2012 delades Nobelpriset i ekonomi ut till Lloyd Shapley och Alvin Roth. "För teorin om stabil distribution och praktiken att organisera marknader." Aleksey Savvateev försökte 2012 enkelt och tydligt förklara essensen av matematikernas förtjänster. Jag presenterar en sammanfattning för er .
Idag blir det en teoretisk föreläsning. Om experiment , i synnerhet med donation, kommer jag inte att berätta.
När det meddelades att fick Nobelpriset, var det en standardfråga: ”Hur!? Lever han fortfarande!?!?” Hans mest kända resultat erhölls 1953.
Formellt gavs bonusen för något annat. För hans artikel från 1962 om "äktenskapsstabilitetsteorem": "Högskoleantagning och äktenskapets stabilitet."
Om hållbart äktenskap
Matchande (matchning) - uppgiften att hitta en korrespondens.
Det finns en viss isolerad by. Det finns "m" unga män och "w" flickor. Vi måste gifta dem med varandra. (Inte nödvändigtvis samma nummer, kanske kommer någon i slutändan att lämnas ensam.)
Vilka antaganden behöver göras i modellen? Att det inte är lätt att gifta om sig på måfå. Ett visst steg tas mot fritt val. Låt oss säga att det finns en klok asakal som vill gifta om sig så att skilsmässor inte börjar efter hans död. (skilsmässa är en situation när en man vill ha en tredje partskvinna som sin hustru mer än sin hustru.)
Detta teorem ligger i den moderna ekonomins anda. Hon är exceptionellt omänsklig. Ekonomi har traditionellt sett varit omänsklig. Inom ekonomin ersätts människan av en maskin för att maximera vinsten. Det jag kommer att berätta är helt galna saker ur moralisk synvinkel. Ta det inte till hjärtat.
Ekonomer ser på äktenskap på detta sätt.
m1, m2,... mk - män.
w1, w2,... wL - kvinnor.
En man identifieras med hur han "beställer" tjejer. Det finns också en ”nollnivå”, under vilken kvinnor inte alls kan erbjudas som fru, även om det inte finns några andra.
Allt händer åt båda hållen, samma sak för tjejer.
De initiala uppgifterna är godtyckliga. Det enda antagandet/begränsningen är att vi inte ändrar våra preferenser.
Sats: Oavsett fördelningen och nivån på noll finns det alltid ett sätt att upprätta en en-till-en-korrespondens mellan vissa män och vissa kvinnor så att den är robust mot alla typer av splittringar (inte bara skilsmässor).
Vilka hot kan det finnas?
Det finns ett par (m,w) som inte är gifta. Men för w är nuvarande man sämre än m, och för m är nuvarande fru sämre än w. Detta är en ohållbar situation.
Det finns också möjligheten att någon var gift med någon som är "under noll", i denna situation kommer äktenskapet också att falla isär.
Om en kvinna är gift, men hon föredrar en ogift man, för vilken hon är över noll.
Om två personer båda är ogifta, och båda är "över noll" för varandra.
Det hävdas att det för alla initiala uppgifter finns ett sådant äktenskapssystem som är motståndskraftigt mot alla typer av hot. För det andra är algoritmen för att hitta en sådan jämvikt mycket enkel. Låt oss jämföra med M*N.
Denna modell generaliserades och utökades till "polygami" och tillämpades på många områden.
Gale-Shapley procedur
Om alla män och alla kvinnor följer "recepten", kommer det resulterande äktenskapssystemet att vara hållbart.
Recept.
Vi tar några dagar efter behov. Vi delar upp varje dag i två delar (morgon och kväll).
Den första morgonen går varje man till sin bästa kvinna och knackar på fönstret och ber henne att gifta sig med honom.
På kvällen samma dag går turen till kvinnorna Vad kan en kvinna upptäcka? Att det var en folkmassa under hennes fönster, antingen en eller inga män. De som inte har någon idag hoppar över sin tur och väntar. Resten, som har minst en, kontrollerar männen som kommer för att se att de är "över nivå noll." Att ha minst en. Har du helt otur och allt är under noll så ska alla skickas. Kvinnan väljer den största av dem som kom, säger åt honom att vänta och skickar resten.
Före den andra dagen är situationen denna: vissa kvinnor har en man, andra har ingen.
Den andra dagen måste alla "fria" (sända) män gå till den andra prioriterade kvinnan. Om det inte finns någon sådan person förklaras mannen singel. De män som redan sitter med kvinnor gör ingenting än.
På kvällen tittar kvinnorna på situationen. Om någon som redan satt fick sällskap av en högre prioritet så skickas den lägre prioriteten iväg. Om de som kommer är lägre än vad som redan finns så skickas alla iväg. Kvinnor väljer det maximala elementet varje gång.
Vi upprepar.
Som ett resultat gick varje man igenom hela listan över sina kvinnor och lämnades antingen ensam eller förlovad med någon kvinna. Då ska vi gifta alla.
Är det möjligt att köra hela den här processen, men för kvinnor att springa till män? Proceduren är symmetrisk, men lösningen kan vara annorlunda. Men frågan är, vem har det bättre av detta?
Sats. Låt oss överväga inte bara dessa två symmetriska lösningar, utan uppsättningen av alla stabila äktenskapssystem. Den ursprungliga föreslagna mekanismen (män springer och kvinnor accepterar/vägrar) resulterar i ett äktenskapssystem som är bättre för någon man än någon annan och sämre än någon annan för någon kvinna.
