Tunaleta mlinganyo wa rejista ya mstari katika umbo la matrix

Madhumuni ya kifungu ni kutoa msaada kwa wanasayansi wa data wanaoanza. KATIKA makala iliyopita Tumeelezea njia tatu za kutatua mlingano wa urejeshaji wa mstari: suluhu ya uchanganuzi, mteremko wa kushuka, mteremko wa upinde rangi wa stochastiki. Kisha kwa suluhisho la uchambuzi tulitumia formula . Katika nakala hii, kama kichwa kinapendekeza, tutahalalisha utumiaji wa fomula hii au, kwa maneno mengine, tutaipata sisi wenyewe.

Kwa nini ni mantiki kulipa kipaumbele zaidi kwa formula ?

Ni kwa equation ya matrix ambayo katika hali nyingi mtu huanza kufahamiana na urejeshaji wa mstari. Wakati huo huo, mahesabu ya kina ya jinsi formula ilitolewa ni nadra.

Kwa mfano, katika kozi za kujifunza mashine kutoka kwa Yandex, wakati wanafunzi wanaletwa utaratibu, hutolewa kutumia kazi kutoka kwa maktaba. fahamu, wakati hakuna neno lililotajwa kuhusu uwakilishi wa matrix ya algorithm. Ni wakati huu ambapo wasikilizaji wengine wanaweza kutaka kuelewa suala hili kwa undani zaidi - andika msimbo bila kutumia vitendaji vilivyotengenezwa tayari. Na kufanya hivyo, lazima kwanza uwasilishe equation na kawaida katika fomu ya matrix. Nakala hii itawaruhusu wale wanaotaka kujua ustadi kama huo. Tuanze.

Masharti ya awali

Viashiria vya lengo

Tuna anuwai ya maadili yanayolengwa. Kwa mfano, kiashiria cha lengo kinaweza kuwa bei ya mali yoyote: mafuta, dhahabu, ngano, dola, nk. Wakati huo huo, kwa idadi ya maadili ya viashiria vya lengo tunamaanisha idadi ya uchunguzi. Uchunguzi huo unaweza kuwa, kwa mfano, bei ya kila mwezi ya mafuta kwa mwaka, yaani, tutakuwa na maadili 12 ya lengo. Wacha tuanze kutambulisha nukuu. Hebu tuonyeshe kila thamani ya kiashiria cha lengo kama . Kwa jumla tunayo uchunguzi, ambayo ina maana tunaweza kuwakilisha uchunguzi wetu kama .

Warejeshi

Tutafikiria kuwa kuna mambo ambayo kwa kiwango fulani yanaelezea maadili ya kiashiria kinacholengwa. Kwa mfano, kiwango cha ubadilishaji wa dola / ruble huathiriwa sana na bei ya mafuta, kiwango cha Hifadhi ya Shirikisho, nk Mambo hayo huitwa regressors. Wakati huo huo, kila thamani ya kiashiria cha lengo lazima ilingane na thamani ya regressor, yaani, ikiwa tuna viashiria 12 vya lengo kwa kila mwezi mwaka wa 2018, basi tunapaswa pia kuwa na maadili 12 ya regressor kwa kipindi hicho. Wacha tuonyeshe maadili ya kila kiboreshaji kwa . Hebu katika kesi yetu iwe warejeshi (yaani. mambo yanayoathiri maadili ya viashiria lengwa). Hii ina maana kwamba regressors zetu zinaweza kuwasilishwa kama ifuatavyo: kwa regressor ya 1 (kwa mfano, bei ya mafuta): , kwa kiboreshaji cha 2 (kwa mfano, kiwango cha Fed): , Kwa"-th" kirejeshi:

Utegemezi wa viashirio lengwa kwenye virejeshi

Hebu tuchukue kwamba utegemezi wa kiashiria cha lengo kutoka kwa warejeshaji "th" uchunguzi unaweza kuonyeshwa kupitia usawa wa rejista wa fomu:

Ambapo - "-th" thamani ya kirejeshi kutoka 1 hadi ,

- idadi ya regressors kutoka 1 hadi

- mgawo wa angular, ambayo inawakilisha kiasi ambacho kiashiria cha lengo kilichohesabiwa kitabadilika kwa wastani wakati regressor inabadilika.

Kwa maneno mengine, sisi ni wa kila mtu (isipokuwa ) ya kirejeshi tunaamua mgawo "wetu". , kisha zidisha coefficients kwa maadili ya regressors "th" uchunguzi, kama matokeo tunapata makadirio fulani "-th" kiashiria cha lengo.

Kwa hiyo, tunahitaji kuchagua coefficients vile , ambapo maadili ya kazi yetu ya kukadiria itakuwa iko karibu iwezekanavyo na maadili ya viashiria lengwa.

