Termodynamik av svarta hål

Grattis på rymdfärdets dag! Vi har skickat till tryckeriet «En liten bok om svarta hål». Just nu har astrofysiker visat världen hur svarta hål ser ut. En tillfällighet? Vi tror inte det 😉 Så håll utkik, snart kommer en fantastisk bok skriven av Steven Gabser och Frans Pretorius, översatt av den fantastiska pulkovo-astronomen aka Astroded Kirill Maslennikov, med vetenskaplig redigering av den legendariska Vladimir Surdin, och publiceringen stödd av Trajektoria-fonden.

Utdraget «Termodynamik hos svarta hål» finns nedan.

Ännu har vi betraktat svarta hål som astrofysiska objekt som skapats vid supernovaexplosioner eller som finns i galaxernas centra. Vi observerar dem indirekt genom att mäta accelerationerna hos stjärnor nära dem. Den berömda registreringen av gravitationsvågor av LIGO-mottagaren den 14 september 2015 blev ett exempel på mer direkta observationer av kollisionen mellan svarta hål. De matematiska verktygen som vi använder för att nå en bättre förståelse av svarta håls natur är följande: differentialgeometri, Einsteins ekvationer och kraftfulla analytiska och numeriska metoder som tillämpas för att lösa Einsteins ekvationer och vid beskrivningen av geometrier i rum-tids continuum som genereras av svarta hål. Så snart vi kan ge en fullständig kvantitativ beskrivning av det rum-tids kontinuitet som skapas av svarta hål, kan ämnet för svarta hål från en astrofysisk synvinkel anses vara avslutat. I en bredare teoretisk perspektiv finns det dock fortfarande mycket kvar att utforska. Syftet med detta kapitel är att belysa några teoretiska framsteg inom modern fysik av svarta hål, där idéer från termodynamik och kvantteori förenas med allmän relativitetsteori, vilket skapar oväntade nya koncept. Huvudidén är att svarta hål inte bara är geometriska objekt. De har temperatur, de har enorm entropi och kan visa upptecken på kvantintrassling. Våra resonemang om de termodynamiska och kvantmekaniska aspekterna av fysiken kring svarta hål kommer att vara mer fragmenterade och ytliga än den rent geometriska analysen av rum-tids egenskaper i svarta hål som presenterades i tidigare kapitel. Men både dessa, och särskilt de kvantmekaniska, aspekterna är en avgörande och livsviktig del av de pågående teoretiska forskningsprojekten om svarta hål, och vi kommer att göra vårt bästa för att förmedla, om inte de komplexa detaljerna, så åtminstone andan av dessa arbeten.

I den klassiska allmänna relativitetsteorin — för att prata om den differentiella geometrin av lösningarna till Einsteins ekvationer — är svarta hål verkligen svarta i den meningen att inget kan fly från dem. Stephen Hawking visade att denna situation förändras helt när vi tar hänsyn till kvanteffekter: svarta hål avger faktiskt strålning med en viss temperatur, känd som Hawking-temperaturen. För svarta hål av astrofysiska storlekar (dvs. från svarta hål av stjärnmassa till supermassiva) är Hawking-temperaturen försvinnande låg jämfört med temperaturen av den kosmiska mikrovågsbakgrunden — den strålning som fyller hela universum, som för övrigt kan ses som en variant av Hawking-strålning. Beräkningarna som Hawking utförde för att bestämma temperaturen av svarta hål är en del av ett mer omfattande forskningsprogram inom ett område som kallas termodynamik för svarta hål. En annan stor del av detta program är studiet av entropi för svarta hål, vilket karakteriserar mängden information som går förlorad inuti ett svart hål. Vanliga objekt (såsom en mugg med vatten, en bit rent magnesium eller en stjärna) har också entropi, och ett av de centrala påståendena inom termodynamik för svarta hål är att ett svart hål av en viss storlek har större entropi än någon annan form av materia som kan få plats i ett område av samma storlek utan att bilda ett svart hål.

