Leta 2012 sta Nobelovo nagrado za ekonomijo prejela Lloyd Shapley in Alvin Roth. "Za teorijo stabilne distribucije in prakso organiziranja trgov." Aleksej Savvateev je leta 2012 poskušal preprosto in jasno razložiti bistvo zaslug matematikov. Predstavljam vam povzetek .
Danes bo teoretično predavanje. O poskusih , zlasti z donacijo, ne bom povedal.
Ko je bilo objavljeno, da prejel Nobelovo nagrado, je bilo standardno vprašanje: »Kako!? Je še živ!?!?" Njegov najbolj znan rezultat je bil dosežen leta 1953.
Formalno je bil bonus dan za nekaj drugega. Za svoj članek iz leta 1962 o "teoremu stabilnosti zakonske zveze": "Vstop na fakulteto in stabilnost zakonske zveze."
O trajnostnem zakonu
Ujemanje (ujemanje) - naloga iskanja korespondence.
Obstaja določena osamljena vas. Obstajajo »m« mladeniči in »w« dekleta. Moramo jih poročiti drug z drugim. (Ni nujno enako število, morda bo na koncu kdo ostal sam.)
Katere predpostavke je treba upoštevati pri modelu? Da se ni lahko znova naključno poročiti. Dela se določen korak k svobodni izbiri. Recimo, da obstaja moder aksakal, ki se želi ponovno poročiti, da se po njegovi smrti ne bi začele ločitve. (Ločitev je situacija, ko si mož bolj kot ženo želi tretjo osebo za ženo.)
Ta izrek je v duhu sodobne ekonomije. Je izjemno nečloveška. Ekonomija je bila tradicionalno nehumana. V ekonomiji človeka nadomesti stroj, da bi čim bolj povečali dobiček. Kar vam bom povedal, so popolnoma nore stvari z moralnega vidika. Ne jemljite si tega k srcu.
Ekonomisti na zakon gledajo tako.
m1, m2,… mk - moški.
w1, w2,... wL - ženske.
Moški se identificira s tem, kako »naroča« dekletom. Obstaja tudi »ničelna raven«, pod katero ženske sploh ne morejo biti ponujene za žene, tudi če drugih ni.
Vse se dogaja v obe smeri, pri dekletih enako.
Začetni podatki so poljubni. Edina predpostavka/omejitev je, da ne spremenimo svojih preferenc.
Izrek: Ne glede na porazdelitev in ničelno raven vedno obstaja način za vzpostavitev korespondence ena proti ena med nekaterimi moškimi in nekaterimi ženskami, tako da je robustna za vse vrste razhodov (ne samo za ločitve).
Kakšne grožnje bi lahko obstajale?
Obstaja par (m,ž), ki ni poročen. Toda za w je trenutni mož slabši od m, za m pa je trenutna žena slabša od w. To je nevzdržno stanje.
Obstaja tudi možnost, da je bil nekdo poročen z nekom, ki je "pod ničlo", v tem primeru bo tudi zakon razpadel.
Če je ženska poročena, vendar ima raje neporočenega moškega, za katerega je nad ničlo.
Če sta dve osebi neporočeni in sta oba drug za drugega "nad ničlo".
Trdi se, da za vse začetne podatke obstaja tak zakonski sistem, odporen na vse vrste groženj. Drugič, algoritem za iskanje takšnega ravnovesja je zelo preprost. Primerjajmo z M*N.
Ta model je bil posplošen in razširjen na "poligamijo" ter uporabljen na številnih področjih.
Gale-Shapleyjev postopek
Če bodo vsi moški in vse ženske sledili »receptom«, bo nastali zakonski sistem vzdržen.
Recepti.
Po potrebi si vzamemo nekaj dni. Vsak dan razdelimo na dva dela (zjutraj in zvečer).
Prvo jutro gre vsak moški k svoji najboljši ženi in potrka na okno, da bi se poročila z njim.
Zvečer istega dne pridejo na vrsto ženske Kaj lahko ženska odkrije? Da je bila pod njenim oknom gneča, ali en ali noben moški. Tisti, ki danes nimajo nikogar, preskočijo svojo vrsto in čakajo. Ostali, ki imajo vsaj enega, preverjajo moške, ki pridejo, da so »nad ničlo«. Da bi imel vsaj enega. Če imaš čisto smolo in je vse pod ničlo, potem je treba vse poslati. Žena izbere največjega od tistih, ki so prišli, mu reče, naj počaka, in pošlje ostale.
Pred drugim dnem je situacija taka: nekatere ženske imajo enega moškega, druge nobenega.
Drugi dan morajo vsi "prosti" (poslani) moški iti k drugi prednostni ženski. Če take osebe ni, je moški razglašen za samskega. Tisti moški, ki že sedijo z ženskami, še nič ne naredijo.
Zvečer si ženske ogledajo situacijo. Če se je nekdo, ki je že sedel, pridružil z višjo prioriteto, je nižja prioriteta poslana stran. Če so tisti, ki pridejo, nižji od tistega, kar je že na voljo, so vsi poslani stran. Ženske vsakič izberejo največji element.
Ponavljamo.
Posledično je vsak moški pregledal celoten seznam svojih žensk in ostal sam ali zaročen z neko žensko. Potem se bomo vsi poročili.
Ali je mogoče voditi ves ta proces, a da ženske tečejo k moškim? Postopek je simetričen, vendar je rešitev lahko drugačna. Toda vprašanje je, kdo je od tega boljši?
Izrek. Upoštevajmo ne le ti dve simetrični rešitvi, ampak nabor vseh stabilnih zakonskih sistemov. Izvirni predlagani mehanizem (moški tečejo in ženske sprejmejo/zavrnejo) ima za posledico zakonski sistem, ki je za vsakega moškega boljši od katerega koli drugega in slabši od katerega koli drugega za katero koli žensko.
