Richard Hamming: ជំពូកទី 13. ទ្រឹស្ដីព័ត៌មាន

យើងបានធ្វើវា!

"គោលបំណងនៃវគ្គសិក្សានេះគឺដើម្បីរៀបចំអ្នកសម្រាប់អនាគតបច្ចេកទេសរបស់អ្នក។"

សួស្តី Habr ។ ចងចាំអត្ថបទដ៏អស្ចារ្យ "អ្នកនិងការងាររបស់អ្នក" (+219, 2588 ចំណាំ, 429k អាន)?

ដូច្នេះ Hamming (បាទ, បាទ, ការត្រួតពិនិត្យដោយខ្លួនឯងនិងកែតម្រូវខ្លួនឯង កូដញញួរ) មានទាំងមូល សៀវភៅសរសេរដោយផ្អែកលើការបង្រៀនរបស់គាត់។ យើង​បក​ប្រែ ព្រោះ​បុរស​និយាយ​តាម​ចិត្ត។

នេះ​ជា​សៀវភៅ​មិន​ត្រឹម​តែ​និយាយ​អំពី IT ទេ វា​គឺ​ជា​សៀវភៅ​ដែល​និយាយ​អំពី​របៀប​គិត​របស់​មនុស្ស​ដែល​អស្ចារ្យ​មិន​គួរ​ឱ្យ​ជឿ។ “វាមិនមែនគ្រាន់តែជាការជំរុញនៃការគិតវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះទេ វាពិពណ៌នាអំពីលក្ខខណ្ឌដែលបង្កើនឱកាសនៃការធ្វើការងារដ៏អស្ចារ្យ”។

សូមអរគុណដល់ Andrey Pakhomov សម្រាប់ការបកប្រែ។

ទ្រឹស្ដីព័ត៌មានត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ C. E. Shannon នៅចុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1940 ។ អ្នកគ្រប់គ្រង Bell Labs ទទូចឱ្យគាត់ហៅវាថា "ទ្រឹស្តីទំនាក់ទំនង" ដោយសារតែ ... នេះគឺជាឈ្មោះត្រឹមត្រូវជាង។ សម្រាប់ហេតុផលជាក់ស្តែង ឈ្មោះ "ទ្រឹស្ដីព័ត៌មាន" មានឥទ្ធិពលខ្លាំងលើសាធារណជន ដែលជាហេតុធ្វើឱ្យ Shannon ជ្រើសរើសវា ហើយវាគឺជាឈ្មោះដែលយើងស្គាល់រហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ។ ឈ្មោះខ្លួនវាបង្ហាញថាទ្រឹស្ដីទាក់ទងនឹងព័ត៌មាន ដែលធ្វើឱ្យវាមានសារៈសំខាន់នៅពេលយើងឈានចូលកាន់តែជ្រៅទៅក្នុងយុគសម័យព័ត៌មាន។ នៅក្នុងជំពូកនេះ ខ្ញុំនឹងនិយាយអំពីការសន្និដ្ឋានសំខាន់ៗមួយចំនួនពីទ្រឹស្ដីនេះ ខ្ញុំនឹងផ្តល់នូវភស្តុតាងមិនតឹងរឹង ប៉ុន្តែជាភស្តុតាងវិចារណញាណនៃបទប្បញ្ញត្តិបុគ្គលមួយចំនួននៃទ្រឹស្តីនេះ ដូច្នេះអ្នកយល់ថា "ទ្រឹស្ដីព័ត៌មាន" តាមពិតជាកន្លែងដែលអ្នកអាចអនុវត្តវាបាន និងកន្លែងដែលមិនមាន។

ជាដំបូង តើ "ព័ត៌មាន" ជាអ្វី? Shannon ផ្តល់ព័ត៌មានដោយភាពមិនច្បាស់លាស់។ គាត់បានជ្រើសរើសលោការីតអវិជ្ជមាននៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជារង្វាស់បរិមាណនៃព័ត៌មានដែលអ្នកទទួលបាននៅពេលដែលព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេ p កើតឡើង។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើខ្ញុំប្រាប់អ្នកថាអាកាសធាតុនៅ Los Angeles មានអ័ព្ទ នោះ p គឺជិតដល់លេខ 1 ដែលពិតជាមិនផ្តល់ព័ត៌មានច្រើនដល់យើងទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើខ្ញុំនិយាយថា ភ្លៀងនៅ Monterey ក្នុងខែមិថុនា វានឹងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៅក្នុងសារ ហើយវានឹងមានព័ត៌មានបន្ថែម។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបានមិនមានព័ត៌មានណាមួយទេ ចាប់តាំងពីកំណត់ហេតុ 1 = 0 ។

សូមក្រឡេកមើលរឿងនេះឱ្យបានលំអិត។ Shannon ជឿថារង្វាស់បរិមាណនៃព័ត៌មានគួរតែជាមុខងារបន្តនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ p ហើយសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យវាគួរតែបន្ថែម - ចំនួនព័ត៌មានដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យពីរគួរតែស្មើនឹង ចំនួនព័ត៌មានដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាមួយ។ ជាឧទាហរណ៍ លទ្ធផលនៃគ្រាប់ឡុកឡាក់ និងក្រឡុកកាក់ជាធម្មតាត្រូវបានចាត់ទុកជាព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ។ ចូរយើងបកប្រែខាងលើទៅជាភាសានៃគណិតវិទ្យា។ ប្រសិនបើ I (p) គឺជាចំនួនព័ត៌មានដែលមាននៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេ p នោះសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាដែលមានព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យពីរ x ជាមួយប្រូបាប៊ីលីតេ p1 និង y ជាមួយប្រូបាប៊ីលីតេ p2 យើងទទួលបាន

(x និង y គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ)

នេះគឺជាសមីការ Cauchy ដែលមានមុខងារ ពិតសម្រាប់ p1 និង p2 ទាំងអស់។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការមុខងារនេះ សន្មតថា

p1=p2=p,

នេះផ្តល់ឱ្យ

ប្រសិនបើ p1 = p2 និង p2 = p បន្ទាប់មក

ល។ ការពង្រីកដំណើរការនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រស្តង់ដារសម្រាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល សម្រាប់លេខសនិទានទាំងអស់ m/n ខាងក្រោមគឺពិត

ពីការបន្តសន្មត់នៃរង្វាស់ព័ត៌មាន វាធ្វើតាមថាអនុគមន៍លោការីតគឺជាដំណោះស្រាយបន្តតែមួយគត់ចំពោះសមីការមុខងារ Cauchy ។

