«Als je op de olifantenkooi leest dat er 'buffel' staat, geloof dan je ogen niet» Kozma Prutkov

In de vorige artikel over modelgeoriënteerd ontwerpen werd aangetoond waarom een objectmodel nodig is, en bewezen dat zonder dit objectmodel het alleen over modelgeoriënteerd ontwerp kan worden gesproken als marketingpraat, zinloos en genadeloos. Maar bij de verschijning van het objectmodel rijst bij geschoolde ingenieurs altijd de redelijke vraag: wat zijn de bewijzen dat het wiskundige model van het object overeenkomt met het werkelijke object?

Een van de voorbeelden van een antwoord op deze vraag is gegeven in artikel over modelgeoriënteerd ontwerpen van elektrische aandrijvingen. In dit artikel bespreken we een voorbeeld van het creëren van een model voor luchtconditiesystemen in vliegtuigen, waarbij we de praktijk aanvullen met enkele algemene theoretische overpeinzingen.

Het maken van een betrouwbaar objectmodel. Theorie

Om de zaken niet te rekken, zal ik meteen het algoritme voor het creëren van een model voor modelgeoriënteerd ontwerpen vertellen. Het bestaat uit maar drie simpele stappen:

Stap 1. Ontwikkel een systeem van algebraïsche-differentiële vergelijkingen die het dynamische gedrag van de gemodelleerde systemen beschrijven. Dit is eenvoudig als je de fysica van het proces kent. Veel wetenschappers hebben al de basiswetten van Newton, Bernoulli, Navier-Stokes en andere Stangelis Circuli en Rabinovitsj voor ons ontwikkeld.

Stap 2. Kies in het verkregen systeem een set empirische coëfficiënten en kenmerken van het modelobject die kunnen worden verkregen uit experimenten.

Stap 3. Voer experimenten uit met het object en stem het model af op basis van de resultaten van fysieke experimenten, zodat het overeenkomt met de realiteit, met de vereiste mate van detail.

Zoals je ziet, het is simpel, als 't zo eenvoudig is.

Voorbeeld van praktische implementatie

De luchtverkoelingssystemen (LVS) in een vliegtuig zijn verbonden met het automatische drukbehoudsysteem. De druk in het vliegtuig moet altijd hoger zijn dan de externe druk, terwijl de snelheid van drukverandering zodanig moet zijn dat piloten en passagiers geen bloedneus of oorpijn krijgen. Daarom is het beheer van de luchtstroom van cruciaal belang voor de veiligheid, en voor de ontwikkeling worden dure testsystemen op de grond gebruikt. Ze creëren temperaturen en druk op gemiddelde vluchthoogtes, en simuleren de stijg- en landingsmodi op luchthavens van verschillende hoogtes. De vraag naar ontwikkeling en afstemming van de LVS-beheersystemen komt dan ook sterk naar voren. Hoe lang moeten we de testopstelling draaien om een bevredigend beheersysteem te verkrijgen? Het is duidelijk dat als we het regelmodel op het objectmodel afstemmen, de werkcyclus op de testopstelling aanzienlijk kan worden verkort.

Het luchtverkoelingssysteem van een vliegtuig bestaat uit dezelfde warmtewisselaars als elk ander thermisch systeem. Een batterij is een batterij, ongeacht waar. Maar vanwege de beperkingen van het maximummassa en de afmetingen van luchtvaartuigen, worden de warmtewisselaars zo compact en efficiënt mogelijk gemaakt om met een lagere massa zoveel mogelijk warmte over te dragen. Uiteindelijk wordt de geometrie behoorlijk eigenzinnig. Zoals in het besproken geval. In Figuur 1 is een plaatwisselaar weergegeven, waarbij een membraan tussen de platen wordt gebruikt om de warmteoverdracht te verbeteren. Een warme en een koude warmteoverdrachtsvloeistof wisselen elkaar af in de kanalen, waarbij de stroomrichting dwars is. Eén warmteoverdrachtsvloeistof wordt naar de voorkant van de sectie geleid, de andere naar de zijkant.