Samkönat äktenskap
Tänk på situationen med "samkönade äktenskap". Låt oss överväga ett matematiskt resultat som ställer tvivel om behovet av att legalisera dem. Ett ideologiskt felaktigt exempel.
Betrakta fyra homosexuella a, b, c, d.
prioriteringar för a: bcd
prioriteringar för b:cad
prioriteringar för c: abd
för d spelar det ingen roll hur han rankar de återstående tre.
Påstående: Det finns inget hållbart äktenskapssystem i detta system.
Hur många system finns det för fyra personer? Tre. ab cd, ac bd, ad bc. Paren kommer att falla isär och processen kommer att gå i cykler.
"Tre-köns"-system.
Detta är den viktigaste frågan som öppnar ett helt område inom matematiken. Detta gjordes av min kollega i Moskva, Vladimir Ivanovich Danilov. Han såg "äktenskap" som att dricka vodka och rollerna var följande: "den som häller upp", "den som talar rostat bröd" och "den som skär korven." I en situation där det finns 4 eller fler representanter för varje roll är det omöjligt att lösa med brute force. Frågan om ett hållbart system är öppen.
Shapley vektor
I stugbyn bestämde man sig för att asfaltera vägen. Behöver chippa in. Hur?
Shapley föreslog en lösning på detta problem 1953. Låt oss anta en konfliktsituation med en grupp människor N={1,2…n}. Kostnader/vinster måste delas. Anta att människor tillsammans gjorde något nyttigt, sålde det och hur fördelar man vinsten?
Shapley föreslog att när vi delar skulle vi vägledas av hur mycket vissa undergrupper av dessa människor kunde få. Hur mycket pengar kan alla 2N icke-tomma delmängder tjäna? Och baserat på denna information skrev Shapley en universell formel.
Exempel. En solist, gitarrist och trummis spelar i en underjordisk passage i Moskva. De tre tjänar 1000 rubel per timme. Hur delar man upp det? Möjligen lika.
V(1,2,3)=1000
Låt oss låtsas som det
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
En rättvis uppdelning kan inte fastställas förrän vi vet vilka vinster som väntar ett givet företag om det bryter sig loss och agerar på egen hand. Och när vi bestämde siffrorna (ställ samarbetsspelet i karaktäristisk form).
Superadditivitet är när de tillsammans tjänar mer än var för sig, när det är mer lönsamt att förena sig, men det är inte klart hur man fördelar vinsterna. Många kopior har brutits om detta.
Det finns ett spel. Tre affärsmän hittade samtidigt en insättning värd 1 miljon dollar. Om de tre är överens, så finns det en miljon av dem. Vilket par som helst kan döda (ta bort från fallet) och få hela miljonen för sig själva. Och ingen kan göra något ensam. Detta är ett läskigt samarbetsspel utan någon lösning. Det kommer alltid att finnas två personer som kan eliminera den tredje... Kooperativ spelteori börjar med ett exempel som inte har någon lösning.
Vi vill ha en sådan lösning att ingen koalition kommer att vilja blockera den gemensamma lösningen. Uppsättningen av alla divisioner som inte kan blockeras är kärnan. Det händer att kärnan är tom. Men även om det inte är tomt, hur ska man dela?
Shapley föreslår att man delar på det här sättet. Kasta ett mynt med n! kanter. Vi skriver ut alla spelare i denna ordning. Låt oss säga den första trummisen. Han kommer in och tar sina 100. Sedan kommer "tvåan", låt oss säga solisten. (Tillsammans med trummisen kan de tjäna 450, trummisen har redan tagit 100) Solisten tar 350. Gitarristen går in (tillsammans 1000, -450), tar 550. Den sist in vinner ganska ofta. (Supermodularitet)
Om vi skriver ut för alla beställningar:
GSB - (vinst C) - (vinst D) - (vinst B)
SGB - (vinst C) - (vinst D) - (vinst B)
SBG - (vinst C) - (vinst D) - (vinst B)
BSG - (vinst C) - (vinst D) - (vinst B)
BGS - (vinst C) - (vinst D) - (vinst B)
GBS - (vinst C) - (vinst D) - (vinst B)
Och för varje kolumn lägger vi till och dividerar med 6 - i genomsnitt över alla beställningar - detta är en Shapley-vektor.
Shapley bevisade satsen (ungefär): Det finns en klass av spel (supermodulära), där nästa person som går med i ett stort lag ger en större vinst. Kärnan är alltid icke-tom och är en konvex kombination av punkter (i vårt fall, 6 punkter). Shapley-vektorn ligger i centrum av kärnan. Det kan alltid erbjudas som en lösning, ingen kommer att vara emot det.
1973 bevisades det att problemet med stugor är supermodulärt.
Alla n personer delar vägen till första stugan. Upp till den andra - n-1 personer. Etc.
Flygplatsen har en landningsbana. Olika företag behöver olika längder. Samma problem uppstår.
Jag tror att de som delade ut Nobelpriset hade denna förtjänst i åtanke, och inte bara uppgiften att marginalisera.
Tack!
Ещё
- Kanal "Math - Simple":
- Kanal "Savvateev utan gränser": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Offentlig "Matematik är enkel":
- Offentligt "matematiker skämt":
- Webbplats, alla föreläsningar där +100 lektioner och mer: savvateev.xyz
Källa: will.com