양자 컴퓨팅 원리 이해하기

"양자역학을 이해하는 사람은 아무도 없다고 자신 있게 말할 수 있을 것 같습니다." - 리처드 파인만

양자 컴퓨팅이라는 주제는 항상 기술 작가와 언론인을 매료시켜 왔습니다. 컴퓨터의 잠재력과 복잡성은 신비로운 분위기를 선사했습니다. 특집 기사와 인포그래픽은 이 업계의 다양한 전망을 자세히 설명하면서도 실제 적용 사례는 거의 다루지 않는 경우가 너무 많습니다. 이는 주의가 부족한 독자를 오도할 수 있습니다.

인기 있는 과학 기사에서는 양자 시스템에 대한 설명을 생략하고 다음과 같은 진술을 합니다.

일반 비트는 1 또는 0이 될 수 있지만 큐비트는 1과 0이 동시에 될 수 있습니다.

당신이 매우 운이 좋다면(확실하지는 않지만) 다음과 같은 말을 듣게 될 것입니다:

큐비트는 "1"과 "0" 사이의 중첩 상태에 있습니다.

우리는 매우 전통적인 세계에서 개발된 언어를 사용하여 양자역학적 현상을 공식화하려고 하기 때문에 이러한 설명 중 어느 것도 그럴듯해 보이지 않습니다. 양자 컴퓨팅의 원리를 명확하게 설명하려면 수학이라는 다른 언어를 사용해야 합니다. 

이 튜토리얼에서는 양자 컴퓨팅 시스템을 모델링하고 이해하는 데 필요한 수학적 도구는 물론 양자 컴퓨팅 논리를 설명하고 적용하는 방법도 다룹니다. 또한 양자 알고리즘의 예를 들어 기존 컴퓨터에 비해 장점이 무엇인지 알려 드리겠습니다.

나는 이 모든 것을 명확한 언어로 설명하기 위해 최선을 다할 것이지만, 여전히 이 기사의 독자들이 선형 대수와 디지털 논리에 대한 기본적인 이해를 갖기를 바랍니다. 여기에, 디지털 논리에 대해 - 여기에). 

먼저 디지털 논리의 원리를 살펴보겠습니다. 이는 계산을 수행하기 위해 전기 회로를 사용하는 것을 기반으로 합니다. 설명을 좀 더 추상적으로 만들기 위해 전선의 상태를 "켜짐" 또는 "꺼짐" 상태에 해당하는 "1" 또는 "0"으로 단순화하겠습니다. 특정 순서로 트랜지스터를 배열함으로써 하나 이상의 입력 신호 값을 가져와 특정 부울 논리 규칙에 따라 출력 신호로 변환하는 소위 논리 요소를 생성합니다.

공통 논리 게이트 및 해당 상태 테이블

이러한 기본 요소의 체인을 기반으로 더 복잡한 요소가 생성될 수 있으며, 더 복잡한 요소의 체인을 기반으로 궁극적으로 높은 수준의 추상화를 통해 중앙 프로세서의 아날로그를 얻을 수 있을 것으로 기대할 수 있습니다.

앞서 언급했듯이 디지털 논리를 수학적으로 표현하는 방법이 필요합니다. 먼저 수학적 전통논리를 소개해보자. 선형 대수학을 사용하면 값이 "1"과 "0"인 클래식 비트를 두 개의 열 벡터로 표현할 수 있습니다.

왼쪽 숫자는 어디에 있나요? 디랙 표기법 벡터. 이러한 방식으로 비트를 표현함으로써 벡터 변환을 사용하여 비트에 대한 논리 연산을 모델링할 수 있습니다. 참고: 논리 게이트에 0비트를 사용하면 많은 연산(AND, NOT, XOR 등)을 수행할 수 있지만 1비트를 사용하면 항등 변환, 부정, 상수 "0" 계산 및 1가지 연산만 수행할 수 있습니다. 상수 "1"을 계산합니다. 항등 변환을 사용하면 비트는 변경되지 않고 부정을 사용하면 비트 값이 반대("0"에서 "1"로 또는 "0"에서 "1"으로)로 변경되고 상수 "0"이 계산됩니다. 또는 "XNUMX"은 이전 값에 관계없이 비트를 "XNUMX" 또는 "XNUMX"으로 설정합니다.

