🥇Wiskunde en het spel "Set"

Wie iemand hier een 'set' vindt, krijgt van mij een chocoladereep.

Set is een geniale game waar we ongeveer 5 jaar geleden mee bezig waren. Schreeuwen, gillen, foto’s maken van combinaties.

In de spelregels staat dat het is uitgevonden in 1991 door geneticus Marsha Falco, terwijl ze aantekeningen maakte tijdens een onderzoek naar epilepsie bij Duitse herders in 1974. Voor degenen wiens geest behoorlijk uitgeput is door wiskunde, komt er na verloop van tijd een vermoeden op dat er enige echo’s zijn van de meetkunde en het trekken van lijnen door punten. (Voor twee gegeven kaarten bestaat er één en slechts één kaart die samen met hen een set vormt.)

Marsha Falco vraagt: "Nou, heb je de 'set' niet gevonden?"

Laten we de regels herinneren

Set is een kaartspel. Alle kaarten hebben vier parameters, waarvan elke drie waarden kan aannemen (totaal 3 × 3 × 3 × 3 = 81 kaarten).

De soorten en waarden van de parameters zijn als volgt:

figuur ::= ellips | ruit | 'snot'
kleur ::= rood | groen | paars
vulling ::= wit | gestreept | solide
aantal ::= 1 | 2 | 3

Doel van het spel is om speciale combinaties van drie kaarten te vinden. Drie kaarten worden een 'set' genoemd als voor elk van de vier attributen van de kaarten ofwel allemaal gelijk zijn, of all verschillend.

Met andere woorden, drie kaarten zullen geen set vormen als twee kaarten dezelfde waarde voor een parameter hebben en de derde een andere. Het is te zien dat voor elke twee kaarten er altijd een derde (enige) is die met hen een set zal vormen.

Spelverloop: de spelleider legt 12 kaarten op tafel. Wanneer iemand een set vindt, roept hij 'Set!' en neemt vervolgens rustig de kaarten die de set vormen. Als er geen set in de uitgelegde kaarten is (waarschijnlijk lijkt het alleen maar zo), legt de spelleider drie kaarten extra op tafel.

Het maximale aantal kaarten zonder set is 20. De ronde gaat door totdat het deck op is. Degene die de meeste sets verzamelt, wint.

Wiskundigen hebben de samengestelde combinatie van 20 kaarten voor elkaar gekregen. Wie zich een Chuck Norris waant, kan deze afbeelding negeren en proberen de 'patiënt' zonder set zelf te maken.
Of controleren of er misschien toch een 'set' is?

20 kaarten zonder set

Gemakshalve controleren dat er geen 'set naar kleur' is.

Dezelfde kaarten, maar de opstelling toont dat er geen sets zijn per parameter 'vulling'.

Volgens het aantal.

Volgens de figuren.

Geen set op basis van de verschillen in kenmerken.

Een openstaande onopgeloste wiskundige vraag

Hoeveel kaarten kunnen maximaal worden gelegd zonder een enkele "set" te vormen? Het kenmerk heeft drie waarden.

met 1 "kenmerk" — 2 kaarten
2 kenmerken — 4 kaarten
3 kenmerken — 9 kaarten
4 kenmerken — 20 kaarten
5 kenmerken — 45 kaarten
6 kenmerken — 112 kaarten
7 kenmerken — geen idee

En bij "n→∞"?