Om de taak van het beheer van de LVS op te lossen, moeten we weten hoeveel warmte in een bepaalde tijdseenheid van de ene omgeving naar de andere wordt overgedragen in zo'n warmtewisselaar. Dit bepaalt de snelheid van temperatuurverandering, die we reguleren.

Figuur 1. Schema van een luchtvaart warmtewisselaar.

Problemen met modelleren. Hydraulisch gedeelte

Op het eerste gezicht lijkt de taak vrij eenvoudig: we moeten de massastroom berekenen in de kanalen van de warmtewisselaar en de warmteflux tussen de kanalen.
De massale stroom van het verwarmingsmedium in de kanalen wordt berekend met de Bernoulli-formule:

waarbij:
ΔP – drukval tussen twee punten;
ξ – wrijvingscoëfficiënt van het verwarmingsmedium;
L – lengte van het kanaal;
d – hydraulische diameter van het kanaal;
ρ – dichtheid van het verwarmingsmedium;
ω – snelheid van het verwarmingsmedium in het kanaal.

Voor een kanaal van willekeurige vorm wordt de hydraulische diameter berekend met de formule:

waarbij:
F – oppervlakte van de doorstromingsdoorsnede;
P – natte omtrek van het kanaal.

De wrijvingscoëfficiënt wordt berekend aan de hand van empirische formules en is afhankelijk van de stroomsnelheid en de eigenschappen van het verwarmingsmedium. Voor verschillende geometrieën ontstaan verschillende afhankelijkheden, bijvoorbeeld de formule voor turbulente stroming in gladde leidingen:

waarbij:
Re – Reynolds-getal.

Voor stroming in platte kanalen kan de volgende formule worden gebruikt:

Uit de Bernoulli-formule kan de drukval voor een gegeven snelheid worden berekend, of omgekeerd de snelheid van het verwarmingsmedium in het kanaal, gegeven de drukval.

Warmteoverdracht

De warmtestroom tussen het verwarmingsmedium en de wand wordt berekend met de formule:

waarbij:
α [W/(m²×°C)] – warmteoverdrachtscoëfficiënt;
F – oppervlakte van de doorstromingsdoorsnede.

Voor de stroming van verwarmingsmedia in leidingen is voldoende onderzoek uitgevoerd en zijn er veel rekenmethoden beschikbaar, en doorgaans komen deze neer op empirische afhankelijkheden voor de warmteoverdrachtscoëfficiënt α [W/(m²×°C)]

waarbij:
Nu – Nusselt-getal,
λ – warmtegeleidingscoëfficiënt van de vloeistof [W/(m×°C)]
d – hydraulische (equivalente) diameter.

Voor de berekening van het Nusselt-getal (criterium) worden empirische criteria afhankelijkheden gebruikt, bijvoorbeeld de formule voor de berekening van het Nusselt-getal van een ronde buis ziet er als volgt uit:

Hier zien we al het Reynolds-getal, het Prandtl-getal bij de wandtemperatuur en de temperatuur van de vloeistof en de coëfficiënt van ongelijkheid. (Bron)

Voor platenwarmtewisselaars lijkt de formule hierop ( Bron ):

waarbij:
n = 0,73 m = 0,43 voor turbulente stroming,
de coëfficiënt α varieert van 0,065 tot 0,6 afhankelijk van het aantal platen en de stromingsmodus.

Laten we er rekening mee houden dat deze coëfficiënt alleen wordt berekend voor één punt in de stroom. Voor het volgende punt hebben we een andere vloeistoftemperatuur (die is opgewarmd of afgekoeld), een andere wandtemperatuur en dus verschuiven alle Reynolds-getallen, Prandtl-getallen.

Op dit punt zal elke wiskundige zeggen dat het onmogelijk is om een systeem te berekenen waarin de coëfficiënt met een factor 10 verandert, en hij heeft gelijk.

Elke praktische ingenieur zal zeggen dat elke warmtewisselaar verschilt bij de vervaardiging en dat het onmogelijk is om systemen te berekenen, en hij heeft ook gelijk.

En wat te denken van modelgebaseerd ontwerp? Is alles echt verloren?

