ວິທີການແກ້ໄຂບັນຫາ NP-Hard ກັບ Parameterized Algorithms

ວຽກງານການຄົ້ນຄວ້າແມ່ນບາງທີສ່ວນທີ່ຫນ້າສົນໃຈທີ່ສຸດຂອງການຝຶກອົບຮົມຂອງພວກເຮົາ. ແນວຄວາມຄິດແມ່ນເພື່ອພະຍາຍາມຕົວທ່ານເອງໃນທິດທາງທີ່ທ່ານເລືອກໃນຂະນະທີ່ຍັງຢູ່ໃນມະຫາວິທະຍາໄລ. ຕົວຢ່າງ, ນັກສຶກສາຈາກຂົງເຂດວິສະວະກໍາຊອບແວແລະການຮຽນຮູ້ເຄື່ອງຈັກມັກຈະໄປເຮັດການຄົ້ນຄວ້າໃນບໍລິສັດ (ສ່ວນໃຫຍ່ແມ່ນ JetBrains ຫຼື Yandex, ແຕ່ບໍ່ພຽງແຕ່).

ໃນບົດຂຽນນີ້, ຂ້ອຍຈະເວົ້າກ່ຽວກັບໂຄງການຂອງຂ້ອຍໃນວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ. ເປັນສ່ວນຫນຶ່ງຂອງວຽກງານຂອງຂ້ອຍ, ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ສຶກສາແລະປະຕິບັດວິທີການແກ້ໄຂບັນຫາ NP-hard ທີ່ມີຊື່ສຽງທີ່ສຸດຫນຶ່ງ: vertex ກວມເອົາບັນຫາ.

ໃນປັດຈຸບັນ, ວິທີການທີ່ຫນ້າສົນໃຈກັບບັນຫາ NP-ຍາກແມ່ນພັດທະນາຢ່າງໄວວາ - parameterized algorithms . ຂ້າ​ພະ​ເຈົ້າ​ຈະ​ພະ​ຍາ​ຍາມ​ເຮັດ​ໃຫ້​ທ່ານ​ເຖິງ​ຄວາມ​ໄວ​, ບອກ​ທ່ານ​ບາງ​ວິ​ທີ​ການ parameterized ງ່າຍ​ດາຍ​ແລະ​ອະ​ທິ​ບາຍ​ວິ​ທີ​ການ​ທີ່​ມີ​ອໍາ​ນາດ​ທີ່​ຊ່ວຍ​ຂ້າ​ພະ​ເຈົ້າ​ຫຼາຍ​. ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ນໍາສະເຫນີຜົນໄດ້ຮັບຂອງຂ້ອຍໃນການແຂ່ງຂັນ PACE Challenge: ອີງຕາມຜົນຂອງການທົດສອບເປີດ, ການແກ້ໄຂຂອງຂ້ອຍໄດ້ຮັບອັນດັບສາມ, ແລະຜົນໄດ້ຮັບສຸດທ້າຍຈະຮູ້ໃນວັນທີ 1 ກໍລະກົດ.

ກ່ຽວກັບຕົວເຮົາເອງ

ຂ້ອຍຊື່ Vasily Alferov, ຕອນນີ້ຂ້ອຍຮຽນຈົບປີທີ 179 ຢູ່ມະຫາວິທະຍາໄລຄົ້ນຄວ້າແຫ່ງຊາດ ມະຫາວິທະຍາໄລເສດຖະກິດຊັ້ນສູງ - St. ຂ້າພະເຈົ້າມີຄວາມສົນໃຈໃນ algorithms ນັບຕັ້ງແຕ່ເວລາຮຽນຂອງຂ້າພະເຈົ້າ, ໃນເວລາທີ່ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ສຶກສາຢູ່ໃນໂຮງຮຽນ Moscow ເລກທີ XNUMX ແລະໄດ້ເຂົ້າຮ່ວມສົບຜົນສໍາເລັດໃນວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ Olympiads.

ຜູ້ຊ່ຽວຊານຈຳນວນຈຳກັດໃນສູດການຄິດໄລ່ຕົວກໍານົດເຂົ້າໄປໃນແຖບ...

ຕົວຢ່າງທີ່ເອົາມາຈາກປື້ມ "ສູດການຄິດໄລ່ພາລາມິເຕີ"

ຈິນຕະນາການວ່າເຈົ້າເປັນທະຫານຍາມຮັກສາຄວາມປອດໄພໃນເມືອງນ້ອຍໆແຫ່ງໜຶ່ງ. ທຸກໆວັນສຸກ, ເຄິ່ງຫນຶ່ງຂອງເມືອງມາຮອດແຖບຂອງເຈົ້າເພື່ອຜ່ອນຄາຍ, ເຊິ່ງເຮັດໃຫ້ທ່ານມີບັນຫາຫຼາຍ: ທ່ານຈໍາເປັນຕ້ອງຖິ້ມລູກຄ້າທີ່ຂີ້ຄ້ານອອກຈາກແຖບເພື່ອປ້ອງກັນການຕໍ່ສູ້. ໃນທີ່ສຸດ, ເຈົ້າຮູ້ສຶກເບື່ອຫນ່າຍແລະຕັດສິນໃຈໃຊ້ມາດຕະການປ້ອງກັນ.

ເນື່ອງຈາກເມືອງຂອງເຈົ້າມີຂະໜາດນ້ອຍ, ເຈົ້າຮູ້ແທ້ໆວ່າຄູ່ທີ່ອຸປະຖໍາມີແນວໂນ້ມທີ່ຈະຕໍ່ສູ້ຖ້າພວກເຂົາຈົບລົງໃນບາຮ່ວມກັນ. ທ່ານມີບັນຊີລາຍຊື່ຂອງ n ຄົນທີ່ຈະມາບາຄືນນີ້. ທ່ານຕັດສິນໃຈທີ່ຈະຮັກສາຊາວເມືອງບາງຄົນອອກຈາກແຖບໂດຍບໍ່ມີໃຜເຂົ້າໄປໃນການຕໍ່ສູ້. ໃນເວລາດຽວກັນ, ນາຍຈ້າງຂອງເຈົ້າບໍ່ຕ້ອງການທີ່ຈະສູນເສຍຜົນກໍາໄລແລະຈະບໍ່ພໍໃຈຖ້າຫາກວ່າທ່ານບໍ່ປ່ອຍໃຫ້ຫຼາຍກ່ວາ. k ປະຊາຊົນ.

