गणिताच्या दृष्टिकोनातून प्रत्येकजण लग्न कसे करू शकतो (एकल-, द्वि- आणि तिहेरी-सेक्स विवाह) आणि पुरुष नेहमी का जिंकतात

2012 मध्ये, अर्थशास्त्रातील नोबेल पारितोषिक लॉयड शेपली आणि अल्विन रॉथ यांना देण्यात आले. "स्थिर वितरणाच्या सिद्धांतासाठी आणि बाजारांचे आयोजन करण्याच्या सरावासाठी." 2012 मध्ये अॅलेक्सी सव्वातेव यांनी गणितज्ञांच्या गुणवत्तेचे सार सरळ आणि स्पष्टपणे स्पष्ट करण्याचा प्रयत्न केला. मी एक सारांश तुमच्या लक्षात आणून देत आहे व्हिडिओ व्याख्याने.

आज एक सैद्धांतिक व्याख्यान होणार आहे. प्रयोगांबद्दल एला रोटा, विशेषतः देणगीसह, मी सांगणार नाही.

अशी घोषणा झाली तेव्हा लॉयड शेपले (1923-2016) नोबेल पारितोषिक मिळाले, एक मानक प्रश्न होता: “कसे!? तो अजून जिवंत आहे का!?!?" त्याचा सर्वात प्रसिद्ध निकाल 1953 मध्ये मिळाला.

औपचारिकरित्या, बोनस कशासाठी तरी दिला गेला. "विवाह स्थिरता प्रमेय" या विषयावरील त्यांच्या 1962 च्या पेपरसाठी: "कॉलेज प्रवेश आणि विवाहाची स्थिरता."

शाश्वत विवाह बद्दल

जुळत आहे (जुळणारे) - पत्रव्यवहार शोधण्याचे कार्य.

एक विशिष्ट गाव आहे. तेथे "m" तरुण पुरुष आणि "w" मुली आहेत. आपण त्यांचे एकमेकांशी लग्न केले पाहिजे. (समान संख्या आवश्यक नाही, कदाचित शेवटी कोणीतरी एकटे राहील.)

मॉडेलमध्ये कोणती गृहीतके तयार करणे आवश्यक आहे? यादृच्छिकपणे पुनर्विवाह करणे सोपे नाही. मुक्त निवडीच्या दिशेने एक निश्चित पाऊल उचलले जात आहे. समजा एक शहाणा अक्सकल आहे ज्याला पुनर्विवाह करायचा आहे जेणेकरून त्याच्या मृत्यूनंतर घटस्फोट होऊ नयेत. (घटस्फोट ही अशी परिस्थिती आहे जेव्हा एखाद्या पतीला पत्नीपेक्षा तृतीयपंथी स्त्री हवी असते.)

हे प्रमेय आधुनिक अर्थशास्त्राच्या आत्म्यात आहे. ती अपवादात्मक अमानुष आहे. अर्थशास्त्र परंपरेने अमानवीय आहे. अर्थशास्त्रात माणसाची जागा जास्तीत जास्त नफा मिळविण्यासाठी यंत्राने घेतली आहे. मी तुम्हाला जे सांगेन ते नैतिक दृष्टिकोनातून पूर्णपणे वेड्यासारखे आहे. मनावर घेऊ नका.

अर्थशास्त्रज्ञ विवाहाकडे अशा प्रकारे पाहतात.
m1, m2, … mk - पुरुष.
w1, w2,... wL - महिला.

एक माणूस ओळखला जातो की तो मुलींना "ऑर्डर" कसा देतो. एक "शून्य पातळी" देखील आहे, ज्याच्या खाली इतर कोणी नसले तरीही स्त्रियांना पत्नी म्हणून अजिबात देऊ शकत नाही.

सर्व काही दोन्ही दिशांनी घडते, मुलींसाठी सारखेच.

प्रारंभिक डेटा अनियंत्रित आहे. एकमात्र गृहितक/मर्यादा अशी आहे की आम्ही आमची प्राधान्ये बदलत नाही.

प्रमेय: वितरण आणि शून्य पातळीची पर्वा न करता, काही पुरुष आणि काही स्त्रिया यांच्यात एक-टू-वन पत्रव्यवहार स्थापित करण्याचा नेहमीच एक मार्ग असतो जेणेकरून ते सर्व प्रकारच्या विभाजनांसाठी (केवळ घटस्फोटच नाही) मजबूत असेल.

कोणत्या धमक्या असू शकतात?

