„Jeśli na klatce słonia przeczytasz napis „bawon”, nie wierz własnym oczom” Kozma Prutkow

W poprzednim artykułu na temat projektowania opartego na modelach pokazano, dlaczego potrzebny jest model obiektu, i udowodniono, że bez tego modelu obiektu o projektowaniu opartym na modelach można mówić tylko jako o marketingowym bzdurze, bezsensownej i bezlitosnej. Jednak po pojawieniu się modelu obiektu u kompetentnych inżynierów zawsze pojawia się uzasadnione pytanie: jakie są dowody, że matematyczny model obiektu odpowiada rzeczywistemu obiektowi.

Jednym z przykładów odpowiedzi na to pytanie jest artykuł na temat projektowania opartego na modelach napędu elektrycznego. W tym artykule rozważymy przykład tworzenia modelu dla systemów klimatyzacji w samolotach, wzbogacając praktykę o kilka teoretycznych rozważań ogólnego charakteru.

Tworzenie wiarygodnego modelu obiektu. Teoria

Aby nie przedłużać, od razu opowiem o algorytmie tworzenia modelu do projektowania opartego na modelach. Składa się on z zaledwie trzech prostych kroków:

Krok 1. Opracować system równań algebraiczno-różniczkowych opisujących dynamiczne zachowanie modelowanego systemu. To proste, jeśli zna się fizykę procesu. Wiele naukowców już opracowało dla nas podstawowe prawa fizyczne autorstwa Newtona, Bernoulliego, Naviera-Stokesa i innych.

Krok 2. Wydzielić w uzyskanym systemie zestaw empirycznych współczynników i charakterystyk obiektu modelowania, które można uzyskać z badań.

Krok 3. Przeprowadzić badania obiektu i dostosować model na podstawie wyników eksperymentów naturalnych, tak aby odpowiadał rzeczywistości, z odpowiednim poziomem szczegółowości.

Jak widzisz, proste jak dwa i dwa.

Przykład praktycznej realizacji

System klimatyzacji (SKV) w samolocie jest powiązana z automatycznym systemem utrzymywania ciśnienia. Ciśnienie w samolocie zawsze musi być wyższe niż ciśnienie zewnętrzne, a prędkość zmiany ciśnienia musi być taka, aby piloci i pasażerowie nie mieli krwawienia z nosa i uszu. Dlatego system sterowania przepływem powietrza jest kluczowy dla bezpieczeństwa, a jego opracowanie na ziemi wiąże się z kosztownymi systemami testowymi. Tworzy się w nich temperatury i ciśnienia odpowiadające wysokości lotu, reprodukując warunki startu i lądowania na lotniskach o różnej wysokości. I kwestia opracowania i doboru systemów sterowania dla SKV staje się kluczowa. Ile czasu będziemy testować stację testową, aby uzyskać satysfakcjonujący system sterowania? Oczywiste, że jeśli dostosujemy model sterowania do modelu obiektu, cykl prac na stacji testowej może zostać znacznie skrócony.

Lotniczy system klimatyzacji składa się z takich samych wymienników ciepła, jak każda inna system grzewczy. Wymiennik – to wymiennik, tylko klimatyzator. Jednak ze względu na ograniczenia masy startowej i wymiarów statków powietrznych, wymienniki ciepła są projektowane tak, aby były jak najbardziej kompaktowe i jak najefektywniejsze, aby przenieść jak najwięcej ciepła przy mniejszej masie. W rezultacie geometria staje się dość wymyślna. Jak na przykład w rozważanym przypadku. Na rysunku 1 przedstawiono wymiennik płytowy, w którym pomiędzy płytami w celu poprawy wymiany ciepła stosuje się membranę. Gorący i zimny czynnik grzewczy napotykają się w kanałach, a kierunek przepływu – poprzeczny. Jeden czynnik grzewczy jest podawany na czołowy przekrój, drugi – na boczny.

