Termodynamikk av svarte hull

Gratulerer med romfartens dag! Vi har sendt det til trykkeriet «Den lille boken om svarte hull». I disse dager viser astrofysikere verden hvordan svarte hull ser ut. Tilfeldighet? Det tror vi ikke 😉 Så hold øye med det, snart kommer det en fantastisk bok skrevet av Steven Gabser og Frans Pretorius, oversatt av den fremragende astrofysikeren aka Astroded Kirill Maslennikov, vitenskapelig redigert av den legendariske Vladimir Surdin, og utgivelsen er støttet av fondet Trajektoria.

Utdrag fra «Termodynamikk av svarte hull» under katte.

Frem til nå har vi betraktet sorte hull som astrofysiske objekter som dannes ved supernovaeksplosjoner eller som ligger i sentrum av galakser. Vi observerer dem indirekte ved å måle akselerasjonen til stjerner som er nært dem. Den berømte registreringen av gravitasjonsbølger med LIGO 14. september 2015, var et eksempel på mer direkte observasjoner av kolliderende sorte hull. De matematiske verktøyene vi bruker for å oppnå en bedre forståelse av naturen til sorte hull er: differensialgeometri, Einsteins ligninger og kraftige analytiske og numeriske metoder som brukes for å løse Einsteins ligninger og beskrive geometrien til rom-tid som sorte hull skaper. Og så snart vi kan gi en fullstendig kvantitativ beskrivelse av rom-tiden som dannes av et sort hull, kan emnet sorte hull anses som avsluttet fra et astrofysisk perspektiv. I et bredere teoretisk perspektiv er det fortsatt mange muligheter for forskning. Målet med dette kapittelet er å fortelle om noen teoretiske fremskritt innen moderne fysikk av sorte hull, der ideer fra termodynamikk og kvanteteori kombineres med generell relativitetsteori, og skaper uventede nye konsepter. Hovedideen er at sorte hull ikke bare er geometriske objekter. De har en temperatur, de har enorm entropi, og de kan demonstrere manifestasjoner av kvantemekanisk sammenfiltring. Våre betraktninger om de termodynamiske og kvanteaspektene ved fysikken til sorte hull vil være mer fragmenterte og overflatiske enn analysen av rendyrkede geometriske egenskaper ved rom-tid i de foregående kapitlene. Men både disse og spesielt kvanteaspektene utgjør en vesentlig og livsviktig del av de teoretiske forskningen på sorte hull, og vi skal gjøre vårt beste for å formidle, om ikke de kompliserte detaljene, så i det minste ånden av disse arbeidene.

I den klassiske generelle relativitetsteorien — når det gjelder den differensiale geometrien av løsninger til Einstein-likningene — er svarte hull virkelig svarte i den forstand at ingenting kan slippe ut derfra. Stephen Hawking viste at denne situasjonen endres fullstendig når vi tar hensyn til kvanteeffekter: svarte hull, viser det seg, sender ut stråling med en bestemt temperatur, kjent som Hawking-temperaturen. For svarte hull av astrofysiske størrelser (det vil si fra svarte hull av stellar masse til supermassive) er Hawking-temperaturen ubetydelig lav sammenlignet med temperaturen på det kosmiske mikrobølgebakgrunnsstrålingen — strålingen som fyller hele universet, som for øvrig også kan betraktes som en variant av Hawking-stråling. Beregningene som Hawking utførte for å bestemme temperaturen på svarte hull, er en del av et mer omfattende forskningsprogram innen et felt kalt termodynamikk for svarte hull. En annen stor del av dette programmet er studiet av entropien til svarte hull, som karakteriserer mengden informasjon som går tapt inne i et svart hull. Vanlige objekter (som en kopp vann, en blokk ren magnesium eller en stjerne) har også entropi, og ett av de sentrale kravene i termodynamikken for svarte hull er at et svart hull av en gitt størrelse har høyere entropi enn noen annen form for materie som kan plasseres i et område av samme størrelse, men uten at det dannes et svart hull.

