අපි රේඛීය ප්‍රතිගාමී සමීකරණය න්‍යාස ආකාරයෙන් ගෙන එනවා

ලිපියේ අරමුණ ආරම්භක දත්ත විද්‍යාඥයින්ට සහාය ලබා දීමයි. තුල පෙර ලිපිය අපි රේඛීය ප්‍රතිගාමී සමීකරණයක් විසඳීමට ක්‍රම තුනක් ගෙනහැර දක්වමු: විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුම, ශ්‍රේණිගත සම්භවය, ස්ටෝචස්ටික් අනුක්‍රමණ සම්භවය. ඉන්පසු විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුම සඳහා අපි සූත්රය යෙදුවෙමු . මෙම ලිපියේ, මාතෘකාව යෝජනා කරන පරිදි, අපි මෙම සූත්‍රය භාවිතා කිරීම සාධාරණීකරණය කරන්නෙමු, නැතහොත් වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අපි එය අප විසින්ම ලබා ගනිමු.

සූත්‍රය කෙරෙහි අමතර අවධානයක් යොමු කිරීම අර්ථවත් වන්නේ ඇයි? ?

බොහෝ අවස්ථාවන්හීදී රේඛීය ප්‍රතිගාමීත්වය පිළිබඳ දැනුමක් ලබා ගැනීමට පටන් ගන්නේ අනුකෘති සමීකරණය සමඟ ය. ඒ අතරම, සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න වූ ආකාරය පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක ගණනය කිරීම් දුර්ලභ ය.

උදාහරණයක් ලෙස, Yandex වෙතින් යන්ත්‍ර ඉගෙනුම් පාඨමාලා වලදී, සිසුන් විධිමත් කිරීමට හඳුන්වා දුන් විට, පුස්තකාලයෙන් කාර්යයන් භාවිතා කිරීමට ඔවුන්ට ඉදිරිපත් වේ. sklearn, ඇල්ගොරිතමයේ න්‍යාස නිරූපණය ගැන වචනයක්වත් සඳහන් කර නැත. සමහර සවන්දෙන්නන්ට මෙම ගැටළුව වඩාත් විස්තරාත්මකව තේරුම් ගැනීමට අවශ්‍ය වන්නේ මේ මොහොතේය - සූදානම් කළ කාර්යයන් භාවිතා නොකර කේතය ලියන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ මුලින්ම අනුකෘති ආකාරයෙන් නිත්‍යකරණයක් සමඟ සමීකරණය ඉදිරිපත් කළ යුතුය. එවැනි කුසලතා ප්‍රගුණ කිරීමට කැමති අයට මෙම ලිපියෙන් ඉඩ ලබා දේ. අපි පටන් ගනිමු.

මූලික කොන්දේසි

ඉලක්ක දර්ශක

අපට ඉලක්ක අගයන් පරාසයක් ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, ඉලක්ක දර්ශකය ඕනෑම වත්කමක මිල විය හැකිය: තෙල්, රත්රන්, තිරිඟු, ඩොලර්, ආදිය. ඒ අතරම, ඉලක්ක දර්ශක අගයන් ගණනාවකින් අපි නිරීක්ෂණ ගණන අදහස් කරමු. එවැනි නිරීක්ෂණ, උදාහරණයක් ලෙස, වර්ෂය සඳහා මාසික තෙල් මිල විය හැකිය, එනම්, අපට ඉලක්ක අගයන් 12 ක් ඇත. අපි අංකනය හඳුන්වා දීමට පටන් ගනිමු. අපි ඉලක්ක දර්ශකයේ එක් එක් අගය ලෙස දක්වන්නෙමු . සමස්තයක් වශයෙන් අපට තිබේ නිරීක්ෂණ, එයින් අදහස් කරන්නේ අපට අපගේ නිරීක්ෂණ නියෝජනය කළ හැකි බවයි .

