Richard Hamming: 13장. 정보 이론

우리는 해냈다!

"이 과정의 목적은 기술적인 미래를 준비하는 것입니다."

안녕하세요, 하브르님. 멋진 글 기억해주세요 "당신과 당신의 일" (+219, 2588 북마크, 429 읽기)?

그래서 해밍(예, 예, 자체 모니터링 및 자체 수정 해밍 코드) 전체가 있습니다 книга, 그의 강의를 바탕으로 작성되었습니다. 그 사람이 자신의 마음을 말하기 때문에 우리는 그것을 번역합니다.

이 책은 단지 IT에 관한 책이 아니라, 엄청나게 멋진 사람들의 사고방식에 관한 책입니다. “그것은 단지 긍정적인 사고의 향상이 아닙니다. 그것은 훌륭한 일을 할 가능성을 높이는 조건을 설명합니다.”

번역을 해주신 Andrey Pakhomov에게 감사드립니다.

정보 이론은 1940년대 후반 C. E. Shannon에 의해 개발되었습니다. 벨 연구소 경영진은 이를 '커뮤니케이션 이론'이라고 부르겠다고 주장했는데, 그 이유는... 이것이 훨씬 더 정확한 이름이다. 당연한 이유로 "정보 이론"이라는 이름은 대중에게 훨씬 더 큰 영향을 미치기 때문에 Shannon이 그것을 선택한 이유이며 오늘날까지 우리가 알고 있는 이름입니다. 이름 자체는 이론이 정보를 다룬다는 것을 암시하며, 이는 우리가 정보 시대로 더 깊이 들어갈수록 중요해집니다. 이 장에서는 이 이론의 몇 가지 주요 결론을 다룰 것입니다. 엄격하지는 않지만 이 이론의 일부 개별 조항에 대한 직관적인 증거를 제공하여 "정보 이론"이 실제로 무엇인지 이해하고 적용할 수 있습니다. 그리고 그렇지 않은 곳은 .

먼저, '정보'란 무엇일까요? Shannon은 정보를 불확실성과 동일시합니다. 그는 확률이 p인 사건이 발생할 때 받는 정보를 정량적으로 측정하는 방법으로 사건 확률의 음의 로그를 선택했습니다. 예를 들어, 로스앤젤레스의 날씨가 안개가 낀다고 말하면 p는 1에 가까워서 실제로 많은 정보를 제공하지 않습니다. 하지만 1월에 몬터레이에 비가 내린다고 말하면 메시지에 불확실성이 있을 것이고 더 많은 정보가 포함될 것입니다. 로그 0 = XNUMX이므로 신뢰할 수 있는 이벤트에는 정보가 포함되어 있지 않습니다.

이에 대해 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. Shannon은 정보의 정량적 측정이 사건 p 확률의 연속 함수여야 하며 독립적인 사건의 경우 추가적이어야 한다고 믿었습니다. 두 개의 독립적인 사건의 발생 결과로 얻은 정보의 양은 다음과 같아야 합니다. 공동 이벤트 발생의 결과로 얻은 정보의 양. 예를 들어, 주사위 굴림과 동전 굴림의 결과는 일반적으로 독립적인 이벤트로 처리됩니다. 위의 내용을 수학의 언어로 번역해 보겠습니다. I(p)가 확률 p인 사건에 포함된 정보의 양이라면 확률 p1의 두 독립 사건 x와 확률 p2의 y로 구성된 결합 사건에 대해 다음을 얻습니다.

(x와 y는 독립 사건입니다)

이것은 모든 p1과 p2에 대해 적용되는 함수형 Cauchy 방정식입니다. 이 함수 방정식을 풀기 위해 다음을 가정합니다.

p1 = p2 = p,

이것은 준다

p1 = p2이고 p2 = p이면

등. 지수에 대한 표준 방법을 사용하여 이 프로세스를 확장하면 모든 유리수 m/n에 대해 다음이 참입니다.

정보 측도의 연속성을 가정하면 로그 함수가 코시 함수 방정식의 유일한 연속 해법이라는 결론이 나옵니다.