통합 인증	정체성의 변화
부정	부정
상수-0	상수 "0" 계산
상수-1	상수 "1" 계산

우리가 제안한 새로운 비트 표현을 기반으로 벡터 변환을 사용하여 해당 비트에 대한 작업을 수행하는 것은 매우 쉽습니다.

더 나아가기 전에 개념을 살펴보겠습니다. 가역적 계산이는 단순히 연산이나 논리 요소의 가역성을 보장하기 위해서는 출력 신호와 사용된 연산의 이름을 기반으로 입력 신호 값의 목록을 결정해야 함을 의미합니다. 따라서 항등 변환과 부정은 가역적이지만 상수 "1"과 "0"을 계산하는 연산은 가역적이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 덕분에 단일성 양자 역학, 양자 컴퓨터는 독점적으로 가역적 연산을 사용하므로 이것이 우리가 집중할 것입니다. 다음으로 비가역 요소를 가역 요소로 변환하여 양자 컴퓨터에서 사용할 수 있도록 합니다.

과 텐서 곱 개별 비트는 여러 비트로 표현될 수 있습니다.

이제 필요한 수학적 개념을 거의 모두 갖추었으므로 첫 번째 양자 논리 게이트로 넘어가겠습니다. 이 사람은 운영자입니다 씨넷또는 제어된 Not(NOT)은 가역적 및 양자 컴퓨팅에서 매우 중요합니다. CNOT 요소는 1비트에 적용되며 0비트를 반환합니다. 첫 번째 비트는 "제어" 비트로 지정되고 두 번째 비트는 "제어" 비트로 지정됩니다. 제어 비트가 "XNUMX"로 설정되면 제어 비트의 값이 변경됩니다. 제어 비트가 "XNUMX"으로 설정되면 제어 비트가 변경되지 않습니다.

이 연산자는 다음 변환 벡터로 표현될 수 있습니다.

지금까지 다룬 모든 내용을 보여주기 위해 여러 비트에서 CNOT 요소를 사용하는 방법을 보여 드리겠습니다.

이미 말한 내용을 요약하면 첫 번째 예에서는 |10⟩을 텐서 곱의 일부로 분해하고 CNOT 행렬을 사용하여 해당 곱의 새로운 상태를 얻습니다. 그런 다음 앞서 제공된 CNOT 값 표에 따라 |11⟩로 인수분해합니다.

그래서 우리는 전통적인 컴퓨팅과 일반 비트를 이해하는 데 도움이 되는 모든 수학적 규칙을 기억했으며 마침내 현대 양자 컴퓨팅과 큐비트로 이동할 수 있습니다.

여기까지 읽으셨다면 좋은 소식이 있습니다. 큐비트는 수학적으로 쉽게 표현될 수 있습니다. 일반적으로 클래식 비트(cbit)를 |1⟩ 또는 |0⟩로 설정할 수 있는 경우 큐비트는 단순히 중첩 상태이며 측정 전에는 |0⟩ 및 |1⟩이 될 수 있습니다. 측정 후에는 |0⟩ 또는 |1⟩로 축소됩니다. 즉, 큐비트는 아래 수식에 따라 |0⟩과 |1⟩의 선형 조합으로 표현될 수 있습니다.

어디에서 ₀ и ₁ 는 각각 진폭 |0⟩ 및 |1⟩을 나타냅니다. 이는 큐비트가 측정된 후 상태 중 하나로 붕괴될 확률을 나타내는 "양자 확률"로 생각할 수 있습니다. 왜냐하면 양자 역학에서 중첩된 물체는 고정된 후 상태 중 하나로 붕괴되기 때문입니다. 이 표현식을 확장하여 다음을 얻습니다.

설명을 단순화하기 위해 이것이 이 기사에서 사용할 표현입니다.

이 큐비트의 경우 값이 붕괴될 확률은 ₀ 측정 후 |a₀|² 및 가치 하락 가능성 a₁는 |a₁|². 예를 들어 다음 큐비트의 경우:

"1"로 붕괴될 확률은 |1/ √2|², 즉 ½, 즉 50/50입니다.

고전 시스템에서는 모든 확률이 0이 되어야 하기 때문에(완전한 확률 분포를 위해) 진폭 |1⟩ 및 |XNUMX⟩의 절대값의 제곱이 XNUMX이 되어야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이 정보를 바탕으로 다음 방정식을 공식화할 수 있습니다.

