수학적 관점에서 모든 사람이 어떻게 결혼(단일, 양성, 삼중 결혼)할 수 있으며 왜 남자가 항상 승리하는가?

2012년에는 Lloyd Shapley와 Alvin Roth가 노벨 경제학상을 수상했습니다. “안정적인 유통 이론과 시장 조직의 실천에 대해” 2012년 Aleksey Savvateev는 수학자 장점의 본질을 간단하고 명확하게 설명하려고 노력했습니다. 나는 당신의 관심에 요약을 제시합니다 비디오 강의.

오늘은 이론 강의가 있을 예정입니다. 실험 정보 엘라 로타, 특히 기부에 대해서는 말하지 않겠습니다.

라고 발표되었을 때 로이드 셰플리(1923-2016) 노벨상을 받으면 “어떻게!?”라는 표준적인 질문이 있었습니다. 아직 살아있나요!?!?” 그의 가장 유명한 결과는 1953년에 얻어졌습니다.

공식적으로 보너스는 다른 것에 대해 주어졌습니다. "결혼 안정성 정리"에 관한 그의 1962년 논문: "대학 입학과 결혼의 안정성."

지속가능한 결혼에 대하여

매칭 (매칭) - 서신을 찾는 작업입니다.

어떤 고립된 마을이 있습니다. "m"의 젊은 남자와 "w"의 여자가 있습니다. 우리는 그들과 결혼해야 합니다. (반드시 같은 숫자일 필요는 없으며 결국 누군가는 혼자 남게 될 수도 있습니다.)

모델에서는 어떤 가정을 해야 합니까? 무작위로 재혼하는 것이 쉽지 않다는 것입니다. 자유 선택을 향한 특정 단계가 진행되고 있습니다. 그가 죽은 후에 이혼이 시작되지 않도록 재혼을 원하는 현명한 악사칼이 있다고 가정해 봅시다. (이혼은 남편이 아내보다 제XNUMX의 여성을 아내로 삼기를 더 원하는 상황이다.)

이 정리는 현대 경제학의 정신에 속합니다. 그녀는 유난히 비인간적이다. 경제학은 전통적으로 비인간적이었습니다. 경제학에서는 이윤을 극대화하기 위해 인간을 기계로 대체합니다. 제가 말씀드릴 내용은 도덕적인 관점에서 볼 때 완전히 미친 짓입니다. 마음에 두지 마십시오.

경제학자들은 결혼을 이렇게 본다.
m1, m2,… mk - 남자.
w1, w2,... wL - 여성.

남자는 여자에게 "주문"하는 방식으로 식별됩니다. 또한 다른 사람이 없더라도 여성을 아내로 제안할 수 없는 "XNUMX 수준"도 있습니다.

모든 일은 양방향으로 발생하며 소녀에게도 마찬가지입니다.

초기 데이터는 임의적입니다. 유일한 가정/제한은 우리가 선호하는 바를 바꾸지 않는다는 것입니다.

정리: 분포 및 XNUMX 수준에 관계없이 일부 남성과 일부 여성 사이에 일대일 대응을 설정하여 모든 유형의 분할(이혼뿐만 아니라)에 견고하게 적용되는 방법이 항상 있습니다.

어떤 위협이 있을 수 있나요?

결혼하지 않은 커플(m,w)이 있습니다. 그러나 w에게는 현재 남편이 m보다 나쁘고, m에게는 현재 아내가 w보다 나쁘다. 이는 지속 불가능한 상황입니다.

누군가가 "XNUMX보다 낮은" 사람과 결혼했을 가능성도 있는데, 이 상황에서는 결혼 ​​생활도 무너질 것입니다.

여성이 기혼이지만 자신이 XNUMX보다 큰 미혼 남성을 선호하는 경우.

두 사람이 모두 미혼이고, 둘 다 서로에 대해 "XNUMX 이상"인 경우.

모든 초기 데이터에는 모든 유형의 위협에 저항하는 그러한 결혼 시스템이 존재한다고 주장됩니다. 둘째, 그러한 균형을 찾는 알고리즘은 매우 간단합니다. M*N과 비교해 보겠습니다.

이 모델은 일반화되어 '일부다처제'로 확장되어 다양한 분야에 적용되었습니다.

게일-샤플리 절차

모든 남성과 여성이 '처방'을 따른다면 그 결과로 나타나는 결혼 제도는 지속 가능하게 될 것입니다.