ප්රතිගාමී

ඉලක්ක දර්ශකයේ අගයන් යම් දුරකට පැහැදිලි කරන සාධක ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු. උදාහරණයක් ලෙස, ඩොලරය/රූබල් විනිමය අනුපාතිකය තෙල් මිල, ෆෙඩරල් සංචිත අනුපාතය යනාදිය මගින් දැඩි ලෙස බලපායි. එවැනි සාධක ප්‍රතිගාමී ලෙස හැඳින්වේ. ඒ අතරම, සෑම ඉලක්ක දර්ශක අගයක්ම ප්‍රතිගාමී අගයකට අනුරූප විය යුතුය, එනම්, අපට 12 දී සෑම මාසයකම ඉලක්ක දර්ශක 2018 ක් තිබේ නම්, එම කාල සීමාව සඳහා අපට ප්‍රතිගාමී අගයන් 12 ක් ද තිබිය යුතුය. අපි එක් එක් ප්‍රතිගාමීන්ගේ අගයන් දක්වන්නෙමු . අපේ නඩුවේ එහෙම වෙන්න ඉඩ දෙන්න ප්‍රතිගාමී (එනම් ඉලක්ක දර්ශක අගයන් කෙරෙහි බලපාන සාධක). මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපගේ ප්‍රතිගාමීන් පහත පරිදි ඉදිරිපත් කළ හැකි බවයි: 1 වන ප්‍රතිගමනය සඳහා (උදාහරණයක් ලෙස, තෙල් මිල): , 2 වන ප්‍රතිගාමී සඳහා (උදාහරණයක් ලෙස, ෆෙඩරල් අනුපාතය): , සදහා "-th" regressor:

ප්‍රතිගාමී මත ඉලක්ක දර්ශක වල යැපීම

ඉලක්ක දර්ශකයේ යැපීම යැයි අපි උපකල්පනය කරමු ප්‍රතිගාමීන්ගෙන්"th" නිරීක්‍ෂණය පෝරමයේ රේඛීය ප්‍රතිගාමී සමීකරණයක් හරහා ප්‍රකාශ කළ හැක:

කොහෙද - "-th" regressor අගය 1 සිට ,

- 1 සිට ප්රතිගාමී සංඛ්යාව

— කෝණික සංගුණක, ප්‍රතිගාමීත්වය වෙනස් වන විට ගණනය කරන ලද ඉලක්ක දර්ශකය සාමාන්‍යයෙන් වෙනස් වන ප්‍රමාණය නියෝජනය කරයි.

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අපි සෑම කෙනෙකුටම ( හැර ) regressor හි අපි "අපගේ" සංගුණකය තීරණය කරමු , පසුව ප්‍රතිගාමී අගයන් මගින් සංගුණක ගුණ කරන්න "th "නිරීක්ෂණය, ප්රතිඵලයක් වශයෙන් අපි යම් ආසන්න අගයක් ලබා ගනිමු"-th" ඉලක්ක දර්ශකය.

එබැවින්, අපි එවැනි සංගුණක තෝරාගත යුතුය , අපගේ ආසන්න ශ්‍රිතයේ අගයන් ඉලක්ක දර්ශක අගයන්ට හැකි තරම් සමීපව පිහිටා ඇත.

ආසන්න ශ්‍රිතයේ ගුණාත්මකභාවය තක්සේරු කිරීම

අපි අවම වර්ග ක්‍රමය භාවිතයෙන් ආසන්න ශ්‍රිතයේ තත්ත්ව තක්සේරුව තීරණය කරන්නෙමු. මෙම නඩුවේ තත්ත්ව තක්සේරු කිරීමේ කාර්යය පහත දැක්වෙන ආකාරය ගනී:

අපි අගය සඳහා $w$ සංගුණකවල එවැනි අගයන් තෝරාගත යුතුය කුඩාම වනු ඇත.