ແຕ່ຫນ້າເສຍດາຍ, ບັນຫາກ່ອນທີ່ທ່ານຈະເປັນບັນຫາ NP-ຍາກຄລາສສິກ. ເຈົ້າອາດຈະຮູ້ຈັກນາງເປັນ Vertex Cover, ຫຼືເປັນ vertex ກວມເອົາບັນຫາ. ສໍາລັບບັນຫາດັ່ງກ່າວ, ໃນກໍລະນີທົ່ວໄປ, ບໍ່ມີ algorithms ທີ່ເຮັດວຽກໃນໄລຍະເວລາທີ່ຍອມຮັບໄດ້. ເພື່ອໃຫ້ມີຄວາມຊັດເຈນ, ສົມມຸດຕິຖານທີ່ບໍ່ໄດ້ຮັບການພິສູດແລະຂ້ອນຂ້າງແຂງແຮງ ETH (Exponential Time Hypothesis) ເວົ້າວ່າບັນຫານີ້ບໍ່ສາມາດແກ້ໄຂໄດ້ທັນເວລາ. ນັ້ນແມ່ນ, ທ່ານບໍ່ສາມາດຄິດເຖິງສິ່ງທີ່ດີກ່ວາການຄົ້ນຫາທີ່ສົມບູນ. ຕົວຢ່າງ, ໃຫ້ສົມມຸດວ່າມີຜູ້ໃດຜູ້ໜຶ່ງມາທີ່ແຖບຂອງເຈົ້າ n = 1000 ມະນຸດ. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ການຄົ້ນຫາທີ່ສົມບູນຈະເປັນ ທາງ​ເລືອກ​ທີ່​ມີ​ປະ​ມານ​ - ຈໍານວນບ້າ. ໂຊກດີ, ການຈັດການຂອງທ່ານໄດ້ໃຫ້ຂໍ້ຈໍາກັດແກ່ເຈົ້າ k = 10, ດັ່ງນັ້ນຈໍານວນຂອງການປະສົມທີ່ທ່ານຕ້ອງການທີ່ຈະ iterate ໃນໄລຍະແມ່ນຫນ້ອຍຫຼາຍ: ຈໍານວນຂອງຊຸດຍ່ອຍຂອງສິບອົງປະກອບແມ່ນ. . ອັນນີ້ດີກວ່າ, ແຕ່ມັນຍັງບໍ່ຖືກນັບໃນມື້ໜຶ່ງແມ້ແຕ່ຢູ່ໃນກຸ່ມທີ່ມີອໍານາດ.

ເພື່ອລົບລ້າງຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການຕໍ່ສູ້ໃນການຕັ້ງຄ່າຄວາມສໍາພັນທີ່ເຄັ່ງຕຶງລະຫວ່າງນັກທ່ອງທ່ຽວຂອງແຖບນີ້, ທ່ານຈໍາເປັນຕ້ອງຮັກສາ Bob, Daniel ແລະ Fedor ອອກ. ບໍ່​ມີ​ການ​ແກ້​ໄຂ​ທີ່​ມີ​ພຽງ​ແຕ່​ສອງ​ຄົນ​ທີ່​ຈະ​ປະ​ໄວ້​ທາງ​ຫລັງ​ແມ່ນ​.

ນີ້ຫມາຍຄວາມວ່າມັນເຖິງເວລາທີ່ຈະຍອມແລະໃຫ້ທຸກຄົນເຂົ້າມາບໍ? ໃຫ້ພິຈາລະນາທາງເລືອກອື່ນ. ດີ, ສໍາລັບການຍົກຕົວຢ່າງ, ທ່ານບໍ່ສາມາດປ່ອຍໃຫ້ຢູ່ໃນພຽງແຕ່ຜູ້ທີ່ມີແນວໂນ້ມທີ່ຈະຕໍ່ສູ້ກັບຈໍານວນຂະຫນາດໃຫຍ່ຂອງປະຊາຊົນ. ຖ້າໃຜຜູ້ຫນຶ່ງສາມາດຕໍ່ສູ້ກັບຢ່າງຫນ້ອຍ k+1 ບຸກຄົນອື່ນ, ຫຼັງຈາກນັ້ນທ່ານບໍ່ສາມາດປ່ອຍໃຫ້ລາວເຂົ້າໄປໃນ - ຖ້າບໍ່ດັ່ງນັ້ນທ່ານຈະຕ້ອງຮັກສາທຸກຄົນອອກ k+1 ຊາວເມືອງ, ທີ່ລາວສາມາດຕໍ່ສູ້ໄດ້, ເຊິ່ງແນ່ນອນຈະເຮັດໃຫ້ການນໍາຫນ້າຕົກໃຈ.

ຂໍໃຫ້ເຈົ້າຖິ້ມທຸກຄົນທີ່ເຈົ້າເຮັດໄດ້ຕາມຫຼັກການນີ້. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ທຸກຄົນສາມາດຕໍ່ສູ້ກັບບໍ່ມີຫຼາຍກ່ວາ k ຄົນ. ການຖິ້ມພວກມັນອອກ k ຜູ້ຊາຍ, ທ່ານສາມາດປ້ອງກັນບໍ່ໃຫ້ບໍ່ມີຫຍັງຫຼາຍກ່ວາ ຂໍ້ຂັດແຍ່ງ. ນີ້ຫມາຍຄວາມວ່າຖ້າຫາກວ່າມີຫຼາຍກ່ວາ ຖ້າບຸກຄົນໃດຫນຶ່ງມີສ່ວນຮ່ວມໃນຄວາມຂັດແຍ້ງຢ່າງຫນ້ອຍຫນຶ່ງ, ແນ່ນອນເຈົ້າບໍ່ສາມາດປ້ອງກັນພວກເຂົາທັງຫມົດ. ນັບຕັ້ງແຕ່, ແນ່ນອນ, ທ່ານແນ່ນອນຈະປ່ອຍໃຫ້ປະຊາຊົນທີ່ບໍ່ມີຂໍ້ຂັດແຍ່ງຢ່າງສົມບູນ, ທ່ານຈໍາເປັນຕ້ອງໄດ້ຜ່ານຊຸດຍ່ອຍທັງຫມົດຂອງຂະຫນາດສິບໃນສອງຮ້ອຍຄົນ. ມີປະມານ , ແລະຈໍານວນຂອງການດໍາເນີນງານນີ້ສາມາດຖືກຈັດຮຽງຢູ່ໃນກຸ່ມ.

