

ここまで読んでくださった方には朗報があります。量子ビットは数学的に簡単に表現できるのです。一般に、古典ビット (cbit) を |1⟩ または |0⟩ に設定できる場合、量子ビットは単純に重ね合わせ状態にあり、測定前に同時に |0⟩ と |1⟩ の両方に等しくなる可能性があります。測定後、|0⟩ または |1⟩ に収束します。言い換えれば、量子ビットは、次の式に従って |0⟩ と |1⟩ の線形結合として表すことができます。

どこ 1₀ и a₁ それぞれ振幅|0⟩と|1⟩を表します。量子力学では重ね合わせ状態にある物体は固定された後、いずれかの状態に崩壊するため、これらは、測定後に量子ビットがいずれかの状態に崩壊する確率を表す「量子確率」と考えることができます。この式を展開して次のようになります。

説明を簡略化するために、この記事ではこの表現を使用します。

この量子ビットの場合、 1₀ 測定後は|に等しいa₀|²、そして価値の崩壊の可能性 a₁ は | に等しいa₁|².たとえば、次の量子ビットの場合:

「1」に崩壊する確率は |1/√2|²、つまり ½、つまり 50/50 です。

古典的なシステムでは、すべての確率の合計は 0 になる必要があるため (完全な確率分布の場合)、振幅 |1⟩ と |XNUMX⟩ の絶対値の XNUMX 乗の合計は XNUMX になる必要があると結論付けることができます。この情報に基づいて、次の式を作成できます。

三角法に詳しい方なら、この方程式がピタゴラスの定理 (a²+b²=c²) に対応していることに気付くでしょう。つまり、量子ビットの可能な状態を単位円上の点としてグラフィカルに表すことができます。

論理演算子と要素は、行列変換に基づいて、古典的なビットの場合と同じ方法で量子ビットに適用されます。これまでに説明したすべての可逆行列演算子、特に CNOT は、量子ビットの操作に使用できます。このような行列演算子を使用すると、各量子ビットの振幅を測定したり縮小したりすることなく、各量子ビットの振幅を使用することができます。量子ビットで否定演算子を使用する例を挙げてみましょう。

話を続ける前に、振幅値について思い出していただきたいのですが a₀と a₁ は実際には 複素数、量子ビットの状態は、3次元単位球（別名： ブロッホ球:

ただし、説明を簡単にするために、ここでは実数に限定します。

量子コンピューティングのコンテキストでのみ意味をなすいくつかの論理ゲートについて議論する時期が来たようです。

最も重要な演算子の 0 つは「アダマール要素」です。これは、「1」または「50」の状態のビットを取得し、測定後に「1」または「0」に崩壊する確率が XNUMX% の対応する重ね合わせ状態にします。 

アダマール演算子の右下部分に負の数があることに注意してください。これは、演算子を適用した結果が入力信号の値（|1⟩ または |0⟩）に依存し、したがって計算が可逆的であるためです。

アダマール要素に関するもう 0 つの重要な点は、可逆的であることです。つまり、適切な重ね合わせの量子ビットを取り、それを |1⟩ または |XNUMX⟩ に変換できます。

これは、量子ビットの状態を決定せずに、したがって量子ビットの崩壊なしに量子状態から変換する能力を与えるため、非常に重要です。したがって、確率的原理ではなく決定論的原理に基づいて量子コンピューティングを構築することができます。

実数のみを含む量子演算子はそれ自体の反対であるため、演算子を量子ビットに適用した結果を、状態マシンの形式で単位円内の変換として表すことができます。

したがって、上の図に示されている状態の量子ビットは、アダマール演算を適用した後、対応する矢印で示される状態に変換されます。同様に、上に示した否定演算子 (パウリ否定演算子、またはビット反転とも呼ばれる) を使用して量子ビットの変換を示す別のステート マシンを次のように構築できます。

量子ビットに対してより複雑な操作を実行するには、複数の演算子を連鎖させたり、要素を複数回適用したりすることができます。シリアル変換の例 量子回路表現 次のようになります。

