Како може секој да стапи во брак (бракови со еден, двопол и тројно пол) од математичка гледна точка и зошто мажите секогаш победуваат

Во 2012 година, Нобеловата награда за економија им беше доделена на Лојд Шепли и Алвин Рот. „За теоријата на стабилна дистрибуција и практиката на организирање пазари. Алексеј Савватеев во 2012 година се обиде едноставно и јасно да ја објасни суштината на заслугите на математичарите. Ви презентирам резиме видео предавања.

Денеска ќе има теоретско предавање. За експериментите Ела Рота, особено со донација, нема да кажам.

Кога беше објавено дека Лојд Шепли (1923-2016) ја доби Нобеловата награда, имаше стандардно прашање: „Како!? Дали е уште жив!?!?“ Неговиот најпознат резултат е добиен во 1953 година.

Формално бонусот беше даден за нешто друго. За неговиот труд од 1962 година за „теоремата за стабилност на бракот“: „Прием на факултет и стабилност на бракот“.

За одржливиот брак

Појавување на (совпаѓање) - задача да се најде кореспонденција.

Има одредено изолирано село. Има „м“ млади мажи и „в“ девојки. Треба да ги венчаме еден со друг. (Не мора иста бројка, можеби на крајот некој ќе остане сам.)

Кои претпоставки треба да се направат во моделот? Дека не е лесно да се премажиш по случаен избор. Се прави одреден чекор кон слободен избор. Да речеме дека постои мудар аксакал кој сака повторно да се ожени за по неговата смрт да не започнат разводите. (Развод е ситуација кога мажот повеќе сака жена од трето лице за негова жена отколку жена.)

Оваа теорема е во духот на модерната економија. Таа е исклучително нечовечка. Економијата традиционално е нехумана. Во економијата, човекот е заменет со машина за максимизирање на профитот. Она што ќе ви го кажам се апсолутно луди работи од морална гледна точка. Не го земајте при срце.

Економистите гледаат на бракот на овој начин.
m1, m2,… mk - мажи.
w1, w2,... wL - жени.

Мажот се поистоветува со тоа како „наредува“ девојки. Постои и „нулта рамнина“, под кое жените воопшто не можат да бидат понудени за сопруги, дури и ако нема други.

Сè се случува во двете насоки, исто за девојките.

Првичните податоци се произволни. Единствената претпоставка/ограничување е дека не ги менуваме нашите преференции.

Теорема: Без оглед на дистрибуцијата и нивото на нула, секогаш постои начин да се воспостави кореспонденција еден-на-еден помеѓу некои мажи и некои жени, така што таа ќе биде стабилна за сите видови поделби (не само за разводи).

Какви закани може да има?

Има пар (м, ч) што не е во брак. Но, за w сегашниот сопруг е полош од m, а за m сегашната сопруга е полоша од w. Ова е неодржлива ситуација.

Исто така, постои опција дека некој бил во брак со некој што е „под нулата“; во оваа ситуација, бракот исто така ќе се распадне.

Ако жената е мажена, но претпочита неженет маж, за кој е над нулата.

Ако двајца се немажени и двајцата се „над нулата“ еден за друг.

Се тврди дека за сите првични податоци постои таков систем на брак, отпорен на сите видови закани. Второ, алгоритмот за наоѓање таква рамнотежа е многу едноставен. Ајде да споредиме со М*Н.

Овој модел беше генерализиран и проширен на „полигамија“ и применет во многу области.

Постапка Гејл-Шепли

Ако сите мажи и сите жени ги следат „рецептите“, системот за брак ќе биде одржлив.

Рецепти.
По потреба земаме неколку дена. Секој ден го делиме на два дела (наутро и навечер).

Првото утро, секој маж оди кај својата кума и тропа на прозорецот, барајќи од неа да се омажи за него.

Вечерта истиот ден редот се врти кон жените Што може да открие жената? Дека има гужва под нејзиниот прозорец, или еден или ниеден маж. Оние кои денес немаат никој, го прескокнуваат редот и чекаат. Останатите, кои имаат барем еден, ги проверуваат мажите кои доаѓаат да видат дека се „над нула“. Да има барем еден. Ако сте целосно несреќни и се е под нулата, тогаш сите треба да бидат испратени. Жената го избира најголемиот од оние што дошле, му вели да почека, а останатите ги испраќа.

Пред вториот ден, ситуацијата е вака: некои жени имаат еден маж, некои немаат.

На вториот ден, сите „слободни“ (испратени) мажи треба да одат кај жената со втор приоритет. Ако нема таква личност, тогаш мажот се прогласува за самец. Оние мажи кои веќе седат со жени се уште не прават ништо.

Вечерта жените ја гледаат ситуацијата. Ако на некој кој веќе седел му се придружил повисок приоритет, тогаш понискиот приоритет се испраќа. Ако тие што доаѓаат се пониски од она што е веќе достапно, сите се испраќаат. Жените го избираат максималниот елемент секој пат.

Повторуваме.

Како резултат на тоа, секој маж помина низ целиот список на своите жени и беше оставен сам или свршен со некоја жена. Тогаш сите ќе ги венчаме.

Дали е можно да се води целиот овој процес, но жените да трчаат кај мажите? Постапката е симетрична, но решението може да биде различно. Но, прашањето е, кој е подобар од ова?

