រចនាសម្ព័ន្ធទិន្នន័យសម្រាប់ការរក្សាទុកក្រាហ្វ៖ ការពិនិត្យឡើងវិញនូវអ្វីដែលមានស្រាប់ និងពីរ "ស្ទើរតែថ្មី"

សួស្តីអ្នករាល់គ្នា។

នៅក្នុងកំណត់ចំណាំនេះ ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តរាយបញ្ជីរចនាសម្ព័ន្ធទិន្នន័យសំខាន់ៗដែលប្រើសម្រាប់រក្សាទុកក្រាហ្វក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ ហើយខ្ញុំក៏នឹងនិយាយអំពីរចនាសម្ព័ន្ធបែបនេះពីរបីទៀត ដែលដូចម្ដេចបាន "គ្រីស្តាល់" សម្រាប់ខ្ញុំ។

ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។ ប៉ុន្តែមិនមែនតាំងពីដើមដំបូងឡើយ - ខ្ញុំគិតថាយើងទាំងអស់គ្នាដឹងរួចហើយថាក្រាហ្វគឺជាអ្វី និងអ្វីដែលជាក្រាហ្វ (ដឹកនាំ មិនដឹកនាំ ទម្ងន់ គ្មានទម្ងន់ ដោយមានឬគ្មានគែម និងរង្វិលជុំច្រើន)។

ដូច្នេះ តោះទៅ។ តើ​យើង​មាន​ជម្រើស​អ្វី​ខ្លះ​សម្រាប់​រចនាសម្ព័ន្ធ​ទិន្នន័យ​សម្រាប់ "ការ​ផ្ទុក​ក្រាហ្វ"?

1. រចនាសម្ព័ន្ធទិន្នន័យម៉ាទ្រីស

1.1 ម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា។ ម៉ាទ្រីស​ជាប់​គ្នា​គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ដែល​ក្បាល​ជួរ​ដេក និង​ជួរ​ឈរ​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​លេខ​នៃ​ចំណុច​កំពូល​នៃ​ក្រាហ្វ ហើយ​តម្លៃ​នៃ​ធាតុ​នីមួយៗ​របស់​វា a(i,j) ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​វត្តមាន ឬ​អវត្តមាន​នៃ​គែម​រវាង​ចំណុច​កំពូល។ i និង j (វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ក្រាហ្វដែលមិនមានទិសដៅដូចជាម៉ាទ្រីសនឹងស៊ីមេទ្រីឬយើងអាចយល់ព្រមថាយើងរក្សាទុកតម្លៃទាំងអស់តែខាងលើអង្កត់ទ្រូងមេ) ។ សម្រាប់ក្រាហ្វដែលគ្មានទម្ងន់ a(i,j) អាចត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួនគែមពី i ដល់ j (ប្រសិនបើមិនមានគែមបែបនេះទេ នោះ a(i,j)= 0) ហើយសម្រាប់ក្រាហ្វដែលមានទម្ងន់ក៏ដោយទម្ងន់ផងដែរ។ (ទំងន់សរុប) នៃគែមដែលបានរៀបរាប់។

1.2 ម៉ាទ្រីសឧប្បត្តិហេតុ។ ក្នុងករណីនេះ ក្រាហ្វរបស់យើងក៏ត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងតារាងផងដែរ ដែលតាមក្បួនលេខជួរដេកត្រូវគ្នាទៅនឹងលេខនៃចំនុចកំពូលរបស់វា ហើយលេខជួរឈរត្រូវគ្នាទៅនឹងគែមមុនលេខ។ ប្រសិនបើ vertex និង edge មានឧបទ្ទវហេតុចំពោះគ្នា នោះតម្លៃមិនមែនសូន្យត្រូវបានសរសេរក្នុងក្រឡាដែលត្រូវគ្នា (សម្រាប់ក្រាហ្វដែលមិនមានទិសដៅ 1 ត្រូវបានសរសេរប្រសិនបើ vertex និង edge ជាឧប្បត្តិហេតុ សម្រាប់ក្រាហ្វតម្រង់ទិស - "1" ប្រសិនបើគែម "ចេញ" ពីចំនុចកំពូល និង "-1" ប្រសិនបើវា "រួមបញ្ចូល" នៅក្នុងវា (វាងាយស្រួលគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការចងចាំ ពីព្រោះសញ្ញា "ដក" ក៏ហាក់ដូចជា "រួមបញ្ចូល" នៅក្នុងលេខ "-1")) ។ សម្រាប់ក្រាហ្វដែលមានទម្ងន់ ជាថ្មីម្តងទៀតជំនួសឱ្យ 1 និង -1 អ្នកអាចបញ្ជាក់ទម្ងន់សរុបនៃគែម។

