गणितीय दृष्टिकोणबाट सबैले कसरी विवाह गर्न सक्छन् (एकल, द्वि- र तीन-लिङ्गी विवाह) र किन पुरुषहरू सधैं जित्छन्?

२०१२ मा, अर्थशास्त्रको नोबेल पुरस्कार लोयड शापले र एल्भिन रोथलाई प्रदान गरिएको थियो। "स्थिर वितरणको सिद्धान्त र बजार व्यवस्थित गर्ने अभ्यासको लागि।" 2012 मा Aleksey Savvateev गणितज्ञहरूको योग्यताको सार सरल र स्पष्ट रूपमा व्याख्या गर्ने प्रयास गरे। म तपाईको ध्यानाकर्षणको लागि सारांश प्रस्तुत गर्दछु भिडियो व्याख्यान.

आज सैद्धान्तिक व्याख्यान हुनेछ । प्रयोगको बारेमा इला रोटा, विशेष गरी दान संग, म बताउँदिन ।

जब यो घोषणा गरियो लोयड शेप्ले (1923-2016) नोबेल पुरस्कार प्राप्त भयो, त्यहाँ एक मानक प्रश्न थियो: "कसरी!? के उहाँ अझै जीवित हुनुहुन्छ!?!?" उनको सबैभन्दा प्रसिद्ध परिणाम 1953 मा प्राप्त भएको थियो।

औपचारिक रूपमा, बोनस अरू केहिको लागि दिइएको थियो। "विवाह स्थिरता प्रमेय" मा उनको 1962 पेपरको लागि: "कलेज प्रवेश र विवाहको स्थिरता।"

दिगो विवाहको बारेमा

मिलान (मिल्ने) - पत्राचार खोज्ने कार्य।

त्यहाँ एक निश्चित गाउँ छ। त्यहाँ "m" युवा पुरुष र "w" केटीहरू छन्। हामीले उनीहरूलाई एकअर्कासँग विवाह गर्नुपर्छ। (अवश्यक छैन कि एउटै नम्बर हो, सायद अन्तमा कोही एक्लै छोडिनेछ।)

मोडेलमा के अनुमानहरू बनाउन आवश्यक छ? कि यो अनियमित रूपमा पुनर्विवाह गर्न सजिलो छैन। स्वतन्त्र छनोट तर्फ एक निश्चित कदम चालिएको छ। मानौं त्यहाँ एक बुद्धिमान अक्सकल छ जो पुन: विवाह गर्न चाहन्छन् ताकि उनको मृत्यु पछि सम्बन्धविच्छेद सुरु नहोस्। (सम्बन्ध विच्छेद भनेको यस्तो अवस्था हो जब पतिले आफ्नी पत्नी भन्दा तेस्रो पक्षीय महिलालाई आफ्नी पत्नीको रूपमा चाहन्छन्।)

यो प्रमेय आधुनिक अर्थशास्त्र को आत्मा मा छ। उनी असाधारण अमानवीय छिन्। अर्थशास्त्र परम्परागत रूपमा अमानवीय छ। अर्थशास्त्रमा, नाफा बढाउनको लागि मानिसलाई मेसिनले बदलेको छ। म तपाईंलाई के भन्छु नैतिक दृष्टिकोणबाट बिल्कुल पागल चीजहरू हुन्। यसलाई मनमा नलिनुहोस्।

अर्थशास्त्रीहरूले विवाहलाई यसरी हेर्छन्।
m1, m2, … mk - पुरुष।
w1, w2,... wL - महिला।

एक पुरुषलाई उसले केटीहरूलाई कसरी "आदेश" दिन्छ भनेर चिनिन्छ। त्यहाँ "शून्य स्तर" पनि छ, जसको तल महिलाहरूलाई पत्नीको रूपमा प्रस्ताव गर्न सकिँदैन, त्यहाँ अरू कोही नभए पनि।

सबै कुरा दुबै दिशामा हुन्छ, केटीहरूको लागि उस्तै।

प्रारम्भिक डाटा मनमानी छ। एउटै धारणा/सीमा भनेको हामीले हाम्रो प्राथमिकताहरू परिवर्तन गर्दैनौं।

प्रमेय: बाँडफाँड र शून्यको स्तरको बावजुद, त्यहाँ सँधै केही पुरुष र केही महिलाहरू बीच एक-देखि-एक पत्राचार स्थापित गर्ने तरिका हुन्छ ताकि यो सबै प्रकारका विभाजनहरूमा बलियो हुन्छ (केवल सम्बन्ध विच्छेद मात्र होइन)।

त्यहाँ के धम्की हुन सक्छ?