정보 이론에서는 대수 밑이 2인 것이 일반적이므로 이진 선택에는 정확히 1비트의 정보가 포함됩니다. 따라서 정보는 다음 공식으로 측정됩니다.

잠시 멈추고 위에서 무슨 일이 일어났는지 이해해 봅시다. 우선, 우리는 '정보'의 개념을 정의하지 않고 단순히 정보의 정량적 측정 공식을 정의했습니다.

둘째, 이 측정값은 불확실성이 있으며, 전화 시스템, 라디오, 텔레비전, 컴퓨터 등과 같은 기계에는 합리적으로 적합하지만 정보에 대한 정상적인 인간 태도를 반영하지 않습니다.

셋째, 이것은 상대적인 척도이며 지식의 현재 상태에 따라 다릅니다. 난수 생성기에서 "난수" 스트림을 보면 다음 숫자가 불확실하다고 가정하지만, "난수" 계산 공식을 알고 있으면 다음 숫자가 알려지므로 알 수 없습니다. 정보를 담고 있습니다.

따라서 Shannon의 정보 정의는 많은 경우 기계에 적합하지만, 단어에 대한 인간의 이해에는 적합하지 않은 것 같습니다. '정보이론'이 '의사소통이론'으로 불려야 할 이유가 여기에 있다. 그러나 정의(이론에 초기 인기를 부여하고 여전히 사람들이 이 이론이 "정보"를 다룬다고 생각하게 만드는 정의)를 변경하기에는 너무 늦었습니다. Shannon의 정보 정의가 일반적으로 사용되는 의미와 얼마나 멀리 떨어져 있는지 명확하게 이해합니다. Shannon의 정보는 완전히 다른 것, 즉 불확실성을 다루고 있습니다.

용어를 제안할 때 고려해야 할 사항은 다음과 같습니다. Shannon의 정보 정의와 같이 제안된 정의는 귀하의 원래 아이디어와 어떻게 일치하며, 어떻게 다른가요? 개념에 대한 이전 비전을 정확하게 반영하는 용어는 거의 없지만 궁극적으로 개념의 의미를 반영하는 것은 사용되는 용어이므로 명확한 정의를 통해 무언가를 형식화하면 항상 약간의 소음이 발생합니다.

알파벳이 기호 q와 확률 pi로 구성된 시스템을 생각해 보세요. 이 경우 평균 정보량 시스템에서 (예상 값)은 다음과 같습니다.

이를 확률 분포 {pi}를 갖는 시스템의 엔트로피라고 합니다. 우리는 열역학과 통계역학에서 동일한 수학적 형태가 나타나기 때문에 "엔트로피"라는 용어를 사용합니다. 이것이 바로 "엔트로피"라는 용어가 그 자체로 어떤 중요한 아우라를 생성하는 이유인데, 이는 궁극적으로 정당화되지 않습니다. 동일한 수학적 표기법이 동일한 기호 해석을 의미하지는 않습니다!

확률 분포의 엔트로피는 코딩 이론에서 중요한 역할을 합니다. 두 가지 서로 다른 확률 분포 pi와 qi에 대한 Gibbs 부등식은 이 이론의 중요한 결과 중 하나입니다. 그래서 우리는 그것을 증명해야 합니다.

증명은 명백한 그래프인 그림 13에 기초합니다. XNUMX.I는 다음을 보여준다.

x = 1인 경우에만 동등성이 달성됩니다. 왼쪽부터 합계의 각 항에 불평등을 적용해 보겠습니다.

통신 시스템의 알파벳이 q개의 기호로 구성된 경우 각 기호의 전송 확률 qi = 1/q를 취하고 q를 대체하면 깁스 부등식으로부터 얻습니다.

그림 13.I

이는 모든 q개의 심볼을 전송할 확률이 동일하고 -1/q와 같으면 최대 엔트로피는 lnq와 같고, 그렇지 않으면 불평등이 유지됨을 의미합니다.

고유하게 디코딩 가능한 코드의 경우 Kraft 부등식을 갖습니다.

이제 의사 확률을 정의하면

물론 어디야? = 1, 이는 Gibbs 부등식에 따른 것입니다.