Aby rozwiązać problem sterowania SKV, musimy wiedzieć, ile ciepła przekazywane jest z jednej medium do drugiego w takim wymienniku w jednostce czasu. Od tego zależy tempo zmiany temperatury, które regulujemy.

Rysunek 1. Schemat lotniczego wymiennika ciepła.

Problemy modelowania. Część hydrauliczna

Na pierwszy rzut oka zadanie wydaje się względnie proste, konieczne jest obliczenie przepływu masy w kanałach wymiennika ciepła oraz przepływu ciepła między kanałami.
Masowy przepływ czynnika grzewczego w kanałach oblicza się według wzoru Bernoulliego:

gdzie:
ΔP – spadek ciśnienia między dwoma punktami;
ξ – współczynnik tarcia czynnika grzewczego;
L – długość kanału;
d – hydrauliczna średnica kanału;
ρ – gęstość czynnika grzewczego;
ω – prędkość czynnika grzewczego w kanale.

Dla kanału o dowolnym kształcie hydrauliczna średnica oblicza się według wzoru:

gdzie:
F – pole przekroju poprzecznego;
P – zmoczony obwód kanału.

Współczynnik tarcia oblicza się według empirycznych wzorów i zależy od prędkości przepływu oraz właściwości czynnika grzewczego. Dla różnych geometrii uzyskuje się różne zależności, na przykład wzór dla przepływu turbulentnego w gładkich rurach:

gdzie:
Re – liczba Reynoldsa.

Dla przepływu w płaskich kanałach można zastosować następujący wzór:

Z wzoru Bernoulliego można obliczyć spadek ciśnienia dla zadanej prędkości, lub odwrotnie, obliczyć prędkość czynnika grzewczego w kanale, na podstawie zadanego spadku ciśnienia.

Wymiana ciepła

Strumień ciepła między czynnikiem grzewczym a ścianą oblicza się według wzoru:

gdzie:
α [W/(m²×stopień)] – współczynnik wymiany ciepła;
F – pole przekroju poprzecznego.

Dla zadań dotyczących przepływu czynników grzewczych w rurach przeprowadzono wystarczającą ilość badań i istnieje wiele metod obliczeniowych, które zazwyczaj sprowadzają się do empirycznych zależności dla współczynnika wymiany ciepła α [W/(m²×stopień)]

gdzie:
Nu – liczba Nusselta,
λ – współczynnik przewodnictwa cieplnego cieczy [W/(m×stopień)]
d – hydrauliczna (ekwiwalentna) średnica.

Do obliczenia liczby (kryterium) Nusselta stosuje się empiryczne zależności kryterialne, na przykład wzór na obliczenie liczby Nusselta dla okrągłej rury wygląda tak:

Tutaj widzimy już liczbę Reynoldsa, liczbę Prandtla przy temperaturze ściany i temperaturze cieczy oraz współczynnik niejednorodności. (Źródło)

Dla płytowych wymienników ciepła wzór jest podobny ( Źródło ):

gdzie:
n = 0,73 m = 0,43 dla przepływu turbulentnego,
współczynnik a – zmienia się w zakresie od 0,065 do 0,6 w zależności od liczby płyt i trybu przepływu.

We take into account that this coefficient is calculated only for one point in the flow. For the next point, we have a different fluid temperature (it has either heated up or cooled down), a different wall temperature, and consequently, all the Reynolds numbers and Prandtl numbers will shift.

In this regard, any mathematician will tell you that it is impossible to accurately calculate a system where the coefficient changes by a factor of 10, and they would be right.

Any practical engineer will say that every heat exchanger varies during manufacturing and calculating systems is impossible, and they would also be right.

What about model-oriented design? Is there really no hope?

Advanced sellers of Western software will try to sell you SuperComputers and 3D calculation systems, claiming that "there's no other way." And you need to run the calculation for 24 hours to get the temperature distribution over the course of 1 minute.