ຖ້າທ່ານສາມາດເອົາບຸກຄົນທີ່ບໍ່ມີຂໍ້ຂັດແຍ່ງໃດໆໄດ້ຢ່າງປອດໄພ, ແລ້ວຜູ້ທີ່ເຂົ້າຮ່ວມການຂັດແຍ້ງພຽງແຕ່ຫນຶ່ງແມ່ນແນວໃດ? ໃນຄວາມເປັນຈິງ, ພວກເຂົາຍັງສາມາດຖືກປ່ອຍໃຫ້ເຂົ້າໂດຍການປິດປະຕູຂອງ opponent ຂອງພວກເຂົາ. ແທ້ຈິງແລ້ວ, ຖ້າ Alice ຂັດແຍ້ງກັບ Bob ເທົ່ານັ້ນ, ຖ້າພວກເຮົາປ່ອຍໃຫ້ Alice ອອກຈາກພວກເຂົາທັງສອງ, ພວກເຮົາຈະບໍ່ສູນເສຍ: Bob ອາດຈະມີຄວາມຂັດແຍ້ງອື່ນໆ, ແຕ່ Alice ແນ່ນອນວ່າບໍ່ມີພວກເຂົາ. ຍິ່ງໄປກວ່ານັ້ນ, ມັນບໍ່ມີຄວາມຫມາຍສໍາລັບພວກເຮົາທີ່ຈະບໍ່ປ່ອຍໃຫ້ພວກເຮົາທັງສອງເຂົ້າໄປໃນ. ຫຼັງ​ຈາກ​ການ​ດໍາ​ເນີນ​ງານ​ດັ່ງ​ກ່າວ​ຍັງ​ບໍ່​ມີ​ຫຼາຍ​ ແຂກທີ່ມີໂຊກຊະຕາທີ່ບໍ່ໄດ້ຮັບການແກ້ໄຂ: ພວກເຮົາມີພຽງແຕ່ ຂໍ້ຂັດແຍ່ງ, ແຕ່ລະຄົນມີສອງຜູ້ເຂົ້າຮ່ວມແລະແຕ່ລະຄົນມີສ່ວນຮ່ວມຢ່າງຫນ້ອຍສອງຄົນ. ດັ່ງນັ້ນທັງຫມົດທີ່ຍັງເຫຼືອແມ່ນເພື່ອຈັດລຽງຜ່ານ ທາງເລືອກ, ຊຶ່ງສາມາດພິຈາລະນາໄດ້ຢ່າງງ່າຍດາຍເຄິ່ງມື້ໃນຄອມພິວເຕີໂນດບຸກ.

ໃນຄວາມເປັນຈິງ, ດ້ວຍເຫດຜົນງ່າຍໆ, ທ່ານສາມາດບັນລຸເງື່ອນໄຂທີ່ຫນ້າສົນໃຈຫຼາຍ. ຈົ່ງສັງເກດວ່າພວກເຮົາຈໍາເປັນຕ້ອງແກ້ໄຂຂໍ້ຂັດແຍ້ງທັງຫມົດ, ນັ້ນແມ່ນ, ຈາກແຕ່ລະຄູ່ທີ່ຂັດແຍ້ງ, ເລືອກຢ່າງຫນ້ອຍຫນຶ່ງຄົນທີ່ພວກເຮົາຈະບໍ່ປ່ອຍໃຫ້ເຂົ້າໄປໃນ. ໃຫ້ພິຈາລະນາສູດການຄິດໄລ່ຕໍ່ໄປນີ້: ເອົາຂໍ້ຂັດແຍ່ງໃດໆ, ຈາກທີ່ພວກເຮົາເອົາຫນຶ່ງຜູ້ເຂົ້າຮ່ວມແລະ recursively ເລີ່ມຕົ້ນຈາກສ່ວນທີ່ເຫຼືອ, ຫຼັງຈາກນັ້ນເອົາຄົນອື່ນອອກແລະຍັງເລີ່ມຕົ້ນ recursively. ນັບຕັ້ງແຕ່ພວກເຮົາຖິ້ມບາງຄົນອອກໄປໃນທຸກຂັ້ນຕອນ, ຕົ້ນໄມ້ recursion ຂອງ algorithm ດັ່ງກ່າວເປັນຕົ້ນໄມ້ສອງຂອງຄວາມເລິກ. k, ດັ່ງນັ້ນໃນຈໍານວນທັງຫມົດ algorithm ເຮັດວຽກຢູ່ໃນ ບ່ອນທີ່ n ແມ່ນຈໍານວນຂອງຈຸດ, ແລະ m - ຈໍາ​ນວນ​ຂອງ ribs​. ໃນຕົວຢ່າງຂອງພວກເຮົາ, ນີ້ແມ່ນປະມານສິບລ້ານ, ເຊິ່ງສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໃນການແບ່ງປັນວິນາທີບໍ່ພຽງແຕ່ຢູ່ໃນຄອມພິວເຕີ້, ແຕ່ເຖິງແມ່ນວ່າໃນໂທລະສັບມືຖື.

ຕົວຢ່າງຂ້າງເທິງນີ້ແມ່ນຕົວຢ່າງ ສູດການຄິດໄລ່ຕົວກໍານົດການ. Parameterized algorithms ແມ່ນ algorithms ທີ່ເຮັດວຽກໃນເວລາ f(k) poly(n)ບ່ອນທີ່ p - ພະ​ຍາ​ກອນ​, f ເປັນ​ການ​ທໍາ​ງານ​ການ​ຄິດ​ໄລ່​ໂດຍ​ຕົນ​ເອງ​, ແລະ​ k - ບາງຕົວກໍານົດການ, ເຊິ່ງ, ຂ້ອນຂ້າງເປັນໄປໄດ້, ຈະມີຂະຫນາດນ້ອຍກວ່າຂະຫນາດຂອງບັນຫາ.

ການໃຫ້ເຫດຜົນທັງໝົດກ່ອນ algorithm ນີ້ໃຫ້ຕົວຢ່າງ ແກ່ນສານ ແມ່ນຫນຶ່ງໃນເຕັກນິກທົ່ວໄປສໍາລັບການສ້າງ algorithms parameterized. Kernelization ແມ່ນການຫຼຸດຜ່ອນຂະຫນາດຂອງບັນຫາໃຫ້ກັບຄ່າທີ່ຈໍາກັດໂດຍຫນ້າທີ່ຂອງພາລາມິເຕີ. ບັນຫາທີ່ເປັນຜົນແມ່ນມັກຈະເອີ້ນວ່າ kernel. ດັ່ງນັ້ນ, ໂດຍການໃຫ້ເຫດຜົນງ່າຍໆກ່ຽວກັບລະດັບຂອງແນວຕັ້ງ, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ kernel quadratic ສໍາລັບບັນຫາ Vertex Cover, parameterized ໂດຍຂະຫນາດຂອງຄໍາຕອບ. ມີການຕັ້ງຄ່າອື່ນທີ່ທ່ານສາມາດເລືອກສໍາລັບວຽກງານນີ້ (ເຊັ່ນ: Vertex Cover Above LP), ແຕ່ນີ້ແມ່ນການຕັ້ງຄ່າທີ່ພວກເຮົາຈະສົນທະນາ.

Pace Challenge

ການແຂ່ງຂັນ ສິ່ງທ້າທາຍ PACE (The Parameterized Algorithms and Computational Experiments Challenge) ເກີດໃນປີ 2015 ເພື່ອສ້າງການເຊື່ອມຕໍ່ລະຫວ່າງ algorithms parameterized ແລະວິທີການທີ່ໃຊ້ໃນການປະຕິບັດເພື່ອແກ້ໄຂບັນຫາການຄິດໄລ່. ການ​ແຂ່ງ​ຂັນ​ສາມ​ຄັ້ງ​ທໍາ​ອິດ​ໄດ້​ຖືກ​ອຸ​ທິດ​ເພື່ອ​ຊອກ​ຫາ​ຄວາມ​ກວ້າງ​ຂອງ​ຕົ້ນ​ໄມ້​ຂອງ​ເສັ້ນ​ສະ​ແດງ (ລວງກວ້າງ), ຄົ້ນຫາຕົ້ນໄມ້ Steiner (ຕົ້ນໄມ້ Steiner) ແລະ​ການ​ຊອກ​ຫາ​ສໍາ​ລັບ​ຊຸດ​ຂອງ​ຈຸດ​ຕັ້ງ​ທີ່​ຕັດ​ວົງ​ຈອນ (ຄໍາຕິຊົມທີ່ກໍານົດໄວ້ Vertex). ໃນປີນີ້, ຫນຶ່ງໃນບັນຫາທີ່ທ່ານສາມາດພະຍາຍາມດ້ວຍມືຂອງເຈົ້າແມ່ນບັນຫາການປົກຫຸ້ມຂອງ vertex ທີ່ອະທິບາຍຂ້າງເທິງ.