Теорема. Да ги разгледаме не само овие две симетрични решенија, туку збирот на сите стабилни брачни системи. Оригиналниот предложен механизам (мажите трчаат, а жените прифаќаат/одбиваат) резултира со систем на брак кој е подобар за секој маж од кој било друг и полош од кој било друг за која било жена.

Бракови од ист пол

Размислете за ситуацијата со „истополовите бракови“. Да разгледаме математички резултат што фрла сомнеж за потребата од нивно легализирање. Идеолошки неточен пример.

Размислете за четворица хомосексуалци a, b, c, d.

приоритети за: bcd
приоритети за b:cad
приоритети за в: абд
за г не е важно како ги рангира преостанатите три.

Изјава: Во овој систем не постои систем на одржлив брак.

Колку системи има за четири лица? Три. ab cd, ac bd, ad bc. Паровите ќе се распаднат и процесот ќе оди во циклуси.

Системи со „три родови“.
Ова е најважното прашање што отвора цела област на математиката. Тоа го направи мојот колега во Москва, Владимир Иванович Данилов. Тој го сметаше „бракот“ како пиење вотка, а улогите беа следни: „оној што точи“, „оној што зборува тост“ и „оној што сече колбас“. Во ситуација кога има 4 или повеќе претставници на секоја улога, невозможно е да се реши со брутална сила. Прашањето за одржлив систем е отворено.

Шепли вектор

Во викендичкото село решиле да го асфалтираат патот. Треба да се внесе. Како?

Шејпли предложил решение за овој проблем во 1953 година. Да претпоставиме ситуација на конфликт со група луѓе N={1,2…n}. Трошоците/придобивките треба да се поделат. Да претпоставиме дека луѓето заедно направиле нешто корисно, го продале и како да го поделат профитот?

Шејпли сугерираше дека при делењето треба да се водиме од тоа колку одредени подмножества од овие луѓе можат да добијат. Колку пари би можеле да заработат сите 2N непразни подмножества? И врз основа на овие информации, Шепли напиша универзална формула.

Пример. Солист, гитарист и тапанар свират во подземен премин во Москва. Тројцата заработуваат по 1000 рубли на час. Како да се подели? Можно подеднакво.
V(1,2,3)=1000

Ајде да се преправаме дека
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100

Правична поделба не може да се одреди додека не знаеме каква добивка ја чека одредена компанија ако се отцепи и дејствува самостојно. И кога ги одредивме бројките (поставете ја кооперативната игра во карактеристична форма).

Суперадитивност е кога заедно заработуваат повеќе отколку одделно, кога е поисплатливо да се обединат, но не е јасно како да се поделат добивките. Многу копии се скршени за ова.

Има игра. Тројца бизнисмени истовремено пронашле депозит вреден 1 милион долари. Ако тројцата се согласуваат, тогаш ги има милион. Секој пар може да убие (да го отстрани од случајот) и да го добие целиот милион за себе. И никој не може ништо сам. Ова е страшна ко-оп игра без решение. Секогаш ќе има двајца кои можат да го елиминираат третиот... Теоријата на кооперативни игри започнува со пример кој нема решение.

Сакаме такво решение што ниту една коалиција нема да сака да го блокира заедничкото решение. Множеството од сите поделби што не можат да се блокираат е кернелот. Се случува јадрото да е празно. Но, дури и да не е празно, како да се подели?

Шепли предлага да се подели на овој начин. Фрли паричка со n! рабовите. Ги запишуваме сите играчи по овој редослед. Да речеме првиот тапанар. Влегува и ги зема своите 100. Потоа влегува „вториот“, да речеме солистот. (Заедно со тапанарот можат да заработат 450, тапанарот веќе земал 100) Солистот зема 350. Влегува гитаристот (заедно 1000, -450), зема 550. Последниот во доста често победува. (Супермодуларност)

Ако напишеме за сите нарачки:
GSB - (победа C) - (победа D) - (победа Б)
SGB ​​- (победа C) - (победа D) - (победа Б)
SBG - (победа C) - (победа D) - (победа Б)
БСГ - (победа Ц) - (победа Д) - (победа Б)
BGS - (добивка C) - (добивка D) - (добивка B)
GBS - (победа C) - (победа D) - (победа B)

И за секоја колона додаваме и делиме со 6 - во просек над сите нарачки - ова е Шепли-вектор.

Шепли ја докажа теоремата (приближно): Постои класа на игри (супермодуларни), во кои следниот човек што ќе се приклучи на голем тим носи поголема победа за него. Јадрото е секогаш непразно и е конвексна комбинација од точки (во нашиот случај, 6 поени). Векторот Шепли лежи во самиот центар на јадрото. Секогаш може да се понуди како решение, никој нема да биде против.

Во 1973 година беше докажано дека проблемот со викендичките е супермодуларен.

Сите n луѓе го делат патот до првата куќа. До вториот - n-1 луѓе. итн.

Аеродромот има писта. На различни компании им требаат различни должини. Истиот проблем се јавува.

Мислам дека оние кои ја доделија Нобеловата награда ја имаа на ум оваа заслуга, а не само задачата за маргина.

Ви благодариме!

Ещё

• Канал „Математика - Едноставна“: youtube.com/punkmathematics
• Канал „Савватеев без граници“: eduex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
• Јавна „Математиката е едноставна“: vk.com/alexei_savvateev
• Јавна „Математичарите се шегуваат“: vk.com/bsu_mmf_jokes
• Веб-страница, сите предавања таму +100 лекции и повеќе: savvateev.xyz

Извор: www.habr.com