V roku 2012 bola Nobelova cena za ekonómiu udelená Lloydovi Shapleymu a Alvinovi Rothovi. "Pre teóriu stabilnej distribúcie a prax organizovania trhov." Aleksey Savvateev sa v roku 2012 pokúsil jednoducho a jasne vysvetliť podstatu zásluh matematikov. Predkladám vám zhrnutie .
Dnes bude teoretická prednáška. O experimentoch , najmä s darcovstvom, nepoviem.
Keď to bolo oznámené dostal Nobelovu cenu, zaznela štandardná otázka: „Ako!? On ešte žije!?!?" Jeho najznámejší výsledok bol dosiahnutý v roku 1953.
Formálne bol bonus daný za niečo iné. Za jeho dokument z roku 1962 o „teoréme stability manželstva“: „Prijatie na vysokú školu a stabilita manželstva“.
O udržateľnom manželstve
Zodpovedajúce (zhoda) - úloha nájsť korešpondenciu.
Je tam istá izolovaná dedina. Existujú „m“ mladí muži a „w“ dievčatá. Musíme si ich vziať k sebe. (Nie nevyhnutne rovnaký počet, možno nakoniec niekto zostane sám.)
Aké predpoklady je potrebné urobiť v modeli? Že nie je ľahké náhodne sa znova oženiť. Robí sa istý krok k slobodnej voľbe. Povedzme, že existuje múdry aksakal, ktorý sa chce znova oženiť, aby sa po jeho smrti nezačali rozvody. (Rozvod je situácia, keď manžel chce za manželku ženu z tretej strany viac ako svoju manželku.)
Táto veta je v duchu modernej ekonómie. Je výnimočne neľudská. Ekonomika bola tradične nehumánna. V ekonomike je človek nahradený strojom na maximalizáciu zisku. Čo vám poviem, sú z morálneho hľadiska absolútne šialené veci. Neberte si to k srdcu.
Ekonómovia sa takto pozerajú na manželstvo.
m1, m2,… mk - muži.
w1, w2,... wL - ženy.
Muž je stotožnený s tým, ako „rozkazuje“ dievčatám. Existuje aj „nulová úroveň“, pod ktorou ženy nemôžu byť vôbec ponúkané za manželky, aj keď iné neexistujú.
Všetko sa deje oboma smermi, rovnako u dievčat.
Počiatočné údaje sú ľubovoľné. Jediným predpokladom/obmedzením je, že svoje preferencie nemeníme.
Veta: Bez ohľadu na rozdelenie a úroveň nuly vždy existuje spôsob, ako vytvoriť vzájomnú korešpondenciu medzi niektorými mužmi a niektorými ženami tak, aby bola odolná voči všetkým typom rozchodov (nielen rozvodom).
Aké hrozby môžu existovať?
Existuje pár (m,w), ktorý nie je zosobášený. Ale pre w je súčasný manžel horší ako m a pre m je súčasná manželka horšia ako w. Toto je neudržateľná situácia.
Existuje aj možnosť, že niekto bol ženatý s niekým, kto je „pod nulou“, v tejto situácii sa manželstvo tiež rozpadne.
Ak je žena vydatá, no uprednostňuje nezadaného muža, pre ktorého je nad nulou.
Ak sú dvaja ľudia nezosobášení a obaja sú jeden pre druhého „nad nulou“.
Tvrdí sa, že pre akékoľvek počiatočné údaje existuje takýto manželský systém odolný voči všetkým druhom hrozieb. Po druhé, algoritmus na nájdenie takejto rovnováhy je veľmi jednoduchý. Porovnajme s M*N.
Tento model bol zovšeobecnený a rozšírený na „polygamiu“ a aplikovaný v mnohých oblastiach.
Gale-Shapleyho postup
Ak sa všetci muži a všetky ženy budú riadiť „predpismi“, výsledný manželský systém bude udržateľný.
Predpisy.
Berieme niekoľko dní podľa potreby. Každý deň rozdelíme na dve časti (ráno a večer).