विवाह नभएको जोडी (m,w) छ। तर अहिलेको पति म भन्दा खराब छ, र मेरो लागि हालको श्रीमती w भन्दा खराब छ। यो दिगो अवस्था हो ।

त्यहाँ "शून्य भन्दा तल" को कसैसँग विवाह भएको विकल्प पनि छ; यस्तो अवस्थामा, विवाह पनि टुट्नेछ।

यदि एक महिला विवाहित छ, तर उनी एक अविवाहित पुरुषलाई प्राथमिकता दिन्छिन्, जसको लागि उनी शून्य भन्दा माथि छ।

यदि दुई व्यक्ति दुबै अविवाहित छन्, र दुबै एकअर्काको लागि "शून्य भन्दा माथि" छन्।

यो तर्क गरिएको छ कि कुनै पनि प्रारम्भिक डेटाको लागि यस्तो विवाह प्रणाली अवस्थित छ, सबै प्रकारका खतराहरूको प्रतिरोधी। दोस्रो, यस्तो सन्तुलन खोज्ने एल्गोरिथ्म धेरै सरल छ। M*N सँग तुलना गरौं।

यो मोडेल सामान्यीकृत र "बहुविवाह" मा विस्तार गरियो र धेरै क्षेत्रहरूमा लागू गरियो।

Gale-Sapley प्रक्रिया

यदि सबै पुरुष र सबै महिलाहरूले "नुस्खाहरू" को पालना गरे, परिणामस्वरूप विवाह प्रणाली दिगो हुनेछ।

प्रिस्क्रिप्शनहरू।
आवश्यकता अनुसार केही दिन लाग्छौं । हामी प्रत्येक दिनलाई दुई भागमा विभाजन गर्छौं (बिहान र साँझ)।

पहिलो बिहान, हरेक पुरुष आफ्नो सबैभन्दा राम्रो केटीकहाँ जान्छ र झ्याल ढकढक्याउँछ, उसलाई विवाह गर्न आग्रह गर्दछ।

सोही दिनको साँझमा महिलाको पालो आउँछ महिलाले के पत्ता लगाउन सक्छ ? कि उनको झ्यालमुनि भीड थियो, या त एक वा पुरुष छैन। आज कोही नभएकाहरू आफ्नो पालो छोडेर पर्खन्छन्। बाँकी, जससँग कम्तिमा एक छ, तिनीहरू "शून्य स्तर भन्दा माथि" छन् भनेर हेर्न आउने पुरुषहरूलाई जाँच गर्नुहोस्। कम्तिमा एक हुन। यदि तपाईं पूर्णतया अशुभ हुनुहुन्छ र सबै कुरा शून्य भन्दा तल छ भने, सबैलाई पठाउनुपर्छ। आइमाईले आएका मध्ये सबैभन्दा ठूलो छनोट गर्छिन्, उसलाई पर्खन भन्छिन्, र बाँकी पठाउँछिन्।

दोस्रो दिन अघि, अवस्था यस्तो छ: कोही महिलासँग एक पुरुष छन्, कोही छैनन्।

दोस्रो दिन, सबै "स्वतन्त्र" (पठाइएको) पुरुषहरू दोस्रो प्राथमिकता महिलामा जान आवश्यक छ। यदि त्यस्तो व्यक्ति नभएको खण्डमा पुरुषलाई अविवाहित घोषित गरिन्छ। महिलासँग बसेका पुरुषहरूले अझै केही गर्दैनन्।

साँझपख महिलाहरूले अवस्था हेर्छन्। यदि पहिले नै बसेको कोही उच्च प्राथमिकतामा जोडिएको थियो भने, तल्लो प्राथमिकता पठाइन्छ। यदि आउनेहरू पहिले उपलब्ध भएको भन्दा कम छन् भने, सबैलाई पठाइन्छ। महिलाहरूले हरेक पटक अधिकतम तत्व छनौट गर्छन्।

हामी दोहोर्याउँछौं।

नतिजाको रूपमा, प्रत्येक पुरुष आफ्नो महिलाहरूको सम्पूर्ण सूचीमा गए र या त एक्लै छोडियो वा कुनै महिलासँग संलग्न भयो। त्यसपछि हामी सबैको बिहे गर्छौं।

के यो सम्पूर्ण प्रक्रिया चलाउन सम्भव छ, तर महिलाहरु को लागी पुरुषहरु लाई दौडने? प्रक्रिया सममित छ, तर समाधान फरक हुन सक्छ। तर प्रश्न यो छ, यसबाट को राम्रो छ?

