Демистифицирање на принципите на квантното пресметување

„Мислам дека можам со сигурност да кажам дека никој не ја разбира квантната механика“ - Ричард Фајнман

Темата за квантно пресметување отсекогаш ги фасцинирала технолошките писатели и новинарите. Неговиот пресметковен потенцијал и сложеност му дадоа одредена мистична аура. Премногу често, написите и инфографиците детално ги опишуваат различните перспективи на оваа индустрија, додека едвај ја допираат нејзината практична примена: тоа може да го доведе во заблуда помалку внимателниот читател.

Популарните научни статии ги испуштаат описите на квантните системи и даваат изјави како:

Обичен бит може да биде 1 или 0, но кјубитот може да биде 1 и 0 во исто време.

Ако имате многу среќа (за што не сум сигурен), ќе ви биде кажано дека:

Кубитот е во суперпозиција помеѓу „1“ и „0“.

Ниту едно од овие објаснувања не изгледа веродостојно, бидејќи се обидуваме да формулираме квантно механички феномен користејќи јазик развиен во многу традиционален свет. За јасно да се објаснат принципите на квантното пресметување, неопходно е да се користи друг јазик - математички. 

Во овој туторијал, ќе ги опфатам математичките алатки потребни за моделирање и разбирање на системи за квантно пресметување, како и како да се илустрира и примени логиката на квантното пресметување. Покрај тоа, ќе дадам пример за квантен алгоритам и ќе ви кажам која е неговата предност во однос на традиционалниот компјутер.

Ќе дадам се од себе да го објаснам сето ова на јасен јазик, но сепак се надевам дека читателите на оваа статија имаат основно разбирање за линеарната алгебра и дигиталната логика (линеарната алгебра е покриена тука, за дигиталната логика - тука). 

Прво, да ги разгледаме принципите на дигиталната логика. Се заснова на употреба на електрични кола за извршување на пресметки. За да го направиме нашиот опис поапстрактен, да ја поедноставиме состојбата на електричната жица на „1“ или „0“, што ќе одговара на состојбите „вклучено“ или „исклучено“. Со распоредување на транзистори во одредена секвенца, ќе создадеме таканаречени логички елементи кои земаат една или повеќе вредности на влезниот сигнал и ги претвораат во излезен сигнал врз основа на одредени правила на Буловата логика.

Заеднички логички порти и нивните табели на состојби

Врз основа на синџирите на таквите основни елементи, може да се создадат посложени елементи, а врз основа на синџирите на посложени елементи, на крајот, со голем степен на апстракција, можеме да очекуваме да добиеме аналог на централниот процесор.

Како што споменав претходно, ни треба начин математички да ја претставиме дигиталната логика. Прво, да ја воведеме математичката традиционална логика. Користејќи линеарна алгебра, класичните битови со вредности „1“ и „0“ може да се претстават како вектори со две колони:

каде што се броевите лево Дирак нотација вектор. Претставувајќи ги нашите битови на овој начин, можеме да моделираме логички операции на битовите користејќи векторски трансформации. Ве молиме запомнете: иако со користење на два бита во логичките порти може да се извршат многу операции (И, НЕ, XOR, итн.), кога се користи еден бит, може да се извршат само четири операции: конверзија на идентитет, негација, пресметка на константата „0“ и пресметка на константата „1“. Со конверзија на идентитет, битот останува непроменет, со негација, вредноста на битот се менува спротивно (од „0“ на „1“ или од „1“ на „0“), а пресметувањето на константата „1“ или „0“ го поставува битот на „1“ или „0“ без оглед на неговата претходна вредност.