Geavanceerde verkopers van westerse software zullen je hier proberen te verkopen met supercomputers en 3D-reken-systemen, met de boodschap 'dit kan niet zonder'. En je moet het berekenen voor een hele dag om de temperatuurverdeling over 1 minuut te krijgen.

Het is duidelijk dat dit niet onze optie is, we moeten het regelsysteem afstellen, als het niet in real time kan, dan toch ten minste op korte termijn.

Er is een oplossing op basis van proberen en fouten.

Er wordt een warmtewisselaar geproduceerd, een reeks tests uitgevoerd, en een tabel met de effectiviteit van de gevestigde temperatuur wordt opgesteld bij bepaalde doorstromingen van warmteoverdrachtsvloeistoffen. Eenvoudig, snel en betrouwbaar, omdat de gegevens verkregen zijn uit tests.

Het nadeel van deze aanpak is dat er geen dynamische kenmerken van het object zijn. Ja, we weten wat de gevestigde warmteflux zal zijn, maar we weten niet hoe lang het duurt om deze te stabiliseren bij de overgang van de ene naar de andere werkwijze.

Daarom, na het berekenen van de benodigde kenmerken, stellen we het regelsysteem in op basis van de tests, wat we aanvankelijk zouden willen vermijden.

Modelgebaseerde aanpak.

Om een model van een dynamische warmtewisselaar te creëren, is het noodzakelijk om testgegevens te gebruiken om onzekerheden in de empirische formules voor de berekening te elimineren – het Nusselt-getal en de hydraulische weerstand.

De oplossing is eenvoudig, zoals alles geniale. We nemen een empirische formule, voeren experimenten uit en bepalen de waarde van de coëfficiënt a, waarmee we de onzekerheid in de formule elimineren.

Zodra we een bepaalde waarde voor de warmtedissipatiefactor hebben, worden alle andere parameters bepaald door de fundamentele natuurwetten van behoud. Het temperatuurverschil en de warmtetransmissiefactor bepalen de hoeveelheid energie die per tijdseenheid naar het kanaal wordt overgedragen.

Met de energiestroom kan men de vergelijkingen voor het behoud van massa, energie en impulsen voor de warmteoverdrachtsvloeistof in het hydraulische kanaal oplossen. Bijvoorbeeld zo:

In ons geval blijft de warmtestroom tussen de wand en de warmteoverdrachtsvloeistof - Qwall - onbepaald. Zie meer details hier...

En de temperatuurafgeleiding voor de wand van het kanaal:

waarbij:
ΔQwall – het verschil tussen de binnenkomende en uitgaande stroom naar de wand van het kanaal;
M – de massa van de wand van het kanaal;
Cpc – de warmtecapaciteit van het wandmateriaal.

De nauwkeurigheid van het model

Zoals eerder vermeld, hebben we in de warmtewisselaar een temperatuurverdeling over het oppervlak van de plaat. Voor de gestabiliseerde waarde kan men het gemiddelde over de platen nemen en dit gebruiken, waarbij men de gehele warmtewisselaar als één geconcentreerd punt voorstelt, waar de warmteoverdracht plaatsvindt over het gehele oppervlak van de warmtewisselaar bij één temperatuurverschil. Maar voor overgangstoestanden kan deze benadering niet werken. De andere extremiteit is om enkele honderden duizenden punten te creëren en een supercomputer te belasten, wat ons ook niet helpt, aangezien het doel is om het regelsysteem in realtime af te stellen, en het is beter om dit sneller te doen.

De vraag rijst hoeveel secties de warmtewisselaar moet worden verdeeld om een acceptabele nauwkeurigheid en rekeningssnelheid te krijgen?

Toevallig had ik een model van een amine warmtewisselaar bij de hand. Het warmtewisselapparaat is een buisvormige constructie, waarin een verwarmend medium door de buizen stroomt, terwijl het verwarmde medium zich tussen de zakken bevindt. Voor het vereenvoudigen van het probleem kan de gehele buisvormige warmtewisselaar worden voorgesteld als één equivalente buis, waarbij de buis wordt voorgesteld als een set discrete rekenelementen, waarin de puntmodelberekeningen voor warmteoverdracht plaatsvinden. Het schema van het model van één element is weergegeven in figuur 2. Het kanaal van hete lucht en het kanaal van koude lucht zijn verbonden door een wand, die de overdracht van de warmteflux tussen de kanalen waarborgt.

