Como consegui esse livro?
Em maio de 2017, recebi um e-mail do meu antigo professor do ensino médio, chamado George Rutter, no qual ele escreveu: “Tenho um exemplar do grande livro de Dirac em alemão (Die Prinzipien der Quantenmechanik), que pertenceu a Alan Turing, e depois de ler seu livro , мне показалось само собой разумеющимся, что вы именно тот человек, которому она нужна». Он объяснил мне, что получил книгу от другого (к тому времени умершего) моего школьного учителя , que eu sabia que era amigo de Alan Turing. George terminou sua carta com a frase: "Если вам нужна эта книга, я мог бы вручить ее вам в следующий раз, когда вы приедете в Англию".
Alguns anos depois, em março de 2019, cheguei à Inglaterra, e depois combinei um encontro com George para tomar café da manhã em um pequeno hotel em Oxford. Comemos, conversamos e esperamos a comida assentar. Então foi um bom momento para discutir o livro. George enfiou a mão na pasta e tirou um volume acadêmico típico de meados do século XX, de design bastante modesto.
Abri a capa, me perguntando se poderia haver algo no verso que dizia: “Propriedade de Alan Turing" ou algo assim. Mas, infelizmente, isso acabou não sendo o caso. No entanto, foi acompanhado por uma nota bastante expressiva de quatro páginas de Norman Routledge para George Rutter, escrita em 2002.
Eu conheci Norman Rutledge quando era estudante в no início da década de 1970. Ele era um professor de matemática apelidado de "Nutty Norman". Ele era um professor agradável em todos os sentidos e contava inúmeras histórias sobre matemática e todo tipo de outras coisas interessantes. Ele foi responsável por garantir que a escola recebesse um computador (programado com fita adesiva perfurada em toda a mesa) - era .
Na época, eu não sabia nada sobre a formação de Norman (lembre-se, isso foi muito antes da Internet). Tudo que eu sabia era que ele era o "Dr. Rutledge". Ele contava histórias sobre o pessoal de Cambridge com bastante frequência, mas nunca mencionava Alan Turing em suas histórias. É claro que Turing ainda não era muito famoso (embora, como descobri, eu já tivesse ouvido falar dele por alguém que o conhecia em (a mansão onde ficava o centro de criptografia durante a Segunda Guerra Mundial)).
Alan Turing só se tornou famoso em 1981, quando pela primeira vez , embora ainda no contexto de autômatos celulares, e não .
Quando, de repente, um dia, enquanto olhava um catálogo de cartas na biblioteca , me deparei com um livro , escrito por sua mãe Sarah Turing. O livro continha muitas informações, inclusive sobre os trabalhos científicos não publicados de Turing sobre biologia. No entanto, não aprendi nada sobre seu relacionamento com Norman Routledge, já que nada foi mencionado sobre ele no livro (embora, como descobri, Sarah Turing , e Norman até acabou escrevendo ).
Десять лет спустя, настроенный с крайним любопытством к Тьюрингу и его (тогда еще неопубликованным) , Eu visitei в . Logo, tendo me familiarizado com o que eles sabiam do trabalho de Turing, e tendo dedicado algum tempo a ele, pensei que seria melhor pedir para ver também sua correspondência pessoal. Ao examiná-lo, descobri de Alan Turing a Norman Routledge.
Naquela época foi publicado Andrew Hodges, que tanto fez para garantir que Turing finalmente se tornasse famoso, confirmou que Alan Turing e Norman Routledge eram de fato amigos, e também que Turing era o conselheiro científico de Norman. Eu queria perguntar a Routledge sobre Turing, mas a essa altura Norman já estava aposentado e levando uma vida isolada. No entanto, quando terminei o trabalho no livro "”em 2002 (após meus dez anos de reclusão), localizei-o e enviei-lhe um exemplar do livro com a legenda “Para meu último professor de matemática”. Então ele e eu um pouco , и в 2005 году я снова приехал в Англию и договорился встретиться с Норманом попить чайку в роскошном отеле в центре Лондона.
Tivemos uma boa conversa sobre muitas coisas, inclusive sobre Alan Turing. Norman começou nossa conversa nos contando que conheceu Turing, principalmente superficialmente, há 50 anos. Mas ainda assim ele tinha algo a contar sobre ele pessoalmente: “Он был нелюдим'. "Ele riu muito'. "Он не мог по-настоящему говорить с нематематиками'. "Ele sempre teve medo de incomodar sua mãe'. "Ele saiu durante o dia e correu uma maratona'. "Ele não era muito ambicioso" A conversa então girou em torno da personalidade de Norman. Ele disse que mesmo estando aposentado há 16 anos, ainda escreve artigos para ""de modo que, em suas palavras,"termine todos os seus trabalhos científicos antes de passar para o próximo mundo", onde, como acrescentou com um leve sorriso, "todas as verdades matemáticas serão definitivamente reveladas" Quando a festa do chá terminou, Norman vestiu a jaqueta de couro e dirigiu-se para sua motocicleta, completamente alheio ao que estava acontecendo. Naquele dia.
Essa foi a última vez que vi Norman; ele morreu em 2013.
Seis anos depois, eu estava tomando café da manhã com George Rutter. Eu tinha comigo um bilhete de Rutledge, escrito em 2002 com sua caligrafia distinta:
Primeiro eu folheei a nota. Ela foi expressiva como sempre:
Recebi o livro de Alan Turing de seu amigo e executor (no King's College estava na ordem do dia distribuir livros da coleção de colegas falecidos, e eu escolhi uma coleção de poemas de livros como um presente adequado (ele era reitor e pulou da capela [em 1956])…
Mais tarde, em uma breve nota, ele escreve:
Você pergunta onde este livro deveria terminar - na minha opinião, ele deveria ir para alguém que aprecia tudo relacionado ao trabalho de Turing, então seu destino depende de você.
Stephen Wolfram me enviou seu livro impressionante, mas não me aprofundei o suficiente nele...
Concluiu parabenizando George Rutter por ter tido a coragem de se mudar (temporariamente, como se viu) para a Austrália depois de se aposentar, dizendo que ele próprio "brincaria com a mudança para o Sri Lanka como um exemplo de existência barata e semelhante a um lótus", mas acrescentou que"os eventos que acontecem atualmente lá indicam que ele não deveria ter feito isso"(aparentemente significando в Шри-Ланке).