It’s clear that this is not our option; we need to fine-tune the control system, and if not in real-time, then at least within a reasonable timeframe.

Trial and error solution

A heat exchanger is manufactured, a series of tests are conducted, and a table of efficiency is established for the steady temperature at given fluid flow rates. It's simple, quick, and reliable since the data is obtained from tests.

The downside of this approach is that there are no dynamic characteristics of the object. Yes, we know what the steady heat flux will be, but we do not know how long it will take to reach that steady state when transitioning from one operating mode to another.

Therefore, having calculated the necessary characteristics, we adjust the control system directly during the tests, which is what we would like to avoid from the outset.

Model-oriented approach

To create a model of a dynamic heat exchanger, it is necessary to use data from tests to eliminate uncertainties in the empirical formulas for calculation – the Nusselt number and hydraulic resistance.

The solution is simple, as with all genius ideas. We take an empirical formula, conduct experiments, and determine the value of coefficient a, thereby eliminating uncertainty in the formula.

Gdy mamy już określoną wartość współczynnika wymiany ciepła, wszystkie pozostałe parametry są ustalane przez podstawowe prawa fizyki dotyczące zachowania. Różnica temperatur i współczynnik przewodnictwa cieplnego określają ilość energii przekazywanej do kanału w jednostce czasu.

Znając strumień energii, można rozwiązywać równania zachowania masy energii i pędu dla czynnika grzewczego w kanale hydraulicznym. Na przykład takie:

W naszym przypadku nieokreślony pozostaje strumień ciepła między ścianką a czynnikiem grzewczym — Qwall. Więcej szczegółów można znaleźć tutaj…

A także równanie pochodnej temperatury dla ścianki kanału:

gdzie:
ΔQwall – różnica między strumieniem wejściowym i wyjściowym na ściance kanału;
M – masa ścianki kanału;
Cpc – pojemność cieplna materiału ścianki.

Dokładność modelu

Jak wspomniano wcześniej, w wymienniku ciepła mamy rozkład temperatury na powierzchni płyty. Dla ustalonej wartości można przyjąć średnią dla płyt i użyć jej, przedstawiając cały wymiennik ciepła jako jedną skoncentrowaną punkt, w której przy jednym spadku temperatury zachodzi wymiana ciepła przez całą powierzchnię wymiennika. Jednak w przypadku stanów przejściowych taka aproksymacja może nie działać. Inna skrajność – zrobienie kilku setek tysięcy punktów i obciążenie Super EVM, co również nam nie odpowiada, ponieważ celem jest dostosowanie systemu zarządzania w czasie rzeczywistym, a lepiej szybciej.

Pojawia się pytanie, na ile obszarów należy podzielić wymiennik ciepła, aby uzyskać akceptowalną dokładność i szybkość obliczeń?

Jak zawsze przypadkiem miałem pod ręką model wymiennika ciepła aminowego. Wymiennik ciepła składa się z rur, w których przepływa medium grzewcze, a pomiędzy rurami – podgrzewane. Dla uproszczenia zadania cały wymiennik cieplny można przedstawić jako jedną równoważną rurę, a samą rurę jako zestaw dyskretnych komórek obliczeniowych, w każdej z których dokonuje się obliczeń modelu punktowego wymiany ciepła. Schemat modelu jednej komórki przedstawiono na rysunku 2. Kanał gorącego powietrza i kanał zimnego powietrza są połączone przez ściankę, która zapewnia przekazywanie strumienia ciepła między kanałami.

Rysunek 2. Model komórki wymiennika ciepła.

Model wymiennika ciepła w tubach jest łatwy do skonfigurowania. Można zmienić tylko jeden parametr — liczbę sekcji wzdłuż rury i zobaczyć wyniki obliczeń przy różnych podziałach. Przeprowadzimy obliczenia dla kilku wariantów, zaczynając od podziału na 5 punktów wzdłuż (rys. 3) do 100 punktów wzdłuż (rys. 4).