처방전.
필요에 따라 며칠 정도 소요됩니다. 우리는 하루를 두 부분(아침과 저녁)으로 나눕니다.

첫날 아침, 모든 남자는 자신의 가장 친한 여자에게 가서 창문을 두드리며 결혼해 달라고 요청합니다.

같은 날 저녁, 차례는 여성들에게로 바뀌는데, 여성은 무엇을 발견할 수 있을까? 그녀의 창문 아래에는 남자가 한 명이든 없든 군중이 있었다. 오늘은 사람이 없는 사람들은 차례를 건너뛰고 기다리세요. 적어도 하나를 가지고 있는 나머지 사람들은 자신들이 "레벨 XNUMX 이상"임을 확인하기 위해 오는 남자들을 확인합니다. 적어도 하나는 있어야합니다. 당신이 완전히 운이 좋지 않고 모든 것이 XNUMX 미만이라면 모든 사람을 보내야합니다. 그 여자는 온 사람들 중에서 가장 큰 사람을 골라 기다리라고 하고 나머지는 보낸다.

둘째 날 이전의 상황은 다음과 같습니다. 일부 여성에게는 남성이 하나 있고 일부 여성에게는 남성이 없습니다.

둘째 날에는 모든 "자유로운"(보내진) 남성이 XNUMX순위 여성에게 가야 합니다. 그러한 사람이 없으면 그 사람은 독신으로 선언됩니다. 이미 여자와 함께 앉아 있는 남자들은 아직 아무것도 하지 않고 있다.

저녁에는 여성들이 상황을 살펴 봅니다. 이미 앉아 있던 사람이 더 높은 우선순위로 합류했다면, 더 낮은 우선순위가 퇴장됩니다. 오는 사람이 현재 있는 것보다 낮으면 모두가 쫓겨납니다. 여성들은 매번 최대 요소를 선택합니다.

반복합니다.

그 결과, 각 남성은 자신의 여성 목록 전체를 검토한 후 혼자 남겨지거나 일부 여성과 약혼하게 되었습니다. 그러면 우리는 모두 결혼하게 될 것입니다.

이 모든 과정을 실행하는 것이 가능하지만 여성이 남성에게 달려가는 것이 가능합니까? 절차는 대칭이지만 솔루션은 다를 수 있습니다. 하지만 문제는 이것으로 누가 더 나은가 하는 것입니다.

정리. 이 두 가지 대칭적인 해결책뿐만 아니라 모든 안정적인 결혼 시스템의 집합을 고려해 보겠습니다. 원래 제안된 메커니즘(남성은 달리고 여성은 수락/거부)은 남성에게 더 좋고 여성에게는 더 나쁜 결혼 시스템을 초래합니다.

동성 결혼

“동성결혼”의 상황을 생각해 보십시오. 이를 합법화할 필요성에 의문을 제기하는 수학적 결과를 고려해 보겠습니다. 이념적으로 잘못된 예입니다.

네 명의 동성애자 a, b, c, d를 생각해 보세요.

a에 대한 우선순위: bcd
b:cad의 우선순위
c: abd의 우선순위
d의 경우 그가 나머지 XNUMX개의 순위를 어떻게 매기는지는 중요하지 않습니다.

성명서 : 이 시스템에는 지속 가능한 결혼 시스템이 없습니다.

XNUMX인용 시스템은 몇 개 있나요? 삼. ab cd, ac bd, ad bc. 커플은 무너지고 그 과정은 주기적으로 진행될 것입니다.

"XNUMX성" 시스템.
이것은 수학의 전체 분야를 여는 가장 중요한 질문입니다. 이것은 모스크바에 있는 내 동료 Vladimir Ivanovich Danilov가 수행했습니다. 그는 '결혼'을 보드카를 마시는 것으로 보았고, 그 역할은 '붓는 사람', '건배를 하는 사람', '소시지를 자르는 사람'이었다. 각 역할의 대표자가 4명 이상인 상황에서는 무차별적인 힘으로는 해결이 불가능하다. 지속 가능한 시스템에 대한 질문은 공개되어 있습니다.

샤플리 벡터

별장 마을에서 그들은 도로를 아스팔트로 만들기로 결정했습니다. 칩인이 필요합니다. 어떻게?

Shapley는 1953년에 이 문제에 대한 해결책을 제안했습니다. N={1,2…n}이라는 집단과 충돌하는 상황을 가정해 보겠습니다. 비용/이익을 공유해야 합니다. 사람들이 함께 뭔가 유용한 일을 하고, 그것을 팔고, 이익을 어떻게 분배한다고 가정해 볼까요?