Então, o que está escondido nas profundezas do livro?
Então, o que fiz eu com a cópia do livro alemão escrito por Paul Dirac que pertenceu a Alan Turing? Eu não leio alemão, mas tenho em edição em inglês (que é seu idioma original) da década de 1970. Contudo, um dia, durante o café da manhã, pareceu-me correto que eu examinasse cuidadosamente o livro, página por página. Afinal, esta é uma prática comum quando se trata de livros antigos.
Deve-se notar que fiquei impressionado com a elegância da apresentação de Dirac. O livro foi publicado em 1931, mas o seu puro formalismo (e, sim, apesar da barreira linguística, consegui ler a matemática do livro) é quase o mesmo como se tivesse sido escrito hoje. (Não quero dar muita ênfase a Dirac aqui, mas meu amigo me disse que, pelo menos na sua opinião, a exposição de Dirac é monossilábica. Norman Rutledge me contou que era amigo em Cambridge de , que se tornou um teórico dos grafos. Norman visitava a casa de Dirac com frequência e dizia que o “grande homem” às vezes ficava pessoalmente em segundo plano, enquanto o primeiro estava sempre cheio de quebra-cabeças matemáticos. Eu mesmo, infelizmente, nunca conheci Paul Dirac, embora me tenham dito que depois que ele finalmente trocou Cambridge pela Flórida, ele perdeu muito de sua resistência anterior e se tornou uma pessoa bastante sociável).
Mas voltemos ao livro de Dirac, que pertenceu a Turing. Na página 9 notei sublinhados e pequenas anotações nas margens, escritas a lápis. Continuei folheando as páginas. Depois de alguns capítulos, as notas desapareceram. Mas então, de repente, encontrei uma nota anexada à página 127 que dizia:
Foi escrito em alemão, com caligrafia alemã padrão. E parece que ela pode ter algo a ver com . Я подумал, что, вероятно, кто-то владел данной книгой до Тьюринга, и это, должно быть, записка, написанная этим человеком.
Continuei folheando o livro. Não houve notas. E pensei que não conseguiria encontrar mais nada. Mas então, na página 231, descobri um marcador de página da marca – com o texto impresso:
Vou acabar descobrindo mais alguma coisa? Continuei folheando o livro. Então, no final do livro, na página 259, na seção sobre teoria relativística do elétron, descobri o seguinte:
Desdobrei este pedaço de papel:
Eu imediatamente percebi o que era misturado com , mas como essa folha foi parar aqui? Lembremos que este livro é um livro sobre mecânica quântica, mas o folheto anexo trata da lógica matemática, ou do que hoje é chamado de teoria da computação. Isso é típico dos escritos de Turing. Eu me perguntei se Turing escreveu pessoalmente esta nota?
Ainda durante o café da manhã, procurei na Internet exemplos da caligrafia de Turing, mas não encontrei exemplos na forma de cálculos, por isso não consegui tirar conclusões sobre a identidade exata da caligrafia. E logo tivemos que ir. Embalei cuidadosamente o livro, pronto para revelar o mistério de que página era e quem o escreveu, e levei-o comigo.
Sobre o livro
Em primeiro lugar, vamos discutir o livro em si. "» Os campos de Dirac foram publicados em inglês em 1930 e logo foram traduzidos para o alemão. (O prefácio de Dirac é datado de 29 de maio de 1930; pertence ao tradutor - — 15 августа 1930 года.) Книга стала вехой в развитии квантовой механики, систематически устанавливая четкий формализм для выполнения вычислений, и среди прочего, объясняя предсказание Дирака о , que será inaugurado em 1932.
Por que Alan Turing publicou um livro em alemão e não em inglês? Não tenho certeza disso, mas naquela época o alemão era a principal língua da ciência e sabemos que Alan Turing sabia lê-lo. (Afinal, em nome de seu famoso trabalhar « (Entscheidungsproblem)» было очень длинное немецкое слово — и в основной части статьи он оперирует довольно непонятными готическими символами в виде «немецких букв», которые он использовал, взамен, например, греческих символов).
Алан Тьюринг купил эту книгу сам или ему ее передали? Я не знаю. На внутренней стороне обложки книги Тьюринга есть карандашное обозначение «20/-», которое было стандартным обозначением «20 шиллингов», аналогично £1. На правой странице есть стёртое «26.9.30», предположительно означающее 26 сентября 1930 года — возможно, дату, когда книга была впервые приобретена. Затем, в крайнем правом углу, стертая цифра «20». Возможно, это снова цена. (Может ли это быть цена в , presumindo que o livro foi vendido na Alemanha? Naquela época, 1 Reichsmark valia cerca de 1 xelim, o preço alemão provavelmente seria escrito como "RM20", por exemplo.) Finalmente, na contracapa interna há "c 5/-" - talvez isto, (com um grande desconto) preço de um livro usado.
Vejamos as principais datas da vida de Alan Turing. Alan Turing (coincidentemente, exatamente 76 anos antes ). No outono de 1931 ele ingressou no King's College, em Cambridge. Ele recebeu seu diploma de bacharel após os três anos padrão de estudo em 1934.
Na década de 1920 e no início da década de 1930, a mecânica quântica era um tema quente, e Alan Turing certamente estava interessado nela. Pelos seus arquivos sabemos que em 1932, assim que o livro foi publicado, recebeu "»John von Neumann (em ). Нам также известно, что в 1935 году Тьюринг получил задание от кембриджского физика sobre o tema do estudo da mecânica quântica. (Fowler sugeriu calcular , que na verdade é um problema muito complexo que requer uma análise completa com a teoria quântica de campos interagentes, que ainda não está completamente resolvida).
E ainda assim, quando e como Turing conseguiu seu exemplar do livro de Dirac? Dado que o livro tem um preço marcado, Turing provavelmente o comprou de segunda mão. Quem foi o primeiro dono do livro? As notas do livro parecem tratar principalmente da estrutura lógica, observando que alguma relação lógica deve ser tomada como um axioma. Então, e a nota incluída na página 127?