삼각법에 익숙하다면 이 방정식이 피타고라스 정리(a²+b²=c²)에 해당한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 큐비트의 가능한 상태를 단위원의 점으로 그래픽으로 표현할 수 있습니다. 즉, 다음과 같습니다.

논리 연산자와 요소는 행렬 변환을 기반으로 기존 비트의 상황과 동일한 방식으로 큐비트에 적용됩니다. 지금까지 기억해낸 모든 역행렬 연산자, 특히 CNOT를 큐비트 작업에 사용할 수 있습니다. 이러한 행렬 연산자를 사용하면 큐비트를 측정하고 축소하지 않고도 큐비트의 각 진폭을 사용할 수 있습니다. 큐비트에서 부정 연산자를 사용하는 예를 들어 보겠습니다.

계속하기 전에 진폭 값이 a₀ 및 a₁ 실제로는 복소수따라서 큐비트의 상태는 다음과 같은 XNUMX차원 단위 구에 가장 정확하게 매핑될 수 있습니다. 벼룩 구:

그러나 설명을 단순화하기 위해 여기서는 실수로 제한하겠습니다.

이제 양자 컴퓨팅의 맥락에서만 의미가 있는 몇 가지 논리 요소를 논의할 때가 된 것 같습니다.

가장 중요한 연산자 중 하나는 "아다마르 요소"입니다. "0" 또는 "1" 상태의 비트를 가져와서 "50" 또는 "1"으로 붕괴할 확률이 0%인 적절한 중첩에 배치합니다. 측정 후. 

Hadamard 연산자의 오른쪽 하단에는 음수가 있습니다. 이는 연산자 적용 결과가 입력 신호 값(- |1⟩ 또는 |0⟩)에 따라 달라지므로 계산을 되돌릴 수 있기 때문입니다.

Hadamard 요소에 대한 또 다른 중요한 점은 가역성입니다. 즉, 적절한 중첩에서 큐비트를 가져와 |0⟩ 또는 |1⟩로 변환할 수 있습니다.

이는 큐비트의 상태를 결정하지 않고 그에 따라 이를 축소하지 않고 양자 상태에서 변환할 수 있는 기능을 제공하기 때문에 매우 중요합니다. 따라서 우리는 확률론적 원리가 아닌 결정론적 원리를 기반으로 양자 컴퓨팅을 구성할 수 있습니다.

실수만 포함하는 양자 연산자는 그 자체로 반대이므로 연산자를 큐비트에 적용한 결과를 상태 기계 형태의 단위원 내 변환으로 나타낼 수 있습니다.

따라서 위의 다이어그램에 표시된 상태의 큐비트는 Hadamard 연산을 적용한 후 해당 화살표로 표시된 상태로 변환됩니다. 마찬가지로, 아래와 같이 부정 연산자(Pauli 부정 연산자 또는 비트 반전이라고도 함)를 사용하여 큐비트 변환을 설명하는 또 다른 상태 머신을 구성할 수 있습니다.

큐비트에서 더 복잡한 작업을 수행하기 위해 여러 연산자를 연결하거나 요소를 여러 번 적용할 수 있습니다. 다음을 기반으로 하는 직렬 변환의 예 양자 회로 표현 다음과 같습니다 :

즉, 비트 |0⟩로 시작하여 비트 반전을 적용한 다음 Hadamard 연산, 또 다른 비트 반전, 다시 Hadamard 연산, 마지막 비트 반전을 적용하면 다음과 같은 벡터가 생성됩니다. 체인의 오른쪽. 서로 다른 상태 머신을 계층화함으로써 |0⟩에서 시작하여 각 변환에 해당하는 색상 화살표를 추적하여 모든 작동 방식을 이해할 수 있습니다.

여기까지 왔으므로 이제 양자 알고리즘 유형 중 하나를 고려해 볼 차례입니다. Deutsch-Jozsa 알고리즘, 클래식 컴퓨터에 비해 장점을 보여줍니다. Deutsch-Jozsa 알고리즘은 완전히 결정적입니다. 즉, 큐비트의 확률적 정의를 기반으로 하는 다른 많은 양자 알고리즘과 달리 100% 정답을 반환한다는 점은 주목할 가치가 있습니다.