සමීකරණය matrix ආකාරයෙන් පරිවර්තනය කිරීම

දෛශික නිරූපණය

ආරම්භ කිරීම සඳහා, ඔබේ ජීවිතය පහසු කර ගැනීම සඳහා, ඔබ රේඛීය ප්‍රතිගාමී සමීකරණය කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතු අතර පළමු සංගුණකය බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. කිසිදු ප්‍රතිගාමීයෙකු විසින් ගුණ නොකෙරේ. ඒ අතරම, අපි දත්ත matrix ආකාරයෙන් පරිවර්තනය කරන විට, ඉහත සඳහන් කළ තත්ත්වය ගණනය කිරීම් බරපතල ලෙස සංකීර්ණ කරනු ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, පළමු සංගුණකය සඳහා තවත් ප්රතිගාමිකයක් හඳුන්වා දීමට යෝජිතය සහ එය එකකට සමාන කරන්න. එසේත් නැතිනම්, සෑම "මෙම ප්‍රතිගාමීත්වයේ th අගය එකකට සමාන කරන්න - සියල්ලට පසු, එකකින් ගුණ කළ විට, ගණනය කිරීම් වල ප්‍රතිඵලයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් කිසිවක් වෙනස් නොවනු ඇත, නමුත් matrices නිෂ්පාදනය සඳහා වන නීතිවල දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, අපගේ වධහිංසාව සැලකිය යුතු ලෙස අඩු වනු ඇත.

දැන්, මේ මොහොතේ, ද්රව්යය සරල කිරීම සඳහා, අපට ඇත්තේ එකක් පමණක් යැයි උපකල්පනය කරමු "-th" නිරීක්ෂණය. ඉන්පසුව, ප්‍රතිගාමීන්ගේ අගයන් සිතන්න "-th" නිරීක්ෂණ දෛශිකයක් ලෙස . දෛශිකය මානය ඇත එනම් පේළි සහ තීරු 1:

දෛශිකයක් ලෙස අවශ්‍ය සංගුණක නිරූපණය කරමු , මානය ඇති :

" සඳහා රේඛීය ප්‍රතිගාමී සමීකරණය-th" නිරීක්ෂණ ස්වරූපය ගනී:

රේඛීය ආකෘතියක ගුණාත්මකභාවය තක්සේරු කිරීමේ කාර්යය ස්වරූපය ගනී:

න්‍යාස ගුණ කිරීමේ නීතිවලට අනුකූලව, අපට දෛශිකය මාරු කිරීමට අවශ්‍ය වූ බව කරුණාවෙන් සලකන්න .

Matrix නියෝජනය

දෛශික ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, අපට අංකය ලැබේ: , අපේක්ෂා කළ යුතු ය. මෙම අංකය දළ වශයෙන් වේ "-th" ඉලක්ක දර්ශකය. නමුත් අපට අවශ්‍ය වන්නේ එක් ඉලක්ක අගයක පමණක් නොව, ඒ සියල්ලේ ආසන්න අගයකි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සියල්ල ලියා තබමු "matrix ආකෘතියෙන් -th" regressors . ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්‍යාසයට මානය ඇත :

දැන් රේඛීය ප්‍රතිගාමී සමීකරණය පෝරමය ගනී:

ඉලක්ක දර්ශකවල අගයන් අපි දක්වන්නෙමු (සියල්ල ) දෛශිකයකට මානය :

දැන් අපට රේඛීය ආකෘතියක ගුණාත්මක භාවය තක්සේරු කිරීම සඳහා අනුකෘති ආකෘතියෙන් සමීකරණය ලිවිය හැකිය:

ඇත්තටම මේ සූත්‍රයෙන් අපි දන්නා සූත්‍රය තව දුරටත් ලබා ගන්නවා

එය සිදු කරන්නේ කෙසේද? වරහන් විවෘත කර ඇත, අවකලනය සිදු කරනු ලැබේ, ප්‍රති ing ලයක් ලෙස ප්‍රකාශන පරිවර්තනය වේ, යනාදිය, සහ මෙය හරියටම අපි දැන් කරන්නෙමු.

අනුකෘති පරිවර්තනය

අපි වරහන් විවෘත කරමු

අවකලනය සඳහා සමීකරණයක් සකස් කරමු

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි යම් පරිවර්තනයන් සිදු කරන්නෙමු. පසුකාලීන ගණනය කිරීම් වලදී එය දෛශිකය නම් අපට වඩාත් පහසු වනු ඇත සමීකරණයේ එක් එක් නිෂ්පාදනයේ ආරම්භයේ දී නිරූපණය කෙරේ.

පරිවර්තනය 1

එය සිදුවූයේ කොහොමද? මෙම ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දීමට, ගුණ කරන න්‍යාසවල ප්‍රමාණයන් දෙස බලා ප්‍රතිදානයේදී අපට අංකයක් හෝ වෙනත් ආකාරයකින් ලැබෙන බව බලන්න. .