Bom, talvez seja coincidência, mas logo na página 127 - Dirac fala sobre quântica e estabelece as bases para – que é a base de todo o formalismo quântico moderno. O que a nota contém? Ele contém uma extensão da Equação 14, que é a equação para a evolução temporal da amplitude quântica. O autor da nota substituiu o Dirac A para amplitude por ρ, talvez refletindo assim uma notação alemã anterior (analogia da densidade do fluido). O autor então tenta expandir a ação por potências de ℏ (, dividido por 2π, às vezes chamado ).
Mas não parece haver muita informação útil a ser obtida do que está na página. Se você segurar a página contra a luz, ela conterá uma pequena surpresa - uma marca d’água que diz “Z f. Físico. Química. B":
Esta é a versão abreviada - uma revista alemã sobre físico-química, que começou a ser publicada em 1928. Talvez a nota tenha sido escrita por um editor de revista? Aqui está uma manchete de revista de 1933. Convenientemente, os editores são listados por localização, e um se destaca: “Bourne · Cambridge”.
Isto é quem é o autor e muito mais na teoria da mecânica quântica (assim como o avô do cantor ). Então, esta nota pode ter sido escrita por Max Born? Mas, infelizmente, não é assim, porque a caligrafia não corresponde.
E o marcador na página 231? Aqui está de ambos os lados:
O marcador é estranho e muito bonito. Mas quando foi feito? Em Cambridge há , embora agora faça parte da Blackwell. Por mais de 70 anos (até 1970), Heffers esteve localizado no endereço, como mostra o marcador, и .
В данной закладке находится важный ключ — это номер телефона „Тел. 862”. Так вышло, что в 1939 году большая часть Кембриджа (включая Хефферс) перешла на четырехзначные номера, и, безусловно, к 1940 году закладки печатались с «современными» телефонными номерами. (Английские телефонные номера постепенно становились все длиннее; когда я рос в Англии в 1960-х годах, наши телефонные номера были «Оксфорд 56186» и «Кидмор-Энд 2378». Отчасти я помню эти цифры потому, что, как бы странно это теперь не выглядело, я всегда называл свой номер при ответе на входящий звонок).
O marcador foi impresso desta forma até 1939. Mas quanto tempo antes disso? Existem algumas varreduras de anúncios antigos da Heffers online, datando de pelo menos 1912 (junto com “Pedimos que você atenda às suas solicitações...”) eles completam “Telefone 862” adicionando “(2 linhas)”. Existem também alguns marcadores com designs semelhantes que podem ser encontrados em livros já em 1904 (embora não esteja claro se eles eram originais desses livros (ou seja, impressos na mesma época). Para fins de nossa investigação, parece que posso concluir que este livro veio da Heffer's (que, aliás, era a principal livraria de Cambridge) em algum momento entre 1930 e 1939.
Página de cálculo lambda
Agora sabemos algo sobre quando o livro foi comprado. Mas e a “página de cálculo lambda”? Quando isso foi escrito? Bem, naturalmente, a essa altura o cálculo lambda já deveria ter sido inventado. E foi feito , matemático de , na sua forma original em 1932 e na sua forma final em 1935. (Houve trabalhos de cientistas anteriores, mas eles não usaram a notação λ).
Existe uma conexão complexa entre Alan Turing e o cálculo lambda. Em 1935, Turing interessou-se pela "mecanização" das operações matemáticas e inventou a ideia de uma máquina de Turing, utilizando-a para resolver problemas de matemática fundamental. Turing enviou um artigo sobre este tema para uma revista francesa (), mas foi perdido no correio; e então descobriu-se que o destinatário para quem ele o enviou não estava lá, pois ele havia se mudado para a China.
Mas em maio de 1936, antes que Turing pudesse enviar seu artigo para qualquer outro lugar, . Turing já havia reclamado que quando desenvolveu a prova em 1934 , то обнаружил, что существует норвежский математик, который уже no ano 1922.
Нетрудно понять, что машины Тьюринга и лямбда-исчисление фактически эквивалентны в тех видах вычислений, которые они могут представлять (и это является началом ). No entanto, Turing (e seu professor ) estavam convencidos de que a abordagem de Turing era suficientemente diferente para merecer a sua própria publicação. Em novembro de 1936 (e com erros de digitação corrigidos no mês seguinte) em O famoso artigo de Turing foi publicado .
Para completar um pouco a linha do tempo: de setembro de 1936 a julho de 1938 (com uma pausa de três meses no verão de 1937), Turing esteve em Princeton, tendo ido para lá com o objetivo de se tornar um estudante de graduação da Alonzo Church. Durante este período em Princeton, Turing aparentemente concentrou-se inteiramente na lógica matemática, escrevendo vários , - e, muito provavelmente, ele não tinha consigo um livro sobre mecânica quântica.
Turing retornou a Cambridge em julho de 1938, mas em setembro daquele ano já trabalhava meio período na , e um ano depois mudou-se para Bletchley Park com o objetivo de trabalhar lá em tempo integral em questões relacionadas à criptoanálise. Após o fim da guerra em 1945, Turing mudou-se para Londres para trabalhar para no desenvolvimento de um projeto para criar . Ele passou o ano acadêmico de 1947-8 em Cambridge, mas depois mudou-se para Manchester para desenvolver .
Em 1951, Turing começou a estudar seriamente . (Para mim, pessoalmente, esse fato é um tanto irônico, porque me parece que Turing sempre acreditou subconscientemente que os sistemas biológicos deveriam ser modelados por equações diferenciais, e não por algo discreto como máquinas de Turing ou autômatos celulares). Ele também voltou seu interesse para a física e, em 1954, até , O que: "Eu tentei inventar uma nova mecânica quântica"(embora ele tenha acrescentado:"mas na verdade não é um fato que vai dar certo"). Mas, infelizmente, tudo terminou abruptamente em 7 de junho de 1954, quando Turing morreu repentinamente. (Suponho que não foi suicídio, mas isso é outra história.)
Então, vamos voltar à página de cálculo lambda. Vamos segurá-lo contra a luz e ver a marca d'água novamente:
Parece ser um pedaço de papel de fabricação britânica e parece-me improvável que tenha sido usado em Princeton. Mas podemos datá-lo com precisão? Bem, não sem alguma ajuda , sabemos que o fabricante oficial do papel foi Spalding & Hodge, Papermakers, Drury House Wholesale and Export Company, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, Londres. Isto pode ajudar-nos, mas não muito, uma vez que se pode presumir que a sua marca de papel Excelsior parece ter sido incluída em catálogos de abastecimento entre 1890 e 1954.