그리고 약간의 대수학을 적용하면(K ≤ 1이라는 것을 기억하여 대수 항을 삭제하고 나중에 부등식을 강화할 수 있음) 다음을 얻습니다.

여기서 L은 평균 코드 길이입니다.

따라서 엔트로피는 평균 코드워드 길이 L을 갖는 문자별 기호 코드에 대한 최소 한계입니다. 이는 간섭 없는 채널에 대한 Shannon의 정리입니다.

이제 정보가 독립적인 비트 스트림으로 전송되고 잡음이 존재하는 통신 시스템의 한계에 대한 주요 정리를 고려하십시오. 한 비트가 올바르게 전송될 확률은 P > 1/2이고, 전송 중에 비트 값이 반전될(오류가 발생할) 확률은 Q = 1 - P와 같다고 이해됩니다. 편의상, 오류는 독립적이고 오류 확률은 전송된 각 비트에 대해 동일하다고 가정합니다. 즉, 통신 채널에 "백색 잡음"이 있습니다.

하나의 메시지로 인코딩된 n 비트의 긴 스트림을 갖는 방식은 XNUMX비트 코드의 n 차원 확장입니다. n의 값은 나중에 결정하겠습니다. n차원 공간의 한 점으로 n비트로 구성된 메시지를 생각해 보세요. n차원 공간이 있기 때문에 - 단순화를 위해 각 메시지가 동일한 발생 확률을 갖는다고 가정합니다. M개의 가능한 메시지가 있습니다(M은 나중에 정의됨). 따라서 메시지가 전송될 확률은 다음과 같습니다.

(보내는 사람)
일정 13.II

다음으로 채널 용량에 대한 아이디어를 고려하십시오. 자세히 설명하지 않고 채널 용량은 가장 효율적인 코딩 사용을 고려하여 통신 채널을 통해 안정적으로 전송할 수 있는 최대 정보량으로 정의됩니다. 통신 채널을 통해 용량보다 더 많은 정보가 전송될 수 있다는 데는 이론의 여지가 없습니다. 이는 이진 대칭 채널(우리의 경우에 사용함)에 대해 입증될 수 있습니다. 비트를 전송할 때 채널 용량은 다음과 같이 지정됩니다.

여기서 이전과 마찬가지로 P는 전송된 비트에 오류가 없을 확률입니다. n개의 독립적인 비트를 보낼 때 채널 용량은 다음과 같이 주어진다.

채널 용량에 가까워지면 각 심볼 ai, i = 1, ..., M에 대해 거의 이 정도 양의 정보를 보내야 합니다. 각 심볼 ai의 발생 확률이 1/M임을 고려하면, 우리는 얻는다

M개의 동일한 가능성이 있는 메시지 ai 중 하나를 보낼 때 우리는 다음과 같은 결과를 얻습니다.

n 비트가 전송되면 nQ 오류가 발생할 것으로 예상됩니다. 실제로 n비트로 구성된 메시지의 경우 수신된 메시지에는 대략 nQ개의 오류가 있습니다. n이 큰 경우 상대 변동(변동 = 분포 폭, )
n이 증가함에 따라 오류 수의 분포가 점점 좁아집니다.

그래서 송신기 측에서 메시지 ai를 받아 그 주위에 반경이 있는 구를 그립니다.

이는 예상되는 오류 수 Q보다 e2만큼 약간 더 큽니다(그림 13.II). n이 충분히 크면 이 영역을 넘어 확장되는 수신자 측에 메시지 포인트 bj가 나타날 확률이 임의로 작습니다. 송신기의 관점에서 본 상황을 스케치해 보겠습니다. 전송된 메시지 ai에서 수신된 메시지 bj까지의 반경이 있으며 오류 확률은 정규 분포와 동일(또는 거의 동일)하여 최대값에 도달합니다. nQ의. 주어진 e2에 대해 n이 너무 커서 결과 점 bj가 내 구 외부에 있을 확률은 원하는 만큼 작습니다.