2. រចនាសម្ព័ន្ធទិន្នន័យរាប់បញ្ចូល

2.1 បញ្ជីជាប់គ្នា។ ជាការប្រសើរណាស់ អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាសាមញ្ញនៅទីនេះ។ ជាទូទៅ ចំនុចកំពូលនីមួយៗនៃក្រាហ្វអាចភ្ជាប់ជាមួយរចនាសម្ព័ន្ធរាប់លេខណាមួយ (បញ្ជី វ៉ិចទ័រ អារេ...) ដែលនឹងរក្សាទុកលេខនៃកំពូលទាំងអស់នៅជាប់នឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សម្រាប់ក្រាហ្វដែលដឹកនាំ យើងនឹងបន្ថែមទៅក្នុងបញ្ជីបែបនេះតែចំនុចកំពូលទាំងនោះដែលមានគែម "តម្រង់" ពីចំនុចកំពូល។ សម្រាប់ក្រាហ្វដែលមានទម្ងន់ ការអនុវត្តនឹងកាន់តែស្មុគស្មាញ។

2.2 បញ្ជីនៃឆ្អឹងជំនី។ រចនាសម្ព័ន្ធទិន្នន័យដ៏ពេញនិយម។ បញ្ជីនៃគែម ដូចដែល Captain Obviousness ប្រាប់យើង តាមពិតគឺជាបញ្ជីគែមនៃក្រាហ្វ ដែលនីមួយៗត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយចំនុចចាប់ផ្តើម ចំនុចបញ្ចប់ (សម្រាប់ក្រាហ្វដែលមិនបានដឹកនាំ លំដាប់មិនសំខាន់នៅទីនេះទេ ទោះបីជាសម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមអ្នកអាច ប្រើ​ច្បាប់​ផ្សេងៗ​ជា​ឧទាហរណ៍ ការ​បញ្ជាក់​ចំណុច​កំពូល​ក្នុង​លំដាប់​ដែល​កើន​ឡើង) និង​ទម្ងន់ (សម្រាប់​តែ​ក្រាហ្វ​ទម្ងន់​ប៉ុណ្ណោះ)។

អ្នក​អាច​មើល​បញ្ជី​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​រាយ​ខាង​លើ​ដោយ​លម្អិត​បន្ថែម​ទៀត (និង​ជាមួយ​នឹង​ការ​បង្ហាញ) ឧទាហរណ៍ នៅទីនេះ.

2.3 អារេជាប់គ្នា។ មិនមែនជារចនាសម្ព័ន្ធទូទៅបំផុតទេ។ នៅស្នូលរបស់វា វាគឺជាទម្រង់នៃ "ការវេចខ្ចប់" បញ្ជីនៅជាប់គ្នាចូលទៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធរាប់បញ្ចូលមួយ (អារេ វ៉ិចទ័រ)។ ធាតុ n ទីមួយ (យោងតាមចំនួនបញ្ឈរនៃក្រាហ្វ) នៃអារេបែបនេះមានសន្ទស្សន៍ចាប់ផ្តើមនៃអារេដូចគ្នា ដោយចាប់ផ្តើមពីដែលចំនុចកំពូលទាំងអស់នៅជាប់នឹងមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានសរសេរជាជួរ។