О чем говорится в этой страничке?
Então, vamos dar uma olhada mais de perto no que está em ambos os lados do pedaço de papel. Vamos começar com lambdas.
Aqui está uma maneira de determinar , e são um conceito básico em lógica matemática e agora em programação funcional. Essas funções são bastante comuns na linguagem , e sua tarefa é bastante fácil de explicar. Por exemplo, alguém escreve f[x] para indicar uma função f, aplicado ao argumento x. E existem muitas funções nomeadas f tal como ou ou . Mas e se alguém quiser f[x] era 2x +1? Não há nome direto para esta função. Mas existe outra forma de atribuição, f[x]?
A resposta é sim: em vez disso f nós estamos escrevendo Function[a,2a+1]. E na linguagem Wolfram Function [a,2a+1][x] aplica funções ao argumento x, produzindo 2x+1. Function[a,2a+1] é uma função "pura" ou "anônima" que representa a operação pura de multiplicar por 2 e somar 1.
Então, λ no cálculo lambda é um análogo exato na Wolfram Language - e portanto, por exemplo, λuma.(2 uma+1) equivalente Function[a, 2a + 1]. (Vale a pena notar que uma função, digamos, Function[b,2b+1] equivalente; "variáveis vinculadas" a ou b são simplesmente substituições de argumentos de função - e na Wolfram Language elas podem ser evitadas usando definições alternativas de funções puras (2# +1)&).
Na matemática tradicional, as funções são normalmente pensadas como objetos que representam entradas (que também são números inteiros, por exemplo) e saídas (que também são, por exemplo, números inteiros). Mas que tipo de objeto é esse? (ou λ)? Essencialmente, é um operador de estrutura que pega expressões e as transforma em funções. Isto pode parecer um pouco estranho do ponto de vista da matemática tradicional e da notação matemática, mas se for necessário fazer manipulação arbitrária de símbolos, é muito mais natural, mesmo que pareça um pouco abstrato à primeira vista. (Deve-se notar que quando os usuários aprendem a Wolfram Language, sempre posso dizer que eles ultrapassaram um certo limite de pensamento abstrato quando ganham uma compreensão do ).
Lambdas são apenas parte do que está presente na página. Existe outro conceito ainda mais abstrato - este . Considere a string um tanto obscura PI1IIx? O que isso poderia significar? Essencialmente, esta é uma sequência de combinadores ou alguma composição abstrata de funções simbólicas.
A superposição usual de funções, bastante familiar em matemática, pode ser escrita na Wolfram Language como: f[g[x]] - que significa "aplicar" f ao resultado da aplicação g к x" Mas os parênteses são realmente necessários para isso? Na linguagem Wolfram f@g@ x — альтернативная форма записи. В этой записи мы полагаемся на определение в языке Wolfram Language: оператор @ ассоциируется с правой частью, поэтому f@g@x equivalente f@(g@x).
Mas o que significará a gravação? (f@g)@x? Isto é equivalente f[g][x]. E se f и g fossem funções comuns em matemática, não teria sentido, mas se f - em seguida f[g] em si pode ser uma função que pode muito bem ser aplicada a x.
Отметим здесь есть еще некоторую сложность. В f[х] - f é uma função de um argumento. E f[х] equivale a escrever Function[a, f[a]][x]. Mas e uma função com dois argumentos, digamos f[x,y]? Isso pode ser escrito como Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Mas e se Function[{a},f[a,b]]? O que é isso? Existe uma "variável livre" aqui b, que é simplesmente passado para a função. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] irá vincular esta variável e então Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] дает f[x,y] de novo. (Especificar uma função para que ela tenha um argumento é chamado de "currying" em homenagem ao lógico chamado ).
Se existem variáveis livres, então existem muitas complexidades diferentes sobre como as funções podem ser definidas, mas se nos restringirmos aos objetos ou λ, que não possuem variáveis livres, então elas podem basicamente ser especificadas livremente. Esses objetos são chamados de combinadores.
Os combinadores têm uma longa história. Sabe-se que foram propostos pela primeira vez em 1920 por um estudante - .
Naquela época, só muito recentemente se descobriu que não havia necessidade de usar as expressões , и para representar expressões na lógica proposicional padrão: bastava usar um único operador, que chamaremos agora (porque, por exemplo, se você escrever como · então Or[a,b] tomará a forma ). Schoenfinkel queria encontrar a mesma representação mínima da lógica de predicados, ou, essencialmente, da lógica incluindo funções.
Ele criou dois “combinadores” S e K. Na Wolfram Language isso será escrito como
K[x_][y_] → x e S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
Является примечательным, что оказалось возможным использовать эти два комбинатора для выполнения любых вычислений. Так, например,
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
pode ser usado como uma função para adicionar dois inteiros.
Todos estes são objetos bastante abstratos, para dizer o mínimo, mas agora que entendemos o que são as máquinas de Turing e o cálculo lambda, podemos ver que os combinadores de Schoenfinkel realmente anteciparam o conceito de computação universal. (E o que é ainda mais notável é que as definições de S e K de 1920 são minimamente simples, lembrando , que propus na década de 1990, cuja versatilidade era ).
Mas voltemos à nossa folha e linha PI1IIx. Os símbolos escritos aqui são combinadores e todos foram projetados para especificar uma função. Aqui a definição é que a superposição de funções deve ser associativa à esquerda, de modo que fgx não deve ser interpretado como f@g@x ou f@(g@x) ou f[g[x]], mas sim como (f@g)@x ou f[g][x]. Vamos traduzir esta entrada em um formato conveniente para uso pela Wolfram Language: PI1IIx tomará a forma p[i][um][i][i][x].
Por que escrever algo assim? Para explicar isso, precisamos discutir o conceito de números de Igreja (em homenagem a Alonzo Church). Digamos que estamos trabalhando apenas com símbolos e lambdas ou combinadores. Existe uma maneira de usá-los para especificar números inteiros?
Que tal dizermos que o número n соответствует Function[x, Nest[f,x,n]]? Ou, em outras palavras, isso (em notação mais curta):
1 é f[#]&
2 é f[f[#]]&
3 é f[f[f[#]]]& e assim por diante.
