"Ако прочитате натпис "бивол" на кавезу слона, не верујте својим очима." Козма Прутков

У претходном чланак о дизајну заснованом на моделу показано је зашто је потребан објектни модел и доказано да се без овог објектног модела може говорити само о моделском дизајну као о маркетиншкој мећави, бесмисленој и немилосрдној. Али када се појави модел објекта, компетентни инжењери увек имају разумно питање: који су докази да математички модел објекта одговара стварном објекту.

Један пример одговора на ово питање дат је у чланак о дизајну електричних погона на основу модела. У овом чланку ћемо погледати пример креирања модела система за климатизацију авиона, разводњавајући праксу неким теоријским разматрањима опште природе.

Израда поузданог модела објекта. Тхеори

Да не би одлагао, одмах ћу вам рећи о алгоритму за креирање модела за дизајн заснован на моделу. Потребна су само три једноставна корака:

Корак КСНУМКС. Развити систем алгебарско-диференцијалних једначина које описују динамичко понашање моделованог система. Једноставно је ако знате физику процеса. Многи научници су нам већ развили основне физичке законе назване по Њутну, Бренулу, Навијеу Стоусу и другим Стенгеловима, Компасима и Рабиновичу.

Корак КСНУМКС. Изаберите у резултујућем систему скуп емпиријских коефицијената и карактеристика објекта моделирања који се могу добити из тестова.

Корак КСНУМКС. Тестирајте објекат и прилагодите модел на основу резултата експеримената у пуној величини, тако да одговара стварности, са потребним степеном детаља.

Као што видите, једноставно је, само два три.

Пример практичне имплементације

Систем климатизације (АЦС) у авиону је повезан са системом за аутоматско одржавање притиска. Притисак у авиону увек мора бити већи од спољашњег притиска, а брзина промене притиска мора бити таква да пилоти и путници не крваре из носа и ушију. Због тога је систем контроле улаза и излаза ваздуха важан за безбедност, а за његов развој се постављају скупи системи за тестирање. Они стварају температуре и притиске на висини лета и репродукују услове полетања и слетања на аеродромима различитих висина. А питање развоја и отклањања грешака контролних система за СЦВ расте до свог пуног потенцијала. Колико дуго ћемо водити испитни сто да бисмо добили задовољавајући систем контроле? Очигледно, ако на моделу објекта поставимо контролни модел, онда се циклус рада на испитном столу може значајно смањити.

Систем климатизације у авиону се састоји од истих измењивача топлоте као и сваки други топлотни систем. Батерија је и у Африци батерија, само клима уређај. Али због ограничења тежине и димензија авиона, измењивачи топлоте су направљени што је могуће компактније и што ефикасније како би пренели што више топлоте са мање масе. Као резултат, геометрија постаје прилично бизарна. Као и у предмету који се разматра. На слици 1 приказан је плочасти измењивач топлоте у коме се између плоча користи мембрана за побољшање преноса топлоте. Топла и хладна расхладна течност се смењују у каналима, а смер струјања је попречан. Једна расхладна течност се испоручује на предњи рез, друга - на страну.

Да бисмо решили проблем контроле СЦР-а, потребно је да знамо колико топлоте се преноси са једног медијума на други у таквом измењивачу топлоте у јединици времена. Од тога зависи брзина промене температуре коју ми регулишемо.

Слика 1. Шема измењивача топлоте авиона.

Проблеми моделирања. Хидраулични део

На први поглед задатак је прилично једноставан, потребно је израчунати проток масе кроз канале измењивача топлоте и проток топлоте између канала.
Масени проток расхладне течности у каналима се израчунава помоћу Бернулијеве формуле:

где је:
ΔП – разлика притиска између две тачке;
ξ – коефицијент трења расхладне течности;
Л – дужина канала;
д – хидраулички пречник канала;
ρ – густина расхладне течности;
ω – брзина расхладне течности у каналу.

За канал произвољног облика, хидраулички пречник се израчунава по формули:

где је:
Ф – површина протока;
П – навлажени обим канала.