Идентитет	Трансформација на идентитетот
Негација	Негација
Постојано-0	Пресметка на константата „0“
Постојано-1	Пресметка на константата „1“

Врз основа на нашата предложена нова претстава на бит, прилично е лесно да се извршат операции на соодветниот бит користејќи векторска трансформација:

Пред да продолжиме понатаму, да го погледнеме концептот реверзибилни пресметки, што едноставно имплицира дека за да се обезбеди реверзибилност на операција или логички елемент, неопходно е да се одреди список на вредности на влезниот сигнал врз основа на излезните сигнали и имињата на користените операции. Така, можеме да заклучиме дека трансформацијата на идентитетот и негацијата се реверзибилни, но операциите за пресметување на константите „1“ и „0“ не се. Благодарение на унитарност квантната механика, квантните компјутери користат исклучиво реверзибилни операции, па на тоа ќе се фокусираме. Следно, ние ги претвораме неповратните елементи во реверзибилни елементи за да им овозможиме да ги користи квантен компјутер.

Со тензор производ поединечните битови можат да бидат претставени со многу битови:

Сега, кога ги имаме речиси сите потребни математички концепти, да продолжиме со нашата прва квантна логичка порта. Ова е операторот CNOT, или контролирано не (НЕ), што е од големо значење во реверзибилното и квантното пресметување. Елементот CNOT се применува на два бита и враќа два бита. Првиот бит е означен како бит „контролен“, а вториот како бит „контролен“. Ако контролниот бит е поставен на „1“, контролниот бит ја менува својата вредност; Ако контролниот бит е поставен на „0“, контролниот бит не се менува.

Овој оператор може да се претстави како следниов вектор на трансформација:

За да демонстрираме сè што опфативме досега, ќе ви покажам како да го користите елементот CNOT на повеќе битови:

Да го резимираме она што е веќе кажано: во првиот пример го разложуваме |10⟩ на делови од неговиот тензорски производ и ја користиме матрицата CNOT за да добиеме нова соодветна состојба на производот; потоа го факторизираме на |11⟩ според табелата со вредности на CNOT дадена претходно.

Значи, ги запаметивме сите математички правила кои ќе ни помогнат да ги разбереме традиционалните пресметки и обичните битови, и конечно можеме да преминеме на модерното квантно пресметување и кјубити.

Ако сте прочитале досега, тогаш имам добра вест за вас: кјубитите можат лесно да се изразат математички. Општо земено, ако класичниот бит (cbit) може да се постави на |1⟩ или |0⟩, кубитот е едноставно во суперпозиција и може да биде и |0⟩ и |1⟩ пред мерењето. По мерењето, се собира во |0⟩ или |1⟩. Со други зборови, кубитот може да се претстави како линеарна комбинација од |0⟩ и |1⟩ според формулата подолу:

каде што a₀ и a1 ги претставуваат, соодветно, амплитудите |0⟩ и |1⟩. Овие можат да се сметаат како „квантни веројатности“, кои ја претставуваат веројатноста кјубитот да се сруши во една од состојбите откако ќе се измери, бидејќи во квантната механика објектот во суперпозиција пропаѓа во една од состојбите откако ќе се поправи. Да го прошириме овој израз и да го добиеме следново:

За да го поедноставам моето објаснување, ова е претставата што ќе ја користам во оваа статија.

За овој кјубит, шансата да се сруши до вредноста a₀ по мерењето е еднакво на |a₀|² и шансата за колапс до вредноста a₁ е еднакво на |a₁|². На пример, за следниот кубит:

шансата да се сруши во „1“ е еднаква на |1/ √2|², или ½, односно 50/50.