つまり、ビット |0⟩ から始めて、ビット反転、アダマール演算、別のビット反転、別のアダマール演算、最後のビット反転を適用すると、チェーンの右側に示すようなベクトルが得られます。異なるステートマシンを重ねることで、|0⟩ から始めて、各変換に対応する色付きの矢印をたどり、全体の仕組みを理解できます。

さて、ここまで来たので、量子アルゴリズムの1つのタイプを見てみましょう。 ドイチュ・ジョザアルゴリズム、そして古典的なコンピュータに対するその優位性を示します。 Deutsch-Jozsa アルゴリズムは完全に決定論的であることに注目する価値があります。つまり、100% の確率で正しい答えを返します (量子ビットの確率的定義に基づく他の多くの量子アルゴリズムとは異なります)。

0 ビットの関数/演算子を含むブラック ボックスがあると想像してください (1 ビットで実行できる演算は、恒等演算、否定演算、定数「XNUMX」の計算、定数「XNUMX」の計算の XNUMX つだけであることに注意してください)。ボックスは具体的にどのような機能を果たすのでしょうか?どれかは分かりませんが、入力値を好きなだけ試して、出力結果を評価することができます。

どの機能が適用されているかを判断するには、ブラック ボックスを介していくつの入力信号と出力信号を実行する必要がありますか?これについて少し考えてみてください。

従来のコンピュータの場合、どの関数を使用するかを決定するために 2 つのクエリが必要になります。たとえば、「1」を入力して「0」が出力される場合、定数「0」を計算する関数または否定関数のいずれかが使用されていることが明らかになります。その後、入力信号の値を「0」に変更して、出力で何が起こるかを確認する必要があります。

量子コンピュータの場合、入力値に適用される関数を正確に決定するために 2 つの異なる出力値が必要になるため、クエリも 2 つ必要になります。しかし、質問を少し言い換えると、量子コンピュータには重大な利点があることがわかります。適用している関数が定数か変数かを知りたい場合、量子コンピュータが有利になります。

ボックスに適用される関数は、入力信号の異なる値が出力で異なる結果を生成する場合（恒等変換やビット反転など）、可変であり、入力値に関係なく出力値が変化しない場合は、関数は定数です（定数「1」を計算するか、定数「0」を計算するなど）。

量子アルゴリズムを使用すると、たった 1 つのクエリに基づいて、ブラック ボックス内の関数が定数か変数かを判断できます。しかし、これをどのように行うかを詳しく見る前に、量子コンピュータ上でこれらの各機能を構成する方法を見つける必要があります。あらゆる量子演算子は可逆でなければならないため、すぐに問題にぶつかります。定数「0」と「XNUMX」を計算する関数は可逆ではありません。

量子コンピューティングでは、関数が入力信号から受け取った値を返す追加の出力量子ビットを追加するのが一般的な解決策です。 

前に：	後：

この方法では、出力値のみに基づいて入力値を決定でき、関数は可逆になります。量子回路の構造により、追加の入力ビットが必要になります。対応する演算子を開発するために、追加の入力量子ビットが |0⟩ に設定されていると仮定します。

先ほど使用したのと同じ量子回路表現を使用して、0 つの要素 (恒等変換、否定、定数「1」の計算、定数「XNUMX」の計算) のそれぞれを量子演算子を使用してどのように実装できるかを見てみましょう。 

たとえば、定数「0」を計算する関数は次のように実装できます。

定数「0」の計算:

ここではオペレーターはまったく必要ありません。最初の入力量子ビット (|0⟩ に設定) は同じ値を返し、XNUMX 番目の入力値は通常どおりそれ自身を返します。

定数「1」を計算する関数の場合、状況は少し異なります。

定数「1」の計算:

最初の入力量子ビットは常に |0⟩ に設定されていると仮定しているため、ビット反転演算子を適用すると常に XNUMX の出力が生成されます。そして、通常どおり、XNUMX 番目の量子ビットは出力で独自の値を生成します。

