តើ​មនុស្ស​គ្រប់​រូប​អាច​រៀប​ការ​ដោយ​របៀប​ណា (អាពាហ៍ពិពាហ៍​ទោល ទ្វេ និង​បី​ភេទ) តាម​ទស្សនៈ​គណិតវិទ្យា ហើយ​មូលហេតុ​ដែល​បុរស​តែងតែ​ឈ្នះ

ក្នុងឆ្នាំ 2012 រង្វាន់ណូបែលផ្នែកសេដ្ឋកិច្ចត្រូវបានប្រគល់ជូន Lloyd Shapley និង Alvin Roth។ "សម្រាប់ទ្រឹស្តីនៃការបែងចែកស្ថិរភាព និងការអនុវត្តនៃការរៀបចំទីផ្សារ។" Aleksey Savvateev ក្នុងឆ្នាំ 2012 បានព្យាយាមពន្យល់យ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់អំពីខ្លឹមសារនៃគុណសម្បត្តិរបស់គណិតវិទូ។ ខ្ញុំធ្វើបទបង្ហាញដល់ការយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកនូវសេចក្តីសង្ខេបមួយ។ ការបង្រៀនវីដេអូ.

ថ្ងៃនេះនឹងមានការបង្រៀនទ្រឹស្តី។ អំពីការពិសោធន៍ អេឡា រ៉ូតាជាពិសេសជាមួយនឹងការបរិច្ចាគខ្ញុំនឹងមិនប្រាប់។

នៅពេលដែលវាត្រូវបានប្រកាសនោះ។ Lloyd Shepley (1923-2016) បានទទួលរង្វាន់ណូបែល មានសំណួរស្តង់ដារមួយ៖ “ម៉េច!? តើគាត់នៅរស់ទេ!?!? លទ្ធផលដ៏ល្បីល្បាញបំផុតរបស់គាត់គឺទទួលបាននៅឆ្នាំ 1953 ។

ជាផ្លូវការ ប្រាក់រង្វាន់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់អ្វីផ្សេងទៀត។ សម្រាប់ឯកសារឆ្នាំ 1962 របស់គាត់ស្តីពី "ទ្រឹស្តីបទស្ថេរភាពអាពាហ៍ពិពាហ៍": "ការចូលរៀននៅមហាវិទ្យាល័យ និងស្ថេរភាពនៃអាពាហ៍ពិពាហ៍" ។

អំពីអាពាហ៍ពិពាហ៍ប្រកបដោយនិរន្តរភាព

ផ្គូរផ្គង (ការផ្គូផ្គង) - ភារកិច្ចស្វែងរកការឆ្លើយឆ្លង។

មានភូមិដាច់ស្រយាលជាក់លាក់មួយ។ មានបុរសវ័យក្មេង "m" និង "w" ក្មេងស្រី។ យើងត្រូវរៀបការជាមួយពួកគេ (មិនចាំបាច់លេខដូចគ្នាទេ ប្រហែលជានៅទីបញ្ចប់ នរណាម្នាក់នឹងត្រូវទុកចោលតែម្នាក់ឯង។ )

តើការសន្មត់អ្វីខ្លះដែលត្រូវធ្វើក្នុងគំរូ? ថាវាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការរៀបការម្តងទៀតដោយចៃដន្យ។ ជំហានជាក់លាក់មួយកំពុងត្រូវបានអនុវត្តឆ្ពោះទៅរកជម្រើសដោយសេរី។ ឧបមាថា​មាន​អក្ខរាវិរុទ្ធ​ដែល​ចង់​រៀប​ការ​ជា​ថ្មី ដើម្បី​កុំ​ឲ្យ​ការ​លែង​លះ​របស់​គាត់​ក្រោយ​ពី​ស្លាប់។ (ការ​លែង​លះ​គឺ​ជា​ស្ថានភាព​មួយ​ដែល​ស្វាមី​ចង់​បាន​ភាគី​ទី​បី​ជា​ប្រពន្ធ​របស់​គាត់​ច្រើន​ជាង​ប្រពន្ធ​របស់​គាត់។ )