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីព័ត៌មាន វាជារឿងធម្មតាទេក្នុងការយកគោលលោការីតជា 2 ដូច្នេះជម្រើសគោលពីរមានព័ត៌មាន 1 ប៊ីតយ៉ាងពិតប្រាកដ។ ដូច្នេះព័ត៌មានត្រូវបានវាស់ដោយរូបមន្ត

ចូរយើងផ្អាក និងយល់ពីអ្វីដែលបានកើតឡើងខាងលើ។ ដំបូងឡើយ យើងមិនបានកំណត់និយមន័យនៃ "ព័ត៌មាន" ទេ យើងគ្រាន់តែកំណត់រូបមន្តសម្រាប់រង្វាស់បរិមាណរបស់វា។

ទីពីរ វិធានការនេះគឺស្ថិតក្រោមភាពមិនច្បាស់លាស់ ហើយទោះបីជាវាសមហេតុផលសមហេតុផលសម្រាប់ម៉ាស៊ីន — ឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធទូរស័ព្ទ វិទ្យុ ទូរទស្សន៍ កុំព្យូទ័រ។ល។—វាមិនឆ្លុះបញ្ចាំងពីអាកប្បកិរិយាធម្មតារបស់មនុស្សចំពោះព័ត៌មាននោះទេ។

ទីបី នេះគឺជាការវាស់វែងដែលទាក់ទង វាអាស្រ័យលើស្ថានភាពបច្ចុប្បន្ននៃចំណេះដឹងរបស់អ្នក។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលស្ទ្រីមនៃ "លេខចៃដន្យ" ពីម៉ាស៊ីនបង្កើតលេខចៃដន្យ អ្នកសន្មត់ថាលេខបន្ទាប់នីមួយៗមិនច្បាស់លាស់ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់គណនា "លេខចៃដន្យ" នោះលេខបន្ទាប់នឹងដឹង ដូច្នេះហើយនឹងមិន មានព័ត៌មាន។

ដូច្នេះនិយមន័យនៃព័ត៌មានរបស់ Shannon គឺសមរម្យសម្រាប់ម៉ាស៊ីននៅក្នុងករណីជាច្រើន ប៉ុន្តែហាក់ដូចជាមិនសមនឹងការយល់ដឹងរបស់មនុស្សអំពីពាក្យនោះទេ។ វាគឺសម្រាប់ហេតុផលនេះដែល "ទ្រឹស្តីព័ត៌មាន" គួរតែត្រូវបានគេហៅថា "ទ្រឹស្តីទំនាក់ទំនង" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាយឺតពេលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរនិយមន័យ (ដែលផ្តល់ទ្រឹស្តីនូវប្រជាប្រិយភាពដំបូងរបស់វា ហើយដែលនៅតែធ្វើឱ្យមនុស្សគិតថាទ្រឹស្តីនេះទាក់ទងនឹង "ព័ត៌មាន") ដូច្នេះយើងត្រូវរស់នៅជាមួយពួកគេ ប៉ុន្តែក្នុងពេលតែមួយអ្នកត្រូវតែ យល់យ៉ាងច្បាស់ថាតើនិយមន័យនៃព័ត៌មានរបស់ Shannon គឺមកពីអត្ថន័យដែលគេប្រើជាទូទៅប៉ុណ្ណា។ ព័ត៌មានរបស់ Shannon ទាក់ទងនឹងអ្វីដែលខុសគ្នាទាំងស្រុង ពោលគឺភាពមិនច្បាស់លាស់។

នេះ​ជា​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​គិត​អំពី​ពេល​ដែល​អ្នក​ស្នើ​ពាក្យ​ណា​មួយ​។ តើនិយមន័យដែលបានស្នើឡើង ដូចជានិយមន័យនៃព័ត៌មានរបស់ Shannon យល់ស្របនឹងគំនិតដើមរបស់អ្នក និងតើវាខុសគ្នាយ៉ាងណា? ស្ទើរតែគ្មានពាក្យណាដែលឆ្លុះបញ្ចាំងយ៉ាងច្បាស់ពីចក្ខុវិស័យពីមុនរបស់អ្នកចំពោះគំនិតមួយ ប៉ុន្តែនៅទីបំផុតវាគឺជាពាក្យដែលប្រើដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីអត្ថន័យនៃគំនិត ដូច្នេះការបង្កើតអ្វីមួយជាផ្លូវការតាមរយៈនិយមន័យច្បាស់លាស់តែងតែបង្ហាញពីសំឡេងរំខានមួយចំនួន។

ពិចារណាប្រព័ន្ធដែលអក្ខរក្រមមាននិមិត្តសញ្ញា q ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ pi ។ ក្នុងករណី​នេះ ចំនួនមធ្យមនៃព័ត៌មាន នៅក្នុងប្រព័ន្ធ (តម្លៃរំពឹងទុករបស់វា) គឺស្មើនឹង៖

វាត្រូវបានគេហៅថា entropy នៃប្រព័ន្ធជាមួយនឹងការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ {pi} ។ យើងប្រើពាក្យ "entropy" ពីព្រោះទម្រង់គណិតវិទ្យាដូចគ្នាលេចឡើងក្នុងទែម៉ូឌីណាមិក និងមេកានិចស្ថិតិ។ នេះហើយជាមូលហេតុដែលពាក្យថា "entropy" បង្កើតនូវភាពជាក់លាក់នៃសារៈសំខាន់នៅជុំវិញខ្លួនវា ដែលទីបំផុតមិនសមហេតុផលនោះទេ។ ទម្រង់​គណិតវិទ្យា​ដូចគ្នា​នៃ​សញ្ញាណ​មិន​មានន័យ​ដូច​គ្នា​នឹង​ការ​បកស្រាយ​នៃ​និមិត្តសញ្ញា!

entropy នៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងទ្រឹស្តីសរសេរកូដ។ វិសមភាព Gibbs សម្រាប់ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេខុសគ្នាពីរ pi និង qi គឺជាផលវិបាកដ៏សំខាន់មួយនៃទ្រឹស្តីនេះ។ ដូច្នេះ​យើង​ត្រូវ​តែ​បញ្ជាក់​ថា​

ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើក្រាហ្វជាក់ស្តែង។ 13.I ដែលបង្ហាញថា

ហើយសមភាពត្រូវបានសម្រេចបានលុះត្រាតែ x = 1។ ចូរយើងអនុវត្តវិសមភាពចំពោះពាក្យនីមួយៗនៃផលបូកពីផ្នែកខាងឆ្វេង៖