Kutathmini ubora wa kipengele cha kukadiria

Tutaamua tathmini ya ubora wa kipengele cha kukadiria kwa kutumia mbinu ya angalau miraba. Kazi ya tathmini ya ubora katika kesi hii itachukua fomu ifuatayo:

Tunahitaji kuchagua maadili kama haya ya coefficients $w$ ambayo thamani yake itakuwa ndogo zaidi.

Kubadilisha equation kuwa fomu ya matrix

Uwakilishi wa Vekta

Kuanza, ili kurahisisha maisha yako, unapaswa kuzingatia equation ya rejista ya mstari na utambue kuwa mgawo wa kwanza. haizidishiwi na kirejeshi chochote. Wakati huo huo, tunapobadilisha data kuwa fomu ya matrix, hali iliyotajwa hapo juu itachanganya sana hesabu. Katika suala hili, inapendekezwa kuanzisha regressor nyingine kwa mgawo wa kwanza na kuilinganisha na moja. Au tuseme, kila "linganisha dhamana ya th ya regressor hii kwa moja - baada ya yote, ikizidishwa na moja, hakuna kitakachobadilika kutoka kwa mtazamo wa matokeo ya mahesabu, lakini kutoka kwa mtazamo wa sheria za bidhaa za matrices, mateso yetu. itapungua kwa kiasi kikubwa.

Sasa, kwa sasa, ili kurahisisha nyenzo, wacha tufikirie kuwa tunayo moja tu "-th" uchunguzi. Kisha, fikiria maadili ya regressors "-th" uchunguzi kama vekta . Vekta ina mwelekeo Hiyo ni, safu na safu 1:

Wacha tuwakilishe mgawo unaohitajika kama vekta , kuwa na mwelekeo :

Mlinganyo wa urejeshaji wa mstari wa "-th" uchunguzi utachukua fomu:

Kazi ya kutathmini ubora wa modeli ya mstari itachukua fomu:

Tafadhali kumbuka kuwa kwa mujibu wa sheria za kuzidisha matrix, tulihitaji kupitisha vekta .

Uwakilishi wa Matrix

Kama matokeo ya kuzidisha veta, tunapata nambari: , ambayo inatarajiwa. Nambari hii ni makadirio "-th" kiashiria cha lengo. Lakini tunahitaji makadirio ya sio thamani moja tu inayolengwa, lakini zote. Ili kufanya hivyo, hebu tuandike kila kitu "-th" virekebishaji katika umbizo la matrix . Matrix inayosababisha ina mwelekeo :

Sasa equation ya rejista ya mstari itachukua fomu:

Wacha tuonyeshe maadili ya viashiria vya lengo (zote ) kwa kila vekta mwelekeo :

Sasa tunaweza kuandika equation ya kutathmini ubora wa modeli ya mstari katika umbizo la matrix:

Kwa kweli, kutoka kwa fomula hii tunapata zaidi fomula inayojulikana kwetu

Inafanywaje? Mabano yanafunguliwa, utofautishaji unafanywa, maneno yanayotokana yanabadilishwa, nk, na hii ndiyo hasa tutafanya sasa.

Mabadiliko ya matrix

Hebu tufungue mabano

Wacha tuandae equation kwa utofautishaji

Ili kufanya hivyo, tutafanya mabadiliko kadhaa. Katika mahesabu yafuatayo itakuwa rahisi zaidi kwetu ikiwa vector itawakilishwa mwanzoni mwa kila bidhaa katika equation.

Uongofu 1

Ilifanyikaje? Ili kujibu swali hili, angalia tu saizi za matiti zinazozidishwa na uone kuwa kwenye matokeo tunapata nambari au vinginevyo. .

Wacha tuandike saizi za misemo ya matrix.

Uongofu 2

Wacha tuiandike kwa njia sawa na mabadiliko 1

Kwenye pato tunapata equation ambayo tunapaswa kutofautisha:

Tunatofautisha utendaji wa tathmini ya ubora wa muundo

Hebu tutofautishe kwa heshima na vector :

Maswali kwa nini haipaswi kuwa, lakini tutachunguza shughuli za kuamua derivatives katika maneno mengine mawili kwa undani zaidi.

Utofautishaji 1

Wacha tuongeze juu ya utofautishaji:

Ili kuamua derivative ya matrix au vector, unahitaji kuangalia ni nini ndani yao. Hebu tuangalie:

Wacha tuonyeshe bidhaa ya matrices kupitia tumbo . Matrix mraba na zaidi ya hayo, ni linganifu. Mali hizi zitakuwa na manufaa kwetu baadaye, hebu tuzikumbuke. Matrix ina mwelekeo :

Sasa kazi yetu ni kuzidisha vekta kwa usahihi na tumbo na sio kupata "mara mbili ni tano," kwa hivyo wacha tuzingatie na tuwe waangalifu sana.

Hata hivyo, tumepata usemi tata! Kwa kweli, tulipata nambari - scalar. Na sasa, kwa kweli, tunaendelea kwa utofautishaji. Inahitajika kupata derivative ya