Демистификација принципа квантног рачунарства

"Мислим да могу са сигурношћу рећи да нико не разуме квантну механику." - Рицхард Феинман

Тема квантног рачунарства одувек је фасцинирала писце и новинаре о технологији. Његов рачунски потенцијал и сложеност дали су му извесну мистичну ауру. Исувише често, чланци и инфографике детаљно описују различите изгледе ове индустрије, док се једва дотичу њене практичне примене: то може довести у заблуду мање пажљивог читаоца.

Популарни научни чланци изостављају описе квантних система и дају изјаве попут:

Регуларни бит може бити 1 или 0, али кубит може бити 1 и 0 у исто време.

Ако будете имали среће (у шта нисам сигуран), биће вам речено да:

Кубит је у суперпозицији између "1" и "0".

Ниједно од ових објашњења не изгледа уверљиво, пошто покушавамо да формулишемо квантномеханички феномен користећи језик развијен у веома традиционалном свету. Да би се јасно објаснили принципи квантног рачунарства, потребно је користити још један језик – математички. 

У овом туторијалу ћу покрити математичке алате потребне за моделирање и разумевање система квантног рачунарства, као и како да илуструјем и применим логику квантног рачунарства. Штавише, даћу пример квантног алгоритма и рећи вам у чему је његова предност у односу на традиционални рачунар.

Потрудићу се да све ово објасним јасним језиком, али се ипак надам да читаоци овог чланка имају основно разумевање линеарне алгебре и дигиталне логике (линеарна алгебра је покривена овде, о дигиталној логици - овде). 

Прво, хајде да пређемо на принципе дигиталне логике. Заснован је на употреби електричних кола за извођење прорачуна. Да бисмо наш опис учинили апстрактнијим, поједноставимо стање електричне жице на „1” или „0”, што ће одговарати стањима „укључено” или „искључено”. Распоређивањем транзистора у одређеном низу, креираћемо такозване логичке елементе који узимају једну или више вредности улазног сигнала и претварају их у излазни сигнал на основу одређених правила Булове логике.

Заједничке логичке капије и њихове табеле стања

На основу ланаца таквих основних елемената могу се креирати сложенији елементи, а на основу ланаца сложенијих елемената можемо у крајњој линији, уз велики степен апстракције, очекивати да добијемо аналог централног процесора.

Као што сам раније поменуо, потребан нам је начин да математички представимо дигиталну логику. Прво, хајде да уведемо математичку традиционалну логику. Користећи линеарну алгебру, класични битови са вредностима "1" и "0" могу се представити као два вектора колоне:

где су бројеви са леве стране Дирацова нотација вектор. Представљајући наше битове на овај начин, можемо моделирати логичке операције над битовима користећи векторске трансформације. Имајте на уму: иако коришћење два бита у логичким капијама може да изврши много операција (И, НЕ, КСОР, итд.), када се користи један бит, могу се извршити само четири операције: конверзија идентитета, негација, израчунавање константе „0“ и израчунавање константе “1”. Код конверзије идентитета, бит остаје непромењен, са негацијом, вредност бита се мења у супротну (од „0” у „1” или са „1” на „0”), а израчунавање константе „1” или “0” поставља бит на “1” или “0” без обзира на његову претходну вредност.

Идентитет	Трансформација идентитета
Негација	Дениал
Константа-0	Израчунавање константе "0"
Константа-1	Израчунавање константе "1"

На основу нашег предложеног новог представљања бита, прилично је лако извршити операције на одговарајућем биту користећи векторску трансформацију:

Пре него што кренемо даље, погледајмо концепт реверзибилни прорачуни, што једноставно имплицира да је за обезбеђивање реверзибилности неке операције или логичког елемента потребно одредити листу вредности улазног сигнала на основу излазних сигнала и назива коришћених операција. Дакле, можемо закључити да су трансформација и негација идентитета реверзибилне, али операције за израчунавање константи „1“ и „0“ нису. Захваљујући унитарност квантна механика, квантни рачунари користе искључиво реверзибилне операције, па ћемо се на то фокусирати. Затим претварамо иреверзибилне елементе у реверзибилне елементе да бисмо омогућили да их квантни рачунар користи.

