«Se você ler na jaula do elefante a palavra 'búfalo', não acredite em seus olhos» Kozma Prutkov

Na anterior artigo sobre modelagem orientada a objetos foi demonstrado por que um modelo de objeto é necessário e provado que, sem esse modelo de objeto, falar sobre design baseado em modelos é apenas uma fúria de marketing, sem sentido e implacável. Mas ao surgirem modelos de objeto, engenheiros competentes sempre se perguntam: quais são as evidências de que o modelo matemático do objeto coincide com o objeto real.

Um dos exemplos de resposta a essa pergunta é apresentado no artigo sobre modelagem orientada a objetos em sistemas de acionamento elétrico. Neste artigo, abordaremos um exemplo de criação de modelo para sistemas de ar condicionado de aeronaves, temperando a prática com algumas considerações teóricas gerais.

Criação de um modelo de objeto confiável. Teoria

Para não prolongar, falarei imediatamente sobre o algoritmo de criação de modelo para o design orientado a objetos. Ele consiste em apenas três etapas simples:

Passo 1. Desenvolver um sistema de equações algébricas e diferenciais que descrevem o comportamento dinâmico do sistema modelado. Isso é simples, se você conhece a física do processo. Muitos cientistas já desenvolveram para nós as leis físicas básicas de Newton, Bernoulli, Navier-Stokes e outros.

Passo 2. Destacar no sistema obtido um conjunto de coeficientes empíricos e características do objeto de modelagem, que podem ser obtidos a partir de testes.

Passo 3. Realizar testes do objeto e ajustar o modelo de acordo com os resultados dos experimentos de campo, para que ele corresponda à realidade, com o nível de detalhe necessário.

Como você vê, é tão simples quanto contar até três.

Exemplo de implementação prática

O sistema de ar condicionado (SKV) em um avião está relacionado ao sistema automático de manutenção da pressão. A pressão dentro do avião deve ser sempre maior que a pressão externa, e a taxa de variação da pressão deve ser tal que os pilotos e passageiros não tenham sangramentos no nariz e nos ouvidos. Portanto, o sistema de controle de entrada e saída de ar é crucial para a segurança, e para seu desenvolvimento em terra são instalados sistemas de testes caros. Neles, são criadas temperaturas e pressões de altitude de voo, reproduzindo os modos de decolagem e pouso em aeródromos de diferentes altitudes. A questão do desenvolvimento e da depuração de sistemas de controle para o SKV se torna evidente. Quanto tempo passaremos testando o protótipo para obter um sistema de controle satisfatório? Obviamente, se configurarmos o modelo de controle com base no modelo do objeto, o ciclo de trabalhos no protótipo pode ser significativamente reduzido.

O sistema de ar condicionado aeronáutico consiste em trocadores de calor, assim como qualquer outro sistema térmico. Um radiador é um radiador, não importa onde esteja, apenas se refere ao ar condicionado. No entanto, devido a limitações de peso de decolagem e dimensões das aeronaves, os trocadores de calor são fabricados o mais compactos e eficientes possível, para transferir a maior quantidade de calor possível com menor peso. Como resultado, a geometria torna-se bastante peculiar. Como, por exemplo, no caso em questão. Na figura 1, um trocador de calor em placas é apresentado, onde entre as placas é utilizada uma membrana para melhorar a troca de calor. O fluido quente e o frio alternam nos canais, enquanto a direção do fluxo é transversal. Um fluido é fornecido na seção frontal, o outro na lateral.

Para resolver a tarefa de controle do SKV, precisamos saber quanto calor é transferido de um meio para outro em um trocador de calor por unidade de tempo. Isso afeta a taxa de variação de temperatura, que regulamos.

Figura 1. Diagrama do aparelho trocador de calor aeronáutico.

Problemas de modelagem. Parte hidráulica.

À primeira vista, a tarefa é bastante simples, é necessário calcular o fluxo de massa pelos canais do trocador de calor e o fluxo de calor entre os canais.
O fluxo de calor em canais é calculado pela fórmula de Bernoulli:

onde:
ΔP – diferença de pressão entre dois pontos;
ξ – coeficiente de atrito do fluido térmico;
L – comprimento do canal;
d – diâmetro hidráulico do canal;
ρ – densidade do fluido térmico;
ω – velocidade do fluido térmico no canal.