Men før vi dykker dybt ned i problemerne med Hawking-stråling og entropi i sorte huller, lad os tage et hurtigt kig på områderne for kvantemekanik, termodynamik og sammenfiltring. Kvantemekanik blev primært udviklet i 1920'erne, og dens hovedmål var at beskrive meget små partikler af stof, såsom atomer. Udviklingen af kvantemekanik førte til en udvanding af grundlæggende begreber i fysikken, såsom den præcise position af en individuel partikel: det viste sig for eksempel, at positionen af en elektron, når den bevæger sig omkring atomkernen, ikke kan bestemmes præcist. I stedet blev elektroner tilskrevet såkaldte baner, hvor deres faktiske positioner kun kan bestemmes i probabilistisk forstand. For vores formål er det dog vigtigt ikke at springe for hurtigt til denne - probabilistiske - side af sagen. Lad os tage et simpelt eksempel: hydrogenatom. Det kan befinde sig i en bestemt kvantetilstand. Den simpleste tilstand for hydrogenatomet, kaldet grundtilstanden, er en tilstand med den laveste energi, og denne energi er nøjagtigt kendt. Mere generelt tillader kvantemekanik os (i princippet) at vide tilstanden for ethvert kvantesystem med absolut nøjagtighed.

Sandsynligheder træder ind i billedet, når vi stiller bestemte typer spørgsmål om et kvantemekanisk system. For eksempel, hvis det er bestemt kendt, at hydrogenatomet er i grundtilstand, kan vi spørge: "Hvor er elektronen?" og ifølge kvantemekanikken får vi kun en slags sandsynlighedsvurdering til dette spørgsmål, cirka noget som: "sandsynligvis er elektronen på en afstand af op til en halv ångström fra hydrogenatomets kerne" (én ångström svarer til
) meter). Men vi har muligheten, gjennom en viss fysisk prosess, til å finne posisjonen til elektronet mye mer presist enn til én ångström. Denne ganske vanlige prosessen i fysikken går ut på å sende en foton med en veldig kort bølgelengde mot elektronet (eller som fysikere sier, å spre fotonen på elektronet) — etter dette kan vi rekonstruere posisjonen til elektronet på tidspunktet for spredningen med en presisjon som omtrent tilsvarer bølgelengden til fotonen. Men denne prosessen vil endre elektronets tilstand, så etter dette vil det ikke lenger befinne seg i grunntilstanden til hydrogenatomet og vil ikke ha en nøyaktig bestemt energi. I stedet vil posisjonen være nesten nøyaktig definert i en periode (med en presisjon tilsvarende bølgelengden til fotonen som ble brukt). En foreløpig vurdering av elektronets posisjon kan bare gjøres på en sannsynlighetsmessig måte med en presisjon på omtrent én ångström, men så snart vi har målt det, vet vi nøyaktig hva det var. Kort sagt, hvis vi på en eller annen måte måler et kvantemekanisk system, så gir vi det, i det minste i alminnelig forstand, en tilstand med et bestemt verdi av den størrelsen vi måler.

Kvantemekanikk er ikke bare anvendelig for små systemer, men (som vi antar) også for alle systemer. Imidlertid blir kvantemekaniske regler raskt svært komplekse for større systemer. Et nøkkelbegrep er kvanteinnfiltring, hvor et enkelt eksempel kan være spin (rotasjon). Individuelle elektroner har spin, så i praksis kan et enkelt elektron ha spin som er rettet oppover eller nedover i forhold til en valgt romakse. Elektronens spin er en observert størrelse, fordi elektronet genererer et svakt magnetfelt, lignende feltet fra en magnetstang. Da betyr spin oppover at elektronets nordpol peker ned, og spin nedover betyr at nordpolen "ser" oppover. To elektroner kan plasseres i et sammenfiltret kvantetilstand, der det ene har spin oppover og det andre nedover, men man kan ikke si hvilken spin noe av elektronene har. I hovedsak er det i grunntilstanden til heliumatom at to elektroner er nettopp i en slik tilstand som kalles spin-singlet, ettersom den totale spinen til begge elektronene er null. Hvis vi deler disse to elektronene uten å endre deres spinn, kan vi fortsatt hevde at de sammen er spin-singlet, men vi vil fortsatt ikke kunne si hva spinnet til noen av dem vil være individuelt. Hvis vi nå måler en av deres spinn og fastsetter at den er oppover, så vil vi være helt sikre på at den andre er nedover. I denne situasjonen sier vi at spinnene er sammenfiltret – ingen av dem har et definert verdi alene, mens de sammen er i en bestemt kvantetilstand.