ប្រសិនបើអក្ខរក្រមនៃប្រព័ន្ធទំនាក់ទំនងមាននិមិត្តសញ្ញា q បន្ទាប់មកទទួលយកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបញ្ជូននិមិត្តសញ្ញានីមួយៗ qi = 1/q និងការជំនួស q យើងទទួលបានពីវិសមភាព Gibbs

រូបភាពទី 13.I

នេះមានន័យថាប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបញ្ជូននិមិត្តសញ្ញា q ទាំងអស់គឺដូចគ្នានិងស្មើនឹង - 1 / q នោះ entropy អតិបរមាគឺស្មើនឹង ln q បើមិនដូច្នេះទេវិសមភាពរក្សា។

នៅក្នុងករណីនៃកូដដែលអាចឌិកូដបានតែមួយគត់ យើងមានវិសមភាពរបស់ Kraft

ឥឡូវនេះប្រសិនបើយើងកំណត់ pseudo-probabilities

ដែលជាកន្លែងដែលជាការពិត = 1 ដែលតាមពីវិសមភាពរបស់ Gibbs

ហើយអនុវត្តពិជគណិតតិចតួច (សូមចាំថា K ≤ 1 ដូច្នេះយើងអាចទម្លាក់ពាក្យលោការីត ហើយប្រហែលជាពង្រឹងវិសមភាពនៅពេលក្រោយ) យើងទទួលបាន

ដែល L ជាប្រវែងកូដមធ្យម។

ដូច្នេះ entropy គឺជាដែនកំណត់អប្បបរមាសម្រាប់កូដតួអក្សរដោយនិមិត្តសញ្ញាណាមួយដែលមានប្រវែងពាក្យកូដជាមធ្យម L. នេះគឺជាទ្រឹស្ដីរបស់ Shannon សម្រាប់ឆានែលដែលគ្មានការជ្រៀតជ្រែក។

ឥឡូវនេះពិចារណាទ្រឹស្តីបទចម្បងអំពីដែនកំណត់នៃប្រព័ន្ធទំនាក់ទំនងដែលព័ត៌មានត្រូវបានបញ្ជូនជាស្ទ្រីមនៃប៊ីតឯករាជ្យនិងសំលេងរំខានមានវត្តមាន។ វាត្រូវបានគេយល់ថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបញ្ជូនត្រឹមត្រូវនៃប៊ីតគឺ P> 1/2 ហើយប្រូបាប៊ីលីតេដែលតម្លៃប៊ីតនឹងត្រូវបានដាក់បញ្ច្រាសកំឡុងពេលបញ្ជូន (កំហុសនឹងកើតឡើង) គឺស្មើនឹង Q = 1 - P ។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើង សន្មតថាកំហុសគឺឯករាជ្យហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំហុសគឺដូចគ្នាសម្រាប់ប៊ីតនីមួយៗដែលបានផ្ញើ - នោះគឺមាន "សំលេងរំខានពណ៌ស" នៅក្នុងបណ្តាញទំនាក់ទំនង។

របៀបដែលយើងមានស្ទ្រីមដ៏វែងនៃ n ប៊ីតដែលត្រូវបានអ៊ិនកូដទៅក្នុងសារមួយគឺផ្នែកបន្ថែមទំហំ n នៃកូដមួយប៊ីត។ យើងនឹងកំណត់តម្លៃនៃ n នៅពេលក្រោយ។ ពិចារណាសារដែលមាន n-bits ជាចំនុចមួយក្នុងលំហ n-dimensional។ ដោយសារយើងមានចន្លោះ n-dimensional - ហើយសម្រាប់ភាពសាមញ្ញ យើងនឹងសន្មត់ថាសារនីមួយៗមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងដូចគ្នា - មានសារដែលអាចធ្វើទៅបាន (M ក៏នឹងត្រូវបានកំណត់នៅពេលក្រោយ) ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃសារណាមួយដែលបានផ្ញើគឺ

(អ្នកផ្ញើ)
កាលវិភាគ 13.II

បន្ទាប់ពិចារណាគំនិតនៃសមត្ថភាពឆានែល។ ដោយមិនចូលទៅក្នុងព័ត៌មានលម្អិត សមត្ថភាពឆានែលត្រូវបានកំណត់ថាជាចំនួនអតិបរមានៃព័ត៌មានដែលអាចត្រូវបានបញ្ជូនដោយភាពជឿជាក់លើបណ្តាញទំនាក់ទំនង ដោយគិតគូរពីការប្រើប្រាស់ការសរសេរកូដប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពបំផុត។ មិនមានអំណះអំណាងដែលថាព័ត៌មានបន្ថែមអាចត្រូវបានបញ្ជូនតាមរយៈបណ្តាញទំនាក់ទំនងលើសពីសមត្ថភាពរបស់វានោះទេ។ នេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់ឆានែលស៊ីមេទ្រីគោលពីរ (ដែលយើងប្រើក្នុងករណីរបស់យើង) ។ សមត្ថភាពឆានែលនៅពេលផ្ញើប៊ីតត្រូវបានបញ្ជាក់ជា

ដែលជាកន្លែងដែលដូចពីមុន P គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការមិនមានកំហុសនៅក្នុងប៊ីតដែលបានផ្ញើណាមួយ។ នៅពេលផ្ញើ n ប៊ីតឯករាជ្យ សមត្ថភាពឆានែលត្រូវបានផ្តល់ដោយ

ប្រសិនបើយើងនៅជិតសមត្ថភាពឆានែល នោះយើងត្រូវតែបញ្ជូនព័ត៌មានស្ទើរតែនេះសម្រាប់និមិត្តសញ្ញានីមួយៗ ai, i = 1, ..., M. ដោយពិចារណាថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃនិមិត្តសញ្ញានីមួយៗគឺ 1 / M, យើង​ទទួល​បាន

នៅពេលដែលយើងផ្ញើសារ M ណាមួយដែលទំនងដូចគ្នា ai យើងមាន

នៅពេល n ប៊ីតត្រូវបានផ្ញើ យើងរំពឹងថាកំហុស nQ នឹងកើតឡើង។ នៅក្នុងការអនុវត្ត សម្រាប់សារដែលមាន n-bits យើងនឹងមានកំហុស nQ ប្រហែលនៅក្នុងសារដែលបានទទួល។ សម្រាប់ n ធំ បំរែបំរួលដែលទាក់ទង (បំរែបំរួល = ទទឹងចែកចាយ, )
ការចែកចាយនៃចំនួនកំហុសនឹងកាន់តែតូចចង្អៀតនៅពេលដែល n កើនឡើង។