න්‍යාස ප්‍රකාශනවල ප්‍රමාණයන් ලියා ගනිමු.

පරිවර්තනය 2

අපි එය පරිවර්තනය 1 ට සමාන ආකාරයකින් ලියන්නෙමු

ප්‍රතිදානයේදී අපට වෙන්කර හඳුනාගත යුතු සමීකරණයක් ලැබේ:

අපි ආදර්ශ තත්ත්ව ඇගයීමේ කාර්යය වෙනස් කරමු

දෛශිකය සම්බන්ධයෙන් වෙන් කරමු :

ඇයි ප්‍රශ්න නොවිය යුතුය, නමුත් අපි අනෙක් ප්‍රකාශන දෙකෙහි ව්‍යුත්පන්න නිර්ණය කිරීමේ මෙහෙයුම් වඩාත් විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

අවකලනය 1

අවකලනය පුළුල් කරමු:

අනුකෘතියක හෝ දෛශිකයක ව්‍යුත්පන්නය තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබ ඒවා තුළ ඇති දේ දෙස බැලිය යුතුය. අපි බලමු:

න්‍යාසවල ගුණිතය අපි දක්වන්නෙමු matrix හරහා . Matrix හතරැස් සහ එපමනක් නොව, එය සමමිතික වේ. මෙම ගුණාංග පසුව අපට ප්රයෝජනවත් වනු ඇත, අපි ඒවා මතක තබා ගනිමු. Matrix මානය ඇත :

දැන් අපගේ කාර්යය වන්නේ න්‍යාසයෙන් දෛශික නිවැරදිව ගුණ කිරීම සහ “දෙවරක් දෙක පහ” ලබා නොගැනීමයි, එබැවින් අපි අවධානය යොමු කර අතිශයින්ම ප්‍රවේශම් වෙමු.

කෙසේ වෙතත්, අපි සංකීර්ණ ප්රකාශනයක් ලබා ඇත! ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට අංකයක් ලැබුණි - පරිමාණයක්. දැන්, ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි අවකලනය වෙත ගමන් කරමු. එක් එක් සංගුණකය සඳහා ප්රතිඵල ප්රකාශනයේ ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ සහ මාන දෛශිකය ප්‍රතිදානය ලෙස ලබා ගන්න . යම් අවස්ථාවක දී, මම ක්‍රියාවෙන් ක්‍රියා පටිපාටි ලියන්නෙමි:

1) වෙන් කරන්න , අපට ලැබෙන්නේ:

2) වෙන් කරන්න , අපට ලැබෙන්නේ:

3) වෙන් කරන්න , අපට ලැබෙන්නේ:

ප්‍රතිදානය යනු ප්‍රමාණයේ පොරොන්දු වූ දෛශිකයයි :

ඔබ දෛශිකය දෙස සමීපව බැලුවහොත්, දෛශිකයේ වම් සහ අනුරූප දකුණු මූලද්‍රව්‍ය සමූහගත කළ හැකි බව ඔබට පෙනෙනු ඇත, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, ඉදිරිපත් කරන ලද දෛශිකයෙන් දෛශිකයක් හුදකලා කළ හැකිය. ප්‍රමාණය . උදාහරණයක් ලෙස (දෛශිකයේ ඉහළ පේළියේ වම් මූලද්රව්යය) (දෛශිකයේ ඉහළ රේඛාවේ දකුණු මූලද්‍රව්‍යය) ලෙස දැක්විය හැක හා - කෙසේද ආදිය එක් එක් පේළිය මත. අපි කණ්ඩායම් කරමු:

අපි දෛශිකය ඉවත් කරමු සහ ප්‍රතිදානයේදී අපට ලැබෙන්නේ:

දැන්, අපි ප්රතිඵලය වන matrix දෙස සමීපව බලමු. න්‍යාසය යනු න්‍යාස දෙකක එකතුවකි :

මඳ වේලාවකට පෙර අපි අනුකෘතියේ එක් වැදගත් ගුණාංගයක් සටහන් කළ බව අපි සිහිපත් කරමු - එය සමමිතික වේ. මෙම දේපල මත පදනම්ව, ප්රකාශනය බව අපට විශ්වාසයෙන් පැවසිය හැකිය සමාන . න්‍යාස මූලද්‍රව්‍යයේ ගුණිතය මූලද්‍රව්‍ය අනුව ප්‍රසාරණය කිරීමෙන් මෙය පහසුවෙන් සත්‍යාපනය කළ හැක . අපි මෙය මෙහි නොකරනු ඇත; උනන්දුවක් දක්වන අයට එය තමන් විසින්ම පරීක්ෂා කළ හැකිය.