Para um canal de forma arbitrária, o diâmetro hidráulico é calculado pela fórmula:

onde:
F – área da seção transversal;
P – perímetro molhado do canal.

O coeficiente de atrito é calculado por fórmulas empíricas e depende da velocidade de fluxo e das propriedades do fluido térmico. Para diferentes geometrias, obtêm-se diferentes dependências, por exemplo, a fórmula para o fluxo turbulento em tubos lisos:

onde:
Re – número de Reynolds.

Para o fluxo em canais planos, pode-se usar a seguinte fórmula:

A partir da fórmula de Bernoulli, é possível calcular a diferença de pressão para uma velocidade determinada ou, inversamente, calcular a velocidade do fluido térmico no canal, dada uma diferença de pressão.

Transferência de calor

O fluxo de calor entre o fluido térmico e a parede é calculado pela fórmula:

onde:
α [W/(m²×°C)] – coeficiente de transferência de calor;
F – área da seção transversal.

Para problemas de fluxo de fluidos térmicos em tubos, já foram realizados suficientes estudos e existem muitos métodos de cálculo, que geralmente se reduzem a dependências empíricas para o coeficiente de transferência de calor α [W/(m²×°C)]

onde:
Nu – número de Nusselt,
λ – coeficiente de condutividade térmica do líquido [W/(m×°C)]
d – diâmetro hidráulico (equivalente).

Para calcular o número (critério) de Nusselt, são utilizadas dependências críticas empíricas; por exemplo, a fórmula para calcular o número de Nusselt de um tubo redondo é a seguinte:

Aqui já vemos o número de Reynolds, o número de Prandtl para a temperatura da parede e a temperatura do líquido, e o coeficiente de não uniformidade. (Fonte)

Para trocadores de calor de placas corrugadas, a fórmula é semelhante ( Fonte ):

onde:
n = 0,73 m = 0,43 para fluxo turbulento,
o coeficiente a – varia entre 0,065 a 0,6 dependendo do número de placas e do regime de fluxo.

Consideramos que este coeficiente é calculado apenas para um ponto no fluxo. Para o próximo ponto, temos uma temperatura diferente do líquido (ela se aqueceu ou esfriou), uma temperatura diferente da parede e, consequentemente, todos os números de Reynolds e Prandtl mudam.

Neste ponto, qualquer matemático dirá que é impossível calcular precisamente um sistema onde o coeficiente varia 10 vezes, e ele estará certo.

Qualquer engenheiro prático dirá que cada trocador de calor é diferente na fabricação e é impossível calcular os sistemas, e ele também estará certo.

E quanto ao design orientado por modelos? Será que tudo está perdido?

Vendedores avançados de software ocidentais vão te empurrar supercomputadores e sistemas de cálculo 3D, dizendo que "sem isso não dá". E é necessário rodar o cálculo por um dia para obter a distribuição de temperaturas ao longo de 1 minuto.

É claro que essa não é nossa opção, precisamos ajustar o sistema de controle, se não em tempo real, pelo menos em um horizonte próximo.

Solução por tentativa e erro

É fabricado um trocador de calor, realiza-se uma série de testes e cria-se uma tabela de eficiência da temperatura estabilizada para taxas de fluxo específicas dos fluidos térmicos. Simples, rápido e confiável, pois os dados foram obtidos a partir de testes.

A desvantagem dessa abordagem é que não há características dinâmicas do objeto. Sim, sabemos qual será o fluxo de calor estabilizado, mas não sabemos em quanto tempo ele se estabilizará ao mudar de um modo de operação para outro.

Portanto, após calcular as características necessárias, ajustamos o sistema de controle diretamente nos testes, o que gostaríamos de evitar desde o início.

Abordagem orientada por modelos

Para criar um modelo de trocador de calor dinâmico, é necessário utilizar dados de testes para eliminar incertezas nas fórmulas empíricas de cálculo - números de Nusselt e resistência hidráulica.

A solução é simples, como tudo que é genial. Pegamos a fórmula empírica, realizamos experimentos e determinamos o valor do coeficiente a, eliminando assim a incerteza na fórmula.