ដូច្នេះ ពីផ្នែកបញ្ជូនខ្ញុំយកសារ ai ដើម្បីផ្ញើ និងគូសរង្វង់ជុំវិញវាដោយកាំ

ដែលមានទំហំធំជាងបន្តិចដោយបរិមាណស្មើនឹង e2 ជាងចំនួនដែលរំពឹងទុកនៃកំហុស Q, (រូបភាព 13.II) ។ ប្រសិនបើ n ធំល្មម នោះមានប្រូបាប៊ីលីតេតូចតាមអំពើចិត្តនៃចំណុចសារ bj លេចឡើងនៅផ្នែកអ្នកទទួលដែលលាតសន្ធឹងហួសពីរង្វង់នេះ។ ចូរគូសវាសស្ថានភាពដូចដែលខ្ញុំឃើញវាពីចំណុចនៃទិដ្ឋភាពនៃឧបករណ៍បញ្ជូន៖ យើងមានរ៉ាឌីណាមួយពីសារដែលបានបញ្ជូន ai ទៅកាន់សារដែលបានទទួល bj ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំហុសស្មើនឹង (ឬស្ទើរតែស្មើ) ទៅនឹងការចែកចាយធម្មតា ឈានដល់អតិបរមា នៃ nQ ។ សម្រាប់ e2 ណាមួយដែលមាន n ធំដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំណុចលទ្ធផល bj នៅខាងក្រៅរង្វង់របស់ខ្ញុំគឺតូចតាមដែលអ្នកចូលចិត្ត។

ឥឡូវនេះសូមមើលស្ថានភាពដូចគ្នាពីខាងរបស់អ្នក (រូបភាព 13.III) ។ នៅផ្នែកអ្នកទទួលមាន Sphere S(r) នៃកាំដូចគ្នា r ជុំវិញចំនុចដែលទទួល bj ក្នុង n-dimensional space ដូចជាប្រសិនបើសារដែលបានទទួល bj ស្ថិតនៅក្នុងរង្វង់របស់ខ្ញុំ នោះសារដែល ai ផ្ញើដោយខ្ញុំគឺនៅខាងក្នុងរបស់អ្នក។ ស្វ៊ែរ។

តើកំហុសអាចកើតឡើងដោយរបៀបណា? កំហុសអាចកើតឡើងនៅក្នុងករណីដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងតារាងខាងក្រោម៖

រូបភាព 13.III

នៅទីនេះយើងឃើញថាប្រសិនបើនៅក្នុងរង្វង់ដែលបង្កើតនៅជុំវិញចំណុចដែលទទួលបានមានយ៉ាងហោចណាស់មួយចំណុចទៀតដែលត្រូវគ្នានឹងសារដែលមិនបានអ៊ិនកូដដែលអាចផ្ញើបាន នោះមានកំហុសកើតឡើងអំឡុងពេលបញ្ជូន ដោយសារអ្នកមិនអាចកំណត់ថាសារណាមួយត្រូវបានបញ្ជូន។ សារដែលបានផ្ញើគឺគ្មានកំហុស លុះត្រាតែចំណុចដែលត្រូវគ្នានឹងវាស្ថិតនៅក្នុងស្វ៊ែរ ហើយមិនមានចំណុចផ្សេងទៀតដែលអាចធ្វើទៅបាននៅក្នុងកូដដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលស្ថិតនៅក្នុងស្វ៊ែរតែមួយនោះទេ។

យើងមានសមីការគណិតវិទ្យាសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំហុស Pe ប្រសិនបើសារ ai ត្រូវបានផ្ញើ

យើង​អាច​បោះចោល​កត្តា​ទី​មួយ​ក្នុង​ពាក្យ​ទី​ពីរ ដោយ​យក​វា​ជា 1. ដូច្នេះ​យើង​ទទួលបាន​វិសមភាព

វាច្បាស់ណាស់

ដូច្នេះ

អនុវត្តម្តងទៀតទៅពាក្យចុងក្រោយនៅខាងស្តាំ

យក n ធំល្មម ពាក្យទីមួយអាចយកតូចតាមចិត្តចង់ និយាយតិចជាងលេខខ្លះ ឃ។ ដូច្នេះយើងមាន

ឥឡូវនេះសូមមើលពីរបៀបដែលយើងអាចបង្កើតកូដជំនួសសាមញ្ញដើម្បីអ៊ិនកូដសារ M ដែលមាន n ប៊ីត។ ដោយមិនដឹងថាត្រូវបង្កើតកូដដោយរបៀបណាទេ (លេខកូដកែកំហុសមិនទាន់ត្រូវបានបង្កើត) Shannon បានជ្រើសរើសការសរសេរកូដចៃដន្យ។ ត្រឡប់កាក់មួយសម្រាប់ n ប៊ីតនីមួយៗក្នុងសារ ហើយដំណើរការម្តងទៀតសម្រាប់សារ M ។ សរុបមក ការបង្វិលកាក់ nM ត្រូវធ្វើ ដូច្នេះវាអាចទៅរួច

វចនានុក្រមកូដដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា ½nM ។ ជាការពិតណាស់ ដំណើរការចៃដន្យនៃការបង្កើតសៀវភៅកូដមានន័យថា មានលទ្ធភាពនៃការចម្លងគ្នា ក៏ដូចជាចំណុចកូដដែលនឹងនៅជិតគ្នា ដូច្នេះហើយជាប្រភពនៃកំហុសដែលអាចកើតមាន។ មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើវាមិនកើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេធំជាងកម្រិតកំហុសដែលបានជ្រើសរើសតូចណាមួយ នោះ n ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺធំគ្រប់គ្រាន់។
ចំណុចសំខាន់គឺថា Shannon ជាមធ្យមមានសៀវភៅកូដដែលអាចមានទាំងអស់ដើម្បីស្វែងរកកំហុសមធ្យម! យើងនឹងប្រើនិមិត្តសញ្ញា Av[.] ដើម្បីបញ្ជាក់តម្លៃមធ្យមលើសំណុំនៃសៀវភៅកូដចៃដន្យដែលអាចកើតមានទាំងអស់។ ជាមធ្យមលើសពីចំនួនថេរ d ជាការពិត ផ្តល់ចំនួនថេរ ព្រោះថាជាមធ្យមពាក្យនីមួយៗគឺដូចគ្នាទៅនឹងពាក្យផ្សេងទៀតនៅក្នុងផលបូក។