Men innan vi går djupt in i de problem som rör Hawking-strålning och svarts håls entropi, låt oss göra en snabb översikt över områdena kvantmekanik, termodynamik och förvävning. Kvantmekaniken utvecklades huvudsakligen på 1920-talet, och dess huvudsakliga syfte var att beskriva mycket små materiapartiklar, såsom atomer. Utvecklingen av kvantmekaniken ledde till en upplösning av sådana grundläggande koncept inom fysiken som den exakta positionen av en individuell partikel: det visade sig till exempel att en elektrons position när den rör sig runt atomkärnan inte kan bestämmas exakt. Istället tilldelades elektroner så kallade orbitaler, där deras faktiska positioner endast kan bestämmas i sannolikhetstermer. För våra syften är det dock viktigt att inte snabbt övergå till denna — sannolikhetsmässiga — sida av saken. Låt oss ta ett enkelt exempel: väteatom. Den kan befinna sig i ett visst kvanttillstånd. Det enklaste tillståndet för väteatomen, som kallas grundtillståndet, är det tillstånd med lägst energi, och denna energi är exakt känd. På mer allmän nivå låter kvantmekaniken oss (i princip) veta tillståndet för varje kvantsystem absolut exakt.

Sannolikheterna kommer i spel när vi ställer vissa typer av frågor om ett kvantmekaniskt system. Till exempel, om det är helt klart att väteatomen befinner sig i grundtillståndet, kan vi fråga: "Var finns elektronen?" och enligt kvantmekanikens lagar får vi endast en viss uppskattning av sannolikheten, ungefär något i stil med: "sannolikt är elektronen på ett avstånd av upp till en halv ångström från väteatomens kärna" (en ångström är lika med
10^-10 meter). meter). Men vi har möjlighet genom en viss fysisk process att bestämma elektronens position mycket noggrant, till och med bättre än en angström. Denna ganska vanliga process i fysiken består i att skicka en foton med en mycket kort våglängd mot elektronen (eller som fysiker säger, sprida fotonen på elektronen) — efter detta kan vi rekonstruera elektronens position vid spridningen med en noggrannhet som ungefär motsvarar våglängden på fotonen. Men denna process kommer att förändra elektronens tillstånd, så efter detta kommer den inte längre att befinna sig i grundtillståndet för väteatomen och kommer inte att ha exakt definierad energi. Å andra sidan kommer dess position under en tid att vara nästan exakt definierad (med noggrannhet motsvarande våglängden på den foton som användes för detta). En preliminär uppskattning av elektronens position kan endast göras i sannolikhetssinne med en noggrannhet på omkring en angström, men så snart vi har mätt den vet vi exakt vad den var. Kort sagt, om vi på något sätt mäter ett kvantmekaniskt system, så, i alla fall i allmänt vedertagen mening, ger vi det "tvångsmässigt" ett tillstånd med ett visst värde för den storhet som vi mäter.

Kvantmekanik är tillämplig inte bara på små system, utan (som vi anser) på alla system, men för stora system blir kvantmekaniska regler snabbt mycket komplexa. En nyckelkoncept är kvantintrassling, ett enkelt exempel på detta är begreppet spinn. Individuella elektroner har ett spinn, så i praktiken kan en enskild elektron ha ett spinn som är riktat uppåt eller nedåt i förhållande till en vald rumslig axel. Elektronens spinn är en observerbar storhet, eftersom elektronen genererar ett svagt magnetfält, liknande det hos en magnetisk stav. Ett uppåtriktat spinn innebär att elektronens nordpol pekar nedåt, medan ett nedåtriktat spinn betyder att nordpolen "tittar" uppåt. Två elektroner kan sättas i ett sammanflätat kvanttillstånd, där en av dem har spinn uppåt och den andra nedåt, men det är omöjligt att säga vilken av elektronerna som har vilket spinn. I huvudsak befinner sig de två elektronerna i det grundläggande tillståndet för helium i ett sådant tillstånd, kallat spin-singlet, eftersom den samlade spinnen av båda elektronerna är noll. Om vi separerar dessa två elektroner utan att ändra deras spinn, kan vi fortfarande påstå att de tillsammans är spin-singlet, men vi kan fortfarande inte säga vad spinnet för någon av dem är individuellt. Men om vi mäter ett av deras spinn och fastställer att det är riktat uppåt, då är vi helt säkra på att det andra är riktat nedåt. I denna situation säger vi att spinnet är intrasslat — ingen av dem har ett bestämt värde för sig själv, medan de tillsammans är i ett bestämt kvanttillstånd.