Assim que temos um valor definido do coeficiente de transferência de calor, todos os outros parâmetros são determinados pelas leis físicas básicas de conservação. A diferença de temperaturas e o coeficiente de transferência de calor definem a quantidade de energia transferida para o canal por unidade de tempo.

Conhecendo o fluxo de energia, é possível resolver as equações de conservação da massa de energia e do impulso para o fluido de aquecimento no canal hidráulico. Por exemplo, assim:

Para o nosso caso, o fluxo de calor entre a parede e o fluido de aquecimento permanece indefinido — Qwall. Para mais detalhes, veja aqui…

E também a equação da derivada da temperatura para a parede do canal:

onde:
ΔQwall – a diferença entre o fluxo de entrada e o fluxo de saída na parede do canal;
M – massa da parede do canal;
Cpc – capacidade térmica do material da parede.

Precisão do modelo

Como mencionado anteriormente, no trocador de calor temos uma distribuição de temperatura na superfície da placa. Para um valor estacionário, podemos considerar a média das placas e usá-la, representando todo o trocador de calor como um único ponto concentrado, onde ocorre a transferência de calor através de toda a superfície do trocador de calor em uma única diferença de temperatura. Mas para regimes transitórios, essa aproximação pode não funcionar. A outra extremidade – fazer várias centenas de milhares de pontos e sobrecarregar um Supercomputador, o que também não é adequado, já que o objetivo é ajustar o sistema de controle em tempo real, e é melhor fazê-lo rapidamente.

Surge a questão de quantas seções o trocador de calor deve ser dividido para obter uma precisão e velocidade de cálculo aceitáveis?

Como sempre, por acaso, tive em mãos um modelo de trocador de calor de amina. O equipamento de troca térmica consiste em tubos, onde circula o meio aquecedor, e entre as extremidades – o meio aquecido. Para simplificar a tarefa, todo o trocador de calor pode ser representado como um único tubo equivalente, e o próprio tubo como um conjunto de células de cálculo discretas, em cada uma delas ocorre o cálculo do modelo pontual de troca térmica. O esquema do modelo de uma célula é mostrado na Figura 2. O canal de ar quente e o canal de ar frio estão conectados através de uma parede que garante a transferência do fluxo de calor entre os canais.

Figura 2. Modelo da célula do trocador de calor.

O modelo do trocador de calor tubular é facilmente ajustável. É possível alterar apenas um parâmetro – o número de seções ao longo do tubo e observar os resultados dos cálculos com diferentes divisões. Vamos realizar o cálculo de várias opções, começando com uma divisão em 5 pontos ao longo (fig. 3) e indo até 100 pontos ao longo (fig. 4).

Figura 3. Distribuição estacionária da temperatura em 5 pontos de cálculo.

Figura 4. Distribuição estacionária da temperatura em 100 pontos de cálculo.

Como resultado dos cálculos, a temperatura estabelecida com a divisão em 100 pontos é de 67,7 graus. E com a divisão em 5 pontos de cálculo, a temperatura é de 72,66 graus Celsius.

Além disso, na parte inferior da janela é exibida a velocidade de cálculo em relação ao tempo real.
Vamos observar como a temperatura estabelecida e a velocidade de cálculo mudam dependendo da quantidade de pontos de cálculo. A diferença nas temperaturas estabelecidas em cálculos com diferentes quantidades de células de cálculo pode ser usada para avaliar a precisão do resultado obtido.

Tabela 1. Dependência da temperatura e velocidade de cálculo da quantidade de pontos de cálculo ao longo do trocador de calor.

Analisando esta tabela, podemos tirar as seguintes conclusões:

• A velocidade de cálculo diminui proporcionalmente ao número de pontos de cálculo no modelo do aparelho trocador de calor.
• A mudança na precisão do cálculo acontece de forma exponencial. Com o aumento do número de pontos, a precisão a cada aumento subsequente diminui.

No caso de um trocador de calor de placas com fluxo cruzado do fluido térmico, como mostrado na figura 1, a criação de um modelo equivalente a partir de células de cálculo elementares é um pouco mais complexa. Precisamos conectar as células de maneira a organizar o fluxo cruzado. Para 4 células, o esquema será como apresentado na figura 5.