Tudo isso pode parecer um pouco mais obscuro, mas a razão pela qual é interessante é que nos permite tornar tudo completamente simbólico e abstrato, sem ter que falar explicitamente sobre algo como números inteiros.
Com este método de especificação de números, imagine, por exemplo, somar dois números: 3 pode ser representado como f[f[f[#]]]& e 2 é f[f[#]]&. Você pode adicioná-los simplesmente aplicando um deles ao outro:
Mas qual é o objeto? f? Pode ser qualquer coisa! De certa forma, "vá para lambda" até o fim e represente números usando funções que levam f como argumento. Em outras palavras, vamos representar 3, por exemplo, como Function[f,f[f[f[#]]] &] ou Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (quando e como você precisa nomear variáveis é o problema no cálculo lambda).
Considere um fragmento do artigo de Turing de 1937 , que configura objetos exatamente como acabamos de discutir:
É aqui que a gravação pode ficar um pouco confusa. x Turing é nosso fe o dele x ' (o digitador errou ao inserir um espaço) - este é o nosso x. Mas exatamente a mesma abordagem é usada aqui.
Então, vamos dar uma olhada na linha logo após a dobra na frente do papel. Esse I1IIYI1IIx. De acordo com a notação da Wolfram Language, isso seria i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Mas aqui i está a função identidade, então i[one] simplesmente mostra um. Enquanto isso um é a representação numérica de Church para 1 ou Function[f,f[#]&]. Mas com esta definição one[а] está se tornando a[#]& и one[a][b] está se tornando a[b]. (Por falar nisso, i[а][b]Ou Identity[а][b] é também а[b]).
Ficará muito mais claro se escrevermos as regras de substituição para i и um, em vez de aplicar diretamente o cálculo lambda. O resultado será o mesmo. Aplicando essas regras explicitamente, obtemos:
E é exatamente igual ao apresentado na primeira entrada abreviada:
Vejamos agora a folha novamente, no topo:
Existem alguns objetos "E" e "D" um tanto confusos e confusos aqui, mas com eles queremos dizer "P" e "Q", então podemos escrever a expressão e avaliá-la (observe que aqui - depois de alguma confusão com o último símbolo - o “cientista misterioso” coloca […] e (...) para representar a aplicação da função):
Portanto, esta é a primeira abreviatura mostrada. Para ver mais, vamos inserir as definições de Q:
Obtemos exatamente a seguinte redução mostrada. O que acontece se substituirmos expressões por P?
Aqui está o resultado:
E agora, usando o fato de que i é uma função que gera o próprio argumento, obtemos:
Opa! Mas esta não é a próxima linha gravada. Há um erro aqui? Não está claro. Porque, afinal, ao contrário da maioria dos outros casos, não há nenhuma seta indicando que a próxima linha segue a anterior.
Há um pouco de mistério aqui, mas vamos para o final da folha:
Aqui 2 é o número da Igreja, determinado, por exemplo, pelo padrão two[a_] [b_] → a[a[b]]. Обратите внимание, что это на самом деле форма второй строки, если a рассматривать как Function[r,r[р]] и b como q. Portanto, esperamos que o resultado do cálculo seja o seguinte:
No entanto, a expressão dentro а[b] pode ser escrito como x (provavelmente diferente do x previamente escrito no pedaço de papel) - no final obtemos o resultado final:
Portanto, pouco podemos decifrar do que está acontecendo neste pedaço de papel, mas pelo menos um mistério que ainda permanece é o que Y deveria ser.
Na verdade, na lógica combinatória existe um combinador Y padrão: o chamado . Formalmente, é definido pelo fato de que Y[f] deve ser igual f[S[f]], ou, em outras palavras, que Y[f] não muda quando f é aplicado, então é um ponto fixo para f. (O combinador Y está associado a #0 na Wolfram Language.)
Atualmente, o combinador Y tornou-se famoso graças a , assim chamado (que é fã há muito tempo и e implementou a primeira loja virtual baseada nesta linguagem). Certa vez, ele me disse pessoalmente "ninguém entende o que é um combinador Y" (Deve-se notar que o Y Combinator é exatamente o que permite às empresas evitar transações de ponto fixo...)
O combinador Y (como combinador de ponto fixo) foi inventado várias vezes. Na verdade, Turing criou uma implementação em 1937, que ele chamou de Θ. Mas será que a letra “Y” da nossa página é o famoso combinador de ponto fixo? Talvez não. Então, qual é o nosso “Y”? Considere esta abreviatura:
Mas esta informação claramente não é suficiente para determinar inequivocamente o que é Y. É claro que Y não opera apenas com um argumento; Parece que há pelo menos dois argumentos envolvidos, mas não está claro (pelo menos para mim) quantos argumentos são necessários como entrada e o que fazem.
Finalmente, embora possamos compreender muitas partes do documento, devemos dizer que, numa escala global, não está claro o que foi feito nele. Embora haja muita explicação envolvida no que está na planilha aqui, é bastante básico no cálculo lambda e no uso de combinadores.
Presumivelmente, esta é uma tentativa de criar um "programa" simples - usando cálculo lambda e combinadores para fazer algo. Mas por mais que isso seja típico da engenharia reversa, é difícil para nós dizer o que esse “algo” deveria ser e qual é o objetivo geral “explicável”.
Há mais uma característica apresentada na planilha que vale a pena comentar aqui – o uso de diferentes tipos de parênteses. A matemática tradicional usa principalmente parênteses para tudo - e aplicações de funções (como em f (x)) e agrupamentos de membros (como em (1+x) (1-x), ou, menos obviamente, uma(1-x)). (Na Wolfram Language, separamos os diferentes usos de parênteses – entre colchetes para definir funções f [x] — и круглые же скобки используются только для группировки).
Quando o cálculo lambda apareceu pela primeira vez, havia muitas dúvidas sobre o uso de parênteses. Alan Turing escreveria mais tarde uma obra inteira (não publicada) intitulada”, mas já em 1937 ele sentiu que precisava descrever as definições modernas (um tanto hackeadas) para cálculo lambda (que, aliás, apareceu por causa de Church).