ການແຂ່ງຂັນແມ່ນໄດ້ຮັບຄວາມນິຍົມໃນແຕ່ລະປີ. ຖ້າທ່ານເຊື່ອວ່າຂໍ້ມູນເບື້ອງຕົ້ນ, ປີນີ້ 24 ທີມໄດ້ເຂົ້າຮ່ວມໃນການແຂ່ງຂັນເພື່ອແກ້ໄຂບັນຫາການປົກຫຸ້ມຂອງ vertex ຢ່າງດຽວ. ມັນເປັນມູນຄ່າທີ່ສັງເກດວ່າການແຂ່ງຂັນບໍ່ຫຼາຍຊົ່ວໂມງຫຼືແມ້ກະທັ້ງຫນຶ່ງອາທິດ, ແຕ່ຫຼາຍເດືອນ. ທີມງານມີໂອກາດທີ່ຈະສຶກສາວັນນະຄະດີ, ແນວຄວາມຄິດຕົ້ນສະບັບຂອງຕົນເອງແລະພະຍາຍາມປະຕິບັດມັນ. ໂດຍເນື້ອແທ້ແລ້ວ, ການແຂ່ງຂັນນີ້ແມ່ນໂຄງການຄົ້ນຄ້ວາ. ແນວຄວາມຄິດສໍາລັບການແກ້ໄຂທີ່ມີປະສິດທິພາບທີ່ສຸດແລະການມອບລາງວັນຂອງຜູ້ຊະນະຈະຖືກຈັດຂຶ້ນໂດຍສົມທົບກັບກອງປະຊຸມ IPEC (International Symposium on Parameterized and Exact Computation) ເປັນສ່ວນຫນຶ່ງຂອງກອງປະຊຸມ algorithmic ປະຈໍາປີທີ່ໃຫຍ່ທີ່ສຸດໃນເອີຣົບ algo. ຂໍ້ມູນລາຍລະອຽດເພີ່ມເຕີມກ່ຽວກັບການແຂ່ງຂັນຕົວມັນເອງສາມາດພົບໄດ້ທີ່ site, ແລະຜົນໄດ້ຮັບຂອງປີທີ່ຜ່ານມາແມ່ນນອນ ທີ່ນີ້.

ແຜນວາດການແກ້ໄຂ

ເພື່ອແກ້ໄຂບັນຫາການປົກຫຸ້ມຂອງ vertex, ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ພະຍາຍາມໃຊ້ algorithms parameterized. ປົກກະຕິແລ້ວພວກມັນປະກອບດ້ວຍສອງພາກສ່ວນ: ກົດລະບຽບການເຮັດໃຫ້ງ່າຍ (ຊຶ່ງໃນຫຼັກການນໍາໄປສູ່ການ kernelization) ແລະກົດລະບຽບການແບ່ງປັນ. ກົດ​ລະ​ບຽບ​ການ​ເຮັດ​ໃຫ້​ງ່າຍ​ດາຍ​ແມ່ນ preprocessing ຂອງ​ການ​ປ້ອນ​ຂໍ້​ມູນ​ໃນ​ເວ​ລາ polynomial​. ຈຸດປະສົງຂອງການປະຕິບັດກົດລະບຽບດັ່ງກ່າວແມ່ນເພື່ອຫຼຸດຜ່ອນບັນຫາໃຫ້ເປັນບັນຫາຂະຫນາດນ້ອຍກວ່າທຽບເທົ່າ. ກົດລະບຽບການເຮັດໃຫ້ງ່າຍແມ່ນສ່ວນທີ່ແພງທີ່ສຸດຂອງ algorithm, ແລະການນໍາໃຊ້ສ່ວນນີ້ນໍາໄປສູ່ການໃຊ້ເວລາແລ່ນທັງຫມົດ. ແທນທີ່ຈະໃຊ້ເວລາ polynomial ງ່າຍດາຍ. ໃນກໍລະນີຂອງພວກເຮົາ, ກົດລະບຽບການແບ່ງປັນແມ່ນອີງໃສ່ຄວາມຈິງທີ່ວ່າສໍາລັບແຕ່ລະ vertex ທ່ານຈໍາເປັນຕ້ອງເອົາມັນຫຼືເພື່ອນບ້ານເປັນຄໍາຕອບ.

ໂຄງການທົ່ວໄປແມ່ນນີ້: ພວກເຮົານໍາໃຊ້ກົດລະບຽບການເຮັດໃຫ້ງ່າຍດາຍ, ຫຼັງຈາກນັ້ນພວກເຮົາເລືອກບາງ vertex, ແລະເຮັດສອງການໂທ recursive: ໃນຄັ້ງທໍາອິດພວກເຮົາເອົາມັນໃນການຕອບສະຫນອງ, ແລະອີກປະການຫນຶ່ງພວກເຮົາເອົາປະເທດເພື່ອນບ້ານທັງຫມົດ. ນີ້​ແມ່ນ​ສິ່ງ​ທີ່​ພວກ​ເຮົາ​ເອີ້ນ​ວ່າ​ການ​ແບ່ງ​ແຍກ (branching) ຕາມ​ຈຸດ​ນີ້​.

ຈະມີການເພີ່ມອັນໜຶ່ງໃຫ້ກັບໂຄງການນີ້ໃນວັກຕໍ່ໄປ.

ແນວຄວາມຄິດສໍາລັບການແຍກ (brunching) ກົດລະບຽບ

ໃຫ້ພວກເຮົາປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບວິທີການເລືອກຈຸດສູງສຸດພ້ອມກັບການແຕກແຍກຈະເກີດຂື້ນ.
ແນວຄວາມຄິດຕົ້ນຕໍແມ່ນມີຄວາມໂລບມາກຫຼາຍໃນຄວາມຫມາຍສູດການຄິດໄລ່: ໃຫ້ເອົາຈຸດສູງສຸດຂອງລະດັບສູງສຸດແລະແບ່ງອອກຕາມມັນ. ເປັນຫຍັງມັນເບິ່ງຄືວ່າດີກວ່າ? ເນື່ອງຈາກວ່າໃນສາຂາທີສອງຂອງການໂທ recursive ພວກເຮົາຈະເອົາຫຼາຍຂອງ vertices ໃນທາງນີ້. ທ່ານສາມາດນັບຢູ່ໃນເສັ້ນສະແດງຂະຫນາດນ້ອຍທີ່ຍັງເຫຼືອແລະພວກເຮົາສາມາດເຮັດວຽກໄດ້ໄວ.