នៅទីនេះខ្ញុំបានរកឃើញការពន្យល់ដែលអាចយល់បានបំផុត (សម្រាប់ខ្លួនខ្ញុំ)៖ ejuo.livejournal.com/4518.html

3. Adjacency Vector និង Associative Adjacency Array

វាបានប្រែក្លាយថាអ្នកនិពន្ធនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ មិនមែនជាអ្នកសរសេរកម្មវិធីដែលមានជំនាញវិជ្ជាជីវៈនោះទេ ប៉ុន្តែអ្នកដែលដោះស្រាយក្រាហ្វិកតាមកាលកំណត់ ភាគច្រើនតែងតែដោះស្រាយជាមួយនឹងបញ្ជីគែម។ ជាការពិត វាងាយស្រួលប្រសិនបើក្រាហ្វមានរង្វិលជុំ និងគែមច្រើន។ ដូច្នេះហើយ ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍បញ្ជីគែមបុរាណ ខ្ញុំស្នើឱ្យយកចិត្តទុកដាក់លើ "ការអភិវឌ្ឍន៍/សាខា/ការកែប្រែ/ការផ្លាស់ប្តូរ" របស់ពួកគេ ពោលគឺ៖ វ៉ិចទ័រនៅជាប់ និងអារេជាប់ពាក់ព័ន្ធ។

3.1 វ៉ិចទ័រនៅជាប់គ្នា។

ករណី (a1)៖ ក្រាហ្វគ្មានទម្ងន់

យើងនឹងហៅវ៉ិចទ័រដែលនៅជាប់គ្នាសម្រាប់ក្រាហ្វដែលមិនមានទម្ងន់ជាសំណុំលំដាប់នៃចំនួនគត់នៃចំនួនគត់ (a[2i], a[2i+1],... ដែលខ្ញុំត្រូវបានដាក់លេខ c 0) ដែលក្នុងនោះលេខគូនីមួយៗ គឺ a[2i], a[2i+1] បញ្ជាក់គែមក្រាហ្វរវាងចំនុចកំពូល a[2i] និង a[2i+1] រៀងគ្នា។
ទម្រង់នៃការថតនេះមិនមានព័ត៌មានអំពីថាតើក្រាហ្វត្រូវបានដឹកនាំទេ (ជម្រើសទាំងពីរគឺអាចធ្វើទៅបាន)។ នៅពេលប្រើទម្រង់ digraph គែមត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានដឹកនាំពី a[2i] ទៅ a[2i+1]។ នៅទីនេះ និងខាងក្រោម៖ សម្រាប់ក្រាហ្វដែលមិនកំណត់ទិសដៅ ប្រសិនបើចាំបាច់ តម្រូវការសម្រាប់លំដាប់នៃការកត់ត្រាបញ្ឈរអាចត្រូវបានអនុវត្ត (ឧទាហរណ៍ ថាចំនុចកំពូលដែលមានតម្លៃទាបជាងលេខដែលបានកំណត់ទៅវាមកមុន)។

នៅក្នុង C++ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យបញ្ជាក់វ៉ិចទ័រនៅជាប់ដោយប្រើ std::vector ដូច្នេះឈ្មោះនៃរចនាសម្ព័ន្ធទិន្នន័យនេះ។

ករណី (a2)៖ ក្រាហ្វគ្មានទម្ងន់ ទម្ងន់គែមគឺជាចំនួនគត់

ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយ case (a1) យើងហៅវ៉ិចទ័រនៅជាប់គ្នាសម្រាប់ក្រាហ្វទម្ងន់ដែលមានគែមចំនួនគត់មានទម្ងន់ជាសំណុំលំដាប់ (អារេថាមវន្ត) នៃលេខ (a[3i], a[3i+1], a[3i+2], ... ដែលជាកន្លែងដែលខ្ញុំត្រូវបានដាក់លេខ c 0) ដែល "បីដង" នីមួយៗនៃលេខ a[3i], a[3i+1], a[3i+2] បញ្ជាក់គែមនៃក្រាហ្វរវាងចំនុចកំពូលដែលមានលេខ a[3i] និង a[3i+1] រៀងគ្នា ហើយតម្លៃ a [3i+2] គឺជាទម្ងន់នៃគែមនេះ។ ក្រាហ្វបែបនេះក៏អាចត្រូវបានដឹកនាំឬអត់។

