„Dacă pe cușca unui elefant citești inscripția „bufniță”, nu te încrede în ochii tăi.” Kozma Prutkov

În articolul anterior despre proiectarea orientată pe modele s-a demonstrat de ce este necesar un model al obiectului și s-a dovedit că fără acest model al obiectului, despre designul bazat pe modele se poate vorbi doar ca despre o pură de marketing, fără sens și necruțătoare. Însă, odată cu apariția modelului obiectului, inginerii competenți se întreabă întotdeauna: care sunt dovezile că modelul matematic al obiectului corespunde obiectului real.

Un exemplu de răspuns la această întrebare este prezentat în articolul despre proiectarea orientată pe modele de acționare electrică. În acest articol, vom analiza exemplul creării unui model pentru sistemele de aer condiționat pentru avioane, amestecând practica cu câteva considerații teoretice de amploare generală.

Crearea unui model de încredere al obiectului. Teorie

Pentru a nu mai lungi discuția, voi prezenta imediat algoritmul de creare a modelului pentru proiectarea orientată pe modele. Acesta constă în doar trei pași simpli:

Pasul 1. Dezvoltarea unui sistem de ecuații algebrico-diferențiale care descriu comportamentul dinamic al sistemului modelat. Este simplu, dacă cunoști fizica procesului. Multe cercetători au dezvoltat deja pentru noi legile fizice de bază ale lui Newton, Bernoulli, Navier-Stokes și altele asemenea.

Pasul 2. Identificarea în sistemul obținut a unui set de coeficienți empirici și caracteristici ale obiectului de modelat, care pot fi obținute din experimente.

Pasul 3. Realizarea de teste ale obiectului și ajustarea modelului conform rezultatelor experimentelor reale, astfel încât să corespundă realității, cu gradul necesar de detaliere.

După cum vedeți, este simplu, exact ca doi și doi.

Exemplu de realizare practică

Sistemul de climatizare a aerului (SCA) într-un avion este legat de sistemul automat de menținere a presiunii. Presiunea din avion trebuie să fie întotdeauna mai mare decât presiunea externă, iar rata de schimbare a presiunii trebuie să fie astfel încât piloții și pasagerii să nu aibă sângerări nazale sau la urechi. De aceea, sistemul de control al fluxului de aer este esențial pentru siguranță, iar pentru dezvoltarea acestuia pe pământ se folosesc sisteme scumpe de testare. Acestea recreează temperaturi și presiuni la altitudinea zborului, simulând condiții de decolare și aterizare pe aerodromuri de diferite înălțimi. Astfel, întrebarea dezvoltării și ajustării sistemelor de control pentru SCA devine prioritară. Cât timp vom testa bancul de experimente pentru a obține un sistem de control satisfăcător? Evident, dacă ajustăm modelul de control pe baza modelului obiectului, ciclul de lucru pe bancul de testare poate fi semnificativ redus.

Sistemul de climatizare a aerului din aviație constă din unități de transfer termic, la fel ca orice alt sistem termic. Radiatorul este radiator, chiar dacă este pentru un aparat de aer condiționat. Însă, din cauza limitării greutății de decolare și dimensiunilor aparatelor de zbor, unitățile de schimb de căldură sunt proiectate să fie cât mai compacte și eficiente, pentru a transfera cât mai mult căldură cu o masă cât mai mică. Drept urmare, geometria devine destul de ciudată. Ca, de exemplu, în acest caz. În figura 1 este prezentat un schimbător de căldură pe plăci, în care între plăci se utilizează o membrană pentru a îmbunătăți transferul termic. Agentul termic cald și cel rece se alternează în canale, iar direcția fluxului este transversală. Un agent termic este furnizat pe secțiunea frontală, celălalt pe cea laterală.

Pentru a rezolva problema controlului SCA, trebuie să știm câtă căldură este transferată de la o medie la alta într-un asemenea schimbător de căldură într-o unitate de timp. De acest lucru depinde rata de schimbare a temperaturii, pe care o reglăm.

Figura 1. Schema aparatului de schimb de căldură din aviație.

Problemele modelării. Partea hidraulică

La prima vedere, sarcina pare destul de simplă; este necesar să se calculeze fluxul masic prin canalele schimbătorului de căldură și fluxul termic între canale.
Consumul masiv de agent termic în canale se calculează conform formulei Bernoulli:

unde:
ΔP – diferența de presiune între două puncte;
ξ – coeficientul de frecare al agentului termic;
L – lungimea canalului;
d – diametrul hidraulic al canalului;
ρ – densitatea agentului termic;
ω – viteza agentului termic în canal.