ວິທີການນີ້, ດ້ວຍເຕັກນິກການແຍກເມັດທີ່ງ່າຍດາຍທີ່ໄດ້ສົນທະນາກັນແລ້ວ, ສະແດງໃຫ້ເຫັນຕົວຂອງມັນເອງໄດ້ດີແລະແກ້ໄຂບາງການທົດສອບທີ່ມີຂະຫນາດຫຼາຍພັນເສັ້ນ. ແຕ່, ສໍາລັບການຍົກຕົວຢ່າງ, ມັນບໍ່ໄດ້ຜົນດີສໍາລັບກາຟ cubic (ວ່າ, ເສັ້ນສະແດງທີ່ມີລະດັບຂອງແຕ່ລະ vertex ແມ່ນສາມ).
ມີຄວາມຄິດອື່ນໂດຍອີງໃສ່ຄວາມຄິດທີ່ງ່າຍດາຍຫຼາຍ: ຖ້າກາຟຖືກຕັດການເຊື່ອມຕໍ່, ບັນຫາກ່ຽວກັບອົງປະກອບທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ຂອງມັນສາມາດແກ້ໄຂໄດ້ຢ່າງເປັນເອກະລາດ, ປະສົມປະສານຄໍາຕອບໃນຕອນທ້າຍ. ນີ້, ໂດຍວິທີທາງການ, ແມ່ນການດັດແກ້ທີ່ສັນຍາຂະຫນາດນ້ອຍໃນໂຄງການ, ເຊິ່ງຈະຊ່ວຍເລັ່ງການແກ້ໄຂຢ່າງໄວວາ: ກ່ອນຫນ້ານີ້, ໃນກໍລະນີນີ້, ພວກເຮົາໄດ້ເຮັດວຽກສໍາລັບຜະລິດຕະພັນເວລາສໍາລັບການຄິດໄລ່ການຕອບສະຫນອງຂອງອົງປະກອບ, ແຕ່ໃນປັດຈຸບັນພວກເຮົາເຮັດວຽກສໍາລັບ. ລວມ. ແລະເພື່ອເລັ່ງການແຕກງ່າ, ທ່ານ ຈຳ ເປັນຕ້ອງປ່ຽນເສັ້ນສະແດງທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ເປັນເສັ້ນເຊື່ອມຕໍ່.

ເຮັດແນວໃດມັນ? ຖ້າມີຈຸດປະທັບຕາຢູ່ໃນເສັ້ນສະແດງ, ທ່ານຈໍາເປັນຕ້ອງຕໍ່ສູ້ກັບມັນ. ຈຸດປະສາດແມ່ນຈຸດສູງສຸດທີ່ເມື່ອເອົາອອກ, ເສັ້ນສະແດງຈະສູນເສຍການເຊື່ອມຕໍ່ຂອງມັນ. ຈຸດເຊື່ອມຕໍ່ທັງໝົດໃນກາຟສາມາດພົບເຫັນໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດການຄິດໄລ່ແບບຄລາສສິກໃນເວລາເສັ້ນຊື່. ວິທີການນີ້ເລັ່ງການແຕກງ່າຢ່າງຫຼວງຫຼາຍ.

ເມື່ອຈຸດຕັ້ງທີ່ເລືອກຖືກເອົາອອກ, ກຣາບຈະແບ່ງອອກເປັນອົງປະກອບທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ກັນ.

ພວກເຮົາຈະເຮັດສິ່ງນີ້, ແຕ່ພວກເຮົາຕ້ອງການເພີ່ມເຕີມ. ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, ຊອກຫາການຕັດ vertex ຂະຫນາດນ້ອຍໃນກາຟແລະແບ່ງອອກຕາມແນວຕັ້ງຈາກມັນ. ວິທີທີ່ມີປະສິດທິພາບທີ່ສຸດທີ່ຂ້ອຍຮູ້ເພື່ອຊອກຫາການຕັດ vertex ຕ່ໍາສຸດຂອງໂລກແມ່ນການໃຊ້ຕົ້ນໄມ້ Gomori-Hu, ເຊິ່ງກໍ່ສ້າງໃນເວລາລູກບາດ. ໃນ PACE Challenge, ຂະໜາດກາຟປົກກະຕິແມ່ນຫຼາຍພັນແນວຕັ້ງ. ໃນສະຖານະການນີ້, ການດໍາເນີນງານຫຼາຍຕື້ຕ້ອງໄດ້ຮັບການປະຕິບັດຢູ່ແຕ່ລະຈຸດຂອງຕົ້ນໄມ້ recursion. ມັນ turns ໃຫ້ ເຫັນ ວ່າ ມັນ ເປັນ ໄປ ໄດ້ ພຽງ ແຕ່ ເພື່ອ ແກ້ ໄຂ ບັນ ຫາ ໃນ ເວ ລາ ທີ່ ໄດ້ ຮັບ .

ໃຫ້ພະຍາຍາມເພີ່ມປະສິດທິພາບການແກ້ໄຂ. ການຕັດຈຸດຂັ້ນຕໍ່າສຸດລະຫວ່າງຄູ່ຂອງແນວຕັ້ງສາມາດພົບໄດ້ໂດຍວິທີໃດນຶ່ງທີ່ສ້າງການໄຫຼສູງສຸດ. ທ່ານສາມາດປ່ອຍໃຫ້ມັນຢູ່ໃນເຄືອຂ່າຍດັ່ງກ່າວ ສູດການຄິດໄລ່ Dinitz, ໃນທາງປະຕິບັດມັນເຮັດວຽກຢ່າງໄວວາ. ຂ້າພະເຈົ້າມີຄວາມສົງໃສວ່າມັນເປັນໄປໄດ້ທາງທິດສະດີເພື່ອພິສູດການຄາດຄະເນສໍາລັບເວລາປະຕິບັດງານ , ເຊິ່ງແມ່ນແລ້ວຂ້ອນຂ້າງຍອມຮັບ.

ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ພະຍາຍາມຫຼາຍຄັ້ງເພື່ອຊອກຫາການຕັດລະຫວ່າງຄູ່ຂອງແນວຕັ້ງສຸ່ມແລະເອົາຫນຶ່ງທີ່ສົມດູນທີ່ສຸດ. ແຕ່ຫນ້າເສຍດາຍ, ນີ້ເຮັດໃຫ້ຜົນໄດ້ຮັບທີ່ບໍ່ດີໃນການທົດສອບ PACE Challenge ເປີດ. ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ປຽບທຽບມັນກັບສູດການຄິດໄລ່ທີ່ແບ່ງຈຸດສູງສຸດຂອງລະດັບສູງສຸດ, ແລ່ນພວກມັນດ້ວຍຂໍ້ຈໍາກັດກ່ຽວກັບຄວາມເລິກຂອງການສືບເຊື້ອສາຍ. ຫຼັງຈາກສູດການຄິດໄລ່ທີ່ພະຍາຍາມຊອກຫາການຕັດດ້ວຍວິທີນີ້, ເສັ້ນສະແດງທີ່ໃຫຍ່ກວ່າໄດ້ຖືກປະໄວ້. ນີ້ແມ່ນເນື່ອງມາຈາກຄວາມຈິງທີ່ວ່າການຕັດອອກບໍ່ສົມດູນຫຼາຍ: ໂດຍໄດ້ໂຍກຍ້າຍອອກ 5-10 ຈຸດ, ມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະແຍກອອກພຽງແຕ່ 15-20 ເທົ່ານັ້ນ.