प्रमेय। हामी यी दुई सममित समाधानहरू मात्र होइन, तर सबै स्थिर विवाह प्रणालीहरूको सेटलाई विचार गरौं। मौलिक प्रस्तावित संयन्त्र (पुरुषहरू दौडिन्छन् र महिलाहरूले स्वीकार गर्छन्/अस्वीकार गर्छन्) वैवाहिक प्रणालीको परिणाम हो जुन कुनै पनि पुरुषको लागि अरू भन्दा राम्रो र कुनै पनि महिलाको लागि अरू भन्दा खराब हुन्छ।

समान-सेक्स विवाह

"समलिङ्गी विवाह" को अवस्थालाई विचार गर्नुहोस्। एउटा गणितीय नतिजालाई विचार गरौं जसले तिनीहरूलाई वैधानिक बनाउने आवश्यकतामा शंका उत्पन्न गर्छ। वैचारिक रूपमा गलत उदाहरण।

चार समलिङ्गीहरू a, b, c, d लाई विचार गर्नुहोस्।

एक को लागी प्राथमिकताहरु: bcd
b:cad को प्राथमिकताहरू
c: abd को प्राथमिकताहरू
उसले बाँकी तीनलाई कसरी स्थान दिन्छ भन्ने कुराले फरक पार्दैन।

कथन: यस प्रणालीमा दिगो विवाह प्रणाली छैन।

चार व्यक्तिको लागि कति प्रणालीहरू छन्? तीन। ab cd, ac bd, ad bc। जोडीहरू अलग हुनेछन् र प्रक्रिया चक्रमा जान्छ।

"तीन-लिङ्गी" प्रणाली।
यो सबैभन्दा महत्त्वपूर्ण प्रश्न हो जसले गणितको सम्पूर्ण क्षेत्र खोल्छ। यो मस्कोमा मेरो सहकर्मी भ्लादिमिर इवानोविच ड्यानिलोभले गरेको थियो। उनले "विवाह" लाई भोड्का पिउनेको रूपमा हेरे र भूमिकाहरू निम्नानुसार थिए: "जो खन्याउछ," "टोस्ट बोल्ने" र "ससेज काट्ने।" प्रत्येक भूमिकाको 4 वा बढी प्रतिनिधिहरू भएको अवस्थामा, यो क्रूर बल द्वारा समाधान गर्न असम्भव छ। दिगो प्रणालीको प्रश्न खुला छ।

Shapley भेक्टर

कुटीर गाउँमा उनीहरूले सडक डामर बनाउने निर्णय गरे। चिप इन गर्न आवश्यक छ। कसरी?

Shapley ले 1953 मा यस समस्याको समाधान प्रस्ताव गर्नुभयो। N={1,2…n} मानिसहरूको समूहसँगको द्वन्द्वको अवस्थालाई मानौं। लागत/लाभहरू साझा गर्न आवश्यक छ। मानौं मानिसहरू मिलेर केही उपयोगी काम गरे, त्यसलाई बेचेर नाफा कसरी बाँड्ने ?

शाप्लेले सुझाव दिए कि विभाजन गर्दा, हामीले यी व्यक्तिहरूको निश्चित उपसमूहहरू कति प्राप्त गर्न सक्छन् भनेर निर्देशित गर्नुपर्छ। सबै 2N गैर-खाली उपसेटहरूले कति पैसा कमाउन सक्छ? र यो जानकारीको आधारमा, Shapley ले एक विश्वव्यापी सूत्र लेखे।

एउटा उदाहरण। एकल, गिटारवादक र ड्रमर मस्कोको भूमिगत मार्गमा बजाउँछन्। तिनीहरूमध्ये तीनले प्रति घण्टा 1000 रूबल कमाउँछन्। यसलाई कसरी विभाजन गर्ने? सम्भवतः समान रूपमा।
V(1,2,3) = 1000

त्यो बहाना गरौं
V(1,2) = 600
V(1,3) = 450
V(2,3) = 400
V(1) = 300
V(2) = 200
V(3) = 100

एक निष्पक्ष विभाजन निर्धारण गर्न सकिँदैन जबसम्म हामीलाई थाहा छैन कि दिइएको कम्पनीले के फाइदाहरू पर्खिरहेको छ यदि यो अलग भयो र आफैले कार्य गर्दछ। र जब हामीले संख्याहरू निर्धारण गर्यौं (सहकारी खेललाई विशेषताको रूपमा सेट गर्नुहोस्)।

Superadditivity भनेको सँगै मिलेर छुट्टाछुट्टै भन्दा बढी कमाउनु हो, जब यो एकजुट हुन बढी लाभदायक हुन्छ, तर जित्नेलाई कसरी विभाजन गर्ने भन्ने कुरा स्पष्ट छैन। यस बारे धेरै प्रतिलिपिहरू तोडिएका छन्।