Figuur 2. Model van het element van de warmtewisselaar.

Het model van de buizenwarmtewisselaar kan eenvoudig worden aangepast. Slechts één parameter kan worden gewijzigd - het aantal secties over de lengte van de buis - en de berekeningresultaten kunnen worden bekeken voor verschillende indelingen. We voeren berekeningen uit voor verschillende opties, beginnend met een indeling van 5 punten over de lengte (fig. 3) tot 100 punten over de lengte (fig. 4).

Figuur 3. Stabiele temperatuurverdeling met 5 berekende punten.

Figuur 4. Stabiele temperatuurverdeling met 100 berekende punten.

Als resultaat van de berekeningen bleek dat de gevestigde temperatuur bij een indeling van 100 punten 67,7 graden is. Bij de indeling van 5 berekende punten is de temperatuur 72,66 graden Celsius.

Ook onderaan het venster wordt de rekeningssnelheid ten opzichte van de werkelijke tijd weergegeven.
Laten we bekijken hoe de gevestigde temperatuur en de rekeningssnelheid veranderen afhankelijk van het aantal berekende punten. Het verschil in gevestigde temperaturen bij berekeningen met verschillende aantallen berekende cellen kan worden gebruikt om de nauwkeurigheid van het verkregen resultaat te beoordelen.

Tabel 1. Afhankelijkheid van temperatuur en rekeningssnelheid van het aantal berekende punten over de lengte van de warmtewisselaar.

Bij het analyseren van deze tabel kunnen de volgende conclusies worden getrokken:

• De rekeningssnelheid neemt evenredig af met het aantal berekende punten in het model van de warmtewisselaar.
• De verandering in rekenprecisie gebeurt exponentieel. Bij het verhogen van het aantal punten neemt de verfijning bij elke volgende verhoging af.

In het geval van een platenwarmtewisselaar met kruislings stromende warmtedragers, zoals weergegeven in figuur 1, wordt het creëren van een equivalente model van elementaire berekende cellen iets gecompliceerder. We moeten de cellen zodanig verbinden dat we de kruislingsstromingen organiseren. Voor 4 cellen ziet het schema eruit zoals weergegeven in figuur 5.

De stroom van de warmtedragende vloeistof splitst zich in een warme en koude tak in twee kanalen, waarbij de kanalen via thermische structuren met elkaar worden verbonden, zodat de warmtedragende vloeistof warmte uitwisselt met verschillende kanalen tijdens het passeren. Bij het modelleren van de kruisstroom gaat de warme vloeistof van links naar rechts (zie fig. 5) in elk kanaal, waarbij deze op volgorde warmte uitwisselt met de koude vloeistof, die van onder naar boven gaat (zie fig. 5). Het heetste punt bevindt zich in de linkerbovenhoek, omdat de warme vloeistof warmte uitwisselt met de reeds verwarmde vloeistof in het koude kanaal. Het koudste punt bevindt zich rechtsonder, waar de koude vloeistof warmte uitwisselt met de warme vloeistof, die al is afgekoeld in het eerste gedeelte.

Figuur 5. Model van de dwarsstroom uit 4 rekeneenheden.

Dit model voor de platenwarmtewisselaar houdt geen rekening met warmteoverdracht tussen de eenheden door geleiding en negeert de menging van de warmtedragende vloeistof, omdat elk kanaal geïsoleerd is.

In ons geval vermindert deze laatste beperking echter de nauwkeurigheid niet, aangezien in het ontwerp van de warmtewisselaar een gegolfde membraan de stroom in veel geïsoleerde kanalen voor de warmtedragende vloeistof scheidt (zie fig. 1). Laten we eens kijken wat er met de nauwkeurigheid van de berekening gebeurt bij het modelleren van de platenwarmtewisselaar wanneer het aantal rekeneenheden toeneemt.

