🥇Matemática e o jogo "Set"

Quem encontrar um "set" aqui, ganhará um chocolate meu.

O set é um jogo genial no qual jogamos há cerca de 5 anos. Gritos, alucinações, fotografar combinações.

As regras do jogo dizem que ele foi inventado em 1991 pela geneticista Marsha Falco, enquanto fazia anotações durante uma pesquisa sobre epilepsia em pastores alemães em 1974. Para aqueles cujos cérebros estão suficientemente extenuados pela matemática, após algum tempo surge a suspeita de que há eco de planimetria e traçar linhas através de pontos. (Para dois cartões dados, existe um e apenas um cartão que compõe um set com eles.)

Marsha Falco meio que pergunta: "Bem, não encontrou o 'set'?"

Lembrando as regras

Set é um jogo de cartas. Todas as cartas têm quatro parâmetros, cada um com três valores (no total, 3 x 3 x 3 x 3 = 81 cartas).

Os tipos e valores dos parâmetros são:

figura ::= elipse | losango | "gosma"
cor ::= vermelho | verde | roxo
preenchimento ::= branco | listrado | sólido
quantidade ::= 1 | 2 | 3

O objetivo do jogo é encontrar combinações especiais de três cartas. Três cartas são chamadas de "set" se, para cada um dos quatro atributos, as cartas são todas iguais ou tudo diferentes.

Em outras palavras, pode-se dizer que três cartas não formarão um set se duas cartas tiverem um valor de parâmetro, enquanto a terceira tiver outro. É possível ver que, para quaisquer duas cartas, sempre haverá uma terceira (e única) com a qual elas formarão um set.

O jogo: O líder coloca 12 cartas na mesa. Quando alguém encontra um set, ele grita "Set!" e então pega tranquilamente as cartas que compõem o set. Caso não haja set nas cartas expostas (provavelmente só parece que não há), o líder coloca mais três cartas.

O número máximo de cartas sem set é 20. A rodada continua até que o baralho acabe. Ganha quem coletou mais sets.

Os matemáticos se adiantarão e apresentarão uma combinação de 20 cartas. Quem se considera Chuck Norris pode esquecer essa imagem e tentar montar o "solitário" sem set por conta própria.
Ou verificar se, por acaso, ainda há um "set" aqui?

20 cartas sem set

Fácil verificar que não há "set por cor".

As mesmas cartas, mas a disposição mostra que não há sets pelo parâmetro "preenchimento".

Por quantidade.

Por figuras.

Não há set pela diferença de características.

Um problema matemático não resolvido

Quantas cartas podem ser colocadas de maneira a não formar um único "conjunto"? O atributo tem três valores.

com 1 "atributo" — 2 cartas
2 atributos — 4 cartas
3 atributos — 9 cartas
4 atributos — 20 cartas
5 atributos — 45 cartas
6 atributos — 112 cartas
7 atributos — não sei

E quando "n→∞"?