ដែលអាចកើនឡើង (M-1 ទៅ M)

សម្រាប់សារដែលបានផ្តល់ឱ្យណាមួយ នៅពេលជាមធ្យមនៅទូទាំងសៀវភៅកូដទាំងអស់ ការអ៊ិនកូដដំណើរការតាមរយៈតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេជាមធ្យមដែលចំណុចមួយស្ថិតនៅក្នុងស្វ៊ែរ គឺជាសមាមាត្រនៃបរិមាណនៃលំហទៅនឹងទំហំសរុប។ បរិមាណនៃស្វ៊ែរគឺ

ដែល s=Q+e2 <1/2 និង ns ត្រូវតែជាចំនួនគត់។

ពាក្យចុងក្រោយនៅខាងស្តាំគឺធំបំផុតនៅក្នុងផលបូកនេះ។ ដំបូង ចូរយើងប៉ាន់ស្មានតម្លៃរបស់វាដោយប្រើរូបមន្ត Stirling សម្រាប់ហ្វាក់តូរីស។ បន្ទាប់មកយើងនឹងពិនិត្យមើលមេគុណថយចុះនៃពាក្យនៅពីមុខវា ចំណាំថាមេគុណនេះកើនឡើងនៅពេលយើងផ្លាស់ទីទៅខាងឆ្វេង ហើយដូច្នេះយើងអាច៖ (1) ដាក់កម្រិតតម្លៃនៃផលបូកទៅផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយ មេគុណដំបូងនេះ (2) ពង្រីកការវិវត្តធរណីមាត្រពីពាក្យ ns ទៅជាចំនួនគ្មានកំណត់នៃពាក្យ (3) គណនាផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគ្មានកំណត់ (ពិជគណិតស្តង់ដារ គ្មានអ្វីសំខាន់ទេ) ហើយចុងក្រោយទទួលបានតម្លៃកំណត់ (សម្រាប់ទំហំធំគ្រប់គ្រាន់។ n):

សូមកត់សម្គាល់ពីរបៀបដែល entropy H (s) បានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងអត្តសញ្ញាណ binomial ។ ចំណាំថាការពង្រីកស៊េរី Taylor H(s)=H(Q+e2) ផ្តល់នូវការប៉ាន់ប្រមាណដែលទទួលបានដោយគិតតែពីដេរីវេទី XNUMX ហើយមិនអើពើអ្វីផ្សេងទៀតទាំងអស់។ ឥឡូវ​យើង​ដាក់​កន្សោម​ចុង​ក្រោយ​រួម​គ្នា៖

ដែលជាកន្លែងដែល

អ្វីទាំងអស់ដែលយើងត្រូវធ្វើគឺជ្រើសរើស e2 នោះ e3 < e1 ហើយបន្ទាប់មកពាក្យចុងក្រោយនឹងតូចតាមអំពើចិត្ត ដរាបណា n ធំល្មម។ អាស្រ័យហេតុនេះ កំហុស PE ជាមធ្យមអាចទទួលបានតូចតាមការចង់បានជាមួយនឹងសមត្ថភាពឆានែលតាមអំពើចិត្តនៅជិត C ។
ប្រសិនបើជាមធ្យមនៃកូដទាំងអស់មានកំហុសតូចល្មម នោះយ៉ាងហោចណាស់លេខកូដមួយត្រូវតែសមរម្យ ដូច្នេះហើយយ៉ាងហោចណាស់មានប្រព័ន្ធសរសេរកូដសមរម្យមួយ។ នេះគឺជាលទ្ធផលដ៏សំខាន់មួយដែលទទួលបានដោយ Shannon - "ទ្រឹស្តីបទរបស់ Shannon សម្រាប់ឆានែលគ្មានសម្លេង" ទោះបីជាវាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាគាត់បានបង្ហាញពីករណីទូទៅច្រើនជាងសម្រាប់ឆានែលស៊ីមេទ្រីគោលពីរសាមញ្ញដែលខ្ញុំបានប្រើ។ សម្រាប់ករណីទូទៅ ការគណនាគណិតវិទ្យាមានភាពស្មុគស្មាញជាង ប៉ុន្តែគំនិតមិនខុសគ្នាប៉ុន្មានទេ ដូច្នេះជាញឹកញាប់ ដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃករណីជាក់លាក់ណាមួយ អ្នកអាចបង្ហាញអត្ថន័យពិតនៃទ្រឹស្តីបទ។

ចូរយើងរិះគន់លទ្ធផល។ យើងបាននិយាយម្តងហើយម្តងទៀតថា "សម្រាប់ទំហំធំគ្រប់គ្រាន់។ ប៉ុន្តែតើ n មានទំហំប៉ុនណា? ធំខ្លាំងណាស់ ប្រសិនបើអ្នកពិតជាចង់នៅជិតសមត្ថភាពឆានែល ហើយត្រូវប្រាកដថាការផ្ទេរទិន្នន័យត្រឹមត្រូវ! តាមពិតទៅ មានទំហំធំណាស់ ដែលអ្នកត្រូវរង់ចាំរយៈពេលយូរ ដើម្បីប្រមូលសារនៃប៊ីតគ្រប់គ្រាន់ ដើម្បីអ៊ិនកូដវានៅពេលក្រោយ។ ក្នុងករណីនេះទំហំនៃវចនានុក្រមកូដចៃដន្យនឹងមានទំហំធំ (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ វចនានុក្រមបែបនេះមិនអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ខ្លីជាងបញ្ជីពេញលេញនៃ Mn ប៊ីតទាំងអស់ បើទោះបីជា n និង M មានទំហំធំណាស់ក៏ដោយ)!