O fluxo do fluido térmico é dividido entre o ramo quente e o ramo frio em dois canais, que se conectam através de estruturas térmicas, permitindo que, ao passar pelo canal, o fluido térmico troque calor com os diferentes canais. Simulando o fluxo cruzado, o fluido térmico quente flui da esquerda para a direita (ver fig. 5) em cada canal, trocando calor de forma sequencial com os canais do fluido térmico frio, que flui de baixo para cima (ver fig. 5). O ponto mais quente está localizado no canto superior esquerdo, pois o fluido térmico quente troca calor com o fluido térmico já aquecido do canal frio. E o mais frio está no canto inferior direito, onde o fluido térmico frio troca calor com o fluido térmico quente, que já esfriou na primeira seção.

Figura 5. Modelo de fluxo transversal com 4 células de cálculo.

Esse modelo para o trocador de calor de placas não considera a transferência de calor entre as células devido à condutividade térmica e não leva em conta a mistura do fluido térmico, uma vez que cada canal é isolado.

Mas, em nosso caso, a última restrição não reduz a precisão, uma vez que na construção do trocador de calor uma membrana ondulada separa o fluxo em múltiplos canais isolados para o fluido térmico (ver fig. 1). Vamos observar o que acontece com a precisão do cálculo ao simular o trocador de calor de placas ao aumentar o número de células de cálculo.

Para analisar a precisão, usamos duas variantes de divisão do trocador de calor em células de cálculo:

1. Cada célula quadrada contém dois elementos hidráulicos (fluxos quente e frio) e um elemento térmico. (ver figura 5)
2. Cada célula quadrada contém seis elementos hidráulicos (três seções no fluxo quente e três no fluxo frio) e três elementos térmicos.

No último caso, usamos dois tipos de conexões:

• fluxo contracorrente dos fluxos frio e quente;
• fluxo paralelo dos fluxos frio e quente.

O fluxo contracorrente aumenta a eficiência em comparação com o fluxo cruzado, enquanto o fluxo paralelo diminui. Com um grande número de células, ocorre uma média ao longo do fluxo, tornando-se muito próximo do real escoamento transversal (ver figura 6).

Figura 6. Modelo de fluxo transversal com quatro células e 3 elementos.

Na figura 7, são apresentados os resultados da distribuição estacionária de temperatura no trocador de calor, com ar aquecido a 150 °C na linha quente e 21 °C na linha fria, para diversas opções de divisão do modelo. A cor e os números na célula representam a temperatura média da parede na célula de cálculo.

Figura 7. Temperaturas estacionárias para diferentes esquemas de cálculo.

Na tabela 2, está a temperatura do ar aquecido após o trocador de calor, dependendo da divisão do modelo em células.

Tabela 2. Dependência da temperatura em relação ao número de células de cálculo no trocador de calor.

Com o aumento do número de células de cálculo no modelo, a temperatura final estacionária aumenta. A diferença entre a temperatura estacionária em diferentes divisões pode ser vista como um indicador da precisão do cálculo. É evidente que, ao aumentar o número de células de cálculo, a temperatura tende a um limite, e o aumento da precisão não é proporcional ao número de pontos de cálculo.

Surge a questão: qual precisão do modelo precisamos?

A resposta a esta pergunta depende do propósito do nosso modelo. Como o artigo trata de projeto orientado a modelos, estamos criando um modelo para ajustar o sistema de controle. Isso significa que a precisão do modelo deve ser comparável à precisão dos sensores utilizados no sistema.

No nosso caso, a temperatura é medida por um termopar, cuja precisão é de ±2.5 °C. Qualquer precisão acima disso para fins de ajuste do sistema de controle é inútil, nossa real sistema de controle simplesmente "não a verá". Assim, se assumirmos que a temperatura limite com um número infinito de divisões é de 70 °C, uma precisão suficiente será um modelo que nos dê mais de 67.5 °C. Todos os modelos com 3 pontos na célula de cálculo e modelos maiores que 5x5 com um ponto na célula. (Destacados em verde na tabela 2)

Modos dinâmicos de operação

Para avaliar o modo dinâmico, vamos analisar o processo de alteração da temperatura nos pontos mais quente e frio da parede do trocador de calor para diferentes opções de esquemas de cálculo. (ver fig. 8)

Figura 8. Aquecimento do trocador de calor. Modelos com dimensões de 2x2 e 10x10.