Pentru un canal de formă arbitrară, diametrul hidraulic se calculează după formula:

unde:
F – suprafața secțiunii transversale;
P – perimetrul umed al canalului.

Coeficientul de frecare se calculează după formule empirice și depinde de viteza fluxului și proprietățile agentului termic. Pentru geometrii diferite, se obțin dependențe diferite, de exemplu, formula pentru flux turbulent în țevi netede:

unde:
Re – numărul Reynolds.

Pentru fluxul în canale plate se poate folosi următoarea formulă:

Din formula Bernoulli se poate calcula diferența de presiune pentru o viteză dată sau, invers, se poate calcula viteza agentului termic în canal, dată o diferență de presiune specificată.

Transfer termic

Fluxul termic între agentul termic și perete se calculează după formula:

unde:
α [W/(m²×grad)] – coeficientul de transfer de căldură;
F – suprafața secțiunii transversale.

Pentru problemele fluxului agenților termici în țevi, au fost realizate suficiente studii și există numeroase metode de calcul, iar, de regulă, totul se reduce la dependențe empirice pentru coeficientul de transfer de căldură α [W/(m²×grad)]

unde:
Nu – numărul Nusselt,
λ – coeficientul de conductivitate termică a lichidului [W/(m×grad)]
d – diametrul hidraulic (echivalent).

Pentru calcularea numărului (criteriului) Nusselt se folosesc dependențe critice empirice, de exemplu, formula pentru calcularea numărului Nusselt pentru o țeavă circulară arată astfel:

Aici vedem deja numărul Reynolds, numărul Prandtl la temperatura peretelui și temperatura lichidului și coeficientul de neuniformitate. (Sursa)

Pentru schimbătoarele de căldură ondulate cu plăci, formula este similară ( Sursa ):

unde:
n = 0.73 m =0.43 pentru flux turbulent,
coeficientul a – variază între 0,065 și 0,6 în funcție de numărul de plăci și regimul de flux.

Să avem în vedere că acest coeficient se calculează doar pentru un singur punct în flux. Pentru punctul următor, avem o altă temperatură a lichidului (s-a încălzit sau s-a răcit), o altă temperatură a peretelui și, prin urmare, se modifică toate numerele Reynolds și Prandtl.

La acest punct, orice matematician va spune că este imposibil să calculezi exact un sistem în care coeficientul se schimbă de 10 ori, și va avea dreptate.

Orice inginer practic va spune că fiecare schimbător de căldură este diferit în procesul de fabricație și că calcularea sistemelor este imposibilă, și el va avea dreptate.

Dar ce se întâmplă cu proiectarea orientată pe model? Oare totul este pierdut?

Vânzătorii avansați de software occidental vor încerca să-ți vândă SuperCalculatoare și sisteme de calcul 3D, spunând că "fără ele nu se poate". Și trebuie să rulezi calculul timp de o zi pentru a obține distribuția temperaturilor într-un minut.

Este clar că aceasta nu este varianta noastră, trebuie să ajustăm sistemul de control, chiar dacă nu în timp real, măcar într-un interval de timp rezonabil.

Soluția prin metoda încercării și erorii

Se fabrică un schimbător de căldură, se desfășoară o serie de teste, iar tabelul eficienței temperaturii stabilizate se stabilește în funcție de debitul agentului termic. Simplu, rapid și fiabil, deoarece datele sunt obținute din teste.

Defectul acestei abordări este lipsa caracteristicilor dinamice ale obiectului. Da, știm care va fi fluxul termic stabilizat, dar nu știm în cât timp se va stabiliza când se trece de la un mod de funcționare la altul.

De aceea, după ce calculăm caracteristicile necesare, ajustăm sistemul de control direct pe baza experimentelor, ceea ce ne-ar fi plăcut să evităm inițial.

Abordarea orientată pe model

Pentru a crea un model de schimbător de căldură dinamic, este necesar să folosim datele din teste pentru a elimina incertitudinile din formulele empirice de calcul – numerele Nusselt și rezistența hidraulică.

Soluția este simplă, ca orice lucru genial. Luăm formula empirică, desfășurăm experimente și determinăm valoarea coeficientului a, eliminând astfel incertitudinea din formulă.