កំហុសកែកូដជៀសវាងការរង់ចាំសារយូរពេក ហើយបន្ទាប់មកអ៊ិនកូដ និងឌិកូដវាតាមរយៈសៀវភៅកូដធំៗ ព្រោះវាជៀសវាងសៀវភៅកូដដោយខ្លួនឯង ហើយប្រើការគណនាធម្មតាជំនួសវិញ។ តាមទ្រឹស្តីសាមញ្ញ កូដបែបនេះមានទំនោរបាត់បង់សមត្ថភាពក្នុងការចូលទៅជិតសមត្ថភាពឆានែល ហើយនៅតែរក្សាអត្រាកំហុសទាប ប៉ុន្តែនៅពេលដែលកូដកែកំហុសមួយចំនួនធំ ពួកវាដំណើរការបានល្អ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើអ្នកបែងចែកសមត្ថភាពឆានែលមួយចំនួនដើម្បីកែកំហុស នោះអ្នកត្រូវតែប្រើសមត្ថភាពកែកំហុសដែលភាគច្រើនបំផុត ពោលគឺ កំហុសមួយចំនួនធំត្រូវតែកែតម្រូវក្នុងសារនីមួយៗដែលបានផ្ញើ បើមិនដូច្នេះទេអ្នកនឹងបាត់បង់សមត្ថភាពនេះ។

ទន្ទឹមនឹងនោះ ទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្ហាញខាងលើនៅតែគ្មានន័យ! វាបង្ហាញថាប្រព័ន្ធបញ្ជូនប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពត្រូវតែប្រើគ្រោងការណ៍អ៊ិនកូដដ៏ឆ្លាតវៃសម្រាប់ខ្សែប៊ីតវែង។ ឧទាហរណ៍មួយគឺផ្កាយរណបដែលបានហោះហើរហួសពីភពខាងក្រៅ។ នៅពេលដែលពួកវាផ្លាស់ទីឆ្ងាយពីផែនដី និងព្រះអាទិត្យ ពួកគេត្រូវបានបង្ខំឱ្យកែកំហុសកាន់តែច្រើនឡើងៗនៅក្នុងប្លុកទិន្នន័យ៖ ផ្កាយរណបខ្លះប្រើបន្ទះស្រូបពន្លឺព្រះអាទិត្យដែលផ្តល់ថាមពលប្រហែល 5 W ខ្លះទៀតប្រើប្រភពថាមពលនុយក្លេអ៊ែរ ដែលផ្តល់ថាមពលដូចគ្នា។ ថាមពលទាបនៃការផ្គត់ផ្គង់ថាមពល ទំហំតូចនៃចានបញ្ជូន និងទំហំកំណត់នៃចានអ្នកទទួលនៅលើផែនដី ចម្ងាយដ៏ធំសម្បើមដែលសញ្ញាត្រូវធ្វើដំណើរ - ទាំងអស់នេះតម្រូវឱ្យមានការប្រើប្រាស់លេខកូដដែលមានកម្រិតខ្ពស់នៃការកែកំហុសដើម្បីបង្កើត ប្រព័ន្ធទំនាក់ទំនងប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព។

ចូរយើងត្រលប់ទៅលំហ n-dimensional ដែលយើងបានប្រើក្នុងភស្តុតាងខាងលើ។ ក្នុងការពិភាក្សាវា យើងបានបង្ហាញថាស្ទើរតែទំហំទាំងមូលនៃស្វ៊ែរត្រូវបានប្រមូលផ្តុំនៅជិតផ្ទៃខាងក្រៅ - ដូច្នេះវាស្ទើរតែប្រាកដណាស់ថាសញ្ញាដែលបានផ្ញើនឹងមានទីតាំងនៅជិតផ្ទៃនៃស្វ៊ែរដែលបានសាងសង់ជុំវិញសញ្ញាដែលទទួលបាន ទោះបីជាមានទំនាក់ទំនងក៏ដោយ។ កាំតូចមួយនៃរង្វង់បែបនេះ។ ដូច្នេះវាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលសញ្ញាដែលទទួលបានបន្ទាប់ពីការកែកំហុសមួយចំនួនធំតាមអំពើចិត្ត nQ ប្រែទៅជាជិតនឹងសញ្ញាដោយគ្មានកំហុស។ សមត្ថភាពភ្ជាប់ដែលយើងបានពិភាក្សាពីមុនគឺជាគន្លឹះក្នុងការយល់ដឹងអំពីបាតុភូតនេះ។ ចំណាំថាលំហស្រដៀងគ្នាដែលបានសាងសង់សម្រាប់ការកែកំហុសកូដ Hamming មិនត្រួតលើគ្នាទេ។ ចំនួនដ៏ធំនៃវិមាត្រជិតរាងពងក្រពើនៅក្នុងលំហ n-dimensional បង្ហាញពីមូលហេតុដែលយើងអាចបំពាក់ M spheres ក្នុងលំហដោយមានការត្រួតគ្នាតិចតួច។ ប្រសិនបើយើងអនុញ្ញាតការត្រួតគ្នាតូចតាចតាមអំពើចិត្ត ដែលអាចនាំអោយមានកំហុសមួយចំនួនតូចកំឡុងពេលឌិកូដ នោះយើងអាចទទួលបានកន្លែងដាក់ក្រាស់នៃស្វ៊ែរក្នុងលំហ។ Hamming ធានានូវកម្រិតជាក់លាក់នៃការកែកំហុស Shannon - ប្រូបាប៊ីលីតេទាបនៃកំហុស ប៉ុន្តែក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះការរក្សានូវចរន្តជាក់ស្តែងដោយបំពានដោយបំពានទៅនឹងសមត្ថភាពនៃបណ្តាញទំនាក់ទំនង ដែលកូដ Hamming មិនអាចធ្វើបាន។

ទ្រឹស្ដីព័ត៌មានមិនប្រាប់យើងពីរបៀបរចនាប្រព័ន្ធប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពនោះទេ ប៉ុន្តែវាចង្អុលបង្ហាញផ្លូវឆ្ពោះទៅរកប្រព័ន្ធទំនាក់ទំនងប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព។ វាគឺជាឧបករណ៍ដ៏មានតម្លៃសម្រាប់បង្កើតប្រព័ន្ធទំនាក់ទំនងពីម៉ាស៊ីនមួយទៅម៉ាស៊ីន ប៉ុន្តែដូចដែលបានកត់សម្គាល់ពីមុនមក វាមានទំនាក់ទំនងតិចតួចចំពោះរបៀបដែលមនុស្សទាក់ទងគ្នាទៅវិញទៅមក។ វិសាលភាពនៃមរតកជីវសាស្រ្តគឺដូចជាប្រព័ន្ធទំនាក់ទំនងបច្ចេកទេសគឺមិនច្បាស់នោះទេ ដូច្នេះបច្ចុប្បន្នវាមិនច្បាស់ថាតើទ្រឹស្តីព័ត៌មានអនុវត្តចំពោះហ្សែនយ៉ាងដូចម្តេចនោះទេ។ យើងគ្មានជម្រើសអ្វីក្រៅពីព្យាយាមទេ ហើយប្រសិនបើភាពជោគជ័យបង្ហាញយើងពីធម្មជាតិដូចម៉ាស៊ីននៃបាតុភូតនេះ នោះការបរាជ័យនឹងចង្អុលទៅទិដ្ឋភាពសំខាន់ៗផ្សេងទៀតនៃធម្មជាតិនៃព័ត៌មាន។