Ele disse que f, aplicado a g, должно быть написано {f}(g), Se apenas f não é o único personagem, neste caso poderia ser f(g). Então ele disse lambda (como em Function[a, b]) deve ser escrito como λ a[b] ou, alternativamente, λ a.b.
No entanto, talvez em 1940 toda a ideia de usar {...} e [...] para representar objetos diferentes tenha sido abandonada, em grande parte em favor dos parênteses de estilo matemático padrão.
Dê uma olhada no topo da página:
Nesta forma é difícil de entender. Nas definições de Church, os colchetes destinam-se ao agrupamento, com um colchete aberto substituindo o ponto final. Usando esta definição, fica claro que o Q (eventualmente rotulado como D) entre parênteses no final é ao qual todo o lambda inicial se aplica.
O colchete aqui não delimita realmente o corpo do lambda; em vez disso, na verdade representa outro uso da função e não há indicação explícita de onde termina o corpo do lambda. No final, pode-se ver que o “cientista misterioso” mudou o colchete de fechamento para um colchete, aplicando efetivamente a definição de Church – e forçando assim a expressão a ser calculada conforme mostrado na folha.
Então, o que esse pequeno pedaço significa? Acho que isso sugere que a página foi escrita na década de 1930, ou não muito depois, uma vez que as convenções para parênteses ainda não haviam sido estabelecidas até aquela época.
Então, de quem era essa caligrafia?
Então, antes disso falamos sobre o que está escrito na página. Mas e quem realmente o escreveu?
O candidato mais óbvio para esse papel seria o próprio Alan Turing, já que, afinal, a página estava dentro do seu livro. Em termos de conteúdo, parece não haver nada incompatível com a ideia de que Alan Turing poderia tê-lo escrito - mesmo quando ele estava começando a se familiarizar com o cálculo lambda, após receber o artigo de Church no início de 1936.
E quanto à caligrafia? Pertence a Alan Turing? Vejamos alguns exemplos sobreviventes que temos certeza que foram escritos por Alan Turing:
O texto apresentado obviamente parece muito diferente, mas e a notação usada no texto? Pelo menos, na minha opinião, não parece tão óbvio - e pode-se supor que qualquer diferença pode ser causada justamente pelo fato de as amostras existentes (apresentadas nos arquivos) estarem escritas, por assim dizer, “na superfície, ”Enquanto a nossa página é precisamente um reflexo do trabalho do pensamento.
Acabou sendo conveniente para nossa investigação que o arquivo de Turing contenha uma página na qual ele escreveu , necessário para notação. E ao comparar esses símbolos letra por letra, eles me parecem bastante semelhantes (essas anotações foram feitas em Turing quando ele estava estudando , daí o rótulo “área foliar”):
Eu queria explorar isso mais a fundo, então enviei amostras , профессиональному эксперту по почерку (и автору задач на основе рукописного ввода), с которой мне довелось однажды познакомиться — просто представив наш листок как «образец «A» и существующий образец почерка Тьюринга как «образец «B». Ее ответ был окончательным и отрицательным: «O estilo de escrita é completamente diferente. Em termos de personalidade, o autor da amostra “B” tem um estilo de pensamento mais rápido e intuitivo do que o autor da amostra “A”.".
Ainda não estava completamente convencido, mas decidi que era hora de procurar outras opções.
Então, se acontecer que não foi Turing quem o escreveu, quem o escreveu? Norman Routledge me contou que recebeu o livro de Robin Gandy, que foi o executor de Turing. Então enviei "Amostra "C"" de Gandhi:
Mas a conclusão inicial de Sheila foi que as três amostras provavelmente foram escritas por três pessoas diferentes, observando novamente que a amostra “B” veio de “o pensador mais rápido – aquele que provavelmente estará mais disposto a procurar soluções incomuns para os problemas" (Acho revigorante que um especialista em caligrafia moderna fizesse esta avaliação da caligrafia de Turing, dado o quanto todos reclamaram de sua caligrafia nas tarefas escolares de Turing na década de 1920.)
Bem, neste ponto parecia que tanto Turing quanto Gandhi haviam sido descartados como “suspeitos”. Então, quem poderia ter escrito isso? Comecei a pensar nas pessoas a quem Turing poderia ter emprestado seu livro. Claro, eles também devem ser capazes de fazer cálculos usando cálculo lambda.
Presumi que a pessoa devia ser de Cambridge, ou pelo menos da Inglaterra, dada a marca d'água no papel. Tomei como hipótese de trabalho que 1936 ou algo assim era um bom momento para escrever isto. Então, quem Turing conhecia e com quem se comunicava naquela época? Durante este período, obtivemos uma lista de todos os alunos e professores de matemática do King's College. (Havia 13 alunos conhecidos que estudaram de 1930 a 1936.)
E deles, o candidato mais promissor parecia . Ele tinha a mesma idade de Turing, seu amigo de longa data, e também se interessava por matemática básica - em 1933 chegou a publicar um artigo sobre o que hoje chamamos : 0.12345678910111213… (obtido por 1, 2, 3, 4,…, 8, 9, 10, 11, 12,…, e um dos poucos números no sentido de que cada bloco possível de dígitos ocorre com igual probabilidade).
В 1937 году он даже использовал гамма-матрицы Дирака, как было упомянуто в книге Дирака, для решения . (Случилось так, что спустя годы я стал большим поклонником гамма-матричных вычислений).
Начав изучать математику, Чамперноун попал под влияние (também no King's College) e acabou se tornando um economista ilustre, particularmente trabalhando sobre desigualdade de renda. (No entanto, em 1948 ele também trabalhou com Turing para criar - um programa de xadrez, que se tornou praticamente o primeiro do mundo a ser implementado em um computador).
Mas onde poderia encontrar uma amostra da caligrafia de Champernowne? Logo encontrei seu filho Arthur Champernowne no LinkedIn, que, curiosamente, era formado em lógica matemática e trabalhava para a Microsoft. Ele disse que seu pai conversava bastante com ele sobre o trabalho de Turing, embora não mencionasse combinadores. Ele me enviou uma amostra da caligrafia de seu pai (um fragmento sobre composição musical algorítmica):
Você pode dizer imediatamente que a caligrafia não corresponde (caracóis e caudas nas letras f na caligrafia de Champernowne, etc.)