이제 당신 측에서도 동일한 상황을 살펴보겠습니다(그림 13.III). 수신측에는 n차원 공간의 수신 지점 bj 주위에 동일한 반경 r의 구 S(r)가 있습니다. 따라서 수신된 메시지 bj가 내 구 안에 있으면 내가 보낸 메시지 ai는 당신의 안에 있습니다. 구체.

오류는 어떻게 발생할 수 있나요? 아래 표에 설명된 경우에 오류가 발생할 수 있습니다.

그림 13.III

여기서 우리는 수신된 지점을 중심으로 구축된 구에 전송 가능한 인코딩되지 않은 메시지에 해당하는 지점이 하나 이상 있는 경우 이러한 메시지 중 어느 것이 전송되었는지 확인할 수 없기 때문에 전송 중에 오류가 발생했음을 알 수 있습니다. 전송된 메시지는 해당 메시지에 해당하는 점이 구에 있고, 주어진 코드에서 동일한 구에 있는 다른 점이 없는 경우에만 오류가 없습니다.

메시지 ai가 전송된 경우 오류 Pe의 확률에 대한 수학 방정식이 있습니다.

우리는 두 번째 항의 첫 번째 요소를 1로 취하여 버릴 수 있습니다. 따라서 우리는 부등식을 얻습니다.

물론,

그러므로

오른쪽 마지막 항에 다시 적용

n을 충분히 크게 취하면 첫 번째 항은 원하는 만큼 작게, 즉 어떤 수 d보다 작게 취할 수 있습니다. 그러므로 우리는

이제 n 비트로 구성된 M개의 메시지를 인코딩하기 위해 간단한 대체 코드를 구성하는 방법을 살펴보겠습니다. 코드를 구성하는 방법을 정확히 알지 못한 채(오류 수정 코드는 아직 개발되지 않았음) Shannon은 무작위 코딩을 선택했습니다. 메시지의 n 비트 각각에 대해 동전을 뒤집고 M 메시지에 대해 이 과정을 반복합니다. 전체적으로 nM개의 동전 뒤집기가 이루어져야 가능하므로

동일한 확률이 ½nM인 코드 사전. 물론, 코드북을 생성하는 무작위 과정은 중복될 가능성이 있을 뿐만 아니라, 코드 포인트가 서로 가까워서 오류의 원인이 될 가능성이 있음을 의미합니다. 이것이 선택된 작은 오류 수준보다 더 큰 확률로 발생하지 않으면 주어진 n이 충분히 크다는 것을 증명해야 합니다.
중요한 점은 Shannon이 가능한 모든 코드북을 평균하여 평균 오류를 찾았다는 것입니다! 가능한 모든 무작위 코드북 세트에 대한 평균 값을 나타내기 위해 Av[.] 기호를 사용할 것입니다. 물론 상수 d에 대한 평균은 상수를 제공합니다. 왜냐하면 평균을 구하는 경우 각 항은 합계에서 다른 모든 항과 동일하기 때문입니다.

증가할 수 있음(M–1이 M으로 이동)

특정 메시지에 대해 모든 코드북에 걸쳐 평균을 계산할 때 인코딩은 가능한 모든 값을 통해 실행되므로 점이 구에 있을 평균 확률은 구의 부피와 전체 공간 부피의 비율입니다. 구의 부피는

여기서 s=Q+e2 <1/2이고 ns는 정수여야 합니다.

오른쪽의 마지막 항은 이 합에서 가장 큰 항입니다. 먼저 계승에 대한 스털링 공식을 사용하여 그 값을 추정해 보겠습니다. 그런 다음 앞에 있는 항의 감소하는 계수를 살펴보겠습니다. 이 계수는 왼쪽으로 이동할 때 증가하므로 다음을 수행할 수 있습니다. (1) 합의 값을 다음과 같은 기하 수열의 합으로 제한합니다. 이 초기 계수, (2) ns 항에서 무한 수의 항으로 기하 수열을 확장하고, (3) 무한 기하 수열의 합을 계산하고(표준 대수학, 중요하지 않음) 최종적으로 제한 값을 얻습니다(충분히 큰 경우). N):

