{"id":53444,"date":"2019-12-02T00:00:00","date_gmt":"2019-12-01T21:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/prohoster.info\/blog\/blog_prohoster\/shema-razdeleniya-sekreta-shamira"},"modified":"2020-02-18T14:01:21","modified_gmt":"2020-02-18T11:01:21","slug":"shema-razdeleniya-sekreta-shamira","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/prohoster.info\/pt\/blog\/administrirovanie\/shema-razdeleniya-sekreta-shamira","title":{"rendered":"O esquema de compartilhamento de segredos de Shamir","gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"text"}]},"content":{"rendered":"

Vamos considerar um cen\u00e1rio em que \u00e9 necess\u00e1rio garantir a seguran\u00e7a de um cofre banc\u00e1rio. Ele \u00e9 considerado absolutamente impenetr\u00e1vel sem a chave que lhe \u00e9 entregue no primeiro dia de trabalho. Seu objetivo \u00e9 guardar essa chave de forma segura.<\/p>\n

Suponha que voc\u00ea decidiu manter a chave com voc\u00ea o tempo todo, fornecendo acesso ao cofre conforme necess\u00e1rio. Mas voc\u00ea rapidamente perceber\u00e1 que essa solu\u00e7\u00e3o n\u00e3o escala bem na pr\u00e1tica, porque sempre que for abrir o cofre, \u00e9 necess\u00e1rio estar fisicamente presente. E quanto \u00e0s f\u00e9rias que lhe prometeram? Al\u00e9m disso, h\u00e1 uma quest\u00e3o ainda mais assustadora: e se voc\u00ea perder a \u00fanica chave?<\/p>\n

Com a ideia de f\u00e9rias em mente, voc\u00ea decidiu fazer uma c\u00f3pia da chave e confi\u00e1-la a outro funcion\u00e1rio. No entanto, voc\u00ea percebe que isso tamb\u00e9m n\u00e3o \u00e9 ideal. Ao duplicar o n\u00famero de chaves, voc\u00ea tamb\u00e9m duplicou as possibilidades de roubo da chave.<\/p>\n

Desesperado, voc\u00ea destr\u00f3i o duplicado e decide dividir a chave original ao meio. Agora, voc\u00ea pensa, duas pessoas de confian\u00e7a com fragmentos da chave precisam estar fisicamente presentes para juntar a chave e abrir o cofre. Isso significa que o ladr\u00e3o precisa roubar dois fragmentos, o que \u00e9 duas vezes mais dif\u00edcil do que roubar uma chave s\u00f3. No entanto, em breve voc\u00ea percebe que esse esquema n\u00e3o \u00e9 muito melhor do que ter apenas uma chave, porque se algu\u00e9m perder metade da chave, a chave completa n\u00e3o pode ser recuperada.
\n<\/a><\/noindex>
\nO problema pode ser resolvido com uma s\u00e9rie de chaves e fechaduras adicionais, mas com esse m\u00e9todo, rapidamente ser\u00e1 necess\u00e1rio muitas<\/i> chaves e fechaduras. Voc\u00ea decide que no esquema ideal a chave deve ser dividida de tal forma que a seguran\u00e7a n\u00e3o dependa completamente de uma \u00fanica pessoa. Voc\u00ea tamb\u00e9m conclui que deve haver um determinado limiar de fragmentos, para que, ao perder um fragmento (ou se a pessoa se ausentar de f\u00e9rias), a chave inteira permane\u00e7a funcional.<\/p>\n

Como dividir um segredo<\/h1>\n

\nSobre esse tipo de esquema de gerenciamento de chaves, Adi Shamir pensou em 1979, quando publicou seu trabalho \u201cComo dividir um segredo\u201d<\/a><\/noindex>. O artigo explica brevemente o que \u00e9 chamado de \"O esquema de limiar para a divis\u00e3o eficaz de um valor secreto (por exemplo, uma chave criptogr\u00e1fica) em \"O partes. Ent\u00e3o, quando e somente quando pelo menos \"O do \"O partes s\u00e3o reunidas, o segredo pode ser facilmente recuperado. \"O.<\/p>\n

Do ponto de vista da seguran\u00e7a, uma caracter\u00edstica importante deste esquema \u00e9 que o invasor n\u00e3o deve saber absolutamente nada se ele n\u00e3o tiver pelo menos \"O partes. Mesmo a posse de \"O partes n\u00e3o deve fornecer nenhuma informa\u00e7\u00e3o. Chamamos isso de seguran\u00e7a sem\u00e2ntica<\/i>.<\/p>\n