ទ្រឹស្តីបទនេះគឺស្ថិតនៅក្នុងស្មារតីនៃសេដ្ឋកិច្ចទំនើប។ នាងពិតជាអមនុស្សធម៌ណាស់។ សេដ្ឋកិច្ចជាប្រពៃណីអមនុស្សធម៌។ នៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ច មនុស្សត្រូវបានជំនួសដោយម៉ាស៊ីន ដើម្បីបង្កើនប្រាក់ចំណេញ។ អ្វីដែលខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នក គឺពិតជារឿងឆ្កួតៗ តាមទស្សនៈសីលធម៌។ កុំយកវាទៅបេះដូង។

អ្នក​សេដ្ឋកិច្ច​មើល​ការ​រៀបការ​តាម​វិធី​នេះ។
m1, m2, ... mk - បុរស។
w1, w2, ... wL - ស្ត្រី។

បុរសម្នាក់ត្រូវបានកំណត់អត្តសញ្ញាណពីរបៀបដែលគាត់ "បញ្ជា" ក្មេងស្រី។ វាក៏មាន "កម្រិតសូន្យ" ផងដែរ ដែលខាងក្រោមដែលស្ត្រីមិនអាចត្រូវបានគេផ្តល់ជាភរិយាបានទាល់តែសោះ ទោះបីជាមិនមានអ្នកផ្សេងក៏ដោយ។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងកើតឡើងនៅក្នុងទិសដៅទាំងពីរដូចគ្នាសម្រាប់ក្មេងស្រី។

ទិន្នន័យដំបូងគឺបំពាន។ ការសន្មត់ / ដែនកំណត់តែមួយគត់គឺថាយើងមិនផ្លាស់ប្តូរចំណូលចិត្តរបស់យើងទេ។

ទ្រឹស្តីបទ៖ ដោយមិនគិតពីការចែកចាយ និងកម្រិតសូន្យ វាតែងតែមានវិធីមួយដើម្បីបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយរវាងបុរស និងស្ត្រីមួយចំនួនដើម្បីឱ្យវារឹងមាំចំពោះការបំបែកគ្រប់ប្រភេទ (មិនមែនគ្រាន់តែជាការលែងលះទេ)។

តើអាចមានការគំរាមកំហែងអ្វីខ្លះ?

មានប្តីប្រពន្ធមួយគូ (m,w) ដែលមិនទាន់រៀបការ។ ប៉ុន្តែសម្រាប់ w ប្តីបច្ចុប្បន្នអាក្រក់ជាង m ហើយសម្រាប់ m ប្រពន្ធបច្ចុប្បន្នគឺអាក្រក់ជាង w ។ នេះគឺជាស្ថានភាពមិនស្ថិតស្ថេរ។

វាក៏មានជម្រើសដែលថានរណាម្នាក់បានរៀបការជាមួយនរណាម្នាក់ដែល "ទាបជាងសូន្យ" ក្នុងស្ថានភាពនេះ អាពាហ៍ពិពាហ៍ក៏នឹងដួលរលំផងដែរ។

ប្រសិនបើស្ត្រីរៀបការហើយ ប៉ុន្តែនាងចូលចិត្តបុរសមិនទាន់រៀបការ ដែលនាងលើសពីសូន្យ។

ប្រសិនបើមនុស្សពីរនាក់មិនទាន់រៀបការ ហើយអ្នកទាំងពីរគឺ "លើសពីសូន្យ" សម្រាប់គ្នាទៅវិញទៅមក។

វាត្រូវបានអះអាងថាសម្រាប់ទិន្នន័យដំបូងណាមួយដូចជាប្រព័ន្ធអាពាហ៍ពិពាហ៍មាន, ធន់នឹងការគំរាមកំហែងគ្រប់ប្រភេទ។ ទីពីរ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកលំនឹងបែបនេះគឺសាមញ្ញណាស់។ ចូរប្រៀបធៀបជាមួយ M*N ។

គំរូនេះត្រូវបានពង្រីក និងពង្រីកទៅជា "ពហុពន្ធភាព" និងអនុវត្តក្នុងវិស័យជាច្រើន។

នីតិវិធី Gale-Shapley

ប្រសិនបើបុរស និងស្ត្រីទាំងអស់ធ្វើតាម "វេជ្ជបញ្ជា" ប្រព័ន្ធអាពាហ៍ពិពាហ៍នឹងមាននិរន្តរភាព។