असे एक जोडपे आहे (m,w) ज्यांचे लग्न झालेले नाही. पण w साठी सध्याचा नवरा m पेक्षा वाईट आहे आणि m साठी सध्याची बायको w पेक्षा वाईट आहे. ही एक अनिश्चित परिस्थिती आहे.

असाही पर्याय आहे की कोणीतरी "शून्य खाली" असलेल्या एखाद्याशी लग्न केले आहे; या परिस्थितीत, विवाह देखील विभक्त होईल.

जर एखादी स्त्री विवाहित असेल, परंतु ती अविवाहित पुरुषाला प्राधान्य देते, ज्याच्यासाठी ती शून्यापेक्षा जास्त आहे.

जर दोन लोक दोघेही अविवाहित असतील आणि दोघेही एकमेकांसाठी “शून्य वर” असतील.

असा युक्तिवाद केला जातो की कोणत्याही प्रारंभिक डेटासाठी अशी विवाह प्रणाली अस्तित्वात आहे, सर्व प्रकारच्या धोक्यांना प्रतिरोधक आहे. दुसरे म्हणजे, असा समतोल शोधण्याचा अल्गोरिदम अगदी सोपा आहे. चला M*N शी तुलना करूया.

हे मॉडेल सामान्यीकृत आणि "बहुपत्नीत्व" पर्यंत विस्तारित केले गेले आणि अनेक क्षेत्रांमध्ये लागू केले गेले.

गेल-शॅपली प्रक्रिया

जर सर्व पुरुष आणि सर्व स्त्रिया "प्रिस्क्रिप्शन" पाळत असतील तर परिणामी विवाह व्यवस्था टिकाऊ असेल.

प्रिस्क्रिप्शन.
आवश्यकतेनुसार आम्ही काही दिवस घेतो. आम्ही प्रत्येक दिवस दोन भागांमध्ये (सकाळी आणि संध्याकाळ) विभागतो.

पहिल्या सकाळी, प्रत्येक पुरुष त्याच्या सर्वोत्तम स्त्रीकडे जातो आणि खिडकीवर ठोठावतो, तिला त्याच्याशी लग्न करण्यास सांगतो.

त्याच दिवशी संध्याकाळी, वळण महिलांकडे वळते. स्त्री काय शोधू शकते? की तिच्या खिडकीखाली एक किंवा पुरुषांची गर्दी होती. ज्यांच्याकडे आज कोणी नाही ते आपली पाळी सोडून थांबतात. बाकीचे, ज्यांच्याकडे किमान एक आहे, ते "शून्य पातळीच्या वर" असल्याचे पाहण्यासाठी आलेल्या पुरुषांना तपासा. किमान एक असणे. जर तुम्ही पूर्णपणे अशुभ असाल आणि सर्व काही शून्याच्या खाली असेल तर प्रत्येकाला पाठवले पाहिजे. ती स्त्री आलेल्यांपैकी सर्वात मोठी निवडते, त्याला थांबायला सांगते आणि बाकीच्यांना पाठवते.

दुसऱ्या दिवसापूर्वी, परिस्थिती अशी आहे: काही स्त्रियांना एक पुरुष असतो, काहींना कोणीही नसते.

दुस-या दिवशी, सर्व "मुक्त" (पाठवलेल्या) पुरुषांना दुसऱ्या प्राधान्य महिलेकडे जाणे आवश्यक आहे. जर अशी कोणतीही व्यक्ती नसेल तर त्या पुरुषाला अविवाहित घोषित केले जाते. जे पुरुष आधीच स्त्रियांसोबत बसले आहेत ते अजून काही करत नाहीत.

संध्याकाळच्या वेळी महिला परिस्थिती पाहतात. जर आधीच बसलेला कोणी उच्च प्राधान्याने सामील झाला असेल, तर खालच्या प्राधान्याने पाठवले जाते. जे येतात ते आधीपासून उपलब्ध असलेल्यापेक्षा कमी असल्यास, प्रत्येकाला पाठवले जाते. महिला प्रत्येक वेळी जास्तीत जास्त घटक निवडतात.

आम्ही पुनरावृत्ती करतो.

परिणामी, प्रत्येक पुरुष आपल्या स्त्रियांच्या संपूर्ण यादीत गेला आणि एकतर एकटा राहिला किंवा एखाद्या स्त्रीशी गुंतला. मग आपण सगळ्यांची लग्न करू.

ही संपूर्ण प्रक्रिया चालवणे शक्य आहे का, पण महिलांनी पुरुषांकडे धाव घेणे? प्रक्रिया सममितीय आहे, परंतु समाधान भिन्न असू शकते. पण प्रश्न असा आहे की यातून बरे कोण?