0비트에 함수/연산자가 포함된 블랙박스가 있다고 가정해 보겠습니다. (기억하세요. 1비트에서는 항등 변환, 부정, 상수 "XNUMX" 평가 및 상수 "XNUMX 평가"라는 네 가지 작업만 수행할 수 있습니다. "). 상자에서 수행되는 기능은 정확히 무엇입니까? 어느 것을 알 수는 없지만 원하는 만큼 입력 값의 변형을 살펴보고 출력 결과를 평가할 수 있습니다.

어떤 기능이 사용되고 있는지 알아내기 위해 블랙박스를 통해 몇 개의 입력과 출력을 실행해야 합니까? 이것에 대해 잠시 생각해 보십시오.

클래식 컴퓨터의 경우 사용할 기능을 결정하려면 2개의 쿼리를 작성해야 합니다. 예를 들어, 입력 "1"이 "0" 출력을 생성하는 경우 상수 "0"을 계산하는 기능이나 부정 기능이 사용된 후 입력 신호의 값을 변경해야 한다는 것이 분명해집니다. "0"으로 가서 출구에서 무슨 일이 일어나는지 확인하세요.

양자컴퓨터의 경우 입력값에 적용할 함수를 정확하게 정의하려면 여전히 서로 다른 두 개의 출력값이 필요하기 때문에 두 개의 쿼리도 필요하게 된다. 그러나 질문을 조금 재구성하면 양자 컴퓨터에는 여전히 심각한 이점이 있는 것으로 나타났습니다. 사용되는 함수가 상수인지 가변인지 알고 싶다면 양자 컴퓨터가 이점을 가질 것입니다.

상자에 사용된 함수는 입력 신호의 서로 다른 값이 출력에서 ​​서로 다른 결과를 생성하는 경우(예: 항등 변환 및 비트 반전) 가변적이며, 입력 값에 관계없이 출력 값이 변경되지 않으면 함수는 상수입니다(예: 상수 "1" 계산 또는 상수 "0" 계산).

양자 알고리즘을 사용하면 단 하나의 쿼리만으로 블랙박스의 함수가 상수인지 변수인지 확인할 수 있습니다. 하지만 이를 수행하는 방법을 자세히 살펴보기 전에 양자 컴퓨터에서 이러한 각 기능을 구조화하는 방법을 찾아야 합니다. 모든 양자 연산자는 가역적이어야 하기 때문에 즉시 문제에 직면하게 됩니다. 상수 "1"과 "0"을 계산하는 함수는 가역적이지 않습니다.

양자 컴퓨팅에 사용되는 일반적인 솔루션은 함수가 수신하는 모든 입력 값을 반환하는 추가 출력 큐비트를 추가하는 것입니다. 

이전 :	이후 :

이런 식으로 오로지 출력 값만을 기준으로 입력 값을 결정할 수 있으며 함수는 가역적이 됩니다. 양자 회로의 구조로 인해 추가 입력 비트가 필요합니다. 해당 연산자를 개발하기 위해 추가 입력 큐비트가 |0⟩로 설정되어 있다고 가정합니다.

이전에 사용한 것과 동일한 양자 회로 표현을 사용하여 네 가지 요소(동일성 변환, 부정, 상수 "0"의 평가 및 상수 "1"의 평가) 각각이 양자 연산자를 사용하여 어떻게 구현될 수 있는지 살펴보겠습니다. 

예를 들어, 상수 "0"을 계산하는 함수를 구현하는 방법은 다음과 같습니다.

상수 "0" 계산:

여기서는 연산자가 전혀 필요하지 않습니다. 첫 번째 입력 큐비트(|0⟩로 가정)는 동일한 값으로 반환되고 두 번째 입력 값은 평소와 같이 자체적으로 반환됩니다.

상수 "1"을 계산하는 기능을 사용하면 상황이 약간 다릅니다.

상수 "1" 계산:

첫 번째 입력 큐비트는 항상 |0⟩로 설정된다고 가정했기 때문에 비트 반전 연산자를 적용한 결과 출력에서는 항상 XNUMX이 생성됩니다. 그리고 평소와 같이 두 번째 큐비트는 출력에서 ​​자체 값을 제공합니다.

항등 변환 연산자를 표시하면 작업이 더욱 복잡해지기 시작합니다. 수행 방법은 다음과 같습니다.

동일한 변환:

여기에 사용된 기호는 CNOT 요소를 나타냅니다. 맨 위 줄은 제어 비트를 나타내고 맨 아래 줄은 제어 비트를 나타냅니다. CNOT 연산자를 사용할 때 제어 비트가 |1⟩과 같으면 제어 비트의 값이 변경되지만 제어 비트가 |0⟩과 같으면 변경되지 않고 유지된다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 위쪽 줄의 값은 항상 |0⟩과 같다고 가정했기 때문에 그 값은 항상 아래쪽 줄에 할당됩니다.

