În 2012, Premiul Nobel pentru Economie a fost acordat lui Lloyd Shapley și Alvin Roth. „Pentru teoria distribuției stabile și practica organizării piețelor”. Aleksey Savvateev a încercat în 2012 să explice simplu și clar esența meritelor matematicienilor. Vă prezint atenției un rezumat .
Astăzi va avea loc o prelegere teoretică. Despre experimente , în special cu donația, nu voi spune.
Când s-a anunțat că a primit Premiul Nobel, a fost o întrebare standard: „Cum!? Mai este în viață!?!?” Cel mai faimos rezultat al său a fost obținut în 1953.
Formal, bonusul a fost dat pentru altceva. Pentru lucrarea sa din 1962 despre „teorema stabilității căsătoriei”: „Admiterea la facultate și stabilitatea căsătoriei”.
Despre căsătoria durabilă
De potrivire (potrivire) - sarcina de a găsi o corespondență.
Există un anumit sat izolat. Sunt „m” tineri și „w” fete. Trebuie să-i căsătorim unul cu celălalt. (Nu neapărat același număr, poate în cele din urmă cineva va rămâne singur.)
Ce presupuneri trebuie făcute în model? Că nu este ușor să te recăsătorești la întâmplare. Se face un anumit pas spre libera alegere. Să presupunem că există un aksakal înțelept care vrea să se recăsătorească, astfel încât după moartea sa să nu înceapă divorțurile. (Divorțul este o situație în care un soț își dorește o femeie terță ca soție mai mult decât soția sa.)
Această teoremă este în spiritul economiei moderne. Ea este excepțional de inumană. Economia a fost în mod tradițional inumană. În economie, omul este înlocuit de o mașină pentru a maximiza profiturile. Ceea ce vă voi spune sunt lucruri absolut nebunești din punct de vedere moral. Nu o lua la inimă.
Economiștii privesc căsătoria în acest fel.
m1, m2,… mk - bărbați.
w1, w2,... wL - femei.
Un bărbat este identificat cu modul în care „comandă” fetelor. Există și un „nivel zero”, sub care femeile nu pot fi oferite deloc ca soții, chiar dacă nu există altele.
Totul se întâmplă în ambele sensuri, la fel și pentru fete.
Datele inițiale sunt arbitrare. Singura presupunere/limitare este că nu ne schimbăm preferințele.
Teorema: Indiferent de distribuție și nivelul de zero, există întotdeauna o modalitate de a stabili o corespondență unu-la-unu între unii bărbați și unele femei, astfel încât să fie robustă la toate tipurile de despărțiri (nu doar divorțuri).
Ce amenințări ar putea exista?
Există un cuplu (m,w) care nu este căsătorit. Dar pentru w actualul soț este mai rău decât m, iar pentru m actuala soție este mai rea decât w. Aceasta este o situație nesustenabilă.
Există și opțiunea că cineva a fost căsătorit cu cineva care este „sub zero” în această situație, căsătoria se va destrama.
Dacă o femeie este căsătorită, dar preferă un bărbat necăsătorit, pentru care este peste zero.
Dacă două persoane sunt ambele necăsătorite și ambele sunt „peste zero” unul pentru celălalt.
Se susține că pentru orice date inițiale există un astfel de sistem de căsătorie, rezistent la toate tipurile de amenințări. În al doilea rând, algoritmul pentru găsirea unui astfel de echilibru este foarte simplu. Să comparăm cu M*N.
Acest model a fost generalizat și extins la „poligamie” și aplicat în multe domenii.
Procedura Gale-Shapley
Dacă toți bărbații și toate femeile respectă „rețetele”, sistemul de căsătorie rezultat va fi sustenabil.
Rețete.
Ne luăm câteva zile la nevoie. Împărțim fiecare zi în două părți (dimineața și seara).
În prima dimineață, fiecare bărbat se duce la cea mai bună femeie a lui și bate la fereastră, rugându-i să se căsătorească cu el.