प्रमेय. आपण केवळ या दोन सममितीय उपायांचाच विचार करू नये, तर सर्व स्थिर विवाह पद्धतींचाही विचार करूया. मूळ प्रस्तावित यंत्रणा (पुरुष धावतात आणि स्त्रिया स्वीकारतात/नाकारतात) परिणामी विवाह पद्धती कोणत्याही पुरुषासाठी इतरांपेक्षा चांगली आणि कोणत्याही स्त्रीसाठी इतरांपेक्षा वाईट असते.

समलिंगी विवाह

“समलिंगी विवाह” च्या परिस्थितीचा विचार करा. चला अशा गणितीय निकालाचा विचार करू ज्याने त्यांना कायदेशीर करण्याच्या गरजेवर शंका निर्माण केली. वैचारिकदृष्ट्या चुकीचे उदाहरण.

अ, ब, क, ड या चार समलैंगिकांचा विचार करा.

a साठी प्राधान्यक्रम: bcd
b:cad साठी प्राधान्यक्रम
c साठी प्राधान्यक्रम: abd
d साठी तो उरलेल्या तिघांना कसा क्रमांक देतो हे महत्त्वाचे नाही.

विधान: या व्यवस्थेत शाश्वत विवाह व्यवस्था नाही.

चार लोकांसाठी किती यंत्रणा आहेत? तीन. ab cd, ac bd, ad bc. जोडपे विभक्त होतील आणि प्रक्रिया चक्रात जाईल.

"तीन-लिंग" प्रणाली.
हा सर्वात महत्त्वाचा प्रश्न आहे जो गणिताचे संपूर्ण क्षेत्र उघडतो. हे मॉस्कोमधील माझे सहकारी व्लादिमीर इव्हानोविच डॅनिलोव्ह यांनी केले होते. त्याने "लग्न" हे वोडका पिणे म्हणून पाहिले आणि भूमिका खालीलप्रमाणे होत्या: "जो ओततो," "जो टोस्ट बोलतो," आणि "जो सॉसेज कापतो." अशा परिस्थितीत जेथे प्रत्येक भूमिकेचे 4 किंवा अधिक प्रतिनिधी आहेत, क्रूर शक्तीने निराकरण करणे अशक्य आहे. शाश्वत व्यवस्थेचा प्रश्न खुला आहे.

शापली वेक्टर

कुटीर गावात त्यांनी रस्त्याचे डांबरीकरण करण्याचा निर्णय घेतला. मध्ये चिप करणे आवश्यक आहे. कसे?

शेपली यांनी 1953 मध्ये या समस्येवर उपाय सुचवला. N={1,2…n} लोकांच्या गटाशी संघर्षाची परिस्थिती गृहीत धरू. खर्च/फायदे सामायिक करणे आवश्यक आहे. समजा लोकांनी मिळून काही उपयुक्त केले तर ते विकले आणि नफा कसा वाटायचा?

शेपलीने असे सुचवले की विभाजन करताना, या लोकांचे विशिष्ट उपसमूह किती प्राप्त करू शकतात याचे मार्गदर्शन केले पाहिजे. सर्व 2N नॉन-रिक्त उपसंच किती पैसे कमवू शकतात? आणि या माहितीच्या आधारे, शापलीने एक वैश्विक सूत्र लिहिले.

एक उदाहरण. एकलवादक, गिटारवादक आणि ड्रमर मॉस्कोमधील भूमिगत पॅसेजमध्ये वाजवतात. त्यापैकी तिघे प्रति तास 1000 रूबल कमावतात. त्याची विभागणी कशी करायची? शक्यतो तितकेच.
V(1,2,3)=1000

चला ते ढोंग करूया
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100

दिलेल्या कंपनीने स्वत:हून वेगळे झाल्यास आणि स्वतःहून कार्य केल्यास कोणते नफा मिळतील हे आम्हाला कळेपर्यंत योग्य विभागणी निश्चित केली जाऊ शकत नाही. आणि जेव्हा आम्ही संख्या निश्चित केली (वैशिष्ट्यपूर्ण स्वरूपात सहकारी खेळ सेट करा).

सुपरअॅडिटिव्हिटी म्हणजे जेव्हा ते एकत्र मिळून वेगळे पेक्षा जास्त कमावतात, जेव्हा ते एकत्र करणे अधिक फायदेशीर असते, परंतु जिंकलेली रक्कम कशी विभाजित करावी हे स्पष्ट नसते. याबाबत अनेक प्रती तोडल्या गेल्या आहेत.

