Године 2012. Нобелову награду за економију добили су Лојд Шепли и Алвин Рот. „За теорију стабилне дистрибуције и праксу организовања тржишта. Алексеј Савватеев је 2012. године покушао да једноставно и јасно објасни суштину заслуга математичара. Представљам вашој пажњи сажетак .
Данас ће бити одржано теоријско предавање. О експериментима , посебно са донацијама, нећу рећи.
Када је то објављено добио Нобелову награду, било је стандардно питање: „Како!? Да ли је још жив!?!?" Његов најпознатији резултат је постигнут 1953. године.
Формално, бонус је дат за нешто друго. За његов рад из 1962. о „теореми стабилности брака“: „Пријем на факултет и стабилност брака“.
О одрживом браку
Одговарајући (подударање) - задатак проналажења кореспонденције.
Постоји извесно изоловано село. Има „м“ младића и „в“ девојака. Морамо их удати једно за друго. (Не нужно исти број, можда ће на крају неко остати сам.)
Које претпоставке треба направити у моделу? Да није лако насумично се поново венчати. Прави се одређени корак ка слободном избору. Рецимо да постоји мудар аксакал који жели да се поново ожени да после његове смрти не почну разводи. (Развод је ситуација када муж жели жену треће стране за жену више него своју жену.)
Ова теорема је у духу модерне економије. Она је изузетно нељудска. Економија је традиционално била нехумана. У економији, човека замени машина да би максимизирао профит. Оно што ћу вам рећи су апсолутно луде ствари са моралне тачке гледишта. Не узимај то к срцу.
Економисти на овај начин гледају на брак.
м1, м2,… мк - мушкарци.
в1, в2,... вЛ - жене.
Мушкарац се идентификује са начином на који „наређује“ девојке. Постоји и „нулти ниво“, испод којег се жене уопште не могу нудити за жене, чак и ако нема других.
Све се дешава у оба смера, исто за девојке.
Почетни подаци су произвољни. Једина претпоставка/ограничење је да не мењамо своје преференције.
теорема: Без обзира на расподелу и ниво нуле, увек постоји начин да се успостави кореспонденција један-на-један између неких мушкараца и неких жена, тако да она буде отпорна на све врсте подела (не само на разводе).
Какве претње могу постојати?
Постоји пар (м,в) који није у браку. Али за в је садашњи муж гори од м, а за м је садашња жена гора од в. Ово је неодржива ситуација.
Постоји и опција да је неко био у браку са неким ко је „испод нуле“; у овој ситуацији ће се и брак распасти.
Ако је жена удата, али више воли неожењеног мушкарца, за кога је изнад нуле.
Ако су две особе обоје неожењене, а обоје су једно за друго „изнад нуле“.
Тврди се да за све почетне податке постоји такав систем брака, отпоран на све врсте претњи. Друго, алгоритам за проналажење такве равнотеже је врло једноставан. Хајде да упоредимо са М*Н.
Овај модел је генерализован и проширен на „полигамију“ и примењен у многим областима.
Гале-Схаплеи поступак
Ако сви мушкарци и све жене поштују „рецепте“, резултирајући систем брака ће бити одржив.
Пресцриптионс.
Узимамо неколико дана по потреби. Сваки дан делимо на два дела (јутро и вече).
Првог јутра сваки мушкарац одлази својој куми и куца на прозор тражећи од ње да се уда за њега.
Увече истог дана, ред прелази на жене Шта жена може открити? Да је под њеним прозором била гомила, било један или ниједан мушкарац. Они који данас немају никога, прескачу свој ред и чекају. Остали, који имају бар једног, проверавају мушкарце који дођу да виде да су „изнад нивоа нуле“. Да имам бар једну. Ако сте потпуно несрећни и све је испод нуле, онда све треба послати. Жена бира највећег од оних који су дошли, каже му да чека, а остале шаље.
Пре другог дана ситуација је следећа: неке жене имају једног мушкарца, неке немају.
Другог дана, сви „слободни“ (послани) мушкарци треба да оду код жене другог приоритета. Ако таква особа нема, онда се мушкарац проглашава самцем. Они мушкарци који већ седе са женама још ништа не раде.
Увече жене сагледавају ситуацију. Ако се некоме ко је већ седео придружио већи приоритет, онда се одбацује нижи приоритет. Ако су они који долазе нижи од онога што је већ доступно, сви се испраћају. Жене сваки пут бирају максималан елемент.
Понављамо.
Као резултат тога, сваки мушкарац је прошао кроз читав списак својих жена и био је или остављен сам или верен са неком женом. Онда ћемо се сви венчати.
Да ли је могуће водити цео овај процес, али да жене трче мушкарцима? Поступак је симетричан, али решење може бити другачије. Али питање је, коме је боље од овога?
Теорема. Размотримо не само ова два симетрична решења, већ скуп свих стабилних брачних система. Првобитни предложени механизам (мушкарци трче, а жене прихватају/одбијају) резултира брачним системом који је бољи за сваког мушкарца од било ког другог и гори од било којег другог за било коју жену.