វេជ្ជបញ្ជា។
យើងចំណាយពេលពីរបីថ្ងៃតាមតម្រូវការ។ យើងបែងចែកជារៀងរាល់ថ្ងៃជាពីរផ្នែក (ពេលព្រឹកនិងពេលល្ងាច) ។

នៅព្រឹកដំបូងបុរសគ្រប់រូបទៅរកស្ត្រីល្អបំផុតរបស់គាត់ហើយគោះបង្អួចសុំនាងរៀបការជាមួយគាត់។

នៅ​ពេល​ល្ងាច​ថ្ងៃ​ដដែល វេន​បែរ​ទៅ​រក​ស្ត្រី តើ​ស្ត្រី​អាច​រក​ឃើញ​អ្វី? ថាមានហ្វូងមនុស្សនៅក្រោមបង្អួចរបស់នាង មិនថាម្នាក់ ឬគ្មានបុរស។ អ្នក​ដែល​មិន​មាន​ថ្ងៃ​នេះ​រំលង​វេន​ហើយ​រង់ចាំ។ នៅសល់ដែលមានយ៉ាងហោចណាស់មួយ ពិនិត្យមើលបុរសដែលមកមើលថាពួកគេ "លើសពីកម្រិតសូន្យ"។ ដើម្បីមានយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនមានសំណាងទាំងស្រុង ហើយអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺទាបជាងសូន្យ នោះអ្នកគ្រប់គ្នាគួរតែត្រូវបានបញ្ជូន។ ស្ត្រី​នោះ​រើស​អ្នក​ដែល​មក​ច្រើន​ជាង​គេ ប្រាប់​គាត់​ឲ្យ​រង់ចាំ ហើយ​ផ្ញើ​អ្នក​ដែល​នៅ​សល់។

មុនថ្ងៃទី ២ ស្ថានភាពគឺដូចនេះ៖ ស្ត្រីខ្លះមានបុរសខ្លះគ្មាន។

នៅថ្ងៃទីពីរ បុរសទាំងអស់ "ឥតគិតថ្លៃ" (បានផ្ញើ) ត្រូវទៅរកស្ត្រីអាទិភាពទីពីរ។ បើគ្មានមនុស្សបែបនេះទេ បុរសនោះត្រូវប្រកាសថានៅលីវ។ បុរស​ដែល​អង្គុយ​ជា​មួយ​ស្ត្រី​រួច​ហើយ មិន​ទាន់​ធ្វើ​អី​ទេ។

នៅពេលល្ងាចស្ត្រីមើលស្ថានភាព។ ប្រសិនបើនរណាម្នាក់ដែលអង្គុយរួចហើយត្រូវបានចូលរួមដោយអាទិភាពខ្ពស់ជាង នោះអាទិភាពទាបត្រូវបានបញ្ជូនទៅឆ្ងាយ។ ប្រសិន​បើ​អ្នក​ដែល​មក​ទាប​ជាង​អ្វី​ដែល​មាន​រួច​ហើយ អ្នក​រាល់​គ្នា​ត្រូវ​បាន​គេ​បញ្ជូន​ទៅ​ឆ្ងាយ។ ស្ត្រីជ្រើសរើសធាតុអតិបរមារាល់ពេល។

យើងធ្វើម្តងទៀត។

ជាលទ្ធផល បុរសម្នាក់ៗបានឆ្លងកាត់បញ្ជីទាំងមូលនៃស្ត្រីរបស់គាត់ ហើយត្រូវបានទុកចោលតែម្នាក់ឯង ឬភ្ជាប់ពាក្យជាមួយស្ត្រីមួយចំនួន។ បន្ទាប់មកយើងនឹងរៀបការទាំងអស់គ្នា។

តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការដំណើរការដំណើរការទាំងមូល ប៉ុន្តែសម្រាប់ស្ត្រីដើម្បីរត់ទៅរកបុរស? នីតិវិធីគឺស៊ីមេទ្រីប៉ុន្តែដំណោះស្រាយអាចខុសគ្នា។ ប៉ុន្តែ​សំណួរ​សួរ​ថា តើ​អ្នក​ណា​ល្អ​ជាង​ពី​នេះ?