恒等変換演算子をマッピングすると、問題はさらに複雑になり始めます。やり方は次のとおりです:

アイデンティティ変換:

ここで使用されるシンボルは CNOT 要素を表します。上の行はチェック ビットを表し、下の行は制御ビットを表します。 CNOT 演算子を使用する場合、制御ビットが |1⟩ の場合は制御ビットの値が変わりますが、制御ビットが |0⟩ の場合は変更されないことに注意してください。上の行の値は常に |0⟩ に等しいと仮定しているため、その値は常に下の行に割り当てられます。

否定演算子でも同様に動作します。

否定：

出力ラインの最後のビットを反転するだけです。

背景情報はここまでにして、ブラック ボックスに隠された関数が定数か変数かを 1 つのクエリだけで判断する場合の、従来のコンピューターに対する量子コンピューターの具体的な利点について見てみましょう。

量子コンピューティングを使用して単一のクエリでこの問題を解決するには、次に示すように、入力量子ビットを関数に渡す前に重ね合わせ状態にする必要があります。

アダマール要素は関数の結果に再適用され、量子ビットの重ね合わせを解除してアルゴリズムを決定論的にします。システムを状態 |00⟩ で開始し、後で説明する理由により、適用する関数が定数である場合は結果 |11⟩ が得られます。ブラックボックス内の関数が変数である場合、測定後にシステムは結果 |01⟩ を返します。

記事の残りの部分を理解するために、先ほど示した図を見てみましょう。

ビット反転演算子を使用し、アダマール要素を |0⟩ に等しい両方の入力値に適用することで、それらが |0⟩ と |1⟩ の同じ重ね合わせに変換されることを保証します。

この値をブラックボックス内の関数に渡す例を使用すると、定数値の両方の関数が出力として |11⟩ を生成することが簡単に示されます。

定数「0」の計算:

同様に、定数「1」を計算する関数も|11⟩を生成することがわかります。

定数「1」の計算:

-1² = 1 なので、両方の出力は |1⟩ になることに注意してください。

同じ原理で、両方の変数関数を使用すると、出力として常に |01⟩ が得られることを証明できます (同じ方法が使用されている場合)。ただし、これは少し複雑です。

アイデンティティ変換:

CNOT は 2 量子ビット演算子であるため、単純なステート マシンとして表現することはできません。そのため、前述のように、両方の入力量子ビットのテンソル積と CNOT 行列による乗算に基づいて 2 つの出力信号を定義する必要があります。

この方法を使用すると、ブラックボックスが否定関数を隠している場合でも出力値 |01⟩ が得られることが確認できます。

否定：

つまり、量子コンピュータが従来のコンピュータよりも明らかに効率的であるという状況を実証したことになります。

次は何？

ここで終わらせることを提案します。私たちはすでに素晴らしい仕事をしました。ここまで述べてきたことをすべて理解していれば、量子コンピューティングと量子ロジックの基礎、そして特定の状況で量子アルゴリズムが従来のコンピューティング方法よりも効率的である理由をかなりよく理解できたと思います。

私の説明は、量子コンピューティングとアルゴリズムの本格的なガイドとはほとんど言えません。むしろ、数学と表記法の簡単な紹介であり、一般の科学情報源によって押し付けられた主題に関する読者の考えを払拭することを目的としています (実際、多くの人が状況を理解できません!)。次のような多くの重要なトピックに触れる時間がありませんでした。 量子ビットの量子もつれ、振幅値|0⟩と|1⟩の複雑さ、およびブロッホ球による変換中のさまざまな量子論理要素の機能について説明します。

量子コンピュータに関する知識を体系化し構造化したいなら、 強く ぜひ読んでみてください 「量子アルゴリズム入門」 エマ・ストルーベル: 数式が豊富にあるにもかかわらず、この本では量子アルゴリズムをより詳細に検討しています。

出所： habr.com