În seara aceleiași zile, rândul se întoarce către femei. Ce poate descoperi o femeie? Că era o mulțime sub fereastra ei, fie unul, fie niciun bărbat. Cei care nu au pe nimeni astăzi sări peste rândul lor și așteaptă. Restul, care au cel puțin unul, verifică bărbații care vin să vadă că sunt „peste nivelul zero”. Să ai măcar unul. Dacă ești complet ghinionist și totul este sub zero, atunci toată lumea ar trebui să fie trimisă. Femeia îl alege pe cel mai mare dintre cei care au venit, îi spune să aștepte și îi trimite pe restul.
Înainte de a doua zi, situația este următoarea: unele femei au un bărbat, altele nu au niciunul.
În a doua zi, toți bărbații „liberi” (trimiși) trebuie să meargă la femeia cu prioritate a doua. Dacă nu există o astfel de persoană, atunci bărbatul este declarat necăsătorit. Acei bărbați care stau deja cu femei nu fac încă nimic.
Seara, femeile privesc situația. Dacă cuiva care stătea deja i s-a alăturat o prioritate mai mare, atunci prioritatea inferioară este trimisă. Dacă cei care vin sunt mai mici decât ceea ce este deja disponibil, toată lumea este trimisă. Femeile aleg de fiecare dată elementul maxim.
Repetăm.
Drept urmare, fiecare bărbat a trecut prin întreaga listă a femeilor sale și a fost fie lăsat singur, fie logodit cu vreo femeie. Atunci îi vom căsători pe toți.
Este posibil să rulezi tot acest proces, dar femeile să alerge la bărbați? Procedura este simetrică, dar soluția poate fi diferită. Dar întrebarea este, cine este mai bine din asta?
Teorema. Să luăm în considerare nu numai aceste două soluții simetrice, ci și ansamblul tuturor sistemelor de căsătorie stabile. Mecanismul propus inițial (bărbații aleargă și femeile acceptă/refuză) are ca rezultat un sistem de căsătorie care este mai bun pentru orice bărbat decât oricare altul și mai rău decât oricare altul pentru orice femeie.
Căsătoria între persoane de același sex
Luați în considerare situația cu „căsătoria între persoane de același sex”. Să luăm în considerare un rezultat matematic care pune la îndoială necesitatea legalizării lor. Un exemplu incorect din punct de vedere ideologic.
Luați în considerare patru homosexuali a, b, c, d.
priorități pentru a: bcd
priorități pentru b:cad
priorități pentru c: abd
căci d nu contează cum îi clasează pe restul de trei.
Afirmație: Nu există un sistem de căsătorie durabil în acest sistem.
Câte sisteme există pentru patru persoane? Trei. ab cd, ac bd, ad bc. Cuplurile se vor destrăma și procesul se va desfășura în cicluri.
Sisteme „cu trei sexe”.
Aceasta este cea mai importantă întrebare care deschide un întreg domeniu al matematicii. Acest lucru a fost făcut de colegul meu de la Moscova, Vladimir Ivanovici Danilov. El a văzut „căsătoria” ca bea vodcă, iar rolurile erau următoarele: „cel care toarnă”, „cel care rostește pâinea prăjită” și „cel care taie cârnații”. Într-o situație în care există 4 sau mai mulți reprezentanți ai fiecărui rol, este imposibil de rezolvat prin forță brută. Problema unui sistem durabil este una deschisă.
Vector Shapley
În satul de cabane au decis să asfalteze drumul. Trebuie să cip. Cum?
Shapley a propus o soluție la această problemă în 1953. Să presupunem o situație de conflict cu un grup de oameni N={1,2…n}. Trebuie să împărțiți costurile/beneficii. Să presupunem că oamenii împreună au făcut ceva util, l-au vândut și cum să împărțim profitul?