Odată ce avem un anumit coeficient de transfer de căldură, toate celelalte parametrii sunt determinați de legile fizicii de conservare. Diferența de temperatură și coeficientul de transfer de căldură determină cantitatea de energie transferată în canal într-o unitate de timp.

Cunoscând fluxul de energie, putem rezolva ecuațiile conservării masei, energiei și impulsului pentru agentul termic în canalul hidraulic. De exemplu:

În cazul nostru, fluxul de căldură între perete și agentul termic rămâne nedeterminat — Qwall. Mai multe informații pot fi găsite aici…

Și, de asemenea, ecuația derivatei de temperatură pentru peretele canalului:

unde:
ΔQwall – diferența dintre fluxul de intrare și fluxul de ieșire către peretele canalului;
M – masa peretelui canalului;
Cpc – capacitatea termică a materialului peretelui.

Precizia modelului

Așa cum s-a menționat anterior, în schimbătorul de căldură avem o distribuție a temperaturii pe suprafața plăcii. Pentru o valoare stabilă, putem lua media pe plăci și o putem folosi, reprezentând întreg schimbătorul de căldură ca un singur punct concentrat, prin care, la o diferență de temperatură, se produce transferul de căldură pe întreaga suprafață a schimbătorului. Dar pentru regimurile tranzitorii, o astfel de aproximație s-ar putea să nu funcționeze. O altă extremă ar fi să facem zeci de mii de puncte și să solicităm un supercomputer, ceea ce nu ne-ar ajuta, deoarece scopul este să configurăm sistemul de control în timp real, și cu atât mai bine, mai rapid.

Se ridică întrebarea: în câte secțiuni trebuie împărțit schimbătorul de căldură pentru a obține o precizie și viteză de calcul acceptabile?

Ca întotdeauna, din întâmplare, am avut la îndemână un model de schimbător de căldură cu amine. Aparatul de schimb de căldură constă dintr-o tubulatură, în care circulă un mediu de încălzire, între cutii — un mediu preîncălzit. Pentru a simplifica problema, întreaga tubulatură a schimbătorului de căldură poate fi considerată ca o singură țeavă echivalentă, iar țeava însăși ca un set de celule de calcul discrete, în fiecare dintre care se efectuează calculul modelului punctual de schimb de căldură. Schema modelului unei celule este prezentată în figura 2. Canalul de aer cald și canalul de aer rece sunt conectate printr-un perete, care asigură transferul fluxului termic între canale.

Figura 2. Modelul celulei schimbătorului de căldură.

Modelul schimbătorului de căldură cu tuburi este ușor de configurat. Poți schimba un singur parametru – numărul de secțiuni pe lungimea țevii și vizualiza rezultatele calculelor pentru diferite diviziuni. Vom realiza un calcul pentru mai multe variante, începând cu divizarea în 5 puncte pe lungime (fig. 3) și până la 100 de puncte pe lungime (fig. 4).

Figura 3. Distribuția temperaturii în regim staționar pentru 5 puncte de calcul.

Figura 4. Distribuția temperaturii în regim staționar pentru 100 de puncte de calcul.

În urma calculelor, s-a obținut că temperatura stabilită pentru divizarea în 100 de puncte este de 67,7 grade. Iar pentru divizarea în 5 puncte de calcul, temperatura este de 72,66 grade C.

De asemenea, în partea inferioară a ferestrei este afișată viteza de calcul în raport cu timpul real.
Să vedem cum se schimbă temperatura stabilită și viteza de calcul în funcție de numărul de puncte de calcul. Diferența temperaturilor stabilite la calcule cu un număr diferit de celule de calcul poate fi folosită pentru a evalua precizia rezultatului obținut.

Tabelul 1. Relația dintre temperatură și viteza de calcul în funcție de numărul de puncte de calcul pe lungimea schimbătorului de căldură.

Analizând acest tabel, se pot trasa următoarele concluzii:

• Viteza de calcul scade proporțional cu numărul de puncte de calcul din modelul schimbătorului de căldură.
• Modificarea preciziei calculului se desfășoară exponențial. La creșterea numărului de puncte, îmbunătățirea la fiecare următoare creștere scade.

În cazul unui schimbător de căldură cu plăci cu debit transversal al fluidului, așa cum este ilustrat în figura 1, crearea unui model echivalent din celule de calcul elementare devine ușor mai complicată. Trebuie să conectăm celulele astfel încât să organizăm curenții transversali. Pentru 4 celule, schema va arăta așa cum se prezintă în figura 5.