Então, quem mais poderia ser? Eu sempre admirei , em muitos aspectos um mentor de Alan Turing. Newman primeiro interessou Turing "mecanização da matemática" era seu amigo de longa data e, anos depois, tornou-se seu chefe em um projeto de informática em Manchester. (Apesar de seu interesse por cálculos, Newman sempre parece ter se visto principalmente como um topologista, embora suas conclusões fossem apoiadas por uma prova errônea que ele derivou de ).
Não foi difícil encontrar uma amostra da caligrafia de Newman - e, novamente, não, a caligrafia definitivamente não correspondia.
"Traço" do livro
Assim, a ideia de identificar a caligrafia falhou. E decidi que o próximo passo seria tentar rastrear com um pouco mais de detalhes o que realmente estava acontecendo com o livro que eu tinha nas mãos.
Então, em primeiro lugar, qual foi a história mais longa com Norman Rutledge? Ele frequentou o King's College, em Cambridge, em 1946 e conheceu Turing (sim, os dois eram gays). Ele se formou na faculdade em 1949 e começou a escrever sua tese de doutorado tendo Turing como orientador. Ele recebeu seu PhD em 1954, trabalhando em lógica matemática e teoria da recursão. Ele recebeu uma bolsa pessoal para o King's College e, em 1957, tornou-se chefe do departamento de matemática de lá. Ele poderia ter feito isso durante toda a vida, mas tinha interesses amplos (música, arte, arquitetura, matemática recreativa, genealogia, etc.). Em 1960 ele mudou sua direção acadêmica e tornou-se professor em Eton, onde gerações de estudantes (inclusive eu) trabalharam (e estudaram) e foram expostos ao seu conhecimento eclético e às vezes até estranho.
Poderia Norman Routledge ter escrito esta página misteriosa? Ele conhecia cálculo lambda (embora, coincidentemente, tenha mencionado isso quando tomamos chá em 2005, que sempre achou "confuso"). No entanto, a sua caligrafia característica exclui-o imediatamente como um possível “cientista misterioso”.
Será que a página poderia estar de alguma forma ligada a um aluno de Norman, talvez de quando ele ainda estava em Cambridge? Duvido. Porque não acho que Norman tenha estudado cálculo lambda ou algo parecido. Enquanto escrevia este artigo, descobri que Norman havia escrito um artigo em 1955 sobre a criação de lógica em "computadores eletrônicos" (e a criação de formas normais conjuntivas, como a função integrada agora faz ). Quando conheci Norman, ele estava muito interessado em escrever utilitários para computadores reais (suas iniciais eram "NAR", e ele chamava seus programas de "NAR...", por exemplo, "NARLAB", um programa para criar rótulos de texto usando caracteres perfurados furo "padrões" "na fita de papel). Mas ele nunca falou sobre modelos teóricos de computação.
Давайте прочитаем заметку Нормана внутри книги немного более внимательно. Первое, что мы заметим, это то, что он говорит о «oferecendo livros da biblioteca da pessoa falecida" E pelo texto parece que tudo aconteceu muito rapidamente depois que o homem morreu, sugerindo que Norman recebeu o livro logo após a morte de Turing em 1954, e que Gandhi já o sentia falta há muito tempo. Norman prossegue dizendo que na verdade recebeu quatro livros, dois sobre matemática pura e dois sobre física teórica.
Aí ele disse que deu "outro de um livro de física (mais ou menos, )""Para Sebag Montefiore, um jovem agradável de quem você deve se lembrar [George Rutter]" Ok, então quem é ele? Eu desenterrei minha lista de membros raramente usada . (Devo informar que ao abri-lo não pude deixar de notar as suas regras desde 1902, a primeira das quais, sob o título “Direitos dos Deputados”, parecia engraçada: “Vista-se com as cores da Associação").
Devo acrescentar que eu provavelmente nunca teria me juntado a esta sociedade ou recebido este livro se não fosse pela insistência de um amigo de Eton chamado , que planejava desde os 12 anos tornar-se um dia primeiro-ministro, mas infelizmente morreu aos 21 anos).
Mas, de qualquer forma, eram apenas cinco das pessoas listadas com o sobrenome Sebag-Montefiore, com diversas datas de formação. Não foi difícil entender que era adequado . Тесен мир, как оказалось, его семья владела Блетчли Парк, прежде чем продать его британскому правительству в 1938 году. А в 2000 году Себаг-Монтефиоре написал - é provavelmente por isso que em 2002 Norman decidiu dar-lhe o livro que Turing possuía.
Ok, e os outros livros que Norman recebeu de Turing? Não tendo outra maneira de descobrir o que aconteceu com eles, encomendei uma cópia do testamento de Norman. A última cláusula do testamento estava claramente no estilo de Norman:
O testamento afirmava que os livros de Norman deveriam ser deixados no King's College. E embora sua coleção completa de livros pareça não ser encontrada em lugar nenhum, os dois livros de Turing sobre matemática pura, que ele mencionou em sua nota, estão agora devidamente arquivados na Biblioteca do King's College.
Próxima pergunta: o que aconteceu com os outros livros de Turing? Eu olhei para o testamento de Turing, que acabou deixando todos eles para Robin Gandy.
Gandhi era um estudante de matemática no King's College, em Cambridge, que se tornou amigo de Alan Turing em seu último ano de faculdade, em 1940. No início da guerra, Gandhi trabalhou em rádio e radar, mas em 1944 foi designado para a mesma unidade que Turing e trabalhou na criptografia de fala. E depois da guerra, Gandhi retornou a Cambridge, logo recebendo seu doutorado, e Turing tornou-se seu conselheiro.
Seu trabalho nas forças armadas aparentemente o levou a se interessar pela física, e sua dissertação, concluída em 1952, intitulava-se . O que Gandhi parecia estar tentando fazer era talvez caracterizar as teorias físicas em termos de lógica matemática. Ele fala sobre и , mas não sobre máquinas de Turing. E pelo que sabemos agora, penso que podemos concluir que ele não entendeu bem o assunto. E realmente, tem argumentado desde o início da década de 1980 que os processos físicos deveriam ser considerados como “vários cálculos” – por exemplo, como máquinas de Turing ou autômatos celulares – e não como teoremas a serem deduzidos. (Gandhi discute muito bem a ordem dos tipos envolvidos nas teorias físicas, dizendo, por exemplo, que "Acredito que a ordem de qualquer número decimal computável na forma binária é menor que oito"). Ele disse que "Uma das razões pelas quais a moderna teoria quântica de campos é tão complexa é apenas porque ela lida com objetos de um tipo bastante complexo - funcionais de funções...", o que em última análise significa que"poderíamos muito bem tomar o maior tipo de uso comum como uma medida de progresso matemático".)