부정 연산자와 비슷한 방식으로 진행합니다.

부정:

출력 라인 끝의 비트를 간단히 반전시킵니다.

이제 예비적인 이해를 마쳤으므로 단 하나의 쿼리를 사용하여 블랙박스에 숨겨진 함수의 불변성 또는 가변성을 결정할 때 기존 컴퓨터에 비해 양자 컴퓨터의 구체적인 이점을 살펴보겠습니다.

단일 요청에서 양자 컴퓨팅을 사용하여 이 문제를 해결하려면 아래와 같이 입력 큐비트를 함수에 전달하기 전에 중첩에 넣어야 합니다.

Hadamard 요소는 함수 결과에 다시 적용되어 큐비트의 중첩을 해제하고 알고리즘을 결정적으로 만듭니다. |00⟩ 상태에서 시스템을 시작하고, 곧 설명할 이유 때문에 적용된 함수가 일정하면 결과 |11⟩을 얻습니다. 블랙박스 내부의 함수가 가변적이라면 측정 후 시스템은 |01⟩ 결과를 반환합니다.

기사의 나머지 부분을 이해하기 위해 앞서 보여드린 그림을 살펴보겠습니다.

비트 반전 연산자를 사용한 다음 |0⟩과 동일한 두 입력 값에 Hadamard 요소를 적용하면 다음과 같이 |0⟩ 및 |1⟩의 동일한 중첩으로 변환됩니다.

이 값을 블랙박스 함수에 전달하는 예를 사용하면 두 상수 값 함수 모두 |11⟩을 출력한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

상수 "0" 계산:

마찬가지로 상수 "1"을 계산하는 함수도 |11⟩을 출력으로 생성합니다. 즉, 다음과 같습니다.

상수 "1" 계산:

-1² = 1이므로 출력은 |1⟩이 됩니다.

동일한 원리로 두 변수 함수를 모두 사용할 때 모든 것이 조금 더 복잡하더라도 출력에서 ​​항상 |01⟩을 얻게 된다는 것을 증명할 수 있습니다(동일한 방법을 사용하는 경우).

동일한 변환:

CNOT는 XNUMX큐비트 연산자이므로 간단한 상태 머신으로 표현할 수 없으므로 앞에서 설명한 대로 입력 큐비트와 CNOT 행렬의 곱셈의 텐서 곱을 기반으로 XNUMX개의 출력 신호를 정의해야 합니다.

이 방법을 사용하면 부정 함수가 블랙박스에 숨겨져 있으면 출력 값 |01⟩이 수신되는지 확인할 수도 있습니다.

부정:

따라서 우리는 양자 컴퓨터가 기존 컴퓨터보다 분명히 더 효율적인 상황을 입증했습니다.

다음은 무엇?

여기서 끝내는 것이 좋습니다. 우리는 이미 훌륭한 일을 해냈습니다. 제가 다룬 모든 내용을 이해하셨다면 이제 양자 컴퓨팅과 양자 논리의 기본 사항, 그리고 특정 상황에서 양자 알고리즘이 기존 컴퓨팅보다 더 효율적일 수 있는 이유를 잘 이해하셨을 것입니다.

내 설명은 양자 컴퓨팅 및 알고리즘에 대한 본격적인 가이드라고 할 수 없습니다. 오히려 대중 과학 소스에서 부과한 주제에 대한 독자의 아이디어를 불식시키기 위해 고안된 수학과 표기법에 대한 간략한 소개입니다. 그 상황!). 다음과 같은 많은 중요한 주제를 다룰 시간이 없었습니다. 큐비트의 양자 얽힘, 진폭 값 |0⟩ 및 |1⟩의 복잡성 및 Bloch 구에 의한 변환 중 다양한 양자 논리 요소의 기능.

양자컴퓨터에 대한 지식을 체계화하고 구조화하고 싶다면, 강하게 꼭 읽어보시길 권합니다 "양자 알고리즘 소개" Emma Strubel: 수학 공식이 풍부함에도 불구하고 이 책에서는 양자 알고리즘에 대해 훨씬 더 자세히 설명합니다.

출처 : habr.com