Са тензорски производ појединачни битови могу бити представљени са много битова:

Сада када имамо скоро све потребне математичке концепте, пређимо на нашу прву квантну логичку капију. Ово је оператер ЦНОТ, или контролисано Не (НОТ), што је од великог значаја у реверзибилном и квантном рачунарству. ЦНОТ елемент се примењује на два бита и враћа два бита. Први бит је означен као „контролни“, а други као „контролни“ бит. Ако је контролни бит постављен на "1", контролни бит мења своју вредност; Ако је контролни бит постављен на "0", контролни бит се не мења.

Овај оператор се може представити као следећи вектор трансформације:

Да демонстрирам све што смо до сада покрили, показаћу вам како да користите ЦНОТ елемент на више битова:

Да резимирамо оно што је већ речено: у првом примеру декомпонујемо |10⟩ на делове његовог тензорског производа и користимо ЦНОТ матрицу да добијемо ново одговарајуће стање производа; онда га чинимо на |11⟩ према табели ЦНОТ вредности датој раније.

Дакле, запамтили смо сва математичка правила која ће нам помоћи да разумемо традиционално рачунарство и обичне битове и коначно можемо да пређемо на савремено квантно рачунање и кубите.

Ако сте читали до сада, онда имам добре вести за вас: кубити се могу лако математички изразити. Генерално, ако се класични бит (цбит) може подесити на |1⟩ или |0⟩, кубит је једноставно у суперпозицији и може бити и |0⟩ и |1⟩ пре мерења. Након мерења, слаже се у |0⟩ или |1⟩. Другим речима, кубит се може представити као линеарна комбинација |0⟩ и |1⟩ према формули испод:

где a₀ и а₁ представљају, респективно, амплитуде |0⟩ и |1⟩. Ово се може сматрати "квантним вероватноћама", које представљају вероватноћу колапса кубита у једно од стања након што се измери, пошто се у квантној механици објекат у суперпозицији колабира у једно од стања након што је фиксиран. Хајде да проширимо овај израз и добијемо следеће:

Да поједноставим своје објашњење, ово је приказ који ћу користити у овом чланку.

За овај кубит, шанса да се сруши на вредност a₀ након мерења је једнако |a₀|², и могућност пада на вредност a₁ је једнако |a₁|². На пример, за следећи кубит:

шанса за колапс у „1” је једнака |1/ √2|², или ½, односно 50/50.

Пошто у класичном систему све вероватноће морају бити сабране до један (за потпуну дистрибуцију вероватноћа), можемо закључити да квадрати апсолутних вредности амплитуда |0⟩ и |1⟩ морају да буду један. На основу ових информација можемо формулисати следећу једначину:

Ако сте упознати са тригонометријом, приметићете да ова једначина одговара Питагориној теореми (а²+б²=ц²), односно можемо графички представити могућа стања кубита као тачке на јединичном кругу, и то:

Логички оператори и елементи се примењују на кубите на исти начин као у ситуацији са класичним битовима – на основу матричне трансформације. Сви инвертибилни матрични оператори које смо до сада подсетили, посебно ЦНОТ, могу се користити за рад са кубитима. Такви матрични оператори вам омогућавају да користите сваку од амплитуда кубита без мерења и колапса. Дозволите ми да вам дам пример коришћења оператора негације на кубиту:

Пре него што наставимо, да вас подсетим да су вредности амплитуде a₀ и a₁ су заправо комплексни бројеви, тако да се стање кубита може најтачније пресликати на тродимензионалну јединичну сферу, такође познату као Бува сфера:

Међутим, да бисмо поједноставили објашњење, овде ћемо се ограничити на реалне бројеве.

Чини се да је време да се разговара о неким логичким елементима који имају смисла искључиво у контексту квантног рачунарства.

Један од најважнијих оператора је „Хадамардов елемент“: узима мало у стање „0“ или „1“ и ставља га у одговарајућу суперпозицију са 50% шансе да се сруши у „1“ или „0“ после мерења. 

Приметите да постоји негативан број у доњој десној страни Адамардовог оператора. Ово је због чињенице да резултат примене оператора зависи од вредности улазног сигнала: - |1⟩ или |0⟩, те је стога прорачун реверзибилан.

Још једна важна тачка у вези са Адамаровим елементом је његова реверзибилност, што значи да може узети кубит у одговарајућој суперпозицији и трансформисати га у |0⟩ или |1⟩.

Ово је веома важно јер нам даје могућност да се трансформишемо из квантног стања без одређивања стања кубита - и, сходно томе, без његовог колапса. Према томе, можемо структурирати квантно рачунарство засновано на детерминистичком, а не на вјероватном принципу.