Interpola\u00e7\u00e3o polinomial<\/h1>\n

\nO esquema de threshold de Shamir \"O \u00e9 baseado na concep\u00e7\u00e3o de interpola\u00e7\u00e3o polinomial.<\/b>Se voc\u00ea n\u00e3o est\u00e1 familiarizado com esse conceito, na verdade, ele \u00e9 bem simples. De modo geral, se voc\u00ea j\u00e1 desenhou pontos em um gr\u00e1fico e, em seguida, conectou-os com linhas ou curvas, voc\u00ea j\u00e1 o utilizou!<\/p>\n

\"O
\nAtrav\u00e9s de dois pontos, \u00e9 poss\u00edvel tra\u00e7ar um n\u00famero ilimitado de polin\u00f4mios de grau 2. Para escolher um \u00fanico deles, \u00e9 necess\u00e1rio um terceiro ponto. Ilustra\u00e7\u00e3o: Wikipedia<\/a><\/noindex><\/i> <\/p>\n

Vamos considerar um polin\u00f4mio de grau um, \"O. Se voc\u00ea quiser tra\u00e7ar essa fun\u00e7\u00e3o no gr\u00e1fico, quantos pontos voc\u00ea precisa? Bem, sabemos que \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o linear, que forma uma linha e, portanto, s\u00e3o necess\u00e1rias pelo menos duas pontos. Em seguida, vamos considerar uma fun\u00e7\u00e3o polinomial de grau dois, \"O. Esta \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica, portanto, para tra\u00e7ar o gr\u00e1fico, s\u00e3o necess\u00e1rios pelo menos tr\u00eas pontos. E quanto a um polin\u00f4mio de grau tr\u00eas? Pelo menos quatro pontos. E assim por diante.<\/p>\n

O que \u00e9 realmente legal sobre essa propriedade \u00e9 que, dado o grau da fun\u00e7\u00e3o polinomial e, pelo menos, \"O pontos, podemos derivar pontos adicionais para essa fun\u00e7\u00e3o polinomial. A extrapola\u00e7\u00e3o desses pontos adicionais chamamos de interpola\u00e7\u00e3o polinomial.<\/i>.<\/p>\n

Cria\u00e7\u00e3o de segredos<\/h1>\n

\nVoc\u00ea provavelmente j\u00e1 percebeu que aqui entra em jogo o inteligente esquema de Shamir. Suponha que nosso segredo \"O seja \"O. Podemos transformar \"O em um ponto no gr\u00e1fico \"O e criar uma fun\u00e7\u00e3o polinomial de grau \"O, que satisfa\u00e7a esse ponto. Lembre-se de que \"O ser\u00e1 nosso limite de fragmentos requeridos, ent\u00e3o se definirmos o limite em tr\u00eas fragmentos, devemos escolher uma fun\u00e7\u00e3o polinomial de grau dois.<\/p>\n

Nosso polin\u00f4mio ter\u00e1 a forma \"O, onde \"O e \"O - n\u00fameros inteiros positivos escolhidos aleatoriamente. Estamos apenas construindo um polin\u00f4mio de grau \"O, onde o coeficiente livre \"O\u00a0\u00e9 nosso segredo \"O, e cada um dos fragmentos subsequentes \"O o membros t\u00eam um coeficiente positivo escolhido aleatoriamente. Se voltarmos ao exemplo original e supormos que \"O, ent\u00e3o obteremos a fun\u00e7\u00e3o \"O.<\/p>\n

Neste ponto, podemos gerar os fragmentos, conectando \"O n\u00fameros inteiros \u00fanicos em \"O, onde \"O (porque esse \u00e9 o nosso segredo). Neste exemplo, queremos distribuir quatro fragmentos com o limite tr\u00eas, portanto, geramos aleatoriamente os pontos \"O e enviamos um ponto para cada uma das quatro pessoas de confian\u00e7a, os guardi\u00f5es da chave. Tamb\u00e9m informamos \u00e0s pessoas que \"O, pois isso \u00e9 considerado informa\u00e7\u00e3o p\u00fablica e \u00e9 necess\u00e1rio para a recupera\u00e7\u00e3o \"O.<\/p>\n

Recupera\u00e7\u00e3o do segredo<\/h1>\n

\nJ\u00e1 discutimos o conceito de interpola\u00e7\u00e3o polinomial e que ele est\u00e1 na base do esquema de limite de Shamir \"O. Quando quaisquer tr\u00eas dos quatro indiv\u00edduos de confian\u00e7a desejam recuperar \"O, eles precisam apenas interpolar \"O com seus pontos \u00fanicos. Para isso, podem determinar seus pontos \"O e calcular o polin\u00f4mio de interpola\u00e7\u00e3o de Lagrange, usando a seguinte f\u00f3rmula. Se voc\u00ea entende programa\u00e7\u00e3o melhor do que matem\u00e1tica, ent\u00e3o pi \u00e9 basicamente o operador para<\/code>, que multiplica todos os resultados, e sigma \u00e9 para<\/code>, que soma tudo.<\/p>\n

