数学的な観点から見ると、どのようにして誰もが結婚できるのか (単身、両性、三重の結婚)、そしてなぜ常に男性が勝つのか

2012年にノーベル経済学賞はロイド・シャプリーとアルビン・ロスに授与された。 「安定流通理論と市場組織化の実践に。」 アレクセイ・サブヴァティエフは2012年に、数学者の利点の本質を単純かつ明確に説明しようとしました。 あなたの注意を引くために要約を提示します ビデオ講義.

今日は理論的な講義が行われます。 実験について エラ・ロタ、特に寄付の場合は教えません。

それが発表されたとき、 ロイド・シェプリー (1923-2016) 彼がノーベル賞を受賞したとき、よくある質問がありました。 まだ生きてるの!?!?」 彼の最も有名な成果は 1953 年に得られました。

正式には、ボーナスは他のものに対して与えられました。 「結婚の安定性定理」に関する 1962 年の論文「大学入学と結婚の安定性」。

持続可能な結婚について

マッチング (マッチング) - 対応するものを見つけるタスク。

とある孤立した村がある。 「m」な青年と「w」な少女がいる。 私たちは彼らをお互いに結婚させる必要があります。 (必ずしも同じ数であるとは限りません。最終的には誰かが一人になるかもしれません。)

モデルではど​​のような仮定を行う必要がありますか? ランダムに再婚するのは簡単ではないということ。 自由な選択に向けて一定の一歩が踏み出されています。 死後に離婚が起こらないように再婚したいと考えている賢明なアクサカルがいるとします。 （離婚とは、夫が自分の妻よりも第三者の女性を妻として望む状況です。）

この定理は現代経済学の精神に基づいています。 彼女は極めて非人間的だ。 経済学は伝統的に非人道的なものでした。 経済学では、利益を最大化するために人間が機械に置き換えられます。 これからお話しすることは、道徳的な観点から見て、まったくおかしなことです。 気にしないでください。

経済学者は結婚をこのように見ています。
m1、m2、… mk - 男性。
w1、w2、... wL - 女性。

男は、女の子にどのように「命令」するかによって同一化されます。 「ゼロレベル」もあり、これを下回ると、たとえ他に誰もいない場合でも、女性を妻として提供することはまったくできません。

すべては双方向で起こります、それは女の子にとっても同じです。

初期データは任意です。 唯一の前提/制限は、私たちは好みを変えないということです。

定理： 分布とゼロのレベルに関係なく、一部の男性と一部の女性の間で XNUMX 対 XNUMX の対応関係を確立する方法が常にあり、これにより、離婚だけでなく、あらゆるタイプの別れに対して堅牢になります。

どのような脅威がある可能性がありますか?

未婚のカップル（男性、女性）がいます。 しかし、wにとっては今の夫はmよりも悪く、mにとっては今の妻はwよりも悪いのです。 これは持続不可能な状況です。

「ゼロ以下」の人と結婚したという選択肢もあり、この場合は結婚生活も破綻してしまいます。

女性が既婚であるが、未婚の男性を好み、その男性に対してはゼロ以上です。

XNUMX 人が両方とも未婚で、お互いに「ゼロ以上」である場合。

どのような初期データであっても、あらゆる種類の脅威に耐性のあるこのような結婚システムが存在すると主張されています。 第二に、そのような平衡を見つけるためのアルゴリズムは非常に簡単です。 M*Nと比較してみましょう。

このモデルは一般化され、「一夫多妻制」に拡張され、多くの分野に適用されました。

ゲイル・シャプレー法

すべての男性とすべての女性が「処方箋」に従えば、その結果としての結婚制度は持続可能になります。

処方箋。
必要に応じて数日お時間をいただきます。 毎日をXNUMXつの部分（朝と夕方）に分けます。

最初の朝、すべての男は自分にとって最高の女性のところに行き、窓をノックし、彼女に結婚してくれるように頼みます。

その日の夕方、順番は女性に変わりますが、女性は何を発見できるのでしょうか？ 彼女の窓の下には群衆がいて、男は一人か一人もいなかった。 今日誰もいない人は順番を飛ばして待ちます。 残りの少なくとも XNUMX 人は、彼らが「レベル XNUMX 以上」であることを確認するために来た男性をチェックします。 少なくとも XNUMX つ持っていること。 完全に運が悪く、すべてがゼロ以下の場合は、全員が送られるはずです。 女は来た者のうち最大の者を選び、待つように言い、残りを送り届ける。

XNUMX 日目までの状況は次のとおりです。男性が XNUMX 人いる女性もいれば、男性がいない女性もいます。

XNUMX日目には、すべての「自由な」（派遣された）男性はXNUMX番目の優先順位の女性のところに行く必要があります。 そのような人がいない場合、その男性は独身であると宣言されます。 すでに女性と一緒に座っている男性たちはまだ何もしていません。

夕方、女性たちは状況を観察します。 すでに座っている人が優先順位の高い人に参加した場合、優先順位の低い人は追い出されます。 来た人の人数がすでに用意されている人数よりも低い場合は、全員が追い出されます。 女性は毎回最大限の要素を選択します。

繰り返します。

その結果、各男性は自分の女性のリストをすべて調べ、一人になるか、誰かの女性と婚約することになりました。 それならみんな結婚しようよ。

女性が男性に駆け寄る以外に、このプロセス全体を実行することは可能でしょうか? 手順は対称的ですが、解決策は異なる場合があります。 しかし問題は、このことから誰が得をするかということだ。