엔트로피 H(s)가 이항 항등식에 어떻게 나타나는지 확인하세요. 테일러 급수 전개 H(s)=H(Q+e2)는 XNUMX차 도함수만 고려하고 다른 모든 값은 무시하여 얻은 추정치를 제공합니다. 이제 최종 표현을 정리해보자:

어디에서

우리가 해야 할 일은 e2 < e3이 되도록 e1를 선택하는 것뿐입니다. 그런 다음 n이 충분히 큰 한 마지막 항은 임의로 작아질 것입니다. 결과적으로 평균 PE 오류는 임의로 C에 가까운 채널 용량을 사용하여 원하는 만큼 작게 얻을 수 있습니다.
모든 코드의 평균에 오류가 충분히 작다면 적어도 하나의 코드가 적합해야 하므로 적어도 하나의 적합한 코딩 시스템이 있습니다. 이것은 Shannon이 얻은 중요한 결과입니다. "노이즈 채널에 대한 Shannon의 정리"입니다. 그러나 그가 제가 사용한 단순한 이진 대칭 채널보다 훨씬 더 일반적인 경우에 대해 이것을 증명했다는 점에 유의해야 합니다. 일반적인 경우 수학적 계산은 훨씬 더 복잡하지만 아이디어는 크게 다르지 않으므로 특정 사례의 예를 사용하면 정리의 진정한 의미를 밝힐 수 있습니다.

결과를 비판해보자. 우리는 "충분히 큰 n에 대해"를 반복해서 반복했습니다. 그런데 n은 얼마나 큽니까? 채널 용량에 근접하고 올바른 데이터 전송을 확인하려는 경우 매우 큰 규모입니다! 실제로 크기가 너무 커서 나중에 인코딩할 만큼 충분한 비트의 메시지를 축적하려면 매우 오랜 시간을 기다려야 합니다. 이 경우, 랜덤 코드 사전의 크기는 엄청나게 클 것입니다(결국, n과 M이 매우 크다는 사실에도 불구하고 이러한 사전은 모든 Mn 비트의 전체 목록보다 짧은 형식으로 표시될 수 없습니다)!

오류 정정 코드는 코드북 자체를 피하고 대신 일반 계산을 사용하기 때문에 매우 긴 메시지를 기다린 다음 매우 큰 코드북을 통해 이를 인코딩 및 디코딩하는 것을 방지합니다. 단순한 이론으로 보면 이러한 코드는 채널 용량에 접근하는 능력을 잃고 여전히 상당히 낮은 오류율을 유지하는 경향이 있지만, 코드가 많은 수의 오류를 수정하면 좋은 성능을 발휘합니다. 즉, 오류 수정을 위해 일부 채널 용량을 할당하면 대부분의 경우 오류 수정 기능을 사용해야 합니다. 즉, 전송된 각 메시지에서 많은 수의 오류를 수정해야 합니다. 그렇지 않으면 이 용량을 낭비하게 됩니다.

동시에, 위에서 증명된 정리는 여전히 의미가 없습니다! 이는 효율적인 전송 시스템이 매우 긴 비트 문자열에 대해 영리한 인코딩 방식을 사용해야 함을 보여줍니다. 예를 들어 외부 행성 너머로 날아간 위성이 있습니다. 지구와 태양에서 멀어짐에 따라 데이터 블록에서 점점 더 많은 오류를 수정해야 합니다. 일부 위성은 약 5W를 제공하는 태양 전지판을 사용하고 다른 위성은 거의 동일한 전력을 제공하는 원자력 발전소를 사용합니다. 전원 공급 장치의 낮은 전력, 지구상의 작은 크기의 송신기 접시 및 제한된 크기의 수신기 접시, 신호가 이동해야 하는 엄청난 거리 등 이 모든 것에는 높은 수준의 오류 수정 기능이 있는 코드를 사용해야 합니다. 효과적인 의사소통 시스템.