त्यहाँ एक खेल छ। तीन व्यवसायीले एकैपटक १० लाख डलरको निक्षेप फेला पारे । यदि तिनीहरूमध्ये तीन जना सहमत छन् भने, तिनीहरूमध्ये एक लाख छन्। कुनै पनि जोडीले मार्न सक्छ (केसबाट हटाउनुहोस्) र आफ्नो लागि पूरै मिलियन प्राप्त गर्न सक्छ। र कसैले एक्लै केहि गर्न सक्दैन। यो कुनै समाधान बिना डरलाग्दो को-अप खेल हो। त्यहाँ सधैं दुई व्यक्तिहरू हुनेछन् जसले तेस्रोलाई हटाउन सक्छ... सहकारी खेल सिद्धान्त एउटा उदाहरणबाट सुरु हुन्छ जसको कुनै समाधान छैन।

हामी यस्तो समाधान चाहन्छौं कि कुनै पनि गठबन्धनले साझा समाधान अवरुद्ध गर्न चाहँदैन। अवरुद्ध गर्न नसकिने सबै विभाजनहरूको सेट कर्नेल हो। यो हुन्छ कि कोर खाली छ। तर, खाली नभए पनि कसरी विभाजन गर्ने ?

शापलीले यसरी विभाजन गर्न सुझाव दिन्छ। n को साथ सिक्का टस गर्नुहोस्! किनारहरू। हामी यस क्रममा सबै खेलाडीहरू लेख्छौं। पहिलो ड्रमर भनौं। उहाँ भित्र आउनुहुन्छ र आफ्नो 100 लिनुहुन्छ। त्यसपछि "दोस्रो" आउँछ, एकल कलाकार भनौं। (ढोलकसँग मिलेर 450 कमाउन सक्छन्, ड्रमरले पहिले नै 100 लिइसकेका छन्) एकल वादकले 350 लिन्छ। गिटारवादक प्रवेश गर्छ (एकसाथ 1000, -450), 550 लिन्छ। प्रायः अन्तिममा जित्छ। (सुपरमोड्युलरिटी)

यदि हामी सबै आदेशहरूको लागि लेख्छौं:
GSB - (C जीत) - (D जीत) - (B जीत)
SGB ​​- (C जीत) - (D जीत) - (B जीत)
SBG - (C जीत) - (D जीत) - (B जीत)
BSG - (C जीत) - (D जीत) - (B जीत)
BGS - (लाभ C) - (लाभ D) - (लाभ B)
GBS - (C जीत) - (D जीत) - (B जीत)

र प्रत्येक स्तम्भको लागि हामी 6 ले थप्छौं र विभाजित गर्छौं - सबै अर्डरहरूमा औसत - यो Shapley भेक्टर हो.

शाप्लेले प्रमेय प्रमाणित गरे (लगभग): त्यहाँ खेलहरूको एक वर्ग (सुपरमोड्युलर) छ, जसमा अर्को व्यक्तिले ठूलो टोलीमा सामेल हुन ठूलो जीत ल्याउँछ। कर्नेल सधैं गैर-खाली हुन्छ र बिन्दुहरूको उत्तल संयोजन हो (हाम्रो अवस्थामा, 6 बिन्दुहरू)। शापली भेक्टर न्यूक्लियसको एकदमै केन्द्रमा हुन्छ। यसलाई सधैं समाधानको रूपमा प्रस्ताव गर्न सकिन्छ, कोही पनि यसको विरुद्धमा हुनेछैन।

1973 मा, यो cottages संग समस्या supermodular छ भनेर प्रमाणित भएको थियो।

सबै n मानिसहरूले पहिलो कुटीरको बाटो साझा गर्छन्। दोस्रो सम्म - n-1 व्यक्ति। आदि।

विमानस्थलको धावनमार्ग छ । विभिन्न कम्पनीहरूलाई फरक लम्बाइ चाहिन्छ। यस्तै समस्या उत्पन्न हुन्छ ।

मलाई लाग्छ कि नोबेल पुरस्कार प्रदान गर्नेहरूको दिमागमा यो योग्यता थियो, र मार्जिनको काम मात्र होइन।

धन्यवाद!

अझै

• च्यानल "गणित - सरल": youtube.com/punkmathematics
• च्यानल "Savvateev बिना सीमाना": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
• सार्वजनिक "गणित सरल छ": vk.com/alexei_savvateev
• सार्वजनिक "गणितज्ञहरूको मजाक": vk.com/bsu_mmf_jokes
• वेबसाइट, त्यहाँ सबै लेक्चरहरू +100 पाठ र थप: savvateev.xyz

स्रोत: www.habr.com