Бидејќи во класичниот систем сите веројатности мора да се соберат до една (за целосна распределба на веројатноста), можеме да заклучиме дека квадратите на апсолутните вредности на амплитудите |0⟩ и |1⟩ мора да се соберат до еден. Врз основа на овие информации можеме да ја формулираме следната равенка:

Ако сте запознаени со тригонометријата, ќе забележите дека оваа равенка одговара на Питагоровата теорема (a²+b²=c²), односно графички можеме да ги претставиме можните состојби на кјубитот како точки на единечната кружница, имено:

Логичките оператори и елементи се применуваат на кубитите на ист начин како и во ситуацијата со класичните битови - врз основа на трансформација на матрица. Сите оператори со инвертибилна матрица што ги потсетивме досега, особено CNOT, може да се користат за работа со кубити. Ваквите матрични оператори ви дозволуваат да ја користите секоја од амплитудите на кјубитот без да го мерите и срушите. Дозволете ми да ви дадам пример за користење на операторот за негација на кубит:

Пред да продолжиме, дозволете ми да ве потсетам дека вредностите на амплитудата a₀ и a₁ се всушност сложени броеви, така што состојбата на кјубитот може најпрецизно да се мапира на тродимензионална единична сфера, позната и како Сфера на болви:

Меѓутоа, за да го поедноставиме објаснувањето, овде ќе се ограничиме на реални бројки.

Се чини дека е време да се разговара за некои логички елементи кои имаат смисла исклучиво во контекст на квантното пресметување.

Еден од најважните оператори е „елементот Хадамард“: потребно е малку во состојба „0“ или „1“ и го става во соодветна суперпозиција со 50% шанса да се сруши во „1“ или „0“. по мерењето. 

Забележете дека има негативен број во долната десна страна на операторот Hadamard. Ова се должи на фактот дека резултатот од примената на операторот зависи од вредноста на влезниот сигнал: - |1⟩ или |0⟩, и затоа пресметката е реверзибилна.

Друга важна точка за елементот Хадамард е неговата инвертибилност, што значи дека може да земе кјубит во соодветната суперпозиција и да го трансформира во |0⟩ или |1⟩.

Ова е многу важно бидејќи ни дава можност да се трансформираме од квантна состојба без да ја одредиме состојбата на кјубитот - и, соодветно, без да го колабираме. Така, можеме да го структурираме квантното пресметување врз основа на детерминистички, а не на веројатен принцип.

Квантните оператори кои содржат само реални броеви се нивна спротивност, така што можеме да го претставиме резултатот од примената на операторот на кјубит како трансформација во кругот на единицата во форма на машина за состојба:

Така, кјубитот, чија состојба е претставена на дијаграмот погоре, по примената на операцијата Хадамард, се трансформира во состојба означена со соодветната стрелка. Слично на тоа, можеме да конструираме друга машина за состојба која ќе ја илустрира трансформацијата на кубит користејќи го операторот за негација како што е прикажано погоре (исто така познат како оператор за негација на Паули, или бит инверзија), како што е прикажано подолу:

За да извршиме посложени операции на нашиот qubit, можеме да ланираме повеќе оператори или да примениме елементи повеќе пати. Пример за сериска трансформација врз основа на претстави на квантно коло е како што следува:

Односно, ако почнеме со бит |0⟩, примениме битна инверзија, а потоа операција Хадамард, потоа друга бит инверзија и повторно операција Хадамард, проследена со конечна инверзија на бит, завршуваме со векторот даден од на десната страна на ланецот. Со поставување на различни машини за состојби една врз друга, можеме да почнеме од |0⟩ и да ги следиме обоените стрелки што одговараат на секоја од трансформациите за да разбереме како функционира сето тоа.

Бидејќи стигнавме до тука, време е да разгледаме еден од видовите квантни алгоритми, имено - Алгоритам Deutsch-Jozsa, и ја покаже својата предност во однос на класичниот компјутер. Вреди да се напомене дека алгоритмот Deutsch-Jozsa е целосно детерминистички, односно го враќа точниот одговор 100% од времето (за разлика од многу други квантни алгоритми базирани на веројатноста за дефиниција на кубити).

Да замислиме дека имате црна кутија која содржи функција/оператор на еден бит (запомнете - со еден бит може да се извршат само четири операции: конверзија на идентитет, негација, евалуација на константата „0“ и евалуација на константата „1 "). Што точно е функцијата што се извршува во кутијата? Не знаете која, но можете да поминете низ онолку варијанти на влезни вредности колку што сакате и да ги оцените излезните резултати.