V prvé ráno ide každý muž za svojou najlepšou ženou a zaklope na okno a požiada ju, aby si ho vzala.
Večer toho istého dňa prichádza rad na ženy Čo môže žena objaviť? Že pod jej oknom bol dav, buď jeden, alebo žiadni muži. Tí, ktorí dnes nikoho nemajú, preskočia rad a čakajú. Zvyšok, ktorý má aspoň jeden, skontroluje mužov, ktorí prídu, aby zistili, že sú „nad úrovňou nula“. Aby mal aspoň jeden. Ak máte úplnú smolu a všetko je pod nulou, tak treba poslať všetkých. Žena si vyberie najväčšieho z tých, čo prišli, povie mu, aby počkal, a zvyšok pošle.
Pred druhým dňom je situácia takáto: niektoré ženy majú jedného muža, iné žiadneho.
Na druhý deň musia všetci „voľní“ (poslaní) muži ísť k žene druhej priority. Ak takáto osoba neexistuje, potom je muž vyhlásený za slobodného. Tí muži, ktorí už sedia so ženami, zatiaľ nič nerobia.
Večer sa ženy pozerajú na situáciu. Ak sa k niekomu, kto už sedel, pripojila vyššia priorita, nižšia priorita sa odošle. Ak sú tí, ktorí prídu, nižší ako to, čo je už k dispozícii, všetci sú poslaní preč. Ženy si zakaždým vyberú maximálny prvok.
Opakujeme.
Výsledkom bolo, že každý muž prešiel celým zoznamom svojich žien a buď zostal sám, alebo sa zasnúbil s nejakou ženou. Potom všetkých vezmeme.
Je možné celý tento proces spustiť, ale aby ženy utekali k mužom? Postup je symetrický, ale riešenie môže byť iné. Otázkou však je, kto je na tom lepšie?
Veta. Uvažujme nielen tieto dve symetrické riešenia, ale množinu všetkých stabilných manželských systémov. Pôvodne navrhovaný mechanizmus (muži utekajú a ženy prijímajú/odmietajú) má za následok manželský systém, ktorý je pre každého muža lepší ako ktorýkoľvek iný a horší ako ktorýkoľvek iný pre ktorúkoľvek ženu.
Manželstvá osôb rovnakého pohlavia
Zvážte situáciu s „manželstvom osôb rovnakého pohlavia“. Uvažujme o matematickom výsledku, ktorý spochybňuje potrebu ich legalizácie. Ideologicky nesprávny príklad.
Uvažujme o štyroch homosexuáloch a, b, c, d.
priority pre a: bcd
priority pre b:cad
priority pre c: abd
pre d nezáleží na tom, ako zoradí zvyšné tri.
Vyhlásenie: V tomto systéme neexistuje udržateľný manželský systém.
Koľko systémov je pre štyroch ľudí? Tri. ab cd, ac bd, ad bc. Páry sa rozpadnú a proces bude prebiehať v cykloch.
„trojpohlavné“ systémy.
Toto je najdôležitejšia otázka, ktorá otvára celú oblasť matematiky. Urobil to môj kolega v Moskve Vladimír Ivanovič Danilov. „Manželstvo“ vnímal ako pitie vodky a úlohy boli nasledovné: „ten, kto nalieva“, „ten, kto hovorí toast“ a „ten, kto krája klobásu“. V situácii, keď sú 4 a viac zástupcovia každej roly, je to nemožné riešiť hrubou silou. Otázka udržateľného systému je otvorená.
Shapleyho vektor
V chatovej obci sa rozhodli vyasfaltovať cestu. Treba sa načipovať. Ako?
Shapley navrhol riešenie tohto problému v roku 1953. Predpokladajme konfliktnú situáciu so skupinou ľudí N={1,2…n}. Náklady/prínosy je potrebné zdieľať. Predpokladajme, že ľudia spoločne urobili niečo užitočné, predali to a ako si rozdelili zisk?