定理。 これら XNUMX つの対称的な解決策だけでなく、すべての安定した結婚システムのセットについても考えてみましょう。 当初提案されていた仕組み（男性が実行し、女性が受け入れるか拒否する）は、どの男性にとっても他のどの男性よりも有利で、どの女性にとっても他のどの結婚システムよりも悪い結婚制度をもたらします。

同性婚

「同性婚」の状況を考えてみましょう。 それらを合法化する必要性に疑問を投げかける数学的結果を考えてみましょう。 イデオロギー的に間違った例。

XNUMX 人の同性愛者 a、b、c、d について考えてみましょう。

aの優先順位: bcd
b:cad の優先順位
c: abd の優先順位
d にとって、残りの XNUMX 人をどのようにランク付けするかは問題ではありません。

文： この制度には持続可能な結婚制度はありません。

XNUMX人用のシステムは何通りありますか? 三つ。 ab cd、ac bd、ad bc。 カップルは崩壊し、そのプロセスは周期的に進みます。

「三性男女」制度。
これは数学の分野全体を開く最も重要な質問です。 これはモスクワの私の同僚であるウラジミール・イワノビッチ・ダニロフによって行われました。 彼は「結婚」をウォッカを飲むことだと考えており、その役割は「注ぐ人」「乾杯の声を上げる人」「ソーセージを切る人」でした。 各役割の代表者が4人以上いる状況では、力ずくで解決することは不可能です。 持続可能なシステムの問題は未解決です。

シェープリー ベクトル

コテージ村では、彼らは道路をアスファルトで舗装することにしました。 チップインする必要があります。 どうやって？

シャプリーは 1953 年にこの問題の解決策を提案しました。 N={1,2…n} という人々のグループと衝突している状況を想定してみましょう。 費用と利益を共有する必要があります。 人々が一緒に何か役に立つことをして、それを販売し、その利益をどのように分配するか考えてみましょう。

シャプリー氏は、分割する際には、これらの人々の特定のサブセットがどれだけ受け取ることができるかを基準にすべきだと提案した。 空ではない 2N 個のサブセットすべてがどれくらいの収益を得ることができるでしょうか? そしてこの情報に基づいて、シャプレーは普遍的な公式を書きました。

例。 モスクワの地下道で演奏するソリスト、ギタリスト、ドラマー。 1000人は時給XNUMXルーブルを稼いでいます。 どうやって分けるの？ おそらく平等に。
V(1,2,3)=1000

そのふりをしてみましょう
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100

ある企業が離脱して独自に行動した場合にどのような利益が待ち受けているのかを知るまでは、公正な分割を決定することはできません。 そして、数字を決定したとき（協力ゲームを特徴的な形で設定する）。

超加法性とは、別々よりも一緒にするとより多くの収益が得られる場合、つまり団結した方が利益が高いが、賞金をどのように分配するかが明確ではない場合のことです。 これに関しては多くのコピーが破られています。

ゲームがあります。 1人のビジネスマンが同時にXNUMX万ドル相当の預金を発見した。 XNUMX 人が同意する場合、それらは XNUMX 万人存在します。 どんなカップルでも人を殺して（事件から外して）、XNUMX万円を自分たちのために手に入れることができます。 そして誰も一人では何もできません。 これは解決策のない恐ろしい協力ゲームです。 XNUMX 人目を排除できる人は常に XNUMX 人です... 協力ゲーム理論は、解決策のない例から始まります。

私たちは、どの連合も共通の解決策を阻止しようとしないような解決策を望んでいます。 ブロックできないすべての部門のセットがカーネルです。 コアが空であることが起こります。 しかし、たとえ空ではなかったとしても、どうやって分割するのでしょうか？

シャプリー氏は、このように分割することを提案しています。 ンと一緒にコインを投げましょう！ エッジ。 すべてのプレイヤーをこの順序で書き出します。 最初のドラマーとしましょう。 彼は入ってきて100点を取る。次に「450番目」が入ってくる、たとえばソリストだ。 (ドラマーと合わせて 100 を獲得できますが、ドラマーはすでに 350 を獲得しています) ソリストは 1000 を獲得します。ギタリストは入場し (合計 450、-550)、XNUMX を獲得します。最後の XNUMX 人が勝つことがよくあります。 (スーパーモジュール性)

すべての注文を書き出すと次のようになります。
GSB - (C 勝利) - (D 勝利) - (B 勝利)
SGB - (C勝利) - (D勝利) - (B勝利)
SBG - (C勝利) - (D勝利) - (B勝利)
BSG - (C 勝利) - (D 勝利) - (B 勝利)
BGS - (ゲイン C) - (ゲイン D) - (ゲイン B)
GBS - (C 勝利) - (D 勝利) - (B 勝利)

そして、各列を加算して 6 で割ります (すべての注文の平均をとります)。 これはシャプレーベクトルです.

シャプリーは次の定理を証明しました (おおよそ): ゲームには、大規模なチームに次に参加する人がより大きな勝利をもたらすクラス (スーパーモジュラー) があります。 カーネルは常に空ではなく、凸状の点の組み合わせです (この場合は 6 点)。 シャプレー ベクトルは核の中心にあります。 それはいつでも解決策として提案することができ、それに反対する人は誰もいません。

1973 年に、コテージの問題はスーパーモジュラーであることが証明されました。

n 人全員が最初のコテージへの道を共有します。 1人目まではn-XNUMX人まで。 等。

空港には滑走路があります。 企業によって必要な長さは異なります。 同じ問題が発生します。

ノーベル賞を授与した人たちは、マージンの問題だけではなく、このメリットを念頭に置いていたと思います。

ありがとうございます！

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