ករណី (ខ)៖ ក្រាហ្វគ្មានទម្ងន់ ទម្ងន់គែមដែលមិនមែនជាចំនួនគត់

ដោយសារវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការរក្សាទុកធាតុផ្សេងៗគ្នានៅក្នុងអារេមួយ (វ៉ិចទ័រ) ឧទាហរណ៍ ការអនុវត្តខាងក្រោមគឺអាចធ្វើទៅបាន។ ក្រាហ្វត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងវ៉ិចទ័រមួយគូ ដែលវ៉ិចទ័រទីមួយគឺជាវ៉ិចទ័រនៅជាប់របស់ក្រាហ្វដោយមិនបញ្ជាក់ទម្ងន់ ហើយវ៉ិចទ័រទីពីរមានទម្ងន់ដែលត្រូវគ្នា (ការអនុវត្តដែលអាចធ្វើបានសម្រាប់ C ++: std::pair ) ដូច្នេះ សម្រាប់​គែម​ដែល​កំណត់​ដោយ​គូ​បញ្ឈរ​ក្រោម​លិបិក្រម 2i, 2i+1 នៃ​វ៉ិចទ័រ​ទីមួយ ទម្ងន់​នឹង​ស្មើ​នឹង​ធាតុ​ក្រោម​លិបិក្រម i នៃ​វ៉ិចទ័រ​ទីពីរ។

មែនហើយ ហេតុអ្វីបានជាវាចាំបាច់?

ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកនិពន្ធនៃបន្ទាត់ទាំងនេះបានរកឃើញថាវាមានប្រយោជន៍ណាស់សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន។ ជាការប្រសើរណាស់, តាមទស្សនៈផ្លូវការ, នឹងមានគុណសម្បត្តិដូចខាងក្រោម:

• វ៉ិចទ័រនៅជាប់ ដូចជារចនាសម្ព័ន្ធ "រាប់បញ្ចូល" ផ្សេងទៀតគឺតូចណាស់ យកអង្គចងចាំតិចជាងម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា (សម្រាប់ក្រាហ្វតូច) ហើយងាយស្រួលអនុវត្ត។
• ជាគោលការណ៍ ចំនុចកំពូលនៃក្រាហ្វក៏អាចត្រូវបានសម្គាល់ដោយលេខអវិជ្ជមានផងដែរ។ ចុះ​បើ​ត្រូវ​ការ​«​ការ​បំផ្លើស​»​បែប​នេះ?
• ក្រាហ្វអាចមានគែមច្រើន និងរង្វិលជុំច្រើន ដែលមានទម្ងន់ខុសៗគ្នា (វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន សូម្បីតែសូន្យ)។ មិនមានការរឹតបន្តឹងនៅទីនេះទេ។
• អ្នកក៏អាចកំណត់លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងៗទៅគែមផងដែរ ប៉ុន្តែសម្រាប់ព័ត៌មានបន្ថែម សូមមើលផ្នែកទី 4 ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាត្រូវតែត្រូវបានទទួលស្គាល់ថា "បញ្ជី" នេះមិនមានន័យថាការចូលទៅកាន់គែមរហ័សនោះទេ។ ហើយនៅទីនេះ Associative Adjacency Array មកជួយសង្គ្រោះ ដែលត្រូវបានពិភាក្សាខាងក្រោម។