Rysunek 3. Stacjonarne rozkład temperatury dla 5 punktów obliczeniowych.

Rysunek 4. Stacjonarne rozkład temperatury dla 100 punktów obliczeniowych.

W wyniku obliczeń uzyskano, że ustalona temperatura przy podziale na 100 punktów wynosi 67,7 stopni. A przy podziale na 5 punktów obliczeniowych temperatura wynosi 72,66 stopni Celsjusza.

Również w dolnej części okna wyświetlana jest prędkość obliczeń w stosunku do rzeczywistego czasu.
Przyjrzyjmy się, jak zmienia się ustalona temperatura i prędkość obliczeń w zależności od liczby punktów obliczeniowych. Różnicę ustalonych temperatur przy obliczeniach z różną liczbą komór obliczeniowych można wykorzystać do oceny dokładności uzyskanego wyniku.

Tabela 1. Zależność temperatury i prędkości obliczeń od liczby punktów obliczeniowych wzdłuż wymiennika ciepła.

Analizując tę tabelę, można wyciągnąć następujące wnioski:

• Prędkość obliczeń spada proporcjonalnie do liczby punktów obliczeniowych w modelu wymiennika ciepła.
• Zmiana dokładności obliczeń zachodzi wykładniczo. Przy zwiększaniu liczby punktów, precyzja każdego kolejnego zwiększenia maleje.

W przypadku wymiennika ciepła płytowego z krzyżowym przepływem czynnika cieplnego, jak na rysunku 1, stworzenie ekwiwalentnego modelu z elementarnych komór obliczeniowych jest nieco bardziej skomplikowane. Musimy połączyć komórki w taki sposób, aby zorganizować przepływ krzyżowy. Dla 4 komórek schemat będzie wyglądał jak na rysunku 5.

Przepływ nośnika ciepła dzieli się na gorącą i zimną gałąź na dwa kanały, które łączą się przez struktury cieplne, w taki sposób, że podczas przechodzenia przez kanał nośnik ciepła wymienia ciepło z różnymi kanałami. Modelując przepływ krzyżowy, gorący nośnik ciepła płynie z lewej do prawej (patrz rys. 5) w każdym kanale, kolejno wymieniając ciepło z kanałami zimnego nośnika ciepła, który płynie od dołu do góry (patrz rys. 5). Najgorętszy punkt znajduje się w lewym górnym rogu, ponieważ gorący nośnik ciepła wymienia ciepło z już nagrzanym nośnikiem ciepła zimnego kanału. A najzimniejszy w prawym dolnym, gdzie zimny nośnik ciepła wymienia ciepło z gorącym nośnikiem ciepła, który już wystygł na pierwszym odcinku.

Rysunek 5. Model przepływu poprzecznego z 4 komór obliczeniowych.

Taki model dla płytowego wymiennika ciepła nie uwzględnia transferu ciepła między komorami za pomocą przewodnictwa cieplnego i nie uwzględnia mieszania nośnika ciepła, ponieważ każdy kanał jest izolowany.

Jednak w naszym przypadku ostatnie ograniczenie nie zmniejsza dokładności, ponieważ w konstrukcji wymiennika ciepła falista membrana dzieli przepływ na wiele izolowanych kanałów dla nośnika ciepła (patrz rys. 1). Zobaczmy, co się dzieje z dokładnością obliczeń w modelowaniu płytowego wymiennika ciepła przy zwiększeniu liczby komór obliczeniowych.

Do analizy dokładności używamy dwóch wariantów podziału wymiennika ciepła na komory obliczeniowe:

1. Każda kwadratowa komora zawiera dwa elementy hydrauliczne (zimny i gorący przepływ) oraz jeden element cieplny. (patrz rysunek 5)
2. Każda kwadratowa komora zawiera sześć elementów hydraulicznych (po trzy odcinki w gorącym i zimnym przepływie) oraz trzy elementy cieplne.