\"O<\/p>\n

<\/p>\n

\"O<\/p>\n

\nAo \"O podemos resolver isso da seguinte forma e retornar nossa fun\u00e7\u00e3o polinomial original:<\/p>\n

\"O<\/p>\n

\nComo sabemos que \"O, a recupera\u00e7\u00e3o \"O \u00e9 feita simplesmente:<\/p>\n

\"O<\/p>\n

<\/p>\n

Uso de aritm\u00e9tica inteira insegura<\/h1>\n

\nEmbora tenhamos aplicado com sucesso a ideia central de Shamir \"O, ainda temos um problema que ignoramos at\u00e9 agora. Nossa fun\u00e7\u00e3o polinomial usa aritm\u00e9tica inteira insegura. Note que para cada ponto adicional que um atacante obt\u00e9m no gr\u00e1fico de nossa fun\u00e7\u00e3o, resta menos oportunidades para outros pontos. Voc\u00ea pode ver isso por si mesmo ao construir o gr\u00e1fico com um n\u00famero crescente de pontos para uma fun\u00e7\u00e3o polinomial usando aritm\u00e9tica inteira. Isso \u00e9 contraproducente para nosso objetivo declarado de seguran\u00e7a, porque um invasor n\u00e3o deve saber absolutamente nada at\u00e9 que tenha pelo menos \"O fragmentos.<\/p>\n

Para demonstrar o qu\u00e3o fraca \u00e9 a esquema de aritm\u00e9tica inteira, consideremos um cen\u00e1rio em que um invasor obteve dois pontos \"O e sabe a informa\u00e7\u00e3o p\u00fablica, que \"O. A partir dessa informa\u00e7\u00e3o, ele pode deduzir \"O, igual a dois, e conectar os valores conhecidos na f\u00f3rmula \"O e \"O.<\/p>\n

\"O<\/p>\n

\n Em seguida, o invasor pode encontrar \"O, calculando \"O:<\/p>\n

\"O<\/p>\n

\nUma vez que definimos \"O como n\u00fameros inteiros positivos escolhidos aleatoriamente, h\u00e1 um n\u00famero limitado de poss\u00edveis \"O. Com essa informa\u00e7\u00e3o, o invasor pode deduzir \"O, uma vez que qualquer coisa maior do que 5 tornar\u00e1 \"O negativo. Isso se revela verdadeiro, pois definimos \"O<\/p>\n

Ent\u00e3o o invasor pode calcular os valores poss\u00edveis \"O, substituindo \"O em \"O:<\/p>\n

\"O<\/p>\n

\nCom um conjunto limitado de op\u00e7\u00f5es para \"O torna-se claro o qu\u00e3o f\u00e1cil \u00e9 ajustar e verificar os valores \"O. Aqui, existem apenas cinco op\u00e7\u00f5es.<\/p>\n

Solu\u00e7\u00e3o para o problema da aritm\u00e9tica inteira insegura<\/h1>\n

\nPara eliminar essa vulnerabilidade, Shamir prop\u00f5e o uso de aritm\u00e9tica modular, substituindo \"O para \"O, onde \"O e \"O \u2014 o conjunto de todos os n\u00fameros primos.<\/p>\n

Vamos lembrar rapidamente como funciona a aritm\u00e9tica modular. Rel\u00f3gios de ponteiro s\u00e3o uma ideia familiar. Eles utilizam horas que s\u00e3o \"O. Assim que o ponteiro das horas passa das doze, ele retorna a uma. Uma propriedade interessante desse sistema \u00e9 que, simplesmente olhando para o rel\u00f3gio, n\u00e3o conseguimos deduzir quantas voltas o ponteiro das horas deu. Contudo, se soubermos que o ponteiro das horas passou por 12 quatro vezes, podemos determinar completamente a quantidade de horas passadas usando uma f\u00f3rmula simples \"O, onde \"O\u00a0\u2014 esse \u00e9 o nosso divisor (aqui \"O), \"O\u00a0\u2014 \u00e9 o coeficiente (quantas vezes o divisor se encaixa no n\u00famero original sem resto, aqui \"O), e \"O\u00a0\u2014 \u00e9 o resto, que geralmente \u00e9 retornado pela chamada do operador de m\u00f3dulo (aqui \"O). Conhecer todos esses valores nos permite resolver a equa\u00e7\u00e3o para \"O, mas se perdermos o coeficiente, nunca conseguiremos recuperar o valor original.<\/p>\n