ចូរ​យើង​កុំ​ច្របូកច្របល់​ពេក។ យើងបានឃើញថា និយមន័យដើមទាំងអស់ ក្នុងកម្រិតធំ ឬតិចជាង ត្រូវតែបង្ហាញពីខ្លឹមសារនៃជំនឿដើមរបស់យើង ប៉ុន្តែពួកវាត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយខ្លះ ដូច្នេះហើយមិនអាចអនុវត្តបានទេ។ វាត្រូវបានទទួលយកជាប្រពៃណីថា ទីបំផុតនិយមន័យដែលយើងប្រើពិតជាកំណត់ខ្លឹមសារ។ ប៉ុន្តែ នេះគ្រាន់តែប្រាប់យើងពីវិធីកែច្នៃ និងគ្មានន័យអ្វីដល់យើងទេ។ វិធីសាស្រ្ត postulational ដែលពេញចិត្តយ៉ាងខ្លាំងនៅក្នុងរង្វង់គណិតវិទ្យា ទុកឱ្យមនុស្សជាច្រើនចង់បានក្នុងការអនុវត្ត។

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍នៃការធ្វើតេស្ត IQ ដែលនិយមន័យគឺរាងជារង្វង់ដូចដែលអ្នកចង់ឱ្យវាក្លាយជា ហើយជាលទ្ធផល ការយល់ច្រឡំ។ ការធ្វើតេស្តត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលសន្មត់ថាវាស់ស្ទង់ភាពវៃឆ្លាត។ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានកែសម្រួលដើម្បីធ្វើឱ្យវាមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ហើយបន្ទាប់មកវាត្រូវបានបោះពុម្ព ហើយតាមវិធីសាមញ្ញមួយ ក្រិតតាមខ្នាត ដូច្នេះការវាស់វែង "ភាពវៃឆ្លាត" ប្រែទៅជាត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតា (នៅលើខ្សែកោងនៃការក្រិតតាមខ្នាត)។ និយមន័យទាំងអស់ត្រូវតែត្រូវបានពិនិត្យឡើងវិញ មិនត្រឹមតែនៅពេលដែលពួកគេត្រូវបានស្នើឡើងជាលើកដំបូងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែនៅពេលក្រោយទៀតផងដែរ នៅពេលដែលពួកវាត្រូវបានប្រើនៅក្នុងការសន្និដ្ឋានដែលបានគូរ។ តើការកំណត់ព្រំដែនសមស្របកម្រិតណាសម្រាប់បញ្ហាដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយ? តើ​និយមន័យ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​ការ​កំណត់​មួយ​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត​ក្នុង​ការ​កំណត់​ខុស​គ្នា​ប៉ុន្មាន​ដង? រឿងនេះកើតឡើងញឹកញាប់ណាស់! នៅក្នុងមនុស្សជាតិ ដែលអ្នកនឹងជួបប្រទះដោយជៀសមិនរួចនៅក្នុងជីវិតរបស់អ្នក វាកើតឡើងញឹកញាប់ជាង។

ដូច្នេះ គោលបំណងមួយនៃការបង្ហាញទ្រឹស្តីព័ត៌មាននេះ បន្ថែមពីលើការបង្ហាញពីអត្ថប្រយោជន៍របស់វា គឺដើម្បីព្រមានអ្នកអំពីគ្រោះថ្នាក់នេះ ឬបង្ហាញអ្នកឱ្យច្បាស់អំពីរបៀបប្រើវាដើម្បីទទួលបានលទ្ធផលដែលចង់បាន។ វាត្រូវបានកត់សម្គាល់ជាយូរមកហើយថានិយមន័យដំបូងកំណត់អ្វីដែលអ្នករកឃើញនៅទីបញ្ចប់ក្នុងកម្រិតធំជាងវាហាក់ដូចជា។ និយមន័យដំបូងតម្រូវឱ្យមានការយកចិត្តទុកដាក់ច្រើនពីអ្នក មិនត្រឹមតែនៅក្នុងស្ថានភាពថ្មីណាមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏នៅក្នុងផ្នែកដែលអ្នកបានធ្វើការជាយូរមកហើយផងដែរ។ នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកយល់ពីកម្រិតណាដែលលទ្ធផលដែលទទួលបានគឺជា tautology និងមិនមែនជាអ្វីដែលមានប្រយោជន៍។

រឿងដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Eddington ប្រាប់ពីមនុស្សដែលស្ទូចត្រីក្នុងសមុទ្រដោយប្រើសំណាញ់។ បន្ទាប់ពីសិក្សាពីទំហំត្រីដែលចាប់បាន ពួកគេបានកំណត់ទំហំត្រីអប្បបរមាដែលត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសមុទ្រ! ការសន្និដ្ឋានរបស់ពួកគេត្រូវបានជំរុញដោយឧបករណ៍ដែលបានប្រើ មិនមែនដោយការពិតនោះទេ។

នៅ​មាន​ជា​បន្ត​ទៀត…

តើអ្នកណាដែលចង់ជួយក្នុងការបកប្រែ ប្លង់ និងការបោះពុម្ពសៀវភៅ - សរសេរក្នុងសារផ្ទាល់ខ្លួន ឬអ៊ីមែល [អ៊ីមែលការពារ]

ដោយវិធីនេះ យើងក៏បានបើកការបកប្រែសៀវភៅដ៏ត្រជាក់មួយទៀត - "ម៉ាស៊ីនសុបិន៖ រឿងនៃបដិវត្តកុំព្យូទ័រ")

យើងកំពុងស្វែងរកជាពិសេស អ្នកដែលនឹងជួយបកប្រែ ជំពូកប្រាក់រង្វាន់ ដែលមានតែនៅលើវីដេអូប៉ុណ្ណោះ។, (ផ្ទេររយៈពេល 10 នាទី 20 ដំបូងត្រូវបានគេយករួចហើយ)