एक खेळ आहे. तीन व्यावसायिकांना एकाच वेळी $1 दशलक्ष किमतीची ठेव सापडली. त्या तिघांचे पटले तर लाखो आहेत. कोणतेही जोडपे मारू शकतात (केसमधून काढून टाकू शकतात) आणि स्वतःसाठी संपूर्ण दशलक्ष मिळवू शकतात. आणि कोणीही एकटे काहीही करू शकत नाही. हा एक भितीदायक सहकारी गेम आहे ज्यामध्ये कोणताही उपाय नाही. नेहमी दोन लोक असतील जे तिसर्याला दूर करू शकतात... सहकारी गेम थिअरी एका उदाहरणाने सुरू होते ज्याला कोणताही उपाय नाही.

आम्हाला असा तोडगा हवा आहे की कोणत्याही युतीला समान तोडगा अडवायचा नाही. ब्लॉक करता येणार नाही अशा सर्व विभागांचा संच कर्नल आहे. असे घडते की कोर रिक्त आहे. पण ती रिकामी नसली तरी भागणार कशी?

शापली अशा प्रकारे विभागणी सुचवतो. एन सह नाणे फेकणे! कडा. आम्ही या क्रमाने सर्व खेळाडू लिहितो. पहिला ढोलकी म्हणूया. तो आत येतो आणि त्याचे 100 घेतो. मग "दुसरा" येतो, एकलवादक म्हणू या. (ढोलकीसह ते एकत्र 450 कमवू शकतात, ड्रमरने आधीच 100 घेतले आहेत) एकल वादक 350 घेतो. गिटार वादक प्रवेश करतो (एकत्र 1000, -450), 550 घेतो. बहुतेक वेळा शेवटचा जिंकतो. (सुपरमॉड्युलॅरिटी)

जर आम्ही सर्व ऑर्डरसाठी लिहितो:
जीएसबी - (सी जिंकला) - (डी जिंकला) - (बी जिंकला)
एसजीबी - (सी जिंकतो) - (डी जिंकतो) - (बी जिंकतो)
एसबीजी - (सी जिंकला) - (डी जिंकला) - (बी जिंकला)
बीएसजी - (सी जिंकतो) - (डी जिंकतो) - (बी जिंकतो)
BGS - (C लाभ) - (D लाभ) - (ब लाभ)
GBS - (C जिंकणे) - (D जिंकणे) - (B जिंकणे)

आणि प्रत्येक स्तंभासाठी आम्ही 6 ने जोडतो आणि विभाजित करतो - सर्व ऑर्डरच्या सरासरीने - हे शापली वेक्टर आहे.

शापलीने प्रमेय सिद्ध केला (अंदाजे): खेळांचा एक वर्ग आहे (सुपरमॉड्युलर), ज्यामध्ये पुढची व्यक्ती मोठ्या संघात सामील होणारा मोठा विजय मिळवून देतो. कर्नल नेहमी रिक्त नसतो आणि बिंदूंचे उत्तल संयोजन असते (आमच्या बाबतीत, 6 गुण). शेपली व्हेक्टर हा न्यूक्लियसच्या अगदी मध्यभागी असतो. हे नेहमीच एक उपाय म्हणून देऊ केले जाऊ शकते, कोणीही त्याच्या विरोधात नाही.

1973 मध्ये, हे सिद्ध झाले की कॉटेजची समस्या सुपरमॉड्युलर आहे.

सर्व n लोक पहिल्या कॉटेजचा रस्ता सामायिक करतात. दुसऱ्या पर्यंत - n-1 लोक. इ.

विमानतळाला धावपट्टी आहे. वेगवेगळ्या कंपन्यांना वेगवेगळ्या लांबीची आवश्यकता असते. असाच प्रश्न निर्माण होतो.

मला असे वाटते की ज्यांना नोबेल पारितोषिक मिळाले त्यांच्या मनात ही गुणवत्ता होती, फक्त फरकाचे काम नाही.

धन्यवाद!

अधिक दर्शवा

• चॅनल "गणित - साधे": youtube.com/punkmathematics
• चॅनेल “सव्वातेव विथ बॉर्डर्स”: edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
• सार्वजनिक "गणित सोपे आहे": vk.com/alexei_savvateev
• सार्वजनिक "गणितज्ञ विनोद": vk.com/bsu_mmf_jokes
• वेबसाइट, तेथे सर्व व्याख्याने +100 धडे आणि अधिक: savvateev.xyz

स्त्रोत: www.habr.com