W ostatnim przypadku używamy dwóch rodzajów połączeń:

• przeciwprądowego przepływu zimnego i gorącego;
• współprądowego przepływu zimnego i gorącego.

Przeciwprądowy przepływ zwiększa efektywność w porównaniu z przepływem krzyżowym, a współprądowy ją zmniejsza. Przy dużej liczbie komór następuje uśrednienie w przepływie i wszystko staje się zbliżone do rzeczywistego przepływu poprzecznego (patrz rysunek 6).

Rysunek 6. Model przepływu poprzecznego z czterema komorami z 3 elementami.

Na rysunku 7 przedstawiono wyniki ustalonego stacjonarnego rozkładu temperatury w wymienniku ciepła przy zasilaniu gorącym powietrzem o temperaturze 150 °C oraz zimnym powietrzem o temperaturze 21 °C, dla różnych wariantów podziału modelu. Kolorem i cyframi w komórce odzwierciedlona jest średnia temperatura ścianki w obliczeniowej komórce.

Rysunek 7. Ustalone temperatury dla różnych schematów obliczeniowych.

W tabeli 2 przedstawiono ustaloną temperaturę podgrzanego powietrza po wymienniku ciepła w zależności od podziału modelu wymiennika na komórki.

Tabela 2. Zależność temperatury od liczby obliczeniowych komórek w wymienniku ciepła.

Wraz ze wzrostem liczby obliczeniowych komórek w modelu następuje wzrost końcowej ustalonej temperatury. Różnicę między ustaloną temperaturą przy różnych podziałach można traktować jako wskaźnik dokładności obliczeń. Widać, że wraz ze wzrostem liczby obliczeniowych komórek temperatura dąży do granicy, a wzrost dokładności nie jest proporcjonalny do liczby punktów obliczeniowych.

Pojawia się pytanie, jaka dokładność modelu jest nam potrzebna?

Odpowiedź na to pytanie zależy od celu naszej modelu. Ponieważ w tym artykule mówimy o projektowaniu ukierunkowanym na model, tworzymy model dla ustawienia systemu sterowania. Oznacza to, że dokładność modelu powinna być porównywalna z dokładnością czujników używanych w systemie.

W naszym przypadku temperatura jest mierzona przez termoparę, której dokładność wynosi ±2,5 °C. Jakakolwiek dokładność wyższa dla celów ustawienia systemu sterowania jest bezużyteczna, nasz rzeczywisty system sterowania po prostu jej „nie dostrzega”. Zatem, przyjmując, że graniczna temperatura przy nieskończonej liczbie podziałów wynosi 70 °C, wystarczającej dokładności będzie model, który daje nam więcej niż 67,5 °C. Wszystkie modele z 3 punktami w obliczeniowej komórce oraz modele większe niż 5x5 z jednym punktem w komórce. (Wyróżnione na zielono w tabeli 2)

Dynamiczne tryby pracy

Aby ocenić dynamiczny tryb, ocenimy proces zmiany temperatury w najgorętszych i najzimniejszych punktach ścianki wymiennika ciepła dla różnych wariantów schematów obliczeniowych. (patrz rys. 8)

Rysunek 8. Podgrzewanie wymiennika ciepła. Modele o wymiarach 2x2 i 10x10.

Widać, że czas przejścia procesu oraz jego charakter praktycznie nie zależą od liczby punktów obliczeniowych i są określane wyłącznie przez masę podgrzewanego metalu.

W związku z tym dochodzimy do wniosku, że do rzetelnego modelowania wymiennika ciepła w zakresie od 20 do 150 °C, z dokładnością potrzebną dla systemu zarządzania, wystarczy około 10 – 20 punktów obliczeniowych.