ມັນເປັນມູນຄ່າທີ່ສັງເກດວ່າບົດຄວາມກ່ຽວກັບ algorithms ທີ່ໄວທີ່ສຸດທາງທິດສະດີໃຊ້ເຕັກນິກທີ່ກ້າວຫນ້າທາງດ້ານຫຼາຍສໍາລັບການເລືອກແນວຕັ້ງສໍາລັບການແຍກ. ເຕັກນິກດັ່ງກ່າວມີການປະຕິບັດທີ່ສັບສົນຫຼາຍແລະມັກຈະປະຕິບັດບໍ່ດີກ່ຽວກັບເວລາແລະຄວາມຊົງຈໍາ. ຂ້າພະເຈົ້າບໍ່ສາມາດລະບຸສິ່ງທີ່ເປັນທີ່ຍອມຮັບໄດ້ສໍາລັບການປະຕິບັດ.

ວິທີການສະຫມັກຂໍເອົາກົດລະບຽບງ່າຍດາຍ

ພວກເຮົາມີແນວຄວາມຄິດສໍາລັບການ kernelization ແລ້ວ. ໃຫ້ຂ້ອຍເຕືອນເຈົ້າວ່າ:

1. ຖ້າມີຈຸດທີ່ໂດດດ່ຽວ, ໃຫ້ລຶບມັນອອກ.
2. ຖ້າມີຈຸດສູງສຸດຂອງລະດັບ 1, ເອົາມັນອອກແລະເອົາເພື່ອນບ້ານຂອງຕົນໃນການຕອບສະຫນອງ.
3. ຖ້າມີ vertex ຂອງລະດັບຢ່າງຫນ້ອຍ k+1, ເອົາມັນຄືນ.

ດ້ວຍສອງອັນທໍາອິດທຸກຢ່າງແມ່ນຈະແຈ້ງ, ກັບທີສາມມີຫນຶ່ງ trick. ຖ້າຢູ່ໃນບັນຫາ comic ກ່ຽວກັບແຖບທີ່ພວກເຮົາໄດ້ຮັບຂອບເຂດຈໍາກັດເທິງ k, ຫຼັງຈາກນັ້ນໃນ PACE Challenge ທ່ານພຽງແຕ່ຕ້ອງການຊອກຫາການປົກຫຸ້ມຂອງ vertex ຂອງຂະຫນາດຕໍາ່ສຸດທີ່. ນີ້ແມ່ນການຫັນປ່ຽນປົກກະຕິຂອງບັນຫາການຊອກຫາໄປສູ່ບັນຫາການຕັດສິນໃຈ; ມັກຈະບໍ່ມີຄວາມແຕກຕ່າງກັນລະຫວ່າງສອງປະເພດຂອງບັນຫາ. ໃນທາງປະຕິບັດ, ຖ້າພວກເຮົາກໍາລັງຂຽນຕົວແກ້ໄຂສໍາລັບບັນຫາການປົກຫຸ້ມຂອງ vertex, ອາດຈະມີຄວາມແຕກຕ່າງ. ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, ໃນຈຸດທີສາມ.

ຈາກທັດສະນະຂອງການຈັດຕັ້ງປະຕິບັດ, ມີສອງວິທີທີ່ຈະດໍາເນີນການ. ວິທີທໍາອິດແມ່ນເອີ້ນວ່າ Iterative Deepening. ມັນເປັນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້: ພວກເຮົາສາມາດເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍຂໍ້ຈໍາກັດທີ່ສົມເຫດສົມຜົນບາງຢ່າງຈາກຂ້າງລຸ່ມນີ້ກ່ຽວກັບຄໍາຕອບ, ແລະຫຼັງຈາກນັ້ນດໍາເນີນການ algorithm ຂອງພວກເຮົາໂດຍໃຊ້ຂໍ້ຈໍາກັດນີ້ເປັນຂໍ້ຈໍາກັດໃນຄໍາຕອບຈາກຂ້າງເທິງ, ໂດຍບໍ່ມີການ recursion ຕ່ໍາກວ່າຂໍ້ຈໍາກັດນີ້. ຖ້າພວກເຮົາໄດ້ພົບຄໍາຕອບບາງຢ່າງ, ມັນຮັບປະກັນວ່າດີທີ່ສຸດ, ຖ້າບໍ່ດັ່ງນັ້ນພວກເຮົາສາມາດເພີ່ມຂີດຈໍາກັດນີ້ຫນຶ່ງແລະເລີ່ມຕົ້ນອີກເທື່ອຫນຶ່ງ.

ວິທີການອື່ນແມ່ນການເກັບຮັກສາບາງຄໍາຕອບທີ່ດີທີ່ສຸດໃນປະຈຸບັນແລະຊອກຫາຄໍາຕອບທີ່ນ້ອຍກວ່າ, ປ່ຽນຕົວກໍານົດການນີ້ເມື່ອພົບ k ສໍາລັບການຕັດຫຼາຍກວ່າເກົ່າຂອງສາຂາທີ່ບໍ່ຈໍາເປັນໃນການຊອກຫາ.

ຫຼັງຈາກດໍາເນີນການທົດລອງຫຼາຍໆຄັ້ງໃນຕອນກາງຄືນ, ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ຕົກລົງໃນການປະສົມປະສານຂອງສອງວິທີນີ້: ທໍາອິດ, ຂ້ອຍດໍາເນີນການ algorithm ຂອງຂ້ອຍດ້ວຍຂອບເຂດຈໍາກັດບາງຢ່າງກ່ຽວກັບຄວາມເລິກຂອງການຄົ້ນຫາ (ເລືອກມັນເພື່ອໃຫ້ມັນໃຊ້ເວລາຫນ້ອຍເມື່ອປຽບທຽບກັບການແກ້ໄຂຕົ້ນຕໍ) ແລະໃຊ້ທີ່ດີທີ່ສຸດ. ການ​ແກ້​ໄຂ​ໄດ້​ພົບ​ເຫັນ​ເປັນ​ຂໍ້​ຈໍາ​ກັດ​ເທິງ​ຂອງ​ຄໍາ​ຕອບ - ນັ້ນ​ແມ່ນ​, ກັບ​ສິ່ງ​ດຽວ​ກັນ​ k.