위의 증명에서 사용한 n차원 공간으로 돌아가 보겠습니다. 이에 대해 논의하면서 우리는 구의 거의 전체 부피가 외부 표면 근처에 집중되어 있음을 보여주었습니다. 따라서 전송된 신호는 상대적으로 작은 크기에도 불구하고 수신된 신호를 중심으로 만들어진 구의 표면 근처에 위치할 것이 거의 확실합니다. 그러한 구의 작은 반경. 따라서, 수신된 신호가 임의로 많은 수의 오류 nQ를 수정한 후 임의로 오류가 없는 신호에 가까운 것으로 나타나는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 앞서 논의한 링크 용량은 이러한 현상을 이해하는 열쇠입니다. 오류 수정 해밍 코드를 위해 구성된 유사한 영역은 서로 겹치지 않습니다. n차원 공간에서 거의 직교하는 많은 차원은 공간에 M개의 구를 거의 겹치지 않게 맞출 수 있는 이유를 보여줍니다. 디코딩하는 동안 소수의 오류만 발생시킬 수 있는 작고 임의의 작은 겹침을 허용하면 공간에서 조밀하게 배치된 구를 얻을 수 있습니다. Hamming은 특정 수준의 오류 수정을 보장합니다. Shannon은 오류 가능성이 낮지만 동시에 Hamming 코드가 수행할 수 없는 통신 채널 용량에 임의로 실제 처리량을 유지합니다.

정보 이론은 효율적인 시스템을 설계하는 방법을 알려주지는 않지만 효율적인 커뮤니케이션 시스템을 향한 길을 제시합니다. 이는 기계 간 통신 시스템을 구축하는 데 유용한 도구이지만 앞서 언급했듯이 인간이 서로 통신하는 방식과는 거의 관련이 없습니다. 생물학적 유전이 기술적 의사소통 시스템과 어느 정도 유사한지는 전혀 알려지지 않았으므로 현재 정보 이론이 유전자에 어떻게 적용되는지는 명확하지 않습니다. 우리는 시도할 수밖에 없으며, 만약 성공이 우리에게 이 현상의 기계와 같은 성격을 보여준다면, 실패는 정보의 성격의 다른 중요한 측면을 가리킬 것입니다.

너무 많이 벗어나지 말자. 우리는 모든 원래 정의가 어느 정도 우리 원래 믿음의 본질을 표현해야 하지만 어느 정도 왜곡이 특징이므로 적용할 수 없다는 것을 살펴보았습니다. 궁극적으로 우리가 사용하는 정의가 실제로 본질을 정의한다는 것이 전통적으로 받아들여지고 있습니다. 그러나 이는 사물을 처리하는 방법만 알려줄 뿐, 우리에게 어떤 의미도 전달하지 않습니다. 수학계에서 매우 선호되는 가정적 접근 방식은 실제로는 부족한 점이 많습니다.

이제 우리는 정의가 원하는 만큼 순환적이어서 오해의 소지가 있는 IQ 테스트의 예를 살펴보겠습니다. 지능을 측정하기 위한 테스트가 만들어졌습니다. 그런 다음 가능한 일관되게 수정된 다음 게시되고 간단한 방법으로 측정된 "지능"이 정규 분포(물론 교정 곡선에서)로 나타나도록 교정됩니다. 모든 정의는 처음 제안되었을 때뿐만 아니라 훨씬 나중에 도출된 결론에 사용될 때에도 재검토되어야 합니다. 해결되는 문제에 대한 정의 경계는 어느 정도까지 적절한가? 한 설정에서 주어진 정의가 전혀 다른 설정에 적용되는 경우는 얼마나 자주 발생합니까? 이런 일이 꽤 자주 발생합니다! 살면서 필연적으로 접하게 되는 인문학에서는 이런 일이 더 자주 일어난다.

따라서 정보 이론을 제시하는 목적 중 하나는 그 유용성을 입증하는 것 외에도 이러한 위험을 경고하거나 원하는 결과를 얻기 위해 이를 사용하는 방법을 정확히 보여주는 것이었습니다. 초기 정의는 보이는 것보다 훨씬 더 큰 범위에서 결국 발견한 내용을 결정한다는 사실이 오랫동안 알려져 왔습니다. 초기 정의에는 새로운 상황뿐만 아니라 오랫동안 작업해온 영역에서도 많은 주의가 필요합니다. 이를 통해 얻은 결과가 어느 정도 동어반복이고 유용하지 않은지 이해할 수 있습니다.