Einstein var mycket oroad över fenomenet kvantisk sammanflätning: det verkade hota de grundläggande principerna för relativitetsteorin. Låt oss överväga fallet med två elektroner i ett spinn-singlet-tillstånd, när de befinner sig långt ifrån varandra i rummet. För tydlighetens skull, låt oss kalla den ena elektronens ägare Alice och den andra Bob. Anta att Alice har mätt spinnet på sin elektron och upptäckt att det är uppåtriktat, medan Bob inte har gjort någon mätning. Innan Alice utförde sin mätning var det omöjligt att säga vilket spinn Bobs elektron hade. Men så snart hon avslutade sin mätning visste hon helt säkert att spinnet på Bobs elektron var nedåtriktat (i motsatt riktning till spinnet på hennes egen elektron). Betyder detta att hennes mätning omedelbart tvingade Bobs elektron in i ett tillstånd där spinnet var nedåtriktat? Hur kunde det hända om elektronerna var rumsligt separerade? Einstein och hans kollegor Nathan Rosen och Boris Podolsky ansåg att målet med att mäta sammanflätade system var så allvarligt att det hotade existensen av kvantmekanik. Den paradox som de formulerade, känd som Einstein-Podolsky-Rosen-paradoxen (EPR), använder en tankeexperiment som liknar det vi just har beskrivit för att dra slutsatsen att kvantmekanik inte kan vara en fullständig beskrivning av verkligheten. Idag, baserat på de efterföljande teoretiska utforskningarna och många mätdatar, har en allmän konsensus uppstått om att EPR-paradoxen innehåller ett fel och att kvantteorin är korrekt. Kvantmekanisk sammanflätning är verklig: mätningar av sammanflätade system kommer att korrelera, även om dessa system är långt åtskilda i rum-tid.

Låt oss återvända till situationen där vi placerade två elektroner i ett spin-singlet-tillstånd och delade ut dem till Alice och Bob. Vad kan vi säga om elektronerna innan mätningar har gjorts? Att de tillsammans befinner sig i ett visst kvanttillstånd (spin-singlet). Spins av Alicias elektron är med samma sannolikhet vänd uppåt eller nedåt. Mer specifikt kan det kvanttillstånd som hennes elektron befinner sig i med samma sannolikhet vara antingen ett (spin uppåt) eller ett annat (spin nedåt). Nu får begreppet sannolikhet en djupare innebörd än tidigare. Tidigare betraktade vi ett visst kvanttillstånd (grundtillståndet för väteatomen) och såg att det finns vissa "besvärliga" frågor, såsom "Var befinner sig elektronen?" - frågor vars svar endast existerar i sannolikhetstänkande. Om vi ställde "bra" frågor, som: "Vad är energin för denna elektron?", skulle vi få vissa bestämda svar. Nu finns det inga "bra" frågor vi kan ställa om Alicias elektron vars svar inte beror på Bobs elektron. (Vi talar inte om dumma frågor som "Har Alicias elektron ens en spin?" - frågor som det bara finns ett svar på.) Därför måste vi använda ett sannolikhetsspråk för att definiera parametrarna för ena delen av det intrasslade systemet. Determinism uppstår endast när vi betraktar sambandet mellan frågorna som Alice och Bob kan ställa om sina elektroner.

Vi började avsiktligt med ett av de enklaste kvantelementära systemen vi känner till: spinsystemet av individuella elektroner. Det finns hopp om att quantumdatorer kommer att byggas på grundval av sådana enkla system. Spinsystemet av individuella elektroner eller andra motsvarande kvantsystem kallas nu för kubiter (kortform av "kvantbitar"), vilket betonar deras roll i kvantdatorer, liknande den roll som vanliga bitar spelar i digitala datorer.