Voor de analyse van de nauwkeurigheid gebruiken we twee opties voor het opdelen van de warmtewisselaar in rekeneenheden:

1. Elke vierkante eenheid bevat twee hydraulische (koude en warme stromen) en één thermisch element. (zie figuur 5)
2. Elke vierkante eenheid bevat zes hydraulische elementen (drie secties in de warme en koude stromen) en drie thermische elementen.

In het laatste geval gebruiken we twee soorten verbindingen:

• tegenstroom van koude en warme stromen;
• same stroom van koude en warme stromen.

Tegenstroom verhoogt de efficiëntie in vergelijking met kruisstroming, terwijl same stroom deze vermindert. Bij een groot aantal eenheden treedt er een gemiddelde op in de stroom en komt alles dicht in de buurt van de werkelijke dwarsstroom (zie figuur 6).

Figuur 6. Model van de dwarsstroom uit vier eenheden met 3 elementen.

Figuur 7 toont de resultaten van de gevestigde stationaire temperatuurverdeling in de warmtewisselaar bij de aanvoer van lucht met een temperatuur van 150 °C via de warme lijn en 21 °C via de koude lijn, voor verschillende opties van modelindeling. De kleur en cijfers in de cel weerspiegelen de gemiddelde wandtemperatuur in de berekende cel.

Figuur 7. Gevestigde temperaturen voor verschillende rekenmodellen.

Tabel 2 toont de gevestigde temperatuur van de verwarmde lucht na de warmtewisselaar, afhankelijk van de indeling van het model van de warmtewisselaar in cellen.

Tabel 2. Afhankelijkheid van de temperatuur van het aantal rekencellules in de warmtewisselaar.

Bij een toename van het aantal rekencellules in het model neemt de uiteindelijke gevestigde temperatuur toe. Het verschil tussen de gevestigde temperatuur bij verschillende indelingen kan worden beschouwd als een maatstaf voor de nauwkeurigheid van de berekening. Het is duidelijk dat bij een toename van het aantal rekencellules de temperatuur naar een grens neigt, en de toename van de nauwkeurigheid is niet evenredig met het aantal rekenpunten.

De vraag rijst, wat voor nauwkeurigheid hebben we nodig voor ons model?

Het antwoord op deze vraag hangt af van het doel van ons model. Aangezien dit artikel over modelgebaseerd ontwerp gaat, creëren we het model voor het afstemmen van het regelsysteem. Dit betekent dat de nauwkeurigheid van het model vergelijkbaar moet zijn met de nauwkeurigheid van de sensoren die in het systeem worden gebruikt.

In ons geval wordt de temperatuur gemeten met een thermokoppel, dat een nauwkeurigheid van ±2,5 °C heeft. Elke nauwkeurigheid die hoger is dan dit is nutteloos voor het afstemmen van het regelsysteem, ons echte regelsysteem zal het simpelweg "niet zien". Dus als we aannemen dat de uiterste temperatuur bij een oneindig aantal indelingen 70 °C is, zal een model dat ons meer dan 67,5 °C geeft voldoende nauwkeurig zijn. Alle modellen met 3 punten in de rekencel en modellen groter dan 5x5 met één punt in de cel. (Groen gemarkeerd in tabel 2)

Dynamische werkingsmodi

Om de dynamische modus te beoordelen, evalueren we het proces van temperatuurverandering in de heetste en koudste punten van de wand van de warmtewisselaar voor verschillende rekenmodellen. (zie fig. 8)

Figuur 8. Verwarming van de warmtewisselaar. Modellen met dimensie 2x2 en 10x10.

Het is duidelijk dat de tijd van het overgangsproces en de aard ervan praktisch onafhankelijk zijn van het aantal reken cells en uitsluitend worden bepaald door de massa van het opgewarmde metaal.

Hieruit concluderen we dat voor een eerlijke modellering van de warmtewisselaar bij temperaturen van 20 tot 150 °C, met de nauwkeurigheid die nodig is voor het SCV-beheersysteem, ongeveer 10 - 20 rekenpunten voldoende zijn.