Истосполни бракови
Размотрите ситуацију са „истополним браковима“. Хајде да размотримо математички резултат који доводи у сумњу потребу да се они легализују. Идеолошки нетачан пример.
Размотримо четири хомосексуалца а, б, ц, д.
приоритети за: бцд
приоритети за б:цад
приоритети за в: абд
за д није важно како он рангира преосталу тројицу.
Изјава: У овом систему не постоји систем одрживог брака.
Колико система постоји за четири особе? Три. аб цд, ац бд, ад бц. Парови ће се распасти и процес ће ићи у циклусима.
„Трородни” системи.
Ово је најважније питање које отвара читаво поље математике. То је урадио мој колега у Москви Владимир Иванович Данилов. На „брак“ је гледао као на испијање вотке, а улоге су биле следеће: „онај који точи“, „онај који говори тост“ и „онај који сече кобасицу“. У ситуацији када има 4 или више представника сваке улоге, немогуће је решити грубом силом. Питање одрживог система је отворено.
Шеплијев вектор
У викенд насељу су одлучили да асфалтирају пут. Треба убацити. Како?
Шепли је предложио решење за овај проблем 1953. године. Претпоставимо ситуацију сукоба са групом људи Н={1,2…н}. Трошкови/користи морају бити подељени. Претпоставимо да су људи заједно урадили нешто корисно, продали и како поделити зараду?
Шепли је сугерисао да приликом поделе треба да се водимо тиме колико би одређени подскупови ових људи могли да добију. Колико новца могу да зараде сви 2Н непразни подскупови? И на основу ових информација, Шепли је написао универзалну формулу.
Пример. Солиста, гитариста и бубњар свирају у подземном пролазу у Москви. Њих тројица зарађују 1000 рубаља на сат. Како то поделити? Могуће подједнако.
В(1,2,3)=1000
Хајде да се претварамо
В(1,2)=600
В(1,3)=450
В(2,3)=400
В(1)=300
В(2)=200
В(3)=100
Праведна подела се не може утврдити док не знамо који добици чекају дату компанију ако се отцепи и делује самостално. И када смо одредили бројеве (задружну игру поставили у карактеристичан облик).
Суперадитивност је када заједно зарађују више него одвојено, када је исплативије удружити се, али није јасно како поделити добитак. Многе копије су разбијене о овоме.
Постоји игра. Три бизнисмена су истовремено нашла депозит у вредности од милион долара. Ако се њих тројица слажу, онда их је милион. Сваки пар може да убије (уклони из случаја) и добије цео милион за себе. И нико ништа не може сам. Ово је застрашујућа заједничка игра без решења. Увек ће бити двоје људи који могу да елиминишу трећег... Кооперативна теорија игара почиње примером који нема решење.
Желимо такво решење да ниједна коалиција неће желети да блокира заједничко решење. Скуп свих подела који се не могу блокирати је језгро. Дешава се да је језгро празно. Али чак и ако није празан, како поделити?
Шепли предлаже поделу на овај начин. Баци новчић са н! ивице. Овим редоследом исписујемо све играче. Рецимо први бубњар. Улази и узима својих 100. Онда долази „други“, рецимо солиста. (Заједно са бубњаром могу да зараде 450, бубњар је већ узео 100) Солиста узима 350. Гитариста улази (заједно 1000, -450), узима 550. Последњи често побеђује. (супермодуларност)
Ако напишемо за све наруџбине:
ГСБ - (победа Ц) - (победа Д) - (победа Б)
СГБ - (победа Ц) - (победа Д) - (победа Б)
СБГ - (победа Ц) - (победа Д) - (победа Б)
БСГ - (победа Ц) - (победа Д) - (победа Б)
БГС - (појачање Ц) - (појачање Д) - (појачање Б)
ГБС - (победа Ц) - (победа Д) - (победа Б)
И за сваку колону додајемо и делимо са 6 - у просеку по свим налозима - ово је Шеплијев вектор.
Шепли је доказао теорему (приближно): Постоји класа игара (супермодуларна), у којој следећа особа која се придружи великом тиму доноси већу победу. Кернел је увек непразан и представља конвексну комбинацију тачака (у нашем случају 6 тачака). Шеплијев вектор лежи у самом центру језгра. Увек се може понудити као решење, нико неће бити против.
1973. године доказано је да је проблем са викендицама супермодуларан.
Сви н људи деле пут до прве викендице. До другог - н-1 људи. итд.
Аеродром има писту. Различите компаније требају различите дужине. Исти проблем се јавља.
Мислим да су они који су доделили Нобелову награду имали на уму ову заслугу, а не само задатак маргине.
Хвала!
Више
- Канал „Математика - једноставно”:
- Канал „Савватеев без граница“: едусек.ру, браинсек.ру, студфуцк.ру
- Јавно „Математика је једноставна“:
- Јавна „Математичарска шала“:
- Сајт, сва предавања тамо +100 лекција и више: савватеев.киз
Извор: ввв.хабр.цом