ទ្រឹស្តីបទ។ ចូរយើងពិចារណាមិនត្រឹមតែដំណោះស្រាយស៊ីមេទ្រីទាំងពីរនេះប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែជាសំណុំនៃប្រព័ន្ធអាពាហ៍ពិពាហ៍ដែលមានស្ថេរភាពទាំងអស់។ យន្តការដែលបានស្នើឡើងដើម (បុរសរត់ ហើយស្ត្រីទទួលយក/បដិសេធ) លទ្ធផលនៅក្នុងប្រព័ន្ធអាពាហ៍ពិពាហ៍ដែលប្រសើរជាងសម្រាប់បុរសណាម្នាក់ និងអាក្រក់ជាងស្ត្រីដទៃទៀត។

អាពាហ៍ពិពាហ៍ភេទដូចគ្នា

ពិចារណាស្ថានភាពជាមួយ "អាពាហ៍ពិពាហ៍ភេទដូចគ្នា" ។ ចូរយើងពិចារណាអំពីលទ្ធផលគណិតវិទ្យាដែលបង្កឱ្យមានការសង្ស័យលើតម្រូវការក្នុងការធ្វើឱ្យពួកគេស្របច្បាប់។ ជា​ឧទាហរណ៍​ដែល​មិន​ត្រឹមត្រូវ​ខាង​មនោគមវិជ្ជា។

ពិចារណា​អំពី​ភេទ​បួន​ a, b, c, d.

អាទិភាពសម្រាប់ a: bcd
អាទិភាពសម្រាប់ b: cad
អាទិភាពសម្រាប់ c: abd
សម្រាប់ d វាមិនមានបញ្ហាថាតើគាត់ជាប់ចំណាត់ថ្នាក់បីដែលនៅសល់នោះទេ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍៖ មិនមានប្រព័ន្ធអាពាហ៍ពិពាហ៍ប្រកបដោយនិរន្តរភាពនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះទេ។

តើមានប្រព័ន្ធប៉ុន្មានសម្រាប់មនុស្សបួននាក់? បី. ab cd, ac bd, ad bc ។ គូស្វាមីភរិយានឹងដួលរលំហើយដំណើរការនឹងទៅជាវដ្ត។

ប្រព័ន្ធ "បីភេទ" ។
នេះ​ជា​សំណួរ​សំខាន់​បំផុត​ដែល​បើក​ចំហ​លើ​មុខវិជ្ជា​គណិតវិទ្យា​ទាំងមូល។ នេះត្រូវបានធ្វើដោយសហសេវិករបស់ខ្ញុំនៅទីក្រុងមូស្គូគឺ Vladimir Ivanovich Danilov ។ គាត់បានចាត់ទុក "អាពាហ៍ពិពាហ៍" ថាជាការផឹកវ៉ូដាកា ហើយតួនាទីមានដូចខាងក្រោម៖ "អ្នកចាក់" "អ្នកនិយាយនំប៉័ង" និង "អ្នកកាត់សាច់ក្រក" ។ ក្នុងស្ថានភាពដែលមានអ្នកតំណាង 4 នាក់ ឬច្រើននាក់នៃតួនាទីនីមួយៗ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយដោយកម្លាំងសាហាវ។ សំណួរនៃប្រព័ន្ធនិរន្តរភាពគឺជាការបើកចំហមួយ។

វ៉ិចទ័រ Shapley

នៅក្នុងភូមិខ្ទម ពួកគេបានសម្រេចចិត្តធ្វើផ្លូវក្រាលកៅស៊ូ។ ត្រូវការខ្ទាស់ចូល។ យ៉ាងម៉េច?

Shapley បានស្នើដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានេះនៅឆ្នាំ 1953 ។ ចូរសន្មតថាស្ថានភាពនៃជម្លោះជាមួយក្រុមមនុស្ស N={1,2…n} ។ ការចំណាយ/អត្ថប្រយោជន៍ចាំបាច់ត្រូវចែករំលែក។ ឧបមា​ថា​មនុស្ស​រួម​គ្នា​ធ្វើ​អ្វី​ដែល​មាន​ប្រយោជន៍​លក់​ហើយ​ចែក​ចំណេញ​យ៉ាង​ម៉េច?