Квантни оператори који садрже само реалне бројеве су њихова сопствена супротност, тако да можемо представити резултат примене оператора на кубит као трансформацију унутар јединичног круга у облику аутомата стања:

Дакле, кубит, чије је стање приказано на дијаграму изнад, након примене Адамардове операције, трансформише се у стање означено одговарајућом стрелицом. Слично томе, можемо конструисати другу државну машину која ће илустровати трансформацију кубита користећи оператор негације као што је приказано горе (познато и као Паулијев оператор негације, или инверзија бита), као што је приказано у наставку:

Да бисмо извршили сложеније операције на нашем кубиту, можемо уланчати више оператора или применити елементе више пута. Пример серијске трансформације на основу представе квантних кола изгледа овако:

То јест, ако почнемо са битом |0⟩, применимо инверзију бита, а затим Адамардову операцију, затим још једну инверзију бита, и опет Адамардову операцију, након чега следи коначна инверзија бита, завршићемо са вектором датим од десну страну ланца. Постављањем различитих државних машина једну на другу, можемо почети од |0⟩ и пратити обојене стрелице које одговарају свакој трансформацији да бисмо разумели како све то функционише.

Пошто смо дошли довде, време је да размотримо једну од врста квантних алгоритама, наиме - Алгоритам Деутсцх-Јозса, и показати његову предност у односу на класични рачунар. Вреди напоменути да је Деутсцх-Јозса алгоритам потпуно детерминистички, односно враћа тачан одговор 100% времена (за разлику од многих других квантних алгоритама заснованих на пробабилистичкој дефиницији кубита).

Замислимо да имате црну кутију која садржи функцију/оператер на једном биту (запамтите – са једним битом се могу извршити само четири операције: конверзија идентитета, негација, евалуација константе „0” и евалуација константе „1 "). Која се тачно функција обавља у кутији? Не знате који, али можете проћи кроз онолико варијанти улазних вредности колико желите и проценити излазне резултате.

Колико улаза и излаза бисте морали да прођете кроз црну кутију да бисте открили која функција се користи? Размислите о овоме на тренутак.

У случају класичног рачунара, мораћете да направите 2 упита да бисте одредили функцију коју ћете користити. На пример, ако улаз "1" производи излаз "0", постаје јасно да се користи или функција израчунавања константе "0" или функција негације, након чега ћете морати да промените вредност улазног сигнала на "0" и погледајте шта се дешава на излазу.

У случају квантног рачунара, биће потребна и два упита, јер су вам и даље потребне две различите излазне вредности да бисте прецизно дефинисали функцију која ће се применити на улазну вредност. Међутим, ако мало преформулишете питање, испоставиће се да квантни рачунари и даље имају озбиљну предност: ако желите да знате да ли је функција која се користи константна или променљива, предност би имали квантни рачунари.

Функција која се користи у оквиру је променљива ако различите вредности улазног сигнала дају различите резултате на излазу (на пример, конверзија идентитета и инверзија бита), и ако се излазна вредност не мења без обзира на улазну вредност, онда функција је константна (на пример, израчунавање константе "1" или израчунавање константе "0").

Користећи квантни алгоритам, можете одредити да ли је функција у црној кутији константна или променљива на основу само једног упита. Али пре него што погледамо како то да урадимо детаљно, морамо пронаћи начин да структурирамо сваку од ових функција на квантном рачунару. Пошто било који квантни оператор мора бити инвертибилан, одмах се суочавамо са проблемом: функције за израчунавање константи „1“ и „0“ нису.

Уобичајено решење које се користи у квантном рачунарству је додавање додатног излазног кубита који враћа било коју улазну вредност коју функција прими. 

Пре него што:	После:

На овај начин можемо одредити улазне вредности искључиво на основу излазне вредности, а функција постаје инвертибилна. Структура квантних кола ствара потребу за додатним улазним битом. Ради развоја одговарајућих оператора, претпоставићемо да је додатни улазни кубит постављен на |0⟩.

Користећи исту репрезентацију квантног кола коју смо раније користили, да видимо како се сваки од четири елемента (трансформација идентитета, негација, евалуација константе „0“ и евалуација константе „1“) може имплементирати помоћу квантних оператора. 

На пример, овако можете имплементирати функцију за израчунавање константе „0“:

Израчунавање константе "0":

Овде нам оператери уопште нису потребни. Први улазни кубит (за који смо претпоставили да је |0⟩) враћа се са истом вредношћу, а друга улазна вредност се враћа сама - као и обично.