Låt oss nu föreställa oss att vi har ersatt varje elektron med ett mycket mer komplext kvantsystem som har många, och inte bara två, kvant Zustände. Till exempel fick Alice och Bob bitar av rent magnesium. Innan Alice och Bob går åt olika håll kan deras bitar interagera, och vi har kommit överens om att de vid detta tillfälle får ett visst gemensamt kvant tillstånd. Så snart Alice och Bob separerar slutar deras magnesiumbitar att interagera. Precis som med elektroner finns varje bit i ett osäkert kvant tillstånd, även om de tillsammans, som vi anser, bildar ett helt klart tillstånd. (I denna diskussion förutsätter vi att Alice och Bob kan flytta sina magnesiumbitar utan att påverka deras interna tillstånd, precis som vi tidigare antog att de kunde dela sina sammanflätade elektroner utan att ändra deras spinn.) Men skillnaden mellan detta tankeexperiment och experimentet med elektroner är att osäkerheten i det kvant tillstånd som varje bit befinner sig i är enorm. En bit kan mycket väl ha fler kvant tillstånd än antalet atomer i universum. Här kommer termodynamiken in i bilden. Mycket dåligt definierade system kan ändå ha vissa väl definierade makroskopiska egenskaper. En sådan egenskap är till exempel temperatur. Temperatur är ett mått på hur sannolikt det är att vilken del som helst av systemet har en viss genomsnittlig energi, där högre temperatur motsvarar större sannolikhet att ha högre energi. En annan termodynamisk parameter är entropi, som i grunden är lika med logaritmen av antalet tillstånd som systemet kan anta. En annan termodynamisk egenskap som skulle vara betydelsefull för en magnesiumbit är dess totala magnetisering, det vill säga en parameter som visar hur många fler elektroner med spinn uppåt än nedåt som kan finnas i biten.

Vi har tagit med termodynamik i vår berättelse som ett sätt att beskriva system vars kvanttillstånd är exakt okända på grund av deras sammanflätning med andra system. Termodynamik är ett kraftfullt verktyg för att analysera sådana system, men dess skapare hade överhuvudtaget inte förutsett denna tillämpning. Sadi Carnot, James Joule och Rudolf Clausius var aktörer under den industriella revolutionen på 1800-talet, och de var intresserade av den mest praktiska av alla frågor: hur fungerar motorer? Tryck, volym, temperatur och värme är motorernas kött och blod. Carnot fastställde att energi i form av värme aldrig kan omvandlas helt till nyttigt arbete, som att lyfta last. En del av energin kommer alltid att gå förlorad. Clausius bidrog grundläggande till skapandet av idén om entropi som ett universellt verktyg för att bestämma energiförluster under vilken process som helst kopplad till värme. Hans största prestation var insikten att entropi aldrig minskar — nästan i alla processer ökar den. Processer där entropin ökar kallas oåterkalleliga — just eftersom de inte kan gå bakåt utan att entropin minskar. Det nästa steget i utvecklingen av statistisk mekanik togs av Clausius, Maxwell och Ludwig Boltzmann (bland många andra) — de visade att entropi är ett mått på oordning. Vanligtvis, ju mer du agerar på något, desto mer oordning bidrar du med. Och även om du har utvecklat en process vars mål är att åstadkomma ordning, kommer det under förloppet att ofrånkomligen skapas mer entropi än vad som kommer att förstöras — till exempel vid avdunstning av värme. En kran som lägger stålbalkar i perfekt ordning skapar ordning i bemärkelsen placeringen av balkarna, men under sitt arbete kommer den att avge så mycket värme att den totala entropin ändå ökar.

Men skillnaden i synen på termodynamik mellan fysikerna på 1800-talet och synen kopplad till kvantförvirring är inte så stor som det verkar. Varje gång ett system interagerar med en extern agent, förvrängs dess kvanttillstånd med agentens kvanttillstånd. Vanligtvis leder denna förvirring till en ökning av osäkerheten i systemets kvanttillstånd, med andra ord, till en ökning av antalet kvanttillstånd som systemet kan befinna sig i. Som ett resultat av interaktionen med andra system ökar entropin, som definieras i termer av antalet tillgängliga kvanttillstånd för systemet.