Istospolna poroka
Razmislite o situaciji z "istospolno zakonsko zvezo". Oglejmo si matematični rezultat, ki dvomi o potrebi po njihovi legalizaciji. Ideološko nekorekten primer.
Razmislite o štirih homoseksualcih a, b, c, d.
prioritete za a: bcd
prioritete za b:cad
prioritete za c: abd
za d ni vseeno, kako razvrsti preostale tri.
Izjava: V tem sistemu ni vzdržnega zakonskega sistema.
Koliko sistemov je za štiri osebe? tri. ab cd, ac bd, ad bc. Pari bodo razpadli in proces bo šel v ciklih.
"Trispolni" sistemi.
To je najpomembnejše vprašanje, ki odpira celotno področje matematike. To je naredil moj moskovski kolega Vladimir Ivanovič Danilov. Na »poroko« je gledal kot na pitje vodke, vloge pa so bile naslednje: »tisti, ki toči«, »tisti, ki govori toast« in »tisti, ki reže klobaso«. V situaciji, ko obstajajo 4 ali več predstavnikov vsake vloge, je nemogoče rešiti s surovo silo. Vprašanje trajnostnega sistema je odprto.
Shapleyjev vektor
V vikend naselju so se odločili asfaltirati cesto. Treba je vložiti. kako
Shapley je leta 1953 predlagal rešitev tega problema. Predpostavimo situacijo konflikta s skupino ljudi N={1,2…n}. Stroške/koristi je treba deliti. Denimo, da so ljudje skupaj naredili nekaj koristnega, to prodali in kako razdeliti dobiček?
Shapley je predlagal, da se pri delitvi ravnamo po tem, koliko lahko prejmejo določene podskupine teh ljudi. Koliko denarja bi lahko zaslužile vse 2N nepraznih podmnožic? In na podlagi teh informacij je Shapley napisal univerzalno formulo.
Primer. Solist, kitarist in bobnar igrajo v podzemnem prehodu v Moskvi. Vsi trije zaslužijo 1000 rubljev na uro. Kako ga razdeliti? Po možnosti enako.
V(1,2,3)=1000
Pretvarjajmo se
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Pravične delitve ni mogoče določiti, dokler ne vemo, kakšne koristi čakajo dano podjetje, če se odcepi in deluje samostojno. In ko smo določili številke (zastavimo sodelovalno igro v značilni obliki).
Superaditivnost je, ko skupaj zaslužijo več kot ločeno, ko se je bolj donosno združiti, vendar ni jasno, kako razdeliti dobitek. O tem je bilo pokvarjenih veliko kopij.
Obstaja igra. Trije poslovneži so hkrati našli depozit v vrednosti milijon dolarjev. Če se ti trije strinjajo, potem jih je milijon. Vsak par lahko ubije (odstrani iz ohišja) in dobi cel milijon zase. In nihče ne more ničesar narediti sam. To je strašljiva sodelovalna igra brez rešitve. Vedno bosta dva človeka, ki bosta lahko odpravila tretjega... Teorija kooperativnih iger se začne s primerom, ki nima rešitve.
Želimo takšno rešitev, da nobena koalicija ne bo hotela blokirati skupne rešitve. Niz vseh razdelkov, ki jih ni mogoče blokirati, je jedro. Zgodi se, da je jedro prazno. Toda tudi če ni prazen, kako razdeliti?
Shapley predlaga razdelitev na ta način. Vrzi kovanec z n! robovi. Izpišemo vse igralce v tem vrstnem redu. Recimo prvi bobnar. Pride in vzame svojih 100. Potem pride »drugi«, recimo solist. (skupaj z bobnarjem lahko zaslužita 450, bobnar je že vzel 100) Solist vzame 350. Vstopi kitarist (skupaj 1000, -450), vzame 550. Zadnji v precej pogosto zmaga. (Supermodularnost)
Če za vsa naročila izpišemo:
GSB - (zmaga C) - (zmaga D) - (zmaga B)
SGB - (zmaga C) - (zmaga D) - (zmaga B)
SBG - (zmaga C) - (zmaga D) - (zmaga B)
BSG - (zmaga C) - (zmaga D) - (zmaga B)
BGS - (ojačanje C) - (ojačanje D) - (ojačanje B)
GBS - (zmaga C) - (zmaga D) - (zmaga B)
In za vsak stolpec seštejemo in delimo s 6 - povprečje vseh naročil - to je Shapleyev vektor.
Shapley je dokazal izrek (približno): Obstaja razred iger (supermodularnih), v katerih naslednja oseba, ki se pridruži veliki ekipi, ji prinese večjo zmago. Jedro je vedno neprazno in je konveksna kombinacija točk (v našem primeru 6 točk). Shapleyev vektor leži v samem središču jedra. Vedno se lahko ponudi kot rešitev, nihče ne bo proti.
Leta 1973 je bilo dokazano, da je problem hišic supermodularnost.
Vseh n oseb si deli cesto do prve koče. Do drugega - n-1 ljudi. itd.
Letališče ima vzletno-pristajalno stezo. Različna podjetja potrebujejo različne dolžine. Pojavi se ista težava.
Mislim, da so tisti, ki so podelili Nobelovo nagrado, imeli v mislih to zaslugo, ne le nalogo marže.
Hvala!
Ещё
- Kanal "Matematika - preprosto":
- Kanal "Savvateev brez meja": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Javno »Matematika je preprosta«:
- Javna "matematična šala":
- Spletna stran, vsa predavanja tam +100 lekcij in več: savvateev.xyz
Vir: www.habr.com