Коефицијент трења се израчунава коришћењем емпиријских формула и зависи од брзине протока и особина расхладне течности. За различите геометрије добијају се различите зависности, на пример, формула за турбулентни ток у глатким цевима:

где је:
Ре – Рејнолдсов број.

За проток у равним каналима, може се користити следећа формула:

Из Бернулијеве формуле можете израчунати пад притиска за дату брзину, или обрнуто, израчунати брзину расхладне течности у каналу, на основу датог пада притиска.

Размена топлоте

Проток топлоте између расхладне течности и зида израчунава се по формули:

где је:
α [В/(м2×дег)] – коефицијент пролаза топлоте;
Ф – површина протока.

За проблеме протока расхладне течности у цевима је спроведена довољна количина истраживања и постоји много метода прорачуна, а по правилу се све своди на емпиријске зависности коефицијента пролаза топлоте α [В/(м2×дег)]

где је:
Ну – Нуселтов број,
λ – коефицијент топлотне проводљивости течности [В/(м×дег)] д – хидраулички (еквивалентни) пречник.

Да би се израчунао Нуселтов број (критеријум), користе се емпиријске критеријумске зависности, на пример, формула за израчунавање Нуселтовог броја округле цеви изгледа овако:

Овде већ видимо Рејнолдсов број, Прандтлов број на температури зида и течности и коефицијент неравномерности. (Извор)

За измјењиваче топлоте са валовитим плочама формула је слична ( Извор ):

где је:
н = 0.73 м =0.43 за турбулентно струјање,
коефицијент а - варира од 0,065 до 0.6 у зависности од броја плоча и режима протока.

Узмимо у обзир да се овај коефицијент израчунава само за једну тачку у току. За следећу тачку имамо другачију температуру течности (загрејала се или охладила), другачију температуру зида и, сходно томе, сви Рејнолдсови и Прандтлови бројеви пливају.

У овом тренутку, сваки математичар ће рећи да је немогуће тачно израчунати систем у коме се коефицијент мења 10 пута, и биће у праву.

Сваки практичан инжењер ће рећи да се сваки измењивач топлоте производи другачије и да је немогуће израчунати системе, а такође ће бити у праву.

Шта је са дизајном заснованим на моделу? Да ли је заиста све изгубљено?

Напредни продавци западног софтвера на овом месту ће вам продавати суперкомпјутере и 3Д системе за израчунавање, попут „не можете без тога“. И треба да извршите прорачун за један дан да бисте добили дистрибуцију температуре у року од 1 минута.

Јасно је да то није наша опција, морамо да отклонимо грешке у систему управљања, ако не у реалном времену, онда барем у догледно време.

Решење насумично

Произведен је измењивач топлоте, спроведена серија испитивања и постављена табела ефикасности стабилне температуре при датим брзинама протока расхладне течности. Једноставно, брзо и поуздано јер подаци потичу из тестирања.

Недостатак овог приступа је што нема динамичких карактеристика објекта. Да, знамо какав ће бити топлотни ток у стабилном стању, али не знамо колико ће времена требати да се успостави при преласку са једног режима рада на други.

Стога, након што смо израчунали потребне карактеристике, конфигуришемо контролни систем директно током тестирања, што бисмо у почетку желели да избегнемо.

Приступ заснован на моделу

За креирање модела динамичког измењивача топлоте потребно је користити податке теста да би се елиминисале несигурности у формулама емпиријског прорачуна - Нуселтов број и хидраулични отпор.

Решење је једноставно, као и све генијално. Узимамо емпиријску формулу, спроводимо експерименте и одређујемо вредност коефицијента а, чиме се елиминише несигурност у формули.

Чим имамо одређену вредност коефицијента пролаза топлоте, сви остали параметри су одређени основним физичким законима одржања. Температурна разлика и коефицијент преноса топлоте одређују количину енергије која се преноси у канал у јединици времена.