Колку влезови и излези би требало да поминете низ црната кутија за да дознаете која функција се користи? Размислете за ова за секунда.

Во случај на класичен компјутер, ќе треба да направите 2 барања за да ја одредите функцијата што треба да ја користите. На пример, ако влезот „1“ произведува излез „0“, станува јасно дека се користи или функцијата за пресметување на константата „0“ или функцијата негација, по што ќе треба да ја смените вредноста на влезниот сигнал. до „0“ и видете што се случува на излезот.

Во случај на квантен компјутер, исто така ќе бидат потребни две прашања, бидејќи сепак ви требаат две различни излезни вредности за прецизно да ја дефинирате функцијата што треба да се примени на влезната вредност. Меѓутоа, ако малку го преформулирате прашањето, ќе излезе дека квантните компјутери сè уште имаат сериозна предност: ако сакате да знаете дали функцијата што се користи е константна или променлива, предноста би имале квантните компјутери.

Функцијата што се користи во полето е променлива ако различните вредности на влезниот сигнал даваат различни резултати на излезот (на пример, конверзија на идентитет и инверзија на битови), и ако излезната вредност не се менува без оглед на влезната вредност, тогаш функцијата е константна (на пример, пресметување на константа „1“ или пресметување на константата „0“).

Користејќи квантен алгоритам, можете да одредите дали функцијата во црната кутија е константна или променлива врз основа на само едно барање. Но, пред да погледнеме како да го направиме тоа во детали, треба да најдеме начин да ја структурираме секоја од овие функции на квантен компјутер. Бидејќи сите квантни оператори мора да бидат инверзибилни, веднаш се соочуваме со проблем: функциите за пресметување на константите „1“ и „0“ не се.

Вообичаено решение што се користи во квантното пресметување е да се додаде дополнителен излезен кјубит кој ја враќа секоја влезна вредност што ја добива функцијата. 

Пред:	По:

На овој начин, можеме да ги одредиме влезните вредности исклучиво врз основа на излезната вредност, а функцијата станува инвертибилна. Структурата на квантните кола создава потреба од дополнителен влезен бит. Заради развивање на соодветните оператори, ќе претпоставиме дека дополнителниот влезен кубит е поставен на |0⟩.

Користејќи го истото претставување на квантното коло што го користевме претходно, да видиме како секој од четирите елементи (трансформација на идентитетот, негација, евалуација на константата „0“ и евалуација на константата „1“) може да се имплементира со помош на квантни оператори. 

На пример, вака можете да ја имплементирате функцијата за пресметување на константата „0“:

Пресметка на константата „0“:

Тука воопшто не ни требаат оператори. Првиот влезен кубит (за кој претпоставувавме дека е |0⟩) се враќа со иста вредност, а втората влезна вредност се враќа самата - како и обично.

Со функцијата за пресметување на константата „1“ ситуацијата е малку поинаква:

Пресметка на константата „1“:

Бидејќи претпоставивме дека првиот влезен кубит е секогаш поставен на |0⟩, резултатот од примената на операторот за инверзија на битови е тоа што тој секогаш произведува еден на излезот. И како и обично, вториот кјубит дава своја вредност на излезот.

При прикажување на операторот за трансформација на идентитетот, задачата почнува да станува посложена. Еве како да го направите тоа:

Идентична трансформација:

Симболот што се користи овде го означува елементот CNOT: горната линија го означува контролниот бит, а долната линија го означува контролниот бит. Дозволете ми да ве потсетам дека кога се користи операторот CNOT, вредноста на контролниот бит се менува ако контролниот бит е еднаков на |1⟩, но останува непроменет ако контролниот бит е еднаков на |0⟩. Бидејќи претпоставивме дека вредноста на горната линија е секогаш еднаква на |0⟩, нејзината вредност секогаш се доделува на долната линија.