Einstein var veldig bekymret for fenomenet sammenfiltring: det så ut til å true de grunnleggende prinsippene i relativitetsteorien. La oss vurdere tilfellet med to elektroner i et spinn-singlet tilstand, når de er langt fra hverandre i rommet. For tydelighetens skyld, la oss si at den ene av dem heter Alice, og den andre heter Bob. Anta at Alice målte spinnet til elektronet sitt og oppdaget at det peker oppover, mens Bob ikke målte noe. Så lenge Alice ikke utførte målingen sin, var det umulig å si hva spinnet til elektronet hans var. Men så snart hun fullførte målingen, visste hun helt sikkert at spinnet til elektronet til Bob var rettet nedover (i retningen motsatt av spinnet til sitt eget elektron). Betyr dette at målingen hennes umiddelbart satte elektronet til Bob i en tilstand hvor spinnet hans peker nedover? Hvordan kunne dette ha skjedd, hvis elektronene er romlig separert? Einstein og hans kolleger Nathan Rosen og Boris Podolsky følte at historien om måling av sammenfiltrede systemer var så alvorlig at den truet selve eksistensen av kvantemekanikken. Den formulert av dem Einstein-Podolsky-Rosen-paradokset (EPR) bruker et tankeeksperiment likt det vi nettopp har beskrevet for å konkludere: kvantemekanikken kan ikke være en fullstendig beskrivelse av virkeligheten. Nå, basert på etterfølgende teoretiske undersøkelser og mange målinger, er det en allmenn mening at EPR-paradokset inneholder en feil, og at kvanteteorien er riktig. Kvantemekanisk sammenfiltring er reell: målinger av sammenfiltrede systemer vil korrelere, selv om disse systemene er langt atskilt i rom-tid.

Vi skal se tilbake på situasjonen der vi har plassert to elektroner i et spin-singlet-tilstand og gitt dem til Alice og Bob. Hva kan vi si om elektronene før målingene er utført? At de sammen befinner seg i en bestemt kvantetilstand (spin-singlet). Spin til Alices elektron peker med lik sannsynlighet opp eller ned. Nærmere bestemt kan den kvantetilstanden for elektronet hennes med lik sannsynlighet være en (spin opp) eller en annen (spin ned). Nå får begrepet sannsynlighet en dypere betydning enn før. Tidligere har vi betraktet en bestemt kvantetilstand (grunntilstanden til hydrogenatom) og sett at det finnes noen "ubehagelige" spørsmål, som for eksempel "Hvor befinner elektronet seg?" — spørsmål der svarene kun eksisterer i probabilistisk forstand. Hvis vi stilte "gode" spørsmål, som: "Hva er energien til dette elektronet?", ville vi fått bestemte svar. Men nå finnes det ikke "gode" spørsmål vi kan stille om Alices elektron, hvor svarene ikke avhenger av Bobs elektron. (Vi snakker ikke om dumme spørsmål som "Har Alices elektron overhodet spin?" — spørsmål som det kun er ett svar på.) Dermed må vi bruke et probabilistisk språk for å definere parameterne for den ene halvdelen av det sammenfiltrede systemet. Determinerthet oppstår kun når vi betrakter forbindelsen mellom spørsmålene som Alice og Bob kan stille om sine elektroner.

Vi begynte med et av de enkleste kvantemekaniske systemene vi kjenner: systemet med spin av individuelle elektroner. Det er håp om at slike enkle systemer vil danne grunnlaget for kvantedatamaskiner. Systemet med spin av individuelle elektroner, eller andre ekvivalente kvantesystemer, kalles nå kubitter (forkortelse for „kvantebiter“), noe som understreker deres rolle i kvantedatamaskiner, på samme måte som vanlige biter gjør i digitale datamaskiner.

