Narodowy Uniwersytet Badawczy «Wyższa Szkoła Ekonomiczna» (NIU WSH-E) poinformował, że matematyk Ivan Remizov z Niżnego Nowgorodu znalazł sposób na warunkowo proste rozwiązanie równań różniczkowych drugiego rzędu z zmiennymi współczynnikami. Przez prawie dwa stulecia takie równania uważano za nierozwiązywalne. Tymczasem odgrywają one kluczową rolę w matematyce i naukach przyrodniczych, ponieważ służą do opisywania procesów dynamicznych.
Historycznie ograniczenie to było związane z wynikami francuskiego matematyka Josépha Liouvilla, który już w 1834 roku pokazał, że rozwiązania podobnych równań nie mogą być wyrażone przez skończoną liczbę standardowych operacji i funkcji elementarnych. Z tego powodu matematycy byli zmuszeni albo szukać rozwiązań szczególnych, albo korzystać z przybliżeń, co wykluczało uniwersalną metodę i bardzo komplikowało obliczenia. Innymi słowy, nie istniała ogólna formuła, do której można było w prosty sposób podstawiać „cyferki” i uzyskiwać rozwiązanie.
Ivan Remizov zaproponował nowe podejście, rozszerzając klasę dopuszczalnych operacji matematycznych. Nie spierał się z Liouvillem, lecz po prostu dodał do równań jeszcze jedno narzędzie matematyczne — obliczanie granicy ciągu. W tym celu matematyk wykorzystał teorię Czerna i przekształcenie Laplace’a. Pozwoliło mu to zbudować uniwersalną formułę, która formalnie daje rozwiązanie każdego równania z „niemożliwego” klasy, omijając klasyczne ograniczenia teorii.
„Istota pomysłu polega na tym, że skomplikowany, stale zmieniający się proces jest rozdzielany na nieskończoną liczbę prostych kroków. Dla każdego z takich fragmentów budowane jest swoje przybliżenie — elementarny fragment, który opisuje zachowanie systemu w konkretnym punkcie. Z osobna te kawałki dają jedynie uproszczony obraz, ale gdy ich liczba zmierza ku nieskończoności, bezszwowo łączą się w idealnie dokładny wykres rozwiązania” — wyjaśniono w komunikacie prasowym NIU WSH-E.
„Równania różniczkowe drugiego rzędu są wykorzystywane nie tylko do modelowania zdarzeń rzeczywistego świata, ale także do definiowania nowych funkcji, których nie można określić inaczej. Należą do nich na przykład tak zwane specjalne funkcje Mathieu i Hilla, które są kluczowe dla zrozumienia, jak poruszają się satelity na orbicie lub protony w Wielkim Zderzaczu Hadronów.”
Nieco bardziej złożonym językiem matematycznym o odkryciu można przeczytać znaleźć na stronie NIU HSE. Praca w języku angielskim opublikowane jest w pełni opublikowana w „Władykaukaskim czasopiśmie matematycznym”.
Źródło:
Źródło: 3dnews.ru