Fluxul agentului termic se împarte în ramura caldă și cea rece în două canale, care se conectează prin structuri de transfer termic, astfel încât, pe parcursul trecerii prin canal, agentul termic să schimbe căldura cu diferite canale. Modelând fluxul transversal, agentul termic cald curge din stânga spre dreapta (vezi fig. 5) în fiecare canal, schimbând urmează căldura cu canalele agentului termic rece, care curge de jos în sus (vezi fig. 5). Cel mai cald punct se află în colțul stâng sus, deoarece agentul termic cald schimbă căldura cu agentul termic rece deja încălzit al canalului. Cel mai rece se află în colțul din dreapta jos, unde agentul termic rece schimbă căldura cu agentul termic cald, deja răcit pe prima porțiune.

Figura 5. Modelul fluxului transversal din 4 celule de calcul.

Acest model pentru schimbătorul de căldură plăcile nu ia în considerare transferul de căldură între celule din cauza conductivității și nu consideră amestecarea agentului termic, deoarece fiecare canal este izolat.

Dar, în cazul nostru, ultima restricție nu reduce precizia, deoarece în construcția schimbătorului de căldură, membrana ondulată separă fluxul în multe canale izolate pentru agentul termic (vezi fig. 1). Să vedem ce se întâmplă cu precizia calculului în modelarea schimbătorului de căldură plăcile atunci când crește numărul celulelor de calcul.

Pentru analiza preciziei, folosim două variante de divizare a schimbătorului de căldură în celule de calcul:

1. Fiecare celulă pătrată conține două elemente hidraulice (fluxuri rece și calde) și un element termic. (vezi figura 5)
2. Fiecare celulă pătrată conține șase elemente hidraulice (câte trei secțiuni în fluxurile calde și reci) și trei elemente termice.

În cazul ultim, folosim două tipuri de conexiuni:

• flux contrar al fluxurilor reci și calde;
• flux coplanar al fluxurilor reci și calde.

Fluxul contrar crește eficiența comparativ cu fluxul transversal, iar fluxul coplanar o reduce. Atunci când numărul celulelor este mare, se întâmplă o medie pe flux și totul devine aproape de obstrucția reală transversală (vezi figura 6).

Figura 6. Modelul fluxului transversal din patru celule cu 3 elemente.

În figura 7 sunt prezentate rezultatele distribuției staționare a temperaturii în schimbătorul de căldură, având aerul la 150 °C pe linia caldă și 21 °C pe linia rece, pentru diferite variante de divizare a modelului. Culoarea și cifrele din celulă reflectă temperatura medie a peretelui în celula de calcul.

Figura 7. Temperaturile atinse pentru diferite scheme de calcul.

În tabelul 2 este prezentată temperatura stabilizată a aerului încălzit după schimbătorul de căldură, în funcție de divizarea modelului schimbătorului de căldură în celule.

Tabelul 2. Corelația dintre temperatură și numărul de celule de calcul din schimbătorul de căldură.

Pe măsură ce numărul de celule de calcul din model crește, temperatura finală stabilizată crește. Diferența dintre temperatura stabilizată la diferite divizări poate fi considerată un indicator al preciziei calculului. Se observă că, odată cu creșterea numărului de celule de calcul, temperatura tinde spre o limită, iar creșterea preciziei nu este proporțională cu numărul de puncte de calcul.

Se pune întrebarea: care este precizia modelului de care avem nevoie?

Răspunsul la această întrebare depinde de scopul modelului nostru. Deoarece în această lucrare se vorbește despre proiectarea orientată pe model, modelul este creat pentru a regla sistemul de control. Aceasta înseamnă că precizia modelului ar trebui să fie comparabilă cu precizia senzorilor utilizați în sistem.

În cazul nostru, temperatura este măsurată cu un termocuplu, având o precizie de ±2.5 °C. Orice precizie mai mare, în scopul reglării sistemului de control, este inutilă; sistemul nostru real de control pur și simplu nu o va „vedea”. Astfel, dacă acceptăm că temperatura limită la un număr infinit de divizări este de 70 °C, precizia suficientă va fi un model care ne oferă mai mult de 67.5 °C. Toate modelele cu 3 puncte în celula de calcul și modelele mai mari de 5x5 cu un singur punct în celulă. (Evidentiate în verde în tabelul 2)

Modurile dinamice de operare

Pentru a evalua modul dinamic, vom analiza procesul de schimbare a temperaturii în cele mai calde și reci puncte ale peretelui schimbătorului de căldură pentru diferite variante de scheme de calcul. (vezi fig. 8)

Figura 8. Încălzirea schimbătorului de căldură. Modelele de dimensiuni 2x2 și 10x10.