Познавајући ток енергије, могуће је решити једначине очувања енергетске масе и импулса за расхладну течност у хидрауличном каналу. На пример ово:

У нашем случају, проток топлоте између зида и расхладне течности - Квалл - остаје неизвестан. Можете видети више детаља овде…

И такође једначина температурног деривата за зид канала:

где је:
ΔКвалл – разлика између долазног и излазног тока до зида канала;
М је маса зида канала;
цена по клику – топлотни капацитет зидног материјала.

Тачност модела

Као што је горе поменуто, у измењивачу топлоте имамо расподелу температуре по површини плоче. За стабилну вредност, можете узети просек преко плоча и користити га, замишљајући цео измењивач топлоте као једну концентрисану тачку у којој се, при једној температурној разлици, топлота преноси кроз целу површину измењивача топлоте. Али за пролазне режиме таква апроксимација можда неће радити. Друга крајност је направити неколико стотина хиљада тачака и учитати Супер компјутер, који нам такође не одговара, јер је задатак да конфигуришемо систем управљања у реалном времену, или још боље, брже.

Поставља се питање на колико делова треба поделити измењивач топлоте да би се добила прихватљива тачност и брзина прорачуна?

Као и увек, случајно сам имао при руци модел аминског измењивача топлоте. Размењивач топлоте је цев, у цевима тече грејни медијум, а између врећа тече загрејани медијум. Да би се поједноставио проблем, цела цев размењивача топлоте се може представити као једна еквивалентна цев, а сама цев се може представити као скуп дискретних прорачунских ћелија, у свакој од којих се израчунава тачкасти модел преноса топлоте. Шема модела једне ћелије је приказана на слици 2. Канал за топли ваздух и канал за хладни ваздух су повезани кроз зид, који обезбеђује пренос топлотног тока између канала.

Слика 2. Модел ћелије размењивача топлоте.

Модел цевастог измењивача топлоте је једноставан за постављање. Можете променити само један параметар - број секција дуж дужине цеви и погледати резултате прорачуна за различите партиције. Израчунајмо неколико опција, почевши од поделе на 5 тачака по дужини (слика 3) и до 100 тачака по дужини (слика 4).

Слика 3. Стационарна расподела температуре 5 израчунатих тачака.

Слика 4. Стационарна расподела температуре 100 израчунатих тачака.

Као резултат прорачуна, испоставило се да је стабилна температура када се подели на 100 тачака 67,7 степени. А када се подели на 5 израчунатих тачака, температура је 72 степени Ц.

Такође на дну прозора је приказана брзина израчунавања у односу на реално време.
Да видимо како се температура у стационарном стању и брзина израчунавања мењају у зависности од броја рачунских тачака. Разлика у стабилним температурама током прорачуна са различитим бројем прорачунских ћелија може се користити за процену тачности добијеног резултата.

Табела 1. Зависност температуре и брзине прорачуна од броја рачунских тачака по дужини измењивача топлоте.

Број обрачунских поена	Стална температура	Брзина израчунавања
5	72,66	426
10	70.19	194
25	68.56	124
50	67.99	66
100	67.8	32

Анализирајући ову табелу, можемо извући следеће закључке:

• Брзина прорачуна опада пропорционално броју рачунских тачака у моделу измењивача топлоте.
• Промена у тачности прорачуна се дешава експоненцијално. Како се број поена повећава, префињеност при сваком следећем повећању се смањује.

У случају плочастог измењивача топлоте са унакрсним расхладним средством, као на слици 1, креирање еквивалентног модела од елементарних прорачунских ћелија је нешто компликованије. Ћелије треба да повежемо на такав начин да организујемо унакрсне токове. За 4 ћелије, коло ће изгледати као што је приказано на слици 5.