Shapley a sugerat că atunci când împărțim, ar trebui să ne ghidăm după cât ar putea primi anumite subseturi ale acestor oameni. Câți bani ar putea câștiga toate cele 2N subseturi negoale? Și pe baza acestor informații, Shapley a scris o formulă universală.
De exemplu. Un solist, chitarist și baterist cântă într-un pasaj subteran din Moscova. Cei trei câștigă 1000 de ruble pe oră. Cum să o împarți? Posibil la fel.
V(1,2,3)=1000
Să ne prefacem asta
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
O împărțire echitabilă nu poate fi determinată până când nu știm ce câștiguri așteaptă o anumită companie dacă se desprinde și acționează pe cont propriu. Și când am determinat numerele (setați jocul cooperativ în formă caracteristică).
Superaditivitatea este atunci când împreună câștigă mai mult decât separat, când este mai profitabil să unești, dar nu este clar cum să împărțim câștigurile. S-au spart multe copii despre asta.
Există un joc. Trei oameni de afaceri au găsit simultan un depozit în valoare de 1 milion de dolari. Dacă cei trei sunt de acord, atunci sunt un milion. Orice cuplu poate ucide (înlătura din carcasă) și poate obține întregul milion pentru el însuși. Și nimeni nu poate face nimic singur. Acesta este un joc co-op înfricoșător, fără nicio soluție. Întotdeauna vor fi doi oameni care îl pot elimina pe al treilea... Teoria jocurilor cooperative începe cu un exemplu care nu are soluție.
Ne dorim o astfel de soluție încât nicio coaliție să nu vrea să blocheze soluția comună. Setul tuturor diviziilor care nu pot fi blocate este nucleul. Se întâmplă ca miezul să fie gol. Dar chiar dacă nu este gol, cum să împarți?
Shapley sugerează împărțirea în acest fel. Aruncă o monedă cu n! margini. Scriem toți jucătorii în această ordine. Să spunem primul baterist. El intră și își ia 100. Apoi intră „al doilea”, să zicem solistul. (Împreună cu toboșarul pot câștiga 450, bateristul a luat deja 100) Solistul ia 350. Intră chitaristul (împreună 1000, -450), ia 550. Ultimul din destul de des câștigă. (Supermodularitate)
Dacă scriem pentru toate comenzile:
GSB - (câștigă C) - (câștigă D) - (câștigă B)
SGB - (câștigă C) - (câștigă D) - (câștigă B)
SBG - (câștigă C) - (câștigă D) - (câștigă B)
BSG - (câștigă C) - (câștigă D) - (câștigă B)
BGS - (câștig C) - (câștig D) - (câștig B)
GBS - (câștigă C) - (câștigă D) - (câștigă B)
Și pentru fiecare coloană adunăm și împărțim la 6 - o medie pentru toate comenzile - acesta este un vector Shapley.
Shapley a demonstrat teorema (aproximativ): Există o clasă de jocuri (supermodulare), în care următoarea persoană care se alătură unei echipe mari îi aduce un câștig mai mare. Nucleul este întotdeauna nevid și este o combinație convexă de puncte (în cazul nostru, 6 puncte). Vectorul Shapley se află chiar în centrul nucleului. Poate fi întotdeauna oferită ca soluție, nimeni nu va fi împotriva ei.
În 1973, s-a dovedit că problema cabanelor este supermodulară.
Toți n oameni împart drumul către prima cabană. Până la al doilea - n-1 persoane. etc.
Aeroportul are o pistă. Diferitele companii au nevoie de lungimi diferite. Aceeași problemă apare.
Cred că cei care au acordat Premiul Nobel au avut în vedere acest merit, și nu doar sarcina marjei.
Vă mulțumim!
Ещё
- Canalul „Matematică - Simplu”:
- Canalul „Savvateev fără granițe”: edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Public „Matematica este simplă”:
- „Glumă publică a matematicienilor”:
- Site-ul web, toate cursurile de acolo +100 de lecții și multe altele: savvateev.xyz
Sursa: www.habr.com