Постапуваме на сличен начин со операторот за негација:

Негација:

Едноставно го превртуваме битот на крајот од излезната линија.

Сега, кога го отфрливме тоа прелиминарно разбирање, ајде да ги погледнеме специфичните предности на квантниот компјутер во однос на традиционалниот компјутер кога станува збор за одредување на постојаноста или варијабилноста на функцијата скриена во црна кутија користејќи само едно барање.

За да се реши овој проблем користејќи квантно пресметување во едно барање, неопходно е да се стават влезните кубити во суперпозиција пред да се пренесат на функцијата, како што е прикажано подолу:

Елементот Хадамард повторно се применува на резултатот од функцијата за да се скршат кубитите од суперпозиција и да се направи алгоритмот детерминистички. Системот го стартуваме во состојба |00⟩ и, од причини што ќе ги објаснам кратко, ќе го добиеме резултатот |11⟩ ако применетата функција е константна. Ако функцијата во црната кутија е променлива, тогаш по мерењето системот го враќа резултатот |01⟩.

За да го разбереме остатокот од статијата, да ја погледнеме илустрацијата што ја покажав претходно:

Со користење на операторот за инверзија на битови и потоа со примена на елементот Hadamard на двете влезни вредности еднакви на |0⟩, обезбедуваме дека тие се преведени во истата суперпозиција на |0⟩ и |1⟩, како што следува:

Користејќи го примерот за пренесување на оваа вредност на функција на црна кутија, лесно е да се покаже дека и двете функции со постојана вредност даваат излез |11⟩.

Пресметка на константата „0“:

Слично, гледаме дека функцијата за пресметување на константата „1“ исто така произведува |11⟩ како излез, односно:

Пресметка на константата „1“:

Забележете дека излезот ќе биде |1⟩, бидејќи -1² = 1.

По истиот принцип, можеме да докажеме дека кога ги користиме двете променливи функции, секогаш ќе добиваме |01⟩ на излезот (под услов да го користиме истиот метод), иако сè е малку покомплицирано.

Идентична трансформација:

Бидејќи CNOT е оператор со два кјубити, тој не може да се претстави како едноставна машина за состојба, и затоа е неопходно да се дефинираат два излезни сигнали врз основа на тензорскиот производ на двата влезни кубити и множењето со матрицата CNOT како што е опишано претходно:

Со овој метод можеме да потврдиме дека излезната вредност |01⟩ е примена ако функцијата за негација е скриена во црното поле:

Негација:

Така, штотуку покажавме ситуација во која квантен компјутер е очигледно поефикасен од конвенционалниот компјутер.

Што е следно?

Предлагам да завршиме тука. Веќе завршивме одлична работа. Ако разбравте сè што опфатив, мислам дека сега добро ги разбирате основите на квантното пресметување и квантната логика, и зошто квантните алгоритми можат да бидат поефикасни од традиционалното пресметување во одредени ситуации.

Мојот опис тешко може да се нарече целосен водич за квантно пресметување и алгоритми - напротив, тој е краток вовед во математиката и нотација, дизајниран да ги отфрли идеите на читателите за темата наметната од изворите на популарната наука (сериозно, многумина навистина не можат да разберат ситуацијата!). Немав време да допрам многу важни теми, како на пр квантно заплеткување на кјубити, сложеност на вредностите на амплитудата |0⟩ и |1⟩ и функционирањето на различни квантни логички елементи при трансформација од Блоховата сфера.

Ако сакате да го систематизирате и структурирате вашето знаење за квантните компјутери, Ургентно Ви препорачувам да прочитате „Вовед во квантните алгоритми“ Ема Струбел: и покрај изобилството на математички формули, оваа книга многу подетално ги разгледува квантните алгоритми.

Извор: www.habr.com