Проток расхладне течности је подељен дуж топле и хладне гране у два канала, канали су повезани преко термичких структура, тако да при проласку кроз канал расхладна течност размењује топлоту са различитим каналима. Симулирајући попречни ток, врућа расхладна течност тече с лева на десно (види слику 5) у сваком каналу, узастопно размењујући топлоту са каналима хладног расхладног средства, који тече одоздо према горе (види слику 5). Најтоплија тачка је у горњем левом углу, пошто врућа расхладна течност размењује топлоту са већ загрејаном расхладном течношћу хладног канала. А најхладнији је у доњем десном углу, где хладна расхладна течност размењује топлоту са врелом расхладном течношћу која се већ охладила у првом делу.

Слика 5. Модел унакрсног тока 4 рачунске ћелије.

Овај модел за плочасти измењивач топлоте не узима у обзир пренос топлоте између ћелија због топлотне проводљивости и не узима у обзир мешање расхладне течности, пошто је сваки канал изолован.

Али у нашем случају, последње ограничење не умањује тачност, пошто у дизајну измењивача топлоте валовита мембрана дели ток на много изолованих канала дуж расхладне течности (види слику 1). Хајде да видимо шта се дешава са тачношћу прорачуна када се моделује плочасти измењивач топлоте како се број прорачунских ћелија повећава.

Да бисмо анализирали тачност, користимо две опције за поделу измењивача топлоте на дизајнерске ћелије:

1. Свака квадратна ћелија садржи два хидраулична (хладни и топли токови) и један термални елемент. (види слику 5)
2. Свака квадратна ћелија садржи шест хидрауличних елемената (три дела у топлом и хладном току) и три термална елемента.

У последњем случају користимо две врсте везе:

• противток хладних и топлих токова;
• паралелно струјање хладног и топлог тока.

Противток повећава ефикасност у поређењу са попречним протоком, док га контраток смањује. Код великог броја ћелија долази до усредњавања преко протока и све постаје блиско стварном унакрсном току (види слику 6).

Слика 6. Модел унакрсног тока са четири ћелије и 3 елемента.

На слици 7 приказани су резултати стационарне расподеле температуре у измењивачу топлоте при доводу ваздуха са температуром од 150 °Ц дуж топле линије, и 21 °Ц дуж хладног вода, за различите опције поделе модела. Боја и бројеви на ћелији одражавају просечну температуру зида у ћелији за прорачун.

Слика 7. Стационарне температуре за различите пројектне шеме.

У табели 2 приказана је стабилна температура загрејаног ваздуха после измењивача топлоте у зависности од поделе модела измењивача топлоте на ћелије.

Табела 2. Зависност температуре од броја пројектованих ћелија у измењивачу топлоте.

Димензија модела	Стална температура 1 елемент по ћелији	Стална температура 3 елемента по ћелији
КСНУМКСхКСНУМКС	62,7	67.7
3 × 3	64.9	68.5
КСНУМКСхКСНУМКС	66.2	68.9
КСНУМКСхКСНУМКС	68.1	69.5
10 × 10	68.5	69.7
20 × 20	69.4	69.9
40 × 40	69.8	70.1

Како се број прорачунских ћелија у моделу повећава, коначна стабилна температура расте. Разлика између стабилне температуре за различите партиције може се сматрати индикатором тачности прорачуна. Види се да са повећањем броја рачунских ћелија температура тежи ка граници, а повећање тачности није пропорционално броју рачунских тачака.

Поставља се питање: каква нам је тачност модела потребна?

Одговор на ово питање зависи од сврхе нашег модела. Пошто је овај чланак о дизајну заснованом на моделу, креирамо модел за конфигурисање контролног система. То значи да тачност модела мора бити упоредива са тачношћу сензора који се користе у систему.

У нашем случају температура се мери термоелементом, чија је тачност ±2.5°Ц. Свака већа тачност у сврху постављања система управљања је бескорисна, наш прави систем управљања то једноставно „неће видети“. Дакле, ако претпоставимо да је гранична температура за бесконачан број преграда 70 °Ц, онда ће модел који нам даје више од 67.5 °Ц бити довољно тачан. Сви модели са 3 тачке у ћелији за прорачун и модели већи од 5к5 са једном тачком у ћелији. (Означено зеленом бојом у табели 2)

Динамички режими рада

Да бисмо проценили динамички режим, проценићемо процес промене температуре на најтоплијим и најхладнијим тачкама зида измењивача топлоте за различите варијанте пројектних шема. (види слику 8)

Слика 8. Загревање измењивача топлоте. Модели димензија 2к2 и 10к10.