La oss nå anta at vi har byttet ut hver elektron med et mye mer komplekst kvantesystem med mange, ikke bare to, kvantetilstander. For eksempel, la oss gi Alice og Bob blokker av ren magnesium. Før Alice og Bob går hvert til sitt, kan blokkene deres interagere, og vi blir enige om at de på dette tidspunktet oppnår en bestemt felles kvantetilstand. Så snart Alice og Bob går fra hverandre, slutter blokkene deres å interagere. Akkurat som med elektronene, er hver blokk i en usikker kvantetilstand, selv om de sammen, som vi antar, danner en tilstand som er ganske bestemt. (I denne diskusjonen antar vi at Alice og Bob er i stand til å flytte blokkene sine av magnesium uten å forstyrre deres indre tilstand, akkurat slik vi tidligere antok at de kunne dele sine sammenflettede elektroner uten å endre spinnene deres.) Men forskjellen mellom dette tankeksperimentet og eksperimentet med elektroner er at usikkerheten i kvantetilstanden til hver blokk er enorm. En blokk kan faktisk ha flere kvantetilstander enn antallet atomer i universet. Her kommer termodynamikken inn. Veldig usikkert definerte systemer kan likevel ha noen godt definerte makroskopiske egenskaper. En slik egenskap er for eksempel temperaturen. Temperaturen er et mål på hvor sannsynlig det er at en hvilken som helst del av systemet har en bestemt gjennomsnittlig energi, der høyere temperatur tilsvarer større sannsynlighet for å ha høyere energi. En annen termodynamisk parameter er entropi, som i hovedsak er lik logaritmen av antallet tilstander systemet kan ha. En annen termodynamisk egenskap som ville være viktig for magnesiumblokken, er dens totale magnetisering, det vil si, i realiteten en parameter som viser hvor mye flere elektroner med spin opp det kan være i blokken enn med spin ned.

Vi har involvert termodynamikk i vår fortelling som en måte å beskrive systemer hvis kvantetilstander er nøyaktig ukjente på grunn av deres sammenfiltring med andre systemer. Termodynamikk er et kraftig verktøy for analyse av slike systemer, men dens skapere hadde overhodet ikke forutsett denne bruken. Sadi Carnot, James Joule, Rudolf Clausius var aktører i den industrielle revolusjonen på 1800-tallet, og de var interessert i det mest praktiske av alle spørsmål: hvordan fungerer motorene? Trykk, volum, temperatur og varme er motorens kjøtt og blod. Carnot fastslo at energi i form av varme aldri kan bli fullt omdannet til nyttig arbeid som heving av belastninger. En del av energien vil alltid gå tapt. Clausius bidro sterkt til å utvikle ideen om entropi som et universelt verktøy for å bestemme energitap i enhver prosess relatert til varme. Hans viktigste prestasjon var innseelsen av at entropi aldri avtar - nesten i alle prosesser øker den. Prosesser der entropien øker, kalles irreversible - nettopp fordi de ikke kan gå bakover uten å redusere entropien. Det neste steget i utviklingen av statistisk mekanikk ble tatt av Clausius, Maxwell og Ludwig Boltzmann (blant mange andre) - de viste at entropi er et mål på uorden. Vanligvis jo mer du handler med noe, jo mer uorden tilfører du. Og selv om du har utviklet en prosess som har som mål å skape orden, vil det i løpet av den nødvendigvis dannes mer entropi enn det som blir ødelagt, - for eksempel ved varmeutslipp. En kran som legger stålbjelker i perfekt orden, skaper orden i betydningen plasseringen av bjelkene, men i løpet av arbeidet vil det frigjøre så mye varme at den totale entropien fortsatt øker.

Men forskjellen mellom perspektivet på termodynamikk fra fysikere på 1800-tallet og perspektivet knyttet til kvantemessig sammenfiltring er ikke så stor som den kanskje synes. Hver gang et system interagerer med en ekstern agent, blir dets kvantetilstand sammenfiltret med agentens kvantetilstand. Vanligvis fører denne sammenfiltringen til en økning i usikkerheten til det kvantemessige systemet, med andre ord til en økning i antallet kvantetilstander systemet kan være i. Som et resultat av interaksjon med andre systemer, øker entropien, definert i termen av antallet tilgjengelige kvantetilstander for systemet.