Ustawienie dynamicznego modelu na podstawie eksperymentu

Mając model matematyczny oraz dane eksperymentalne dotyczące przepływu przez wymiennik ciepła, pozostaje nam przeprowadzić prostą korekcję, czyli wprowadzić do modelu współczynnik intensyfikacji, aby obliczenia zgadzały się z wynikami eksperymentu.

Co więcej, korzystając z graficznego środowiska tworzenia modelu, zrobimy to automatycznie. Na rysunku 9 przedstawiono algorytm doboru współczynników intensyfikacji wymiany ciepła. Jako dane wejściowe używane są dane uzyskane z eksperymentu, podłączany jest model wymiennika ciepła, a na wyjściu otrzymujemy niezbędne współczynniki dla każdego z trybów.

Rysunek 9. Algorytm doboru współczynnika intensyfikacji na podstawie wyników eksperymentu.

W ten sposób określamy ten współczynnik dla liczby Nusselta i eliminujemy niepewność w formułach obliczeniowych. Dla różnych trybów pracy i temperatur wartości współczynników korekcyjnych mogą się różnić, jednak dla podobnych trybów pracy (normalna eksploatacja) są one bardzo zbliżone. Na przykład dla tego wymiennika ciepła dla różnych trybów współczynnik wynosi od 0,492 do 0,655.

Jeśli zastosujemy współczynnik 0,6, to w badanych trybach pracy błąd obliczeń będzie mniejszy od błędu termopary, w ten sposób, dla systemu zarządzania model matematyczny wymiennika ciepła będzie w pełni adekwatny do rzeczywistego modelu.

Wyniki ustawienia modelu wymiennika ciepła

Do oceny jakości wymiany ciepła używa się specjalnej charakterystyki - efektywności:

gdzie:
effgor - efektywność wymiennika ciepła dla gorącego nośnika ciepła;
Tgorin - temperatura wchodząca do wymiennika ciepła w trakcie przepływu gorącego nośnika ciepła;
Tgorout - temperatura na wyjściu z wymiennika ciepła w trakcie przepływu gorącego nośnika ciepła;
Tchłin – temperatura na wejściu do wymiennika ciepła w trakcie przepływu zimnego nośnika ciepła.

W tabeli 3 przedstawiono wartości odchyleń efektywności modelu wymiennika ciepła od danych eksperymentalnych przy różnych przepływach w gorącej i zimnej linii.

Tabela 3. Błędy obliczeń efektywności wymiany ciepła w %

W naszym przypadku dobrany współczynnik może być użyty we wszystkich interesujących nas trybach pracy. Jeśli przy niskich przepływach, gdzie błąd jest większy, nie osiągamy wymaganej dokładności, możemy użyć zmiennego współczynnika intensyfikacji, który będzie zależny od bieżącego przepływu.

Na przykład na rysunku 10 współczynnik intensyfikacji jest obliczany według podanej formuły w zależności od bieżącego przepływu w komórkach kanału.

Rysunek 10. Zmienny współczynnik intensyfikacji wymiany ciepła.

Wnioski

• Znajomość praw fizyki pozwala na tworzenie dynamicznych modeli obiektu do projektowania opartego na modelach.
• Model musi być zweryfikowany i dostosowany na podstawie danych z testów.
• Narzędzia do opracowania modeli muszą umożliwiać projektantowi dostosowywanie modelu na podstawie wyników testów obiektu.
• Użyj odpowiedniego podejścia opartego na modelach, a będziesz szczęśliwy!

Bonus dla tych, którzy dotrwali do końca. Wideo ilustrujące działanie wirtualnego modelu systemu SKW.

Tylko zarejestrowani użytkownicy mogą brać udział w ankiecie. Zaloguj się, proszę.

O czym mówić dalej?

• 76,2%Jak udowodnić, że program w modelu odpowiada programowi w sprzęcie.

• 23,8%Jak wykorzystać obliczenia na SuperEVM do projektowania opartego na modelach.

Zagłosowało 21 użytkowników. Wstrzymał się 1 użytkownik.

Źródło: habr.com