Shapley는 분할할 때 이들 중 특정 하위 집합이 얼마나 많은 금액을 받을 수 있는지에 따라 결정해야 한다고 제안했습니다. 비어 있지 않은 2N개의 하위 집합이 모두 얼마나 많은 돈을 벌 수 있습니까? 그리고 이 정보를 바탕으로 Shapley는 보편적인 공식을 작성했습니다.

예. 솔리스트, 기타리스트, 드러머가 모스크바의 지하 통로에서 연주하고 있습니다. 세 사람은 시간당 1000루블을 번다. 어떻게 나눌까요? 아마도 동일할 것입니다.
V(1,2,3)=1000

그런 척하자
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100

해당 회사가 독립하여 자체적으로 행동할 경우 해당 회사에 어떤 이익이 있는지 알 때까지는 공정한 분할이 결정될 수 없습니다. 그리고 우리가 숫자를 결정할 때(협동 게임을 특징적인 형태로 설정).

초가산성은 함께 있을 때 개별적으로보다 더 많은 수익을 올릴 때, 단결하는 것이 더 수익성이 높지만 상금을 나누는 방법이 명확하지 않은 경우입니다. 이에 대해 많은 사본이 깨졌습니다.

게임이 있습니다. 세 명의 사업가가 동시에 1만 달러 상당의 보증금을 찾았습니다. 세 사람이 동의하면 백만 명이 되는 것입니다. 어떤 부부라도 살인(사건에서 제거)하여 백만 달러 전체를 스스로 얻을 수 있습니다. 그리고 누구도 혼자서는 아무것도 할 수 없습니다. 이것은 해결책이 없는 무서운 협동 게임입니다. 세 번째를 제거할 수 있는 사람은 항상 두 명입니다... 협동 게임 이론은 해결책이 없는 예에서 시작됩니다.

우리는 어떤 연합도 공통의 해결책을 막고 싶어하지 않는 해결책을 원합니다. 차단할 수 없는 모든 분할 집합이 커널입니다. 코어가 비어있는 경우가 있습니다. 그런데 비어 있지 않더라도 어떻게 나눌 수 있나요?

Shapley는 이런 식으로 나눌 것을 제안합니다. n으로 동전을 던져보세요! 가장자리. 이 순서대로 모든 플레이어를 작성합니다. 첫 번째 드러머를 가정 해 봅시다. 그는 들어와서 100을 가져갑니다. 그런 다음 "두 번째"가 들어옵니다. 솔리스트를 가정해 보겠습니다. (드러머와 함께 450을 벌 수 있고 드러머는 이미 100을 얻었습니다.) 솔로이스트는 350을 가져갑니다. 기타리스트는 들어가고(합계 1000, -450) 550을 가져갑니다. 마지막 사람이 꽤 자주 승리합니다. (슈퍼모듈성)

모든 주문에 대해 기록하는 경우:
GSB - (승 C) - (승 D) - (승 B)
SGB ​​​​- (승 C) - (승 D) - (승 B)
SBG - (승 C) - (승 D) - (승 B)
BSG - (승 C) - (승 D) - (승 B)
BGS - (이득 C) - (이득 D) - (이득 B)
GBS - (승 C) - (승 D) - (승 B)

그리고 각 열에 대해 6을 더하고 나눕니다(모든 주문에 대한 평균). 이것은 Shapley 벡터입니다.

Shapley는 대략적으로 다음 정리를 증명했습니다. 대규모 팀에 합류하는 다음 사람이 더 큰 승리를 가져오는 게임 종류(수퍼모듈식)가 있습니다. 커널은 항상 비어 있지 않으며 점의 볼록한 조합입니다(이 경우 6점). Shapley 벡터는 핵의 중심에 위치합니다. 이는 언제나 해결책으로 제시될 수 있으며, 누구도 반대하지 않을 것입니다.

1973년에 코티지의 문제는 슈퍼모듈이라는 것이 입증되었습니다.

n명 모두가 첫 번째 별장으로 가는 길을 공유합니다. 두 번째까지 - n-1 명. 등.

공항에는 활주로가 있습니다. 회사마다 다른 길이가 필요합니다. 같은 문제가 발생합니다.

노벨상을 주신 분들은 단지 마진의 과제만이 아니라 이런 장점을 염두에 두셨던 것 같아요.

감사합니다!

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