Instellen van het dynamische model op basis van experimenten

Met een wiskundig model en de experimentele gegevens over de spoeling van de warmtewisselaar, hoeven we alleen maar een eenvoudige correctie te maken, namelijk een intensificatiefactor in het model in te voeren, zodat de berekening overeenkomt met de resultaten van het experiment.

Bovendien, door de grafische omgeving voor het maken van een model te gebruiken, kunnen we dit automatisch doen. In Fig. 9 is het algoritme voor het afstemmen van de intensificatiefactoren voor warmteoverdracht weergegeven. De invoer bestaat uit de gegevens verkregen uit het experiment, de warmtewisselaar wordt aangesloten, en de uitvoer geeft de benodigde factoren voor elk van de modi.

Fig. 9. Algoritme voor het afstemmen van de intensificatiefactor op basis van de experimentele resultaten.

Zo bepalen we de betreffende factor voor het aantal Nusselt en elimineren we de onzekerheid in de berekeningsformules. Voor verschillende werkmodi en temperaturen kunnen de waarden van de correctiefactoren variëren, echter voor vergelijkbare werkmodi (normale werking) blijken ze heel dicht bij elkaar te liggen. Bijvoorbeeld, voor deze warmtewisselaar varieert de factor van 0.492 tot 0.655 voor verschillende modi.

Als we een factor van 0.6 toepassen, zal de fout in de berekening in de onderzochte werkmodi minder zijn dan de fout van de thermokoppel, zodat voor het beheersysteem het wiskundige model van de warmtewisselaar volledig adequaat zal zijn ten opzichte van het echte model.

Resultaten van het afstemmen van het model van de warmtewisselaar

Voor het beoordelen van de kwaliteit van de warmteoverdracht wordt een speciale eigenschap gebruikt - effectiviteit:

waarbij:
effwarm - effectiviteit van de warmtewisselaar voor de warme warmteoverdracht;
Twarmin - temperatuur bij de ingang van de warmtewisselaar volgens de route van de warme warmteoverdracht;
Twarmuit - temperatuur bij de uitgang van de warmtewisselaar volgens de route van de warme warmteoverdracht;
Tkoudin – temperatuur bij de ingang van de warmtewisselaar in de leiding voor de koude warmtedrager.

Tabel 3 toont de waarden van de afwijking in de efficiëntie van het warmtewisselmodel in vergelijking met de experimentele waarden bij verschillende debieten in de warme en koude lijnen.

Tabel 3. Fouten in de berekening van de warmteoverdrachtefficiëntie in %.

In ons geval kan de gekozen factor in alle relevante bedrijfsmodi worden gebruikt. Als bij lage debieten, waar de fout groter is, de vereiste nauwkeurigheid niet wordt bereikt, kunnen we een variabele intensiveringsfactor gebruiken die afhankelijk is van de actuele debiet.

Bijvoorbeeld, in figuur 10 wordt de intensiveringsfactor berekend volgens de opgegeven formule afhankelijk van de actuele debiet in de cellen van het kanaal.

Figuur 10. Variabele intensiveringsfactor van de warmteoverdracht.

Conclusies

• Kennis van de natuurwetten stelt ons in staat dynamische modellen van objecten te creëren voor modelgebaseerd ontwerp.
• Het model moet gevalideerd en afgesteld worden op basis van testgegevens.
• Ontwikkelingsmiddelen voor modellen moeten de ontwikkelaar in staat stellen het model aan te passen op basis van de testresultaten van het object.
• Gebruik de juiste model-gebaseerde benadering en geluk zal je deel zijn!

Bonus voor degenen die tot het einde hebben gelezen. Video van de werking van het virtuele model van het SCV-systeem.

Alleen geregistreerde gebruikers kunnen deelnemen aan de enquête. Log in, alstublieft.

Waarover moeten we verder praten?

• 76,2%Hoe bewijs je dat het programma in het model overeenkomt met het programma in de hardware.

• 23,8%Hoe supercomputers te gebruiken voor model-gebaseerd ontwerp.

Er hebben 21 gebruikers gestemd. 1 gebruiker onthield zich.

Bron: habr.com