Nationale Onderzoeksuniversiteit 'Hogere Economische School' (NIU HSE) reported, dat de wiskundige Ivan Remizov uit Nizhny Novgorod een voorwaardelijk eenvoudige oplossing voor differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met variabele coëfficiënten heeft gevonden. Bijna twee eeuwen lang werden dergelijke vergelijkingen als onoplosbaar beschouwd. Desondanks spelen ze een sleutelrol in de wiskunde en natuurwetenschappen, omdat ze worden gebruikt om dynamische processen te beschrijven.
Historisch gezien was de beperking verbonden met de resultaten van de Franse wiskundige Joseph Liouville, die al in 1834 aantoonde dat oplossingen van dergelijke vergelijkingen niet kunnen worden uitgedrukt met een eindig aantal standaardbewerkingen en elementaire functies. Hierdoor zagen wiskundigen zich gedwongen om ofwel particuliere oplossingen te zoeken, ofwel benaderingen te gebruiken, wat een universele methode uitsloot en de berekeningen aanzienlijk bemoeilijkte. Met andere woorden, er bestond geen algemene formule waarin men eenvoudig 'cijfers' kon invoeren en een oplossing kon verkrijgen.
Ivan Remizov stelde een nieuwe benadering voor door de klasse van toegestane wiskundige bewerkingen uit te breiden. Hij ging de discussie met Liouville niet aan, maar voegde eenvoudigweg een ander wiskundig hulpmiddel toe aan de vergelijkingen — het vinden van de limiet van een reeks. Hiervoor maakte de wiskundige gebruik van de theorie van Tjernov en de Laplace-transformatie. Dit stelde hem in staat om een universele formule op te stellen die formeel een oplossing biedt voor elke 'onoplosbare' klasse van vergelijkingen, waarbij hij de klassieke beperkingen van de theorie omzeilde.
‘De essentie van het idee is dat een complex, voortdurend veranderend proces wordt opgesplitst in een oneindig aantal eenvoudige stappen. Voor elk van deze delen wordt een eigen benadering opgebouwd — een elementair fragment dat het gedrag van het systeem op een specifiek punt beschrijft. Op zichzelf geven deze stukjes slechts een vereenvoudigd beeld, maar wanneer hun aantal naar oneindig gaat, versmelten ze naadloos in een perfect nauwkeurige grafiek van de oplossing,’ aldus de toelichting in de persrelease van de NIU HSE.
Tweede-orde differentiaalvergelijkingen worden niet alleen gebruikt om gebeurtenissen in de echte wereld te modelleren, maar ook om nieuwe functies te definiëren die op een andere manier niet kunnen worden gespecificeerd. Dit omvat bijvoorbeeld de zogenaamde speciale functies van Mathieu en Hill, die cruciaal zijn voor het begrijpen van de beweging van satellieten in een baan of protonen in de Large Hadron Collider.
Met iets geavanceerdere wiskundige terminologie kan over de ontdekking worden gesproken lezen op de website van de HSE. Het onderzoek is in het Engels gepubliceerd volledig gepubliceerd in het 'Vladikavkaz Mathematical Journal'.
Bron:
Bron: 3dnews.ru