ຈຸດຢືນຂອງລະດັບ 2

ພວກເຮົາໄດ້ຈັດການກັບຈຸດຕັ້ງຂອງລະດັບ 0 ແລະ 1. ມັນ turns ໃຫ້​ເຫັນ​ວ່າ​ນີ້​ສາ​ມາດ​ເຮັດ​ໄດ້​ກັບ​ຈຸດ​ຕັ້ງ​ຂອງ​ລະ​ດັບ 2​, ແຕ່​ວ່າ​ນີ້​ຈະ​ຮຽກ​ຮ້ອງ​ໃຫ້​ມີ​ການ​ດໍາ​ເນີນ​ງານ​ສະ​ລັບ​ສັບ​ຊ້ອນ​ຫຼາຍ​ຈາກ​ເສັ້ນ​ສະ​ແດງ​.

ເພື່ອອະທິບາຍເລື່ອງນີ້, ພວກເຮົາຈໍາເປັນຕ້ອງໄດ້ກໍານົດແນວຕັ້ງ. ໃຫ້ເອີ້ນຈຸດສູງສຸດຂອງລະດັບ 2 ເປັນຈຸດສູງສຸດ v, ແລະປະເທດເພື່ອນບ້ານຂອງຕົນ - vertices x и y. ຕໍ່ໄປພວກເຮົາຈະມີສອງກໍລະນີ.

1. ໃນເວລາທີ່ x и y - ເພື່ອນ​ບ້ານ. ຈາກນັ້ນເຈົ້າສາມາດຕອບໄດ້ x и yແລະ v ລຶບ. ແທ້ຈິງແລ້ວ, ຈາກສາມຫຼ່ຽມນີ້ຢ່າງຫນ້ອຍສອງຈຸດຕ້ອງໄດ້ຮັບການເອົາຄືນ, ແລະພວກເຮົາແນ່ນອນຈະບໍ່ສູນເສຍຖ້າພວກເຮົາເອົາ. x и y: ພວກເຂົາເຈົ້າອາດຈະເປັນປະເທດເພື່ອນບ້ານອື່ນໆ, ແລະ v ເຂົາເຈົ້າບໍ່ຢູ່ທີ່ນີ້.
2. ໃນເວລາທີ່ x и y - ບໍ່ແມ່ນເພື່ອນບ້ານ. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ມັນໄດ້ຖືກລະບຸໄວ້ວ່າທັງສາມຈຸດສາມາດຖືກກາວເຂົ້າໄປໃນຫນຶ່ງ. ແນວຄວາມຄິດແມ່ນວ່າໃນກໍລະນີນີ້ມີຄໍາຕອບທີ່ດີທີ່ສຸດ, ໃນທີ່ພວກເຮົາເອົາທັງສອງ v, ຫຼືທັງສອງຈຸດ x и y. ຍິ່ງໄປກວ່ານັ້ນ, ໃນກໍລະນີທໍາອິດພວກເຮົາຈະຕ້ອງເອົາປະເທດເພື່ອນບ້ານທັງຫມົດໃນການຕອບສະຫນອງ x и y, ແຕ່ໃນຄັ້ງທີສອງມັນບໍ່ຈໍາເປັນ. ນີ້ກົງກັນກັບກໍລະນີທີ່ພວກເຮົາບໍ່ເອົາຈຸດທີ່ຕິດກາວໃນການຕອບສະຫນອງແລະເວລາທີ່ພວກເຮົາເຮັດ. ມັນຍັງມີພຽງແຕ່ສັງເກດວ່າໃນທັງສອງກໍລະນີການຕອບສະຫນອງຈາກການປະຕິບັດງານດັ່ງກ່າວຫຼຸດລົງຫນຶ່ງຄັ້ງ.

ມັນເປັນມູນຄ່າທີ່ສັງເກດວ່າວິທີການນີ້ແມ່ນຂ້ອນຂ້າງຍາກທີ່ຈະປະຕິບັດຢ່າງຖືກຕ້ອງໃນເວລາເສັ້ນທີ່ຖືກຕ້ອງ. Gluing vertices ແມ່ນການດໍາເນີນງານທີ່ຊັບຊ້ອນ, ທ່ານຈໍາເປັນຕ້ອງຄັດລອກລາຍຊື່ເພື່ອນບ້ານ. ຖ້າຫາກວ່ານີ້ແມ່ນເຮັດ carelessly, ທ່ານສາມາດສິ້ນສຸດເຖິງເວລາແລ່ນ asymptotically suboptimal (ຕົວຢ່າງ, ຖ້າທ່ານຄັດລອກຂອບຫຼາຍຫຼັງຈາກແຕ່ລະ gluing). ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ຕົກລົງກ່ຽວກັບການຊອກຫາເສັ້ນທາງທັງຫມົດຈາກຈຸດຕັ້ງຂອງລະດັບ 2 ແລະການວິເຄາະຊໍ່ຂອງກໍລະນີພິເສດ, ເຊັ່ນ: ຮອບວຽນຈາກຈຸດສູງສຸດດັ່ງກ່າວຫຼືຈາກຈຸດສູງສຸດດັ່ງກ່າວທັງຫມົດຍົກເວັ້ນຫນຶ່ງ.

ນອກຈາກນັ້ນ, ມັນເປັນສິ່ງຈໍາເປັນທີ່ການປະຕິບັດນີ້ຈະຖືກປີ້ນກັບກັນ, ດັ່ງນັ້ນເມື່ອກັບຄືນຈາກການເອີ້ນຄືນໃຫມ່, ພວກເຮົາຟື້ນຟູເສັ້ນສະແດງໃຫ້ຢູ່ໃນຮູບແບບຕົ້ນສະບັບຂອງມັນ. ເພື່ອໃຫ້ແນ່ໃຈວ່ານີ້, ຂ້າພະເຈົ້າບໍ່ໄດ້ລຶບລ້າງບັນຊີລາຍຊື່ຂອບຂອງຈຸດທີ່ລວມກັນ, ແລະຫຼັງຈາກນັ້ນຂ້າພະເຈົ້າພຽງແຕ່ຮູ້ວ່າຂອບທີ່ຕ້ອງການໄປບ່ອນໃດ. ການປະຕິບັດກາຟນີ້ຍັງຕ້ອງການຄວາມຖືກຕ້ອງ, ແຕ່ມັນສະຫນອງເວລາເສັ້ນທີ່ຍຸດຕິທໍາ. ແລະສໍາລັບກາຟຂອງຫຼາຍສິບພັນຂອງຂອບ, ມັນເຫມາະກັບ cache ຂອງໂປເຊດເຊີ, ເຊິ່ງເຮັດໃຫ້ຄວາມໄດ້ປຽບທີ່ຍິ່ງໃຫຍ່ໃນຄວາມໄວ.

Linear kernel

ສຸດທ້າຍ, ສ່ວນທີ່ຫນ້າສົນໃຈທີ່ສຸດຂອງແກ່ນ.