Shapley បានផ្តល់យោបល់ថា នៅពេលបែងចែក យើងគួរត្រូវបានដឹកនាំដោយចំនួនរងមួយចំនួននៃមនុស្សទាំងនេះអាចទទួលបាន។ តើសំណុំរងដែលមិនទទេ 2N ទាំងអស់អាចរកប្រាក់បានប៉ុន្មាន? ហើយដោយផ្អែកលើព័ត៌មាននេះ Shapley បានសរសេររូបមន្តសកល។

ឧទាហរណ៍។ អ្នកលេងភ្លេង អ្នកលេងហ្គីតា និងអ្នកវាយស្គរ លេងនៅផ្លូវក្រោមដីក្នុងទីក្រុងមូស្គូ។ ពួកគេទាំងបីរកបាន 1000 rubles ក្នុងមួយម៉ោង។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបែងចែកវា? ប្រហែលជាស្មើគ្នា។
V(1,2,3)=1000

ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100

ការបែងចែកដោយយុត្តិធម៌មិនអាចកំណត់បានទេ លុះត្រាតែយើងដឹងពីផលចំណេញដែលកំពុងរង់ចាំក្រុមហ៊ុនដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើវាបែកចេញ ហើយធ្វើសកម្មភាពដោយខ្លួនឯង។ ហើយនៅពេលដែលយើងកំណត់លេខ (កំណត់ល្បែងសហប្រតិបត្តិការក្នុងទម្រង់លក្ខណៈ) ។

Superadditivity គឺនៅពេលដែលរួមគ្នាពួកគេរកបានច្រើនជាងដោយឡែកពីគ្នា នៅពេលដែលវាមានផលចំណេញច្រើនជាងក្នុងការរួបរួម ប៉ុន្តែវាមិនច្បាស់ពីរបៀបបែងចែកការឈ្នះនោះទេ។ ច្បាប់ចម្លងជាច្រើនត្រូវបានខូចអំពីរឿងនេះ។

មានល្បែងមួយ។ អ្នកជំនួញបីនាក់ក្នុងពេលដំណាលគ្នាបានរកឃើញប្រាក់កក់ចំនួន 1 លានដុល្លារ។ បើ​អ្នក​ទាំង​បី​យល់​ព្រម នោះ​មាន​មួយ​លាន។ គូស្វាមីភរិយាណាមួយអាចសម្លាប់ (ដកចេញពីករណី) និងទទួលបានប្រាក់រាប់លានសម្រាប់ខ្លួនគេ។ ហើយគ្មាននរណាម្នាក់អាចធ្វើអ្វីតែម្នាក់ឯងបានទេ។ នេះគឺជាហ្គេមសហការគ្នាដ៏គួរឱ្យខ្លាចដែលគ្មានដំណោះស្រាយ។ វាតែងតែមានមនុស្សពីរនាក់ដែលអាចលុបបំបាត់ទីបី... ទ្រឹស្ដីល្បែងសហប្រតិបត្តិការចាប់ផ្តើមដោយឧទាហរណ៍ដែលមិនមានដំណោះស្រាយ។

យើង​ចង់​បាន​ដំណោះស្រាយ​បែប​នេះ​ដែល​គ្មាន​ក្រុម​ចម្រុះ​ចង់​រារាំង​ដំណោះស្រាយ​រួម។ សំណុំនៃការបែងចែកទាំងអស់ដែលមិនអាចទប់ស្កាត់បានគឺ ខឺណែល។ វាកើតឡើងថាស្នូលគឺទទេ។ ប៉ុន្តែ​ទោះ​មិន​ទទេ​ក៏​ត្រូវ​បែង​ចែក?