Gandhi menciona Turing várias vezes na dissertação, observando na introdução que ele está em dívida com A. M. Turing, que "primeiro chamou sua atenção um tanto desfocada para o cálculo de Church" (ou seja, cálculo lambda), embora na verdade sua tese tenha várias provas lambda.
Depois de defender sua dissertação, Gandhi voltou-se para uma lógica matemática mais pura e por mais de três décadas escreveu artigos a uma taxa de um por ano, e esses artigos foram citados com bastante sucesso na comunidade de lógica matemática internacional. Ele se mudou para Oxford em 1969 e acho que devo tê-lo conhecido na minha juventude, embora não me lembre disso.
Gandhi aparentemente idolatrava muito Turing e falou frequentemente dele nos últimos anos. Isto levanta a questão da coleção completa das obras de Turing. Pouco depois da morte de Turing, Sarah Turing e Max Newman pediram a Gandhi – como seu executor – que providenciasse a publicação dos trabalhos inéditos de Turing. Os anos se passaram e refletem a frustração de Sarah Turing nesta questão. Mas, de alguma forma, Gandhi nunca pareceu ter planejado reunir os documentos de Turing.
Ганди умер в 1995 году, так и не собрав вместе завершенные работы. - crítico literário e biógrafo , que Turing conheceu no King's College, era o agente literário de Turing e finalmente começou a trabalhar nas obras completas de Turing. O mais controverso parecia ser o volume sobre lógica matemática, para o qual atraiu o seu primeiro estudante sério de pós-graduação, Robin Gandy, um certo , que encontrou cartas para Gandhi sobre obras coletadas que não eram iniciadas há 24 anos. ( finalmente apareceu em 2001 - 45 anos após seu lançamento).
Но как же насчет книг, которыми лично владел Тьюринг? В продолжении попыток проследить их, моей следующей остановкой стала семья Тьюринга, и, в частности, младший сын брата Тьюринга, (que na verdade é Sir Dermot Turing, devido ao fato de ter sido , este título não passou para ele através de Alan na família Turing). Dermot Turing (que recentemente escreveu ) me contou sobre a "avó de Turing" (também conhecida como Sarah Turing), a casa dela aparentemente compartilhava uma entrada para o jardim com a família dele e muitas outras coisas sobre Alan Turing. Ele me disse que os livros pessoais de Alan Turing nunca estiveram na família deles.
Então voltei a ler os testamentos e descobri que o executor de Gandhi era seu aluno Mike Yates. Fiquei sabendo que Mike Yates se aposentou como professor há 30 anos e agora mora no norte do País de Gales. Ele disse que nas décadas em que trabalhou com lógica matemática e teoria computacional, nunca tocou realmente em um computador - mas finalmente o fez quando se aposentou (e isso aconteceu logo depois que ele descobriu o programa). ). Ele disse como era maravilhoso que Turing tivesse se tornado tão famoso e que, quando chegou a Manchester, apenas três anos após a morte de Turing, ninguém falava sobre Turing, nem mesmo Max Newman, quando ele ministrou um curso sobre lógica. No entanto, Gandy falaria mais tarde sobre o quanto ficou entusiasmado em lidar com a coleção de obras de Turing e, por fim, deixou todas elas para Mike.
O que Mike sabia sobre os livros de Turing? Ele encontrou um dos cadernos manuscritos de Turing, que Gandhi não deu ao King's College porque (estranhamente) Gandhi o usou como disfarce para as anotações que guardava sobre seus sonhos. (Turing também manteve anotações de seus sonhos, que foram destruídos após sua morte.) Mike disse que o caderno foi vendido recentemente em leilão por cerca de US$ 1 milhão. E que de outra forma ele não teria pensado que entre as coisas de Gandhi havia materiais de Turing.
Parecia que todas as nossas opções haviam acabado, mas Mike me pediu para dar uma olhada naquele misterioso pedaço de papel. E imediatamente ele disse: “Esta é a caligrafia de Robin Gandy!»Ele disse que tinha visto muitas coisas ao longo dos anos. E ele tinha certeza. Ele disse que não sabia muito sobre cálculo lambda e não conseguia ler a página, mas tinha certeza de que Robin Gandy a havia escrito.
Voltamos à nossa especialista em caligrafia com mais amostras e ela concordou que sim, o que havia ali correspondia à caligrafia de Gandhi. Então finalmente descobrimos: Robin Gandy escreveu aquele misterioso pedaço de papel. Não foi escrito por Alan Turing; foi escrito por seu aluno Robin Gandy.
Claro, alguns mistérios ainda permanecem. Turing supostamente emprestou o livro a Gandhi, mas quando? A forma da notação de cálculo lambda faz parecer que foi por volta da década de 1930. Mas com base nos comentários da dissertação de Gandhi, ele provavelmente não faria nada com o cálculo lambda até o final da década de 1940. Surge então a questão de por que Gandhi escreveu isso. Isso não parece estar diretamente relacionado à sua tese, então pode ter sido quando ele estava tentando descobrir o cálculo lambda pela primeira vez.
Я сомневаюсь, что мы когда-нибудь узнаем правду, но, конечно, было интересно пытаться выяснить ее. Здесь я должен сказать, что весь этот пройденный путь сделал многое для того, чтобы расширить мое понимание того, насколько сложными могут быть истории подобных книг прошлых веков, которыми, в частности, я владею. Isso me faz pensar que é melhor eu olhar todas as suas páginas - só para ver o que pode ser interessante lá...
Obrigado pela assistência a: Jonathan Gorard (Estudos Privados de Cambridge), Dana Scott (Lógica Matemática) e Matthew Szudzik (Lógica Matemática).
Sobre traduçãoTradução da postagem de Stephen Wolfram "".
Expresso minha profunda gratidão и pela assistência na tradução e preparação da publicação.
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Fonte: habr.com