Shapley navrhol, že pri delení by sme sa mali riadiť tým, koľko by mohli prijať určité podskupiny týchto ľudí. Koľko peňazí by mohli zarobiť všetky neprázdne podskupiny 2N? A na základe týchto informácií Shapley napísal univerzálny vzorec.
Príklad. Sólista, gitarista a bubeník hrajú v podzemnej chodbe v Moskve. Všetci traja zarábajú 1000 XNUMX rubľov za hodinu. Ako to rozdeliť? Možno rovnako.
V(1,2,3)=1000
Predstierajme to
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Spravodlivé rozdelenie nemožno určiť, kým nevieme, aké zisky čakajú danú spoločnosť, ak sa odtrhne a bude konať na vlastnú päsť. A keď sme určili čísla (nastavme kooperatívnu hru do charakteristickej podoby).
Superaditívnosť je, keď spolu zarábajú viac ako samostatne, keď je výhodnejšie spojiť sa, ale nie je jasné, ako si výhru rozdeliť. Mnoho kópií bolo o tom rozbitých.
Existuje hra. Traja podnikatelia naraz našli zálohu v hodnote 1 milión dolárov. Ak sa traja dohodnú, tak ich je milión. Ktorýkoľvek pár môže zabiť (vytiahnuť z prípadu) a získať celý milión pre seba. A nikto nič nedokáže sám. Toto je strašidelná kooperačná hra bez riešenia. Vždy budú dvaja ľudia, ktorí dokážu zlikvidovať tretieho... Teória kooperatívnych hier začína príkladom, ktorý nemá riešenie.
Chceme také riešenie, že žiadna koalícia nebude chcieť spoločné riešenie blokovať. Množina všetkých divízií, ktoré nemožno zablokovať, je jadro. Stáva sa, že jadro je prázdne. Ale aj keď nie je prázdny, ako rozdeliť?
Shapley navrhuje deliť týmto spôsobom. Hoď si mincou s n! hrany. V tomto poradí vypíšeme všetkých hráčov. Povedzme prvý bubeník. Príde a vezme si svojich 100. Potom príde „druhý“, povedzme sólista. (Spolu s bubeníkom môžu zarobiť 450, bubeník už bral 100) Sólista berie 350. Nastupuje gitarista (spolu 1000, -450), berie 550. Posledný často vyhráva. (Supermodularita)
Ak pri všetkých objednávkach vypíšeme:
GSB - (výhra C) - (výhra D) - (výhra B)
SGB - (výhra C) - (výhra D) - (výhra B)
SBG - (výhra C) - (výhra D) - (výhra B)
BSG - (výhra C) - (výhra D) - (výhra B)
BGS - (zisk C) - (zisk D) - (zisk B)
GBS - (výhra C) - (výhra D) - (výhra B)
A pre každý stĺpec sčítame a delíme 6 - spriemerujeme všetky objednávky - toto je Shapleyho vektor.
Shapley dokázal vetu (približne): Existuje trieda hier (supermodulárnych), v ktorej ďalšia osoba, ktorá sa pripojí k veľkému tímu, prináša väčšie víťazstvo. Jadro je vždy neprázdne a je to konvexná kombinácia bodov (v našom prípade 6 bodov). Shapleyho vektor leží v samom strede jadra. Vždy sa to dá ponúknuť ako riešenie, nikto nebude proti.
V roku 1973 sa dokázalo, že problém s chatami je supermodulárny.
Všetci n ľudia zdieľajú cestu k prvej chate. Až do druhého - n-1 ľudí. Atď.
Letisko má pristávaciu dráhu. Rôzne spoločnosti potrebujú rôzne dĺžky. Vzniká rovnaký problém.
Myslím si, že tí, ktorí udelili Nobelovu cenu, mali na zreteli aj túto zásluhu, a nielen úlohu okraja.
Ďakujeme!
Viac
- Kanál „Math - Simple“:
- Kanál „Savvateev bez hraníc“: edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Verejná „Matematika je jednoduchá“:
- Verejný „matematici žartujú“:
- Webstránka, všetky prednášky tam +100 lekcií a viac: savvateev.xyz
Zdroj: hab.com