Са функцијом за израчунавање константе "1" ситуација је мало другачија:

Израчунавање константе "1":

Пошто смо претпоставили да је први улазни кубит увек постављен на |0⟩, резултат примене оператора инверзије бита је да он увек производи један на излазу. И као и обично, други кубит даје сопствену вредност на излазу.

Када се мапира оператор трансформације идентитета, задатак почиње да постаје компликованији. Ево како да то урадите:

Идентична трансформација:

Симбол који се овде користи означава ЦНОТ елемент: горња линија означава контролни бит, а доња линија означава контролни бит. Дозволите ми да вас подсетим да када се користи ЦНОТ оператор, вредност контролног бита се мења ако је контролни бит једнак |1⟩, али остаје непромењена ако је контролни бит једнак |0⟩. Пошто смо претпоставили да је вредност горње линије увек једнака |0⟩, њена вредност се увек додељује доњој линији.

На сличан начин настављамо са оператором негације:

Негација:

Једноставно инвертујемо бит на крају излазне линије.

Сада када смо добили то прелиминарно разумевање са пута, хајде да погледамо специфичне предности квантног рачунара у односу на традиционални рачунар када је у питању одређивање константности или варијабилности функције скривене у црној кутији користећи само један упит.

Да бисте решили овај проблем коришћењем квантног рачунарства у једном захтеву, потребно је ставити улазне кубите у суперпозицију пре него што их проследите функцији, као што је приказано у наставку:

Адамаров елемент се поново примењује на резултат функције да би се кубити разбили из суперпозиције и алгоритам учинио детерминистичким. Покрећемо систем у стању |00⟩ и, из разлога које ћу ускоро објаснити, добијамо резултат |11⟩ ако је примењена функција константна. Ако је функција унутар црне кутије променљива, онда након мерења систем враћа резултат |01⟩.

Да бисмо разумели остатак чланка, погледајмо илустрацију коју сам раније показао:

Коришћењем оператора инверзије бита и затим применом Адамардовог елемента на обе улазне вредности једнаке |0⟩, обезбеђујемо да се оне преведу у исту суперпозицију |0⟩ и |1⟩, на следећи начин:

Користећи пример прослеђивања ове вредности функцији црне кутије, лако је показати да обе функције константне вредности излазе |11⟩.

Израчунавање константе "0":

Слично томе, видимо да функција за израчунавање константе „1” такође производи |11⟩ као излаз, односно:

Израчунавање константе "1":

Имајте на уму да ће излаз бити |1⟩, пошто је -1² = 1.

По истом принципу можемо доказати да када користимо обе променљиве функције, увек ћемо на излазу добити |01⟩ (под условом да користимо исти метод), иако је све мало компликованије.

Идентична трансформација:

Пошто је ЦНОТ оператор са два кубита, он се не може представити као једноставна машина стања, па је стога неопходно дефинисати два излазна сигнала на основу тензорског производа оба улазна кубита и множења са ЦНОТ матрицом као што је раније описано:

Овим методом такође можемо потврдити да је излазна вредност |01⟩ примљена ако је функција негације скривена у црној кутији:

Негација:

Дакле, управо смо показали ситуацију у којој је квантни рачунар очигледно ефикаснији од конвенционалног рачунара.

Шта је следеће?

Предлажем да завршимо овде. Већ смо урадили одличан посао. Ако сте разумели све што сам покрио, мислим да сада добро разумете основе квантног рачунарства и квантне логике, и зашто квантни алгоритми могу бити ефикаснији од традиционалног рачунарства у одређеним ситуацијама.

Мој опис се тешко може назвати потпуним водичем за квантно рачунарство и алгоритме – радије, то је кратак увод у математику и нотацију, осмишљен да распрши идеје читалаца о теми коју намећу популарни научни извори (озбиљно, многи заиста не могу да разумеју Ситуација!). Нисам стигао да се дотакнем многих важних тема, као нпр квантно преплитање кубита, сложеност вредности амплитуде |0⟩ и |1⟩ и функционисање различитих квантних логичких елемената током трансформације Блоховом сфером.

Ако желите да систематизујете и структурирате своје знање о квантним рачунарима, снажно Препоручујем вам да прочитате „Увод у квантне алгоритме“ Ема Штрубел: упркос обиљу математичких формула, ова књига говори о квантним алгоритмима много детаљније.

Извор: ввв.хабр.цом