Generelt gir kvantemekanikken en ny måte å karakterisere fysiske systemer på, hvor noen parametere (for eksempel posisjon i rommet) blir usikre, mens andre (for eksempel energi) ofte er kjent med høy presisjon. I tilfellet med kvantemessig sammenfiltring har to prinsipielt separate deler av systemet et kjent felles kvantetilstand, mens hver del for seg har en usikker tilstand. Et standard eksempel på sammenfiltring er et par spinn i singlet-tilstand, hvor det er umulig å si hvilken spinn som er opp og hvilken som er ned. Usikkerheten i kvantetilstanden i et stort system krever en termodynamisk tilnærming, hvor makroskopiske parametere, som temperatur og entropi, er kjent med stor presisjon, til tross for at systemet har mange mulige mikroskopiske kvantetilstander.

Etter å ha fullført vår korte introduksjon til kvantemekanikken, sammenfiltring og termodynamikk, la oss nå prøve å forstå hvordan dette fører til innsikten om at svarte hull har en temperatur. Det første steget i denne retningen ble gjort av Bill Unruh — han viste at en akselererende observatør i et flatt rom vil ha en temperatur lik akselerasjonen delt på 2π. Nøkkelen i Unruhs beregninger er at en observatør som beveger seg med konstant akselerasjon i en bestemt retning, bare kan se halvparten av det flate romtidsområdet. Den andre halvdelen ligger i realiteten bak et perspektiv, lik det for en svart hulls horisont. Først virker dette umulig: hvordan kan flatt romtid oppføre seg som en horisont for et svart hull? For å forstå hvordan dette er tilfelle, utfører vi en tankeøvelse med våre trofaste observatører Alice, Bob og Bill. På vår forespørsel stiller de seg på en linje, der Alice befinner seg mellom Bob og Bill, og avstanden mellom observatørene i hvert par er nøyaktig 6 kilometer. Vi har blitt enige om at ved null tidsmoment vil Alice hoppe inn i en rakett og fly mot Bill (og dermed bort fra Bob) med konstant akselerasjon. Raketten hennes er utmerket, i stand til å oppnå en akselerasjon 1,5 billioner ganger større enn tyngdeakselerasjonen som objekter opplever nær jordens overflate. Selvfølgelig er det ikke lett for Alice å tåle slik akselerasjon, men som vi snart skal se, er disse tallene valgt med en spesifikk hensikt; til syvende og sist snakker vi bare om potensielle muligheter, det er alt. Nøyaktig i det øyeblikket Alice hopper inn i raketten sin, vinker Bob og Bill til henne. (Vi har rett til å bruke uttrykket "nøyaktig i det øyeblikket..." fordi så lenge Alice ennå ikke har startet flyvningen, er hun i det samme referansesystemet som Bob og Bill, slik at de alle kan synkronisere klokkene sine.) Bill, som vinker til henne, ser Alice, men mens hun er i raketten, vil hun se ham før det ville ha skjedd hvis hun hadde blitt der hun var, ettersom raketten hennes flyr direkte mot ham. Fra Bob derimot, fjerner hun seg, så vi kan rimelig anta at hun vil se ham vinke til henne noe senere enn hun ville ha gjort hvis hun hadde forblitt på det stedet. Men sannheten er enda mer overraskende: hun vil overhodet ikke se Bob! Med andre ord, fotonene som flyr fra den viftende Bob til Alice vil aldri nå henne, selv om hun aldri vil kunne oppnå lysets hastighet. Hvis Bob hadde begynt å vinke mens han befant seg litt nærmere Alice, så ville fotonene som fra ham når henne ved avgang, ha nådd henne, men hvis han hadde vært litt lenger unna, ville de heller ikke nådd henne. Det er i denne betydningen vi sier at Alice bare kan se halvparten av romtiden. På det tidspunktet Alice begynner å bevege seg, er Bob litt lenger bak horisonten som Alice observerer.