Shapley ស្នើឱ្យបែងចែកវិធីនេះ។ បោះកាក់ជាមួយ n! គែម។ យើងសរសេរចេញអ្នកលេងទាំងអស់នៅក្នុងលំដាប់នេះ។ ចូរនិយាយថាអ្នកវាយស្គរដំបូង។ គាត់ចូលមកហើយយក 100 របស់គាត់។ បន្ទាប់មក "ទីពីរ" ចូលមក ចូរនិយាយថាអ្នកលេងភ្លេង។ (រួមជាមួយអ្នកវាយស្គរគេអាចរកបាន 450 អ្នកវាយស្គរបានយក 100 រួចហើយ) អ្នកលេងភ្លេងយក 350 ។ អ្នកលេងហ្គីតាចូល (រួមគ្នា 1000 -450) យក 550 ។ អ្នកចុងក្រោយតែងតែឈ្នះ។ (ភាពទំនើប)

ប្រសិនបើយើងសរសេរចេញសម្រាប់ការបញ្ជាទិញទាំងអស់៖
GSB - (ឈ្នះ C) - (ឈ្នះ D) - (ឈ្នះ B)
SGB ​​- (ឈ្នះ C) - (ឈ្នះ D) - (ឈ្នះ B)
SBG - (ឈ្នះ C) - (ឈ្នះ D) - (ឈ្នះ B)
BSG - (ឈ្នះ C) - (ឈ្នះ D) - (ឈ្នះ B)
BGS - (ទទួលបាន C) - (ទទួលបាន D) - (ទទួលបាន B)
GBS - (ឈ្នះ C) - (ឈ្នះ D) - (ឈ្នះ B)

ហើយសម្រាប់ជួរឈរនីមួយៗយើងបន្ថែមនិងបែងចែកដោយ 6 - ជាមធ្យមលើការបញ្ជាទិញទាំងអស់ - នេះគឺជាវ៉ិចទ័រ Shapley.

Shapley បានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ (ប្រហាក់ប្រហែល)៖ មានថ្នាក់នៃហ្គេម (supermodular) ដែលក្នុងនោះអ្នកបន្ទាប់ដើម្បីចូលរួមជាមួយក្រុមធំនាំមកនូវការឈ្នះធំជាងនេះ។ ខឺណែល​តែងតែ​មិន​ទទេ ហើយ​ជា​ចំណុច​ប៉ោង​ដែល​រួម​បញ្ចូល​គ្នា (ក្នុង​ករណី​របស់​យើង 6 ពិន្ទុ)។ វ៉ិចទ័រ Shapley ស្ថិតនៅចំកណ្តាលនៃស្នូល។ វាតែងតែអាចផ្តល់ជាដំណោះស្រាយ គ្មាននរណាម្នាក់នឹងប្រឆាំងនឹងវាឡើយ។

នៅឆ្នាំ 1973 វាត្រូវបានបង្ហាញថាបញ្ហាជាមួយខ្ទមគឺ supermodular ។

មនុស្សទាំងអស់ចែករំលែកផ្លូវទៅកាន់ខ្ទមដំបូង។ រហូតដល់ទីពីរ - n-1 នាក់។ ល។

អាកាសយានដ្ឋានមានផ្លូវរត់។ ក្រុមហ៊ុនផ្សេងៗគ្នាត្រូវការប្រវែងខុសៗគ្នា។ បញ្ហាដូចគ្នាកើតឡើង។

ខ្ញុំ​គិត​ថា អ្នក​ដែល​បាន​ផ្តល់​រង្វាន់​ណូបែល​មាន​គុណសម្បត្តិ​នេះ​ក្នុង​ចិត្ត ហើយ​មិន​មែន​ត្រឹម​តែ​កិច្ចការ​រឹម​ទេ។

សូមអរគុណ!

ច្រើនទៀត

• ឆានែល "គណិតវិទ្យា - សាមញ្ញ"៖ youtube.com/punkmathematics
• ប៉ុស្តិ៍ "Savvateev ដោយគ្មានព្រំដែន": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
• សាធារណៈជន "គណិតវិទ្យាគឺសាមញ្ញ"៖ vk.com/alexei_savvateev
• សាធារណៈជន "កំប្លែងគណិតវិទ្យា"៖ vk.com/bsu_mmf_jokes
• គេហទំព័រ ការបង្រៀនទាំងអស់នៅទីនោះ +100 មេរៀន និងច្រើនទៀត៖ savvateev.xyz

ប្រភព: www.habr.com