ខ្លឹមសារនៃសៀវភៅ និងជំពូកដែលបានបកប្រែបុព្វកថា

1. Intro to The Art of Doing Science and Engineering: រៀនដើម្បីរៀន (ថ្ងៃទី 28 ខែមីនា ឆ្នាំ 1995) ការបកប្រែ៖ ជំពូកទី 1
2. "មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃបដិវត្តន៍ឌីជីថល (ដាច់ដោយឡែក)" (ថ្ងៃទី 30 ខែមីនា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 2. មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃបដិវត្តន៍ឌីជីថល (ដាច់ដោយឡែក)
3. "ប្រវត្តិកុំព្យូទ័រ-ផ្នែករឹង" (ថ្ងៃទី ៣១ ខែមីនា ឆ្នាំ ១៩៩៥) ជំពូកទី 3. ប្រវត្តិកុំព្យូទ័រ - ផ្នែករឹង
4. "ប្រវត្តិសាស្រ្តនៃកុំព្យូទ័រ - កម្មវិធី" (ខែមេសា 4, 1995) ជំពូកទី 4. ប្រវត្តិនៃកុំព្យូទ័រ - កម្មវិធី
5. "ប្រវត្តិកុំព្យូទ័រ - កម្មវិធី" (ថ្ងៃទី 6 ខែមេសា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 5: ប្រវត្តិនៃកុំព្យូទ័រ - ការអនុវត្តន៍ជាក់ស្តែង
6. "ប្រាជ្ញាសិប្បនិម្មិត - ផ្នែកទី 7" (ថ្ងៃទី 1995 ខែមេសា ឆ្នាំ XNUMX) ជំពូកទី 6. បញ្ញាសិប្បនិមិត្ត - ១
7. "បញ្ញាសិប្បនិម្មិត - ផ្នែកទី II" (ថ្ងៃទី 11 ខែមេសា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 7. បញ្ញាសិប្បនិម្មិត - II
8. "Artificial Intelligence III" (ថ្ងៃទី 13 ខែមេសា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 8. Artificial Intelligence-III
9. "n-Dimensional Space" (ថ្ងៃទី 14 ខែមេសា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 9. N-dimensional space
10. "ទ្រឹស្តីសរសេរកូដ - តំណាងនៃព័ត៌មាន, ផ្នែកទី 18" (ថ្ងៃទី 1995 ខែមេសា ឆ្នាំ XNUMX) ជំពូកទី 10. ទ្រឹស្តីសរសេរកូដ - I
11. "ទ្រឹស្តីសរសេរកូដ - តំណាងនៃព័ត៌មាន វគ្គ II" (ថ្ងៃទី 20 ខែមេសា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 11. ទ្រឹស្ដីសរសេរកូដ - II
12. "ការកែកូដកំហុស" (ថ្ងៃទី 21 ខែមេសា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 12. លេខកូដកែកំហុស
13. "ទ្រឹស្តីព័ត៌មាន" (២៥ មេសា ១៩៩៥) ជំពូកទី 13. ទ្រឹស្ដីព័ត៌មាន
14. "តម្រងឌីជីថល ផ្នែកទី 27" (ថ្ងៃទី 1995 ខែមេសា ឆ្នាំ XNUMX) ជំពូកទី 14. តម្រងឌីជីថល - 1
15. "តម្រងឌីជីថល ផ្នែកទី II" (ថ្ងៃទី 28 ខែមេសា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 15. តម្រងឌីជីថល - 2
16. "តម្រងឌីជីថល ផ្នែកទី III" (ថ្ងៃទី 2 ខែឧសភា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 16. តម្រងឌីជីថល - 3
17. "តម្រងឌីជីថល ផ្នែកទី IV" (ថ្ងៃទី 4 ខែឧសភា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 17. តម្រងឌីជីថល - IV
18. "ការ​ក្លែង​ធ្វើ​ផ្នែក​ទី I" (ឧសភា 5, 1995) ជំពូកទី 18. ការធ្វើគំរូ - I
19. "ការ​ធ្វើ​ត្រាប់​តាម​ផ្នែក​ទី II" (ថ្ងៃទី 9 ខែ​ឧសភា ឆ្នាំ 1995) ជំពូក 19. គំរូ - II
20. "ការក្លែងធ្វើ, ផ្នែកទី III" (ថ្ងៃទី 11 ខែឧសភា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 20. គំរូ - III
21. "Fiber Optics" (ថ្ងៃទី 12 ខែឧសភា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 21. ខ្សែកាបអុបទិក
22. «ការ​ណែនាំ​ដែល​មាន​ជំនួយ​ដោយ​កុំព្យូទ័រ» (ថ្ងៃទី ១៦ ខែ ឧសភា ឆ្នាំ ១៩៩៥) ជំពូកទី 22៖ ការណែនាំកុំព្យូទ័រជំនួយ (CAI)
23. "គណិតវិទ្យា" (១៨ ឧសភា ១៩៩៥) ជំពូកទី 23. គណិតវិទ្យា
24. "Quantum Mechanics" (ថ្ងៃទី 19 ខែឧសភា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 24. មេកានិចកង់ទិច
25. "ការច្នៃប្រឌិត" (ថ្ងៃទី 23 ឧសភា 1995) ។ ការបកប្រែ៖ ជំពូកទី 25. ការច្នៃប្រឌិត
26. "អ្នកជំនាញ" (ថ្ងៃទី 25 ឧសភា 1995) ជំពូកទី 26. អ្នកជំនាញ
27. "ទិន្នន័យមិនគួរឱ្យទុកចិត្ត" (ថ្ងៃទី 26 ឧសភា 1995) ជំពូកទី 27. ទិន្នន័យមិនគួរឱ្យទុកចិត្ត
28. "វិស្វកម្មប្រព័ន្ធ" (ថ្ងៃទី 30 ខែឧសភា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 28. វិស្វកម្មប្រព័ន្ធ
29. "អ្នកទទួលបានអ្វីដែលអ្នកវាស់វែង" (ថ្ងៃទី 1 ខែមិថុនា ឆ្នាំ 1995) ជំពូកទី 29: អ្នកទទួលបានអ្វីដែលអ្នកវាស់វែង
30. "តើយើងដឹងអ្វីខ្លះដែលយើងដឹង" (ខែមិថុនា 2, 1995) បកប្រែជាបំណែក 10 នាទី។
31. Hamming, “អ្នក និងការស្រាវជ្រាវរបស់អ្នក” (ថ្ងៃទី 6 ខែមិថុនា ឆ្នាំ 1995)។ ការបកប្រែ៖ អ្នកនិងការងាររបស់អ្នក។

តើអ្នកណាដែលចង់ជួយក្នុងការបកប្រែ ប្លង់ និងការបោះពុម្ពសៀវភៅ - សរសេរក្នុងសារផ្ទាល់ខ្លួន ឬអ៊ីមែល [អ៊ីមែលការពារ]

ប្រភព: www.habr.com