අපි අපේ ප්රකාශනය වෙත ආපසු යමු. අපගේ පරිවර්තනයෙන් පසුව, එය අපට දැකීමට අවශ්‍ය ආකාරයට සිදු විය:

ඉතින්, අපි පළමු අවකලනය සම්පූර්ණ කර ඇත. අපි දෙවන ප්රකාශනය වෙත යමු.

අවකලනය 2

අපි පහර දුන් මාවත අනුගමනය කරමු. එය පෙර එකට වඩා ඉතා කෙටි වනු ඇත, එබැවින් තිරයෙන් බොහෝ දුර යන්න එපා.

දෛශික සහ න්‍යාස මූලද්‍රව්‍ය මූලද්‍රව්‍ය අනුව පුළුල් කරමු:

අපි ටික වේලාවක් ගණනය කිරීම් වලින් දෙක ඉවත් කරමු - එය විශාල කාර්යභාරයක් ඉටු නොකරයි, එවිට අපි එය නැවත එහි ස්ථානයේ තබමු. දෛශික අනුකෘතියෙන් ගුණ කරමු. මුලින්ම අපි matrix ගුණ කරමු දෛශිකයට , අපට මෙහි සීමාවන් නොමැත. අපි ප්රමාණය දෛශිකය ලබා ගනිමු :

පහත ක්‍රියාව සිදු කරමු - දෛශිකය ගුණ කරන්න ලැබෙන දෛශිකය වෙත. පිටවීමේදී අංකය අප එනතුරු බලා සිටිනු ඇත:

එවිට අපි එය වෙන්කර හඳුනා ගනිමු. නිමැවුමේදී අපට මානයක දෛශිකයක් ලැබේ :

මට යමක් මතක් කරනවාද? ඒක හරි! මෙය අනුකෘතියේ නිෂ්පාදිතයයි දෛශිකයට .

මේ අනුව, දෙවන අවකලනය සාර්ථකව අවසන් වේ.

ඒ වෙනුවට අවසාන කාල පරිච්ඡේදය

දැන් අපි දන්නවා සමානාත්මතාවය ඇති වුණේ කොහොමද කියලා .

අවසාන වශයෙන්, මූලික සූත්‍ර පරිවර්තනය කිරීමට ඉක්මන් ක්‍රමයක් අපි විස්තර කරමු.

අවම වර්ග ක්‍රමයට අනුකූලව ආකෘතියේ ගුණාත්මකභාවය ඇගයීමට ලක් කරමු:

ලැබෙන ප්‍රකාශනය අපි වෙන්කර හඳුනා ගනිමු:

සාහිත්යය

අන්තර්ජාල මූලාශ්‍ර:

1) habr.com/en/post/278513
2) habr.com/ru/company/ods/blog/322076
3) habr.com/en/post/307004
4) nabatchikov.com/blog/view/matrix_der

පෙළපොත්, ගැටළු එකතුව:

1) උසස් ගණිතය පිළිබඳ දේශන සටහන්: සම්පූර්ණ පාඨමාලාව / D.T. ලියා ඇත - 4 වන සංස්කරණය. - එම්.: අයිරිස්-ප්‍රෙස්, 2006
2) ව්‍යවහාරික ප්‍රතිගාමී විශ්ලේෂණය / N. Draper, G. Smith - 2nd ed. – එම්.: මූල්‍ය හා සංඛ්‍යාලේඛන, 1986 (ඉංග්‍රීසියෙන් පරිවර්තනය)
3) අනුකෘති සමීකරණ විසඳීමේ ගැටළු:
function-x.ru/matrix_equations.html
mathprofi.ru/deistviya_s_matricami.html

මූලාශ්රය: www.habr.com