3.2 អារេជាប់ទាក់ទងគ្នា។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើការចូលទៅកាន់គែមជាក់លាក់ ទម្ងន់របស់វា និងលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតគឺសំខាន់សម្រាប់យើង ហើយតម្រូវការនៃការចងចាំមិនអនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រើម៉ាទ្រីស adjacency ទេនោះ ចូរយើងគិតអំពីរបៀបដែលយើងអាចផ្លាស់ប្តូរវ៉ិចទ័រ adjacency ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ ដូច្នេះ គន្លឹះគឺជាគែមនៃក្រាហ្វ ដែលអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាគូចំនួនគត់តាមលំដាប់។ តើនេះមើលទៅដូចអ្វី? តើ​វា​មិន​មែន​ជា​កូនសោ​ក្នុង​អារេ​សហការ​ទេ? ហើយ​ប្រសិន​បើ​ដូច្នេះ ហេតុអ្វី​បាន​ជា​យើង​មិន​អនុវត្ត​វា? អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានអារេពាក់ព័ន្ធ ដែលកូនសោនីមួយៗ - គូចំនួនគត់លំដាប់ - នឹងត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយតម្លៃ - ចំនួនគត់ ឬចំនួនពិតដែលបញ្ជាក់ទម្ងន់នៃគែម។ នៅក្នុង C++ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យអនុវត្តរចនាសម្ព័ន្ធនេះដោយផ្អែកលើ std::map container (std::map , int> ឬ std::map , double>), ឬ std::multimap ប្រសិនបើគែមច្រើនត្រូវបានរំពឹងទុក។ ជាការប្រសើរណាស់, យើងមានរចនាសម្ព័ន្ធសម្រាប់រក្សាទុកក្រាហ្វដែលយកអង្គចងចាំតិចជាងរចនាសម្ព័ន្ធ "ម៉ាទ្រីស" អាចកំណត់ក្រាហ្វដែលមានរង្វិលជុំនិងគែមជាច្រើនហើយមិនមានតម្រូវការតឹងរ៉ឹងសម្រាប់ការមិនអវិជ្ជមាននៃលេខ vertex (ខ្ញុំមិនដឹងទេ អ្នកណាត្រូវការវា ប៉ុន្តែនៅតែ)។

4. រចនាសម្ព័ន្ធទិន្នន័យពេញ ប៉ុន្តែមានអ្វីមួយបាត់

ហើយវាជាការពិត៖ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន យើងប្រហែលជាត្រូវកំណត់លក្ខណៈមួយចំនួនទៅគែមនៃក្រាហ្វ ហើយតាមនោះ រក្សាទុកពួកវា។ ប្រសិនបើវាអាចកាត់បន្ថយលក្ខណៈពិសេសទាំងនេះដោយមិនច្បាស់លាស់ទៅជាចំនួនគត់ នោះវាអាចទៅរួចក្នុងការរក្សាទុក "ក្រាហ្វជាមួយលក្ខណៈពិសេសបន្ថែម" ដោយប្រើកំណែបន្ថែមនៃវ៉ិចទ័រនៅជាប់គ្នា និងអារេជាប់ពាក់ព័ន្ធ។

ដូច្នេះ សូមឲ្យយើងមានក្រាហ្វដែលមិនមានទម្ងន់ សម្រាប់គែមនីមួយៗដែលចាំបាច់ត្រូវរក្សាទុក ឧទាហរណ៍ 2 លក្ខណៈបន្ថែមដែលបញ្ជាក់ដោយចំនួនគត់។ ក្នុងករណីនេះ គេអាចកំណត់វ៉ិចទ័រនៅជាប់របស់វាជាសំណុំលំដាប់មិនមែនជា "គូ" ប៉ុន្តែនៃ "ភាគបួន" នៃចំនួនគត់ (a[2i], a[2i+1], a[2i+2], a [2i+3]…) ដែល a[2i+2] និង a[2i+3] នឹងកំណត់លក្ខណៈនៃគែមដែលត្រូវគ្នា។ សម្រាប់ក្រាហ្វដែលមានទម្ងន់ចំនួនគត់នៃគែម លំដាប់ជាទូទៅគឺស្រដៀងគ្នា (ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាគុណលក្ខណៈនឹងធ្វើតាមទម្ងន់នៃគែម ហើយនឹងត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយធាតុ a[2i+3] និង a[2i+4] ហើយ​គែម​ខ្លួន​វា​នឹង​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​មិន​មែន​លេខ 4 ទេ ប៉ុន្តែ 5 លេខ​ដែល​បាន​បញ្ជា​ទិញ)។ ហើយ​សម្រាប់​ក្រាហ្វ​ដែល​មាន​ទម្ងន់​គែម​មិន​ចំនួន​គត់ លក្ខណៈ​ពិសេស​អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ទៅក្នុង​សមាសធាតុ​ដែល​មិនមាន​ទម្ងន់​របស់វា។