Eddington의 유명한 이야기는 그물로 바다에서 고기를 잡은 사람들에 대해 이야기합니다. 그들이 잡은 물고기의 크기를 연구한 후, 바다에서 발견되는 물고기의 최소 크기를 결정했습니다! 그들의 결론은 현실이 아니라 사용된 도구에 의해 도출되었습니다.

계속 될 ...

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그건 그렇고, 우리는 또 다른 멋진 책의 번역도 시작했습니다. "드림 머신: 컴퓨터 혁명 이야기")

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책의 내용과 번역된 장머리말

1. 과학 및 공학 기술 소개: 학습 학습(28년 1995월 XNUMX일) 번역: 1장
2. "디지털(이산) 혁명의 기초"(30년 1995월 XNUMX일) 2장. 디지털(이산) 혁명의 기본
3. "컴퓨터의 역사 - 하드웨어" (31년 1995월 XNUMX일) 3장. 컴퓨터의 역사 - 하드웨어
4. "컴퓨터의 역사 - 소프트웨어" (4년 1995월 XNUMX일) 4장. 컴퓨터의 역사 - 소프트웨어
5. "컴퓨터의 역사 - 응용"(6년 1995월 XNUMX일) 5장: 컴퓨터의 역사 - 실제 응용
6. "인공 지능 - 7부"(1995년 XNUMX월 XNUMX일) 제6장. 인공지능 - 1
7. "인공 지능 - 11부"(1995년 XNUMX월 XNUMX일) 7장. 인공지능-II
8. "인공지능 III" (13년 1995월 XNUMX일) 8장. 인공지능-III
9. "n차원 공간"(14년 1995월 XNUMX일) 9장. N차원 공간
10. "코딩 이론 - 정보 표현, 18부"(1995년 XNUMX월 XNUMX일) 10장. 코딩 이론 - I
11. "코딩 이론 - 정보 표현, 20부"(1995년 XNUMX월 XNUMX일) 11장. 코딩 이론 - II
12. "오류 수정 코드"(21년 1995월 XNUMX일) 12장. 오류 수정 코드
13. "정보 이론"(25년 1995월 XNUMX일) 13장. 정보이론
14. "디지털 필터, 27부"(1995년 XNUMX월 XNUMX일) 14장. 디지털 필터 - 1
15. "디지털 필터, 28부"(1995년 XNUMX월 XNUMX일) 15장. 디지털 필터 - 2
16. "디지털 필터, 파트 III"(2년 1995월 XNUMX일) 16장. 디지털 필터 - 3
17. "디지털 필터, 파트 IV"(4년 1995월 XNUMX일) 17장. 디지털 필터 - IV
18. "시뮬레이션 5부"(1995년 XNUMX월 XNUMX일) 18장. 모델링 - I
19. "시뮬레이션 9부"(1995년 XNUMX월 XNUMX일) 19장. 모델링 - II
20. "시뮬레이션, 11부"(1995년 XNUMX월 XNUMX일) 20장. 모델링 - III
21. "광섬유"(12년 1995월 XNUMX일) 21장. 광섬유
22. "컴퓨터 지원 교육"(16년 1995월 XNUMX일) 22장: 컴퓨터 보조 수업(CAI)
23. "수학" (18년 1995월 XNUMX일) 제23장. 수학
24. "양자 역학"(19년 1995월 XNUMX일) 24장. 양자역학
25. "창의성"(23년 1995월 XNUMX일). 번역: 25장. 창의성
26. "전문가"(25년 1995월 XNUMX일) 26장. 전문가
27. "신뢰할 수 없는 데이터"(26년 1995월 XNUMX일) 27장. 신뢰할 수 없는 데이터
28. "시스템공학" (30년 1995월 XNUMX일) 28장. 시스템 공학
29. "측정한 대로 얻을 수 있습니다"(1년 1995월 XNUMX일) 제29장 측정한 대로 얻는다
30. "우리가 아는 것을 어떻게 아는가" (6 월 2, 1995) 10분 단위로 번역하기
31. 해밍, “당신과 당신의 연구”(6년 1995월 XNUMX일). 번역: 당신과 당신의 일

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