É evidente que o tempo do processo de transição e sua natureza praticamente não dependem do número de células de cálculo, mas são determinados exclusivamente pela massa do metal aquecido.

Assim, concluímos que para uma simulação precisa do trocador de calor em modos de 20 a 150 °C, com a precisão necessária para o sistema de controle SKV, é suficiente cerca de 10 a 20 pontos de cálculo.

Ajuste do modelo dinâmico com base na experiência

Tendo um modelo matemático e também dados experimentais sobre a purga do trocador de calor, resta-nos fazer uma simples correção, ou seja, introduzir um coeficiente de intensificação no modelo, de forma que o cálculo coincida com os resultados do experimento.

Além disso, utilizando um ambiente gráfico para a criação do modelo, faremos isso automaticamente. Na figura 9, é apresentado o algoritmo para a seleção dos coeficientes de intensificação do calor. Os dados obtidos do experimento são fornecidos como entrada, o modelo do trocador de calor é conectado e, como saída, obtemos os coeficientes necessários para cada um dos modos.

Figura 9. Algoritmo para a seleção do coeficiente de intensificação com base nos resultados do experimento.

Assim, definimos precisamente o coeficiente para o número de Nusselt e eliminamos a incerteza nas fórmulas de cálculo. Para diferentes modos de operação e temperaturas, os valores dos coeficientes de correção podem variar; no entanto, para modos de operação semelhantes (exploitation normal), eles se mostram bastante próximos. Por exemplo, para este trocador de calor, os coeficientes variam de 0,492 a 0,655 para diferentes modos.

Se aplicarmos o coeficiente 0,6, a margem de erro do cálculo nos modos estudados será menor do que a do termômetro, portanto, para o sistema de controle, o modelo matemático do trocador de calor será totalmente adequado ao modelo real.

Resultados do ajuste do modelo do trocador de calor

Para avaliar a qualidade da troca de calor, utiliza-se uma característica especial — eficiência:

onde:
effquente — eficiência do trocador de calor em relação ao fluido térmico quente;
Tquenteem — temperatura na entrada do trocador de calor pelo caminho do fluido térmico quente;
Tquentesai — temperatura na saída do trocador de calor pelo caminho do fluido térmico quente;
Tfrioem – temperatura na entrada do trocador de calor no traçado de movimento do fluido frio.

Na tabela 3, estão apresentados os valores da discrepância da eficiência do modelo do trocador de calor em relação ao experimental, para diferentes fluxos nas linhas quente e fria.

Tabela 3. Erros de cálculo da eficiência de troca térmica em %

No nosso caso, o coeficiente ajustado pode ser utilizado em todos os modos de operação desejados. Se, em baixas taxas, onde o erro é maior, a precisão necessária não for alcançada, podemos usar um coeficiente de intensificação variável, que dependerá da taxa de fluxo atual.

Por exemplo, na figura 10, o coeficiente de intensificação é calculado de acordo com a fórmula dada, dependendo da taxa de fluxo atual nas células do canal.

Figura 10. Coeficiente de intensificação variável da troca térmica.

Como resultado, obtemos um serviço de "monitoramento como serviço", automatizado na linha de produção de integração contínua. O desenvolvedor ou testador precisa apenas definir a lista de métricas em um arquivo JSON, e tudo o mais acontece automaticamente. Obtemos um controle de qualidade transparente dos lançamentos: todas as notificações sobre desempenho, consumo de recursos ou regressões arquitetônicas.

• O conhecimento das leis físicas permite criar modelos dinâmicos do objeto para o projeto orientado a modelos.
• O modelo deve ser verificado e ajustado de acordo com os dados dos testes.
• As ferramentas de desenvolvimento de modelos devem permitir que o desenvolvedor ajuste o modelo com base nos resultados dos testes do objeto.
• Use a abordagem orientada a modelos corretamente e a felicidade será sua!

Bônus para quem leu até aqui. Vídeo da operação do modelo virtual do sistema SCV.

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Sobre o que contar a seguir?

• 76,2%Como provar que o programa no modelo corresponde ao programa no hardware.

• 23,8%Como usar cálculos em supercomputadores para o projeto orientado a modelos.

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Fonte: habr.com