Види се да су време прелазног процеса и сама његова природа практично независни од броја прорачунских ћелија, и да су одређени искључиво масом загрејаног метала.

Дакле, закључујемо да је за праведно моделовање измењивача топлоте у режимима од 20 до 150 °Ц, са тачношћу коју захтева СЦР систем управљања, довољно око 10 - 20 пројектних тачака.

Постављање динамичког модела заснованог на експерименту

Имајући математички модел, као и експерименталне податке о пражњењу измењивача топлоте, остаје нам само да извршимо једноставну корекцију, односно да у модел унесемо фактор интензивирања како би се прорачун поклопио са експерименталним резултатима.

Штавише, користећи окружење за креирање графичког модела, то ћемо урадити аутоматски. На слици 9 приказан је алгоритам за избор коефицијената интензивирања преноса топлоте. Подаци добијени експериментом се доводе на улаз, повезује се модел измењивача топлоте, а на излазу се добијају потребни коефицијенти за сваки режим.

Слика 9. Алгоритам за избор коефицијента интензивирања на основу експерименталних резултата.

Дакле, одређујемо исти коефицијент за Нуселтов број и елиминишемо несигурност у прорачунским формулама. За различите режиме рада и температуре, вредности фактора корекције се могу променити, али за сличне режиме рада (нормалан рад) испостављају се да су веома близу. На пример, за дати измењивач топлоте за различите режиме коефицијент се креће од 0.492 до 0.655

Ако применимо коефицијент од 0.6, онда ће у испитиваним режимима рада грешка прорачуна бити мања од грешке термоелемента, тако да ће за управљачки систем математички модел измењивача топлоте бити потпуно адекватан реалном моделу.

Резултати постављања модела измењивача топлоте

За процену квалитета преноса топлоте користи се посебна карактеристика - ефикасност:

где је:
еффвруће – ефикасност измењивача топлоте за топлу расхладну течност;
Tпланинеin – температура на улазу у измењивач топлоте дуж пута протока топле расхладне течности;
Tпланиненапоље – температура на излазу њиховог измењивача топлоте дуж пута топле расхладне течности;
TХаллin – температура на улазу у измењивач топлоте дуж пута протока хладног расхладног средства.

У табели 3 приказано је одступање ефикасности модела измењивача топлоте од експерименталног при различитим брзинама протока дуж топлог и хладног вода.

Табела 3. Грешке у прорачуну ефикасности преноса топлоте у %

У нашем случају, изабрани коефицијент се може користити у свим режимима рада који нас занимају. Ако се при малим протокима, где је грешка већа, не постигне потребна тачност, можемо користити променљиви фактор интензивирања, који ће зависити од тренутног протока.

На пример, на слици 10, коефицијент интензивирања се израчунава коришћењем дате формуле у зависности од тренутног протока у ћелијама канала.

Слика 10. Променљиви коефицијент побољшања преноса топлоте.

Налази

• Познавање физичких закона вам омогућава да креирате динамичке моделе објекта за дизајн заснован на моделу.
• Модел мора бити верификован и подешен на основу података теста.
• Алати за развој модела треба да омогуће програмеру да прилагоди модел на основу резултата тестирања објекта.
• Користите прави приступ заснован на моделу и бићете срећни!

Бонус за оне који су завршили читање. Видео снимак рада виртуелног модела СЦР система.

Само регистровани корисници могу учествовати у анкети. Пријавите се, Добродошао си.

О чему даље да причам?

• 100%Како доказати да програм у моделу одговара програму у хардверу.16

• 100%Како користити суперкомпјутерско рачунарство за пројектовање засновано на моделу.5

Гласао је 21 корисник. 1 корисник је био уздржан.

Извор: ввв.хабр.цом