Podemos demonstrar como isso melhora a seguran\u00e7a de nosso esquema, aplicando o esquema ao nosso exemplo anterior e usando \"O. Nossa nova fun\u00e7\u00e3o polinomial \"O, e os novos pontos \"O. Agora os guardi\u00f5es da chave podem usar novamente a interpola\u00e7\u00e3o polinomial para recuperar nossa fun\u00e7\u00e3o, apenas desta vez as opera\u00e7\u00f5es de adi\u00e7\u00e3o e multiplica\u00e7\u00e3o devem ser acompanhadas de redu\u00e7\u00e3o pelo m\u00f3dulo \"O (e.g. \"O).<\/p>\n

Usando este novo exemplo, suponha que o invasor descobriu dois desses novos pontos, \"O, e as informa\u00e7\u00f5es p\u00fablicas \"O. Desta vez, o atacante, com base em todas as informa\u00e7\u00f5es dispon\u00edveis, extrai as seguintes fun\u00e7\u00f5es, onde \"O\u00a0\u2014 \u00e9 o conjunto de todos os n\u00fameros inteiros positivos, e \"O representa o coeficiente do m\u00f3dulo \"O.<\/p>\n

\"O<\/p>\n

\nAgora nosso criminoso novamente encontra \"O, calculando \"O:<\/p>\n

\"O<\/p>\n

\nEm seguida, ele tenta extrair novamente \"O, substituindo \"O em \"O:<\/p>\n

\"O<\/p>\n

\nDesta vez, ele tem um s\u00e9rio problema. Faltam valores na f\u00f3rmula \"O, \"O e \"O. Como h\u00e1 um n\u00famero infinito de combina\u00e7\u00f5es dessas vari\u00e1veis, ele n\u00e3o pode obter mais informa\u00e7\u00f5es.<\/p>\n

Considera\u00e7\u00f5es de seguran\u00e7a<\/h1>\n

\nO esquema de compartilhamento de segredo de Shamir oferece seguran\u00e7a sob a perspectiva da teoria da informa\u00e7\u00e3o<\/i>. Isso significa que a matem\u00e1tica \u00e9 robusta mesmo contra um atacante com poder computacional ilimitado. No entanto, o esquema ainda cont\u00e9m alguns problemas conhecidos.<\/p>\n

Por exemplo, o esquema de Shamir n\u00e3o cria fragmentos verific\u00e1veis<\/i>, ou seja, as pessoas podem livremente apresentar fragmentos falsos e dificultar a recupera\u00e7\u00e3o do segredo correto. Um guardi\u00e3o hostil de fragmentos com informa\u00e7\u00f5es suficientes pode at\u00e9 gerar um outro fragmento, alterando \"O ao seu crit\u00e9rio. Este problema \u00e9 resolvido com esquemas verific\u00e1veis de compartilhamento de segredo<\/i>, como o esquema de Feldman.<\/p>\n

Outro problema \u00e9 que o comprimento de qualquer fragmento \u00e9 igual ao comprimento do respectivo segredo, tornando f\u00e1cil determinar o tamanho do segredo. Este problema \u00e9 resolvido com uma preenchimento<\/i> do segredo com n\u00fameros aleat\u00f3rios at\u00e9 um comprimento fixo.<\/p>\n

Finalmente, \u00e9 importante notar que nossas preocupa\u00e7\u00f5es de seguran\u00e7a podem ir al\u00e9m do pr\u00f3prio esquema. Para aplica\u00e7\u00f5es criptogr\u00e1ficas reais, frequentemente existe a amea\u00e7a de ataques por canais laterais, onde um atacante tenta extrair informa\u00e7\u00f5es \u00fateis do tempo de execu\u00e7\u00e3o do aplicativo, cache, falhas, etc. Se isso for uma preocupa\u00e7\u00e3o, medidas de prote\u00e7\u00e3o, como fun\u00e7\u00f5es e buscas com tempo de execu\u00e7\u00e3o constante, devem ser cuidadosamente consideradas durante o desenvolvimento, prevenir a grava\u00e7\u00e3o de mem\u00f3ria em disco, e pensar em uma s\u00e9rie de outras coisas que v\u00e3o al\u00e9m deste artigo.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o<\/h1>\n

\nSobre nesta p\u00e1gina<\/a><\/noindex> h\u00e1 uma demonstra\u00e7\u00e3o interativa do esquema de compartilhamento de segredo de Shamir. A demonstra\u00e7\u00e3o \u00e9 baseada na biblioteca ssss-js<\/a><\/noindex>, que \u00e9 um porto JavaScript do popular programa ssss<\/a><\/noindex>. Observe que o c\u00e1lculo de grandes valores \"O, \"O e \"O pode levar algum tempo.
\n
Fonte: habr.com<\/a><\/p>","protected":false,"gt_translate_keys":[{"key":"rendered","format":"html"}]},"excerpt":{"rendered":"

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