នៅពេលប្រើអារេជាប់គ្នាសម្រាប់ក្រាហ្វដែលមានទម្ងន់គែមចំនួនគត់ គេអាចបញ្ជាក់ជាតម្លៃមិនមែនលេខតែមួយទេ ប៉ុន្តែអារេ (វ៉ិចទ័រ) នៃលេខដែលបញ្ជាក់ បន្ថែមពីលើទម្ងន់នៃគែម ចាំបាច់ផ្សេងទៀតទាំងអស់របស់វា។ លក្ខណៈ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ការរអាក់រអួលចំពោះករណីទម្ងន់ដែលមិនមែនជាចំនួនគត់នឹងជាតម្រូវការក្នុងការបញ្ជាក់សញ្ញាដែលមានលេខអណ្តែតទឹក (បាទ នេះគឺជាការរអាក់រអួលមួយ ប៉ុន្តែប្រសិនបើមិនមានសញ្ញាបែបនេះច្រើនទេ ហើយប្រសិនបើអ្នកមិន កុំកំណត់ឱ្យពួកគេ "ល្បិច" ទ្វេដង នោះវាប្រហែលជាគ្មានអ្វីសោះ)។ នេះមានន័យថានៅក្នុង C++ ពង្រីក associative adjacency arrays អាចត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖ std::map , std::vector> ឬ std::map , std::vector ដែលតម្លៃដំបូងនៅក្នុង "key-value-vector" នឹងមានទម្ងន់នៃគែម ហើយបន្ទាប់មកការកំណត់ជាលេខនៃគុណលក្ខណៈរបស់វាមានទីតាំងនៅ។

ឯកសារយោង៖

អំពីក្រាហ្វ និងក្បួនដោះស្រាយជាទូទៅ៖

1. Cormen, Thomas H., Leiserson, Charles I., Rivest, Ronald L., Stein, Clifford ។ ក្បួនដោះស្រាយ៖ ការសាងសង់ និងការវិភាគ ការបោះពុម្ពលើកទី២៖ ឆ្លងកាត់។ ពីភាសាអង់គ្លេស - M. : Williams Publishing House, 2 ។
2. Harari Frank ។ ទ្រឹស្តីក្រាហ្វិក។ M.: Mir, 1973 ។
របាយការណ៍របស់អ្នកនិពន្ធអំពីវ៉ិចទ័រដូចគ្នា និងអារេពាក់ព័ន្ធនៃ adjacencies:
3. Chernoukhov S.A. វ៉ិចទ័រ adjacency និង associative adjacency array ជាវិធីតំណាង និងរក្សាទុកក្រាហ្វ / SA Chernouhov ។ វ៉ិចទ័រ និងផែនទីនៅជាប់គ្នា ជារចនាសម្ព័ន្ធទិន្នន័យតំណាងឱ្យក្រាហ្វ // ការប្រមូលអត្ថបទនៃសន្និសីទវិទ្យាសាស្ត្រ និងការអនុវត្តអន្តរជាតិ “បញ្ហានៃការអនុវត្តលទ្ធផលនៃការអភិវឌ្ឍប្រកបដោយភាពច្នៃប្រឌិត និងវិធីដើម្បីដោះស្រាយវា” (សារ៉ាតូវ ថ្ងៃទី ១៤ ខែកញ្ញា ឆ្នាំ ២០១៩)។ – Sterlitamak៖ AMI, 14.09.2019, ទំ។ ៦៥-៦៩
ប្រភពអ៊ីនធឺណិតមានប្រយោជន៍លើប្រធានបទ៖
4. prog-cpp.ru/data-graph
5. ejuo.livejournal.com/4518.html

ប្រភព: www.habr.com