Generellt sett ger kvantmekanik ett nytt sätt att karaktärisera fysiska system där vissa parametrar (till exempel läge i rummet) blir osäkra, medan andra (till exempel energi) ofta är kända med precision. I fallet med kvantförvirring har två principiellt separerade delar av systemet ett känt gemensamt kvanttillstånd, medan varje del för sig har ett osäkert tillstånd. Ett standardexempel på förvirring är ett par spinn i ett singlet-tillstånd, där det är omöjligt att avgöra vilken spinn som pekar uppåt och vilken som pekar nedåt. Osäkerheten i det kvantliga tillståndet i ett stort system kräver en termodynamisk ansats, där makroskopiska parametrar som temperatur och entropi är kända med stor precision, trots att systemet har många möjliga mikroskopiska kvanttillstånd.

Efter att ha avslutat vår korta genomgång av kvantmekanik, sammanflätning och termodynamik, låt oss nu försöka förstå hur allt detta leder till insikten att svarta hål har en temperatur. Det första steget mot detta togs av Bill Unruh — han visade att en accelererande observatör i platt rumstid kommer att ha en temperatur som är lika med sin acceleration delad med 2π. Nyckeln till Unruhs beräkningar är att en observatör som rör sig med konstant acceleration i en viss riktning bara kan se halva det platta rumtiden. Den andra halvan befinner sig i praktiken bakom en horisont, liknande den för ett svart hål. Till en början verkar detta omöjligt: hur kan platt rumtid bete sig som en horisont för ett svart hål? För att förstå hur detta går till, ska vi ta hjälp av våra trogna observatörer Alice, Bob och Bill. På vår begäran ställer de sig i en linje, där Alice befinner sig mellan Bob och Bill, och mellan observatörerna i varje par är avståndet exakt 6 kilometer. Det är överenskommet att vid nolltid kommer Alice att hoppa in i en raket och flyga mot Bill (vilket betyder bort från Bob) med konstant acceleration. Raketen hon har är väldigt bra, kapabel att uppnå en acceleration som är 1,5 biljoner gånger större än tyngdaccelerationen som föremål rör sig med nära jordens yta. Självklart är det inte lätt för Alice att hålla ut under en sådan acceleration, men som vi snart kommer att se är dessa siffror valda med ett visst syfte; i slutändan diskuterar vi bara potentiella möjligheter, det är allt. Precis i den stund Alice hoppar in i sin raket vinkar Bob och Bill till henne. (Vi har rätt att använda uttrycket "precis i den stund när…", eftersom Alice fortfarande inte har påbörjat sin flygning, så hon befinner sig i samma referensram som Bob och Bill, vilket gör att de kan synkronisera sina klockor.) Bill, som vinkar till henne, ser Alice förstås: men när hon är i raketen kommer hon att se honom tidigare än om hon skulle ha stannat där hon var, eftersom hennes raket flyger mot honom. Från Bob avlägsnar hon sig däremot, så vi kan rättfärdigt anta att hon kommer att se honom vinkande något senare än hon skulle ha sett det om hon stannat kvar. Men sanningen är ännu mer förvånande: Alice kommer överhuvudtaget inte att se Bob! Med andra ord, de fotoner som flyger från den vinkande Bob till Alice kommer aldrig att sätta fart och nå henne, även med tanke på att hon aldrig kommer att kunna uppnå ljusets hastighet. Om Bob hade börjat vinka medan han var lite närmare Alice, skulle de fotoner som avvek från honom vid hennes avfärd ha nått henne, och om han hade varit lite längre bort skulle de sannerligen inte ha nått henne. Det är i denna mening vi säger att Alice endast ser halva rumtiden. Vid den tidpunkt då Alice börjar sin rörelse befinner sig Bob strax bortom den horisont som Alice observerar.