I vår diskusjon om kvantemessig sammenfiltring har vi allerede blitt vant til ideen om at selv om et kvantemekanisk system som helhet har en definert kvantetilstand, kan noen av delene være uten en slik tilstand. Faktisk, når vi diskuterer et komplekst kvantsystem, kan en del av det best karakteriseres i rammen av termodynamikk: den kan tilskrives en klart definert temperatur, til tross for at hele systemet er i en høyst usikker kvantetilstand. Vår siste historie med Alice, Bob og Bill ligner på denne situasjonen, men kvantsystemet vi snakker om her er tom romtid, og Alice ser bare halvparten av den. La oss presisere at romtiden som helhet er i sin grunnleggende tilstand, noe som betyr at det ikke finnes partikler i den (selvfølgelig med unntak av Alice, Bob, Bill og raketten). Men den delen av romtiden som Alice ser, vil ikke være i grunnleggende tilstand, men i en tilstand sammenfiltret med den delen hun ikke ser. Den romtiden Alice oppfatter er i en kompleks usikker kvantetilstand, karakterisert ved en endelig temperatur. Beregningene til Unruh viser at denne temperaturen er omtrent 60 nanokelvin. Kort sagt, etter hvert som Alice akselererer, ser det ut til at hun dykker ned i et varmt strålingsbad med temperatur lik (i de relevante enhetene) akselerasjonen delt på

Fig. 7.1. Alice akselererer fra stillestående, mens Bob og Bill forblir i ro. Akselerasjonen til Alice er akkurat slik at hun aldri vil se fotonene som Bob sender mot henne på tidspunkt t = 0. Imidlertid mottar hun fotonene som Bill sendte henne på tidspunkt t = 0. Resultatet blir at Alice bare er i stand til å observere én halvdel av romtiden.

Merke for beregningene av Unru er at selv om de fra begynnelse til slutt handler om tomrom, motsier de de velkjente ordene fra kong Lear: «fra ingenting kommer ingenting». Hvordan kan tomrom være så komplisert? Hvor kan partikler komme fra? Faktum er at i henhold til kvanteteori er ikke tomrommet tomt. Der oppstår og forsvinner hele tiden kortlivede forstyrrelser, kalt virtuelle partikler, hvis energi kan være både positiv og negativ. En observatør fra en fjern fremtid – la oss kalle henne Carol – som kan se nesten alt tomrom, kan bekrefte at det ikke finnes varig eksisterende partikler der. Samtidig er tilstedeværelsen av partikler med positiv energi i den delen av romtiden som Alice kan observere, takket være kvanteforvikling, knyttet til forstyrrelser med lik og motsatt energisignal i den delen av romtiden som er uobserverbar for Alice. Hele sannheten om tomrommet i romtid generelt er åpenbart for Carol, og denne sannheten er at det ikke er partikler der. Imidlertid forteller Alices erfaring henne at det er partikler der!

Men det viser seg at den beregnede Unruh-temperaturen knapt er mer enn en fiksjon — den er ikke så mye en egenskap ved det flate rommet i seg selv, men en egenskap ved observatøren som opplever konstant akselerasjon i det flate rommet. Likeledes er gravitasjon en slik «fiktiv» kraft i den forstand at «akselerasjonen» forårsaket av den ikke er annet enn bevegelse langs geodetisk i den krummede metrikken. Som vi allerede har forklart i kapittel 2, er Einsteins ekvivalentprinsipp at akselerasjon og gravitasjon i realiteten er ekvivalente. Fra dette perspektivet er det ikke noe spesielt sjokkerende i at horisonten til et svart hull har en temperatur som er lik den beregnede Unruh-temperaturen til den akselererende observatøren. Men vi kan spørre, hvilken akselerasjon bør vi bruke for å bestemme temperaturen? Ved å trekke seg langt unna det svarte hullet kan vi gjøre gravitasjonsdraget så svakt som vi vil. Bør vi konkludere med at for å bestemme den effektive temperaturen til det svarte hullet som vi måler, bør vi bruke et tilsvarende lite akselerasjonsverdi? Dette spørsmålet viser seg å være ganske lurende, for så langt vi kan se, kan ikke temperaturen til et objekt tilfeldig reduseres. Det antas å ha en viss fast, endelig verdi som selv en svært fjern observatør kan måle.

Kilde: habr.com