ເພື່ອເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍ, ຈື່ໄວ້ວ່າໃນກາຟ bipartite ການປົກຫຸ້ມຂອງ vertex ຕໍາ່ສຸດທີ່ສາມາດໄດ້ຮັບການພົບເຫັນໂດຍໃຊ້ . ເພື່ອເຮັດສິ່ງນີ້, ທ່ານຈໍາເປັນຕ້ອງໃຊ້ algorithm Hopcroft-Karp ເພື່ອຊອກຫາການຈັບຄູ່ສູງສຸດຢູ່ທີ່ນັ້ນ, ແລະຫຼັງຈາກນັ້ນນໍາໃຊ້ທິດສະດີບົດ König-Egervari.

ແນວຄວາມຄິດຂອງ kernel ເສັ້ນແມ່ນນີ້: ທໍາອິດພວກເຮົາ bifurcate ເສັ້ນສະແດງ, ນັ້ນແມ່ນ, ແທນທີ່ຈະເປັນແຕ່ລະ vertex. v ໃຫ້ເພີ່ມສອງຈຸດສູງສຸດ и , ແລະແທນທີ່ຈະເປັນແຕ່ລະຂອບ u - v ໃຫ້ຕື່ມສອງ ribs и . ເສັ້ນສະແດງຜົນຈະເປັນ bipartite. ໃຫ້ພວກເຮົາຊອກຫາການປົກຫຸ້ມຂອງ vertex ຕໍາ່ສຸດທີ່ຢູ່ໃນມັນ. ບາງຈຸດຂອງເສັ້ນກຣາບຕົ້ນສະບັບຈະໄປຮອດສອງຄັ້ງ, ບາງອັນພຽງແຕ່ຄັ້ງດຽວ, ແລະບາງອັນບໍ່ເຄີຍ. ທິດສະດີ Nemhauser-Trotter ບອກວ່າໃນກໍລະນີນີ້, ຄົນເຮົາສາມາດເອົາຈຸດທີ່ບໍ່ໄດ້ຕີໄດ້ເທື່ອດຽວ ແລະເອົາຄືນສິ່ງທີ່ຕີສອງເທື່ອ. ຍິ່ງໄປກວ່ານັ້ນ, ນາງເວົ້າວ່າຈຸດທີ່ຍັງເຫຼືອ (ທີ່ຕີຄັ້ງດຽວ) ທ່ານຈໍາເປັນຕ້ອງເອົາຢ່າງຫນ້ອຍເຄິ່ງຫນຶ່ງເປັນຄໍາຕອບ.

ພວກເຮົາພຽງແຕ່ໄດ້ຮຽນຮູ້ທີ່ຈະອອກຈາກບໍ່ເກີນ 2k ສູງສຸດ ແທ້ຈິງແລ້ວ, ຖ້າຄໍາຕອບທີ່ຍັງເຫຼືອແມ່ນຢ່າງຫນ້ອຍເຄິ່ງຫນຶ່ງຂອງແນວຕັ້ງທັງຫມົດ, ຫຼັງຈາກນັ້ນບໍ່ມີຈຸດສູງສຸດໃນຈໍານວນທັງຫມົດ. 2k.

ໃນທີ່ນີ້ຂ້ອຍສາມາດເອົາບາດກ້າວນ້ອຍໆໄປຂ້າງຫນ້າ. ມັນເປັນທີ່ຊັດເຈນວ່າ kernel ກໍ່ສ້າງໃນລັກສະນະນີ້ແມ່ນຂຶ້ນກັບປະເພດຂອງການປົກຫຸ້ມຂອງ vertex ຫນ້ອຍທີ່ສຸດທີ່ພວກເຮົາເອົາຢູ່ໃນເສັ້ນສະແດງ bipartite. ຂ້ອຍຕ້ອງການເອົາອັນຫນຶ່ງເພື່ອໃຫ້ຈໍານວນຈຸດທີ່ຍັງເຫຼືອແມ່ນຫນ້ອຍ. ກ່ອນຫນ້ານີ້, ພວກເຂົາສາມາດເຮັດໄດ້ພຽງແຕ່ໃນເວລາເທົ່ານັ້ນ . ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ມາເຖິງການຈັດຕັ້ງປະຕິບັດ algorithm ນີ້ໃນເວລານັ້ນ ດັ່ງນັ້ນ, ແກນນີ້ສາມາດຄົ້ນຫາໄດ້ໃນກາຟຂອງຫຼາຍຮ້ອຍພັນຂອງແນວຕັ້ງໃນແຕ່ລະຂັ້ນຕອນຂອງການແຕກງ່າ.

ຜົນ

ການປະຕິບັດສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າການແກ້ໄຂຂອງຂ້ອຍເຮັດວຽກໄດ້ດີໃນການທົດສອບຫຼາຍຮ້ອຍຈຸດແລະຫຼາຍພັນຂອບ. ໃນການທົດສອບດັ່ງກ່າວມັນເປັນໄປໄດ້ຂ້ອນຂ້າງທີ່ຈະຄາດຫວັງວ່າການແກ້ໄຂຈະພົບເຫັນໃນເຄິ່ງຊົ່ວໂມງ. ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການຊອກຫາຄໍາຕອບໃນໄລຍະເວລາທີ່ຍອມຮັບ, ໃນຫຼັກການ, ເພີ່ມຂຶ້ນຖ້າເສັ້ນສະແດງມີຈໍານວນຂະຫນາດໃຫຍ່ພຽງພໍຂອງຈຸດສູງສຸດຂອງລະດັບສູງ, ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, ລະດັບ 10 ແລະສູງກວ່າ.

ເພື່ອເຂົ້າຮ່ວມໃນການແຂ່ງຂັນ, ການແກ້ໄຂຕ້ອງຖືກສົ່ງໄປຫາ optil.io. ການຕັດສິນໂດຍຂໍ້ມູນທີ່ນໍາສະເຫນີຢູ່ທີ່ນັ້ນ ເຊັນ, ການແກ້ໄຂຂອງຂ້ອຍໃນການທົດສອບເປີດຢູ່ໃນອັນດັບສາມໃນຈໍານວນຊາວ, ມີຊ່ອງຫວ່າງຂະຫນາດໃຫຍ່ຈາກທີສອງ. ເພື່ອຄວາມຊື່ສັດຢ່າງສົມບູນ, ມັນບໍ່ແມ່ນຄວາມຊັດເຈນທັງຫມົດກ່ຽວກັບວິທີການແກ້ໄຂຈະຖືກປະເມີນຢູ່ໃນການແຂ່ງຂັນຂອງມັນເອງ: ຕົວຢ່າງ, ການແກ້ໄຂຂອງຂ້ອຍຜ່ານການທົດສອບຫນ້ອຍກວ່າການແກ້ໄຂໃນສະຖານທີ່ທີສີ່, ແຕ່ໃນສິ່ງທີ່ຜ່ານ, ມັນເຮັດວຽກໄວກວ່າ.

ຜົນຂອງການທົດສອບປິດຈະຮູ້ໃນວັນທີ XNUMX ກໍລະກົດ.

ແຫຼ່ງຂໍ້ມູນ: www.habr.com