I vårt samtal om kvantumintrassling har vi redan blivit vana vid idén att även om ett kvantmekaniskt system som helhet har ett visst kvanttilstånd, kan vissa av dess delar sakna detta. Faktum är att när vi diskuterar ett komplext kvantsystem kan en del av detta bäst beskrivas inom ramen för termodynamik: den kan ha en väldefinierad temperatur, trots att hela systemets kvanttilstånd är ytterst osäkert. Vår senaste historia med Alice, Bob och Bill liknar denna situation något, men det kvantsystem vi pratar om här är tomrumstid och Alice ser bara dess halva. Låt oss säga att rumtiden som helhet är i sitt grundtillstånd, vilket innebär att det inte finns några partiklar där (naturligtvis med undantag för Alice, Bob, Bill och raketen). Men den del av rumtiden som Alice ser kommer inte att befinna sig i grundtillstånd utan i ett tillstånd som är intrasslat med den del som hon inte ser. Den rumtid som Alice uppfattar är i ett komplext osäkert kvanttilstånd, vilket kännetecknas av en ändlig temperatur. Unruths beräkningar visar att denna temperatur ligger på ungefär 60 nanokelviner. Kort sagt, när Alice accelererar, dyker hon som om i ett varmt bad av strålning med en temperatur som är lika med (i motsvarande enheter) accelerationen delat med

Fig. 7.1. Alice rör sig med acceleration från ett stillastående tillstånd, medan Bob och Bill förblir stilla. Alices acceleration är just sådan att hon aldrig ser de fotoner som Bob skickar mot henne vid tidpunkten t = 0. Men hon får fotonerna som Bill skickade till henne vid tidpunkten t = 0. Resultatet blir att Alice endast kan observera den ena halvan av rumtiden.

Det som är märkligt med Unruhs beräkningar är att, även om de handlar om tomrum från början till slut, de motsäger kung Lear's välkända ord "inget kommer från ingenting." Hur kan tomrummet vara så komplext? Varifrån kan partiklarna komma? Sanningen är att enligt kvantteorin är tomrummet långt ifrån tomt. Här och där dyker ständigt kortlivade excitationer, så kallade virtuella partiklar, upp och försvinner, vars energi kan vara både positiv och negativ. En observatör från en avlägsen framtid – låt oss kalla henne Carol – som kan se nästan allt tomrum, kan bekräfta att det inte finns några långlivade partiklar där. Samtidigt är närvaron av partiklar med positiv energi i den del av rumtiden som Alice kan observera, tack vare kvantöverflätning, kopplad till excitationer med lika och motsatt energi i en del av rumtiden som Alice inte kan observera. Hela sanningen om tomrumstiden som helhet är öppen för Carol, och denna sanning är att det inte finns några partiklar där. Men Alices erfarenhet säger henne att det finns partiklar där!

Men det visar sig att den beräknade Unruh-temperaturen verkar vara en fiktion — den är mer en egenskap hos observatören som upplever konstant acceleration i ett platt rum än en egenskap hos det platta rummet självt. Men även tyngdkraften är en sådan "fiktiv" kraft i den meningen att den "accelerationen" som den orsakar, är inget annat än rörelse längs en geodetisk linje i en krökt metrik. Som vi redan förklarade i kapitel 2, består Einsteins ekvivalensprincip i att acceleration och tyngdkraft i grunden är ekvivalenta. Ur denna synvinkel är det inget särskilt chockerande att en svart pappers horisont har en temperatur som är lika med den beräknade Unruh-temperaturen för den accelererande observatören. Men kan vi fråga vilket värde på acceleration vi bör använda för att bestämma temperaturen? Genom att avlägsna oss tillräckligt långt från den svarta hålet kan vi göra dess gravitationella drag svagt. Betyder detta att vi bör använda det motsvarande lilla värdet av acceleration för att bestämma den effektiva temperaturen för det svarta hålet som vi mäter? Denna fråga visar sig vara ganska trolös, eftersom vi antar att temperaturen hos ett objekt inte kan minska godtyckligt. Det antas att den har ett visst fast, ändligt värde som till och med en mycket avlägsen observatör kan mäta.

Källa: habr.com