Se observă că timpul procesului de tranziție și natura acestuia nu depind practic de numărul de puncte de calcul, fiind determinate exclusiv de masa metalului încălzit.

Astfel, concluzionăm că pentru modelarea corectă a schimbătorului de căldură în regimuri de la 20 la 150 °C, cu precizia necesară pentru sistemul de control, este suficient un număr de aproximativ 10 – 20 puncte de calcul.

Configurarea unui model dinamic pe baza experimentului

Având un model matematic, precum și datele experimentului pentru spălarea schimbătorului de căldură, ne rămâne să facem o corecție simplă, și anume, să introducem un coeficient de intensificare în model, astfel încât calculul să se potrivească cu rezultatele experimentului.

Mai mult, folosind un mediu grafic pentru crearea modelului, vom face aceasta automat. În figura 9 este prezentat algoritmul pentru selectarea coeficientului de intensificare a transferului de căldură. Datele obținute din experiment sunt introduse, se conectează modelul schimbătorului de căldură și, ca rezultat, se obțin coeficientele necesare pentru fiecare dintre regimuri.

Figura 9. Algoritmul pentru selectarea coeficientului de intensificare pe baza rezultatelor experimentului.

Astfel, definim acel coeficient pentru numărul Nusselt și eliminăm incertitudinea din formulele de calcul. Pentru diferite regimuri de funcționare și temperaturi, valorile coeficientilor corectivi pot varia, totuși pentru regimuri de funcționare similare (exploatare normală) acestea se dovedesc a fi foarte apropiate. De exemplu, pentru acest schimbător de căldură, în regimuri diferite, coeficientul variază între 0.492 și 0.655.

Dacă aplicăm coeficientul 0.6, în regimurile de funcționare investigate, eroarea de calcul va fi mai mică decât eroarea termocuplului, astfel încât, pentru sistemul de control, modelul matematic al schimbătorului de căldură va fi complet adecvat modelului real.

Rezultatele ajustării modelului schimbătorului de căldură

Pentru evaluarea calității transferului de căldură se folosește o caracteristică specială – eficiența:

unde:
effgor – eficiența schimbătorului de căldură pentru agentul termic cald;
Tgorin – temperatura la intrarea în schimbătorul de căldură pe traiectul agentului termic cald;
Tgorout – temperatura la ieșirea din schimbătorul de căldură pe traiectul agentului termic cald;
Tholin – temperatura la intrarea în schimbătorul de căldură pe parcursul mișcării lichidului de răcire.

Tabelul 3 prezintă valorile abaterii eficienței modelului de schimbător de căldură de la cele experimentale la diferite debituri pe liniile calde și reci.

Tabelul 3. Erorile calculului eficienței transferului de căldură în %

În cazul nostru, coeficientul selecționat poate fi utilizat în toate regimurile de funcționare de interes pentru noi. Dacă, în cazul debitelor mici, unde eroarea este mai mare, precizia necesară nu este atinsă, putem folosi un coeficient variabil de intensificare, care va depinde de debitul curent.

De exemplu, în figura 10, coeficientul de intensificare este calculat conform formulei date, în funcție de debitul curent din celulele canalului.

Figura 10. Coeficientul variabil de intensificare a transferului de căldură.

Conclusions

• Cunoștințele despre legile fizice permit crearea de modele dinamice ale obiectului pentru proiectarea orientată pe model.
• Modelul trebuie să fie verificat și calibrat conform datelor experimentale.
• Instrumentele de dezvoltare a modelelor trebuie să permită dezvoltatorului să ajusteze modelul conform rezultatelor testării obiectului.
• Folosiți abordarea corectă orientată pe model și veți avea succes!

Bonus pentru cei care au citit până la capăt. Video cu funcționarea modelului virtual al sistemului SVK.

Numai utilizatorii înregistrați pot participa la sondaj. Conectați-vă, vă rugăm.

Despre ce să povestesc în continuare?

• 76,2%Cum să dovedesc că programul din model corespunde programului din hardware.

• 23,8%Cum să folosesc calculul pe SuperEVM pentru proiectarea orientată pe model.

21 de utilizatori au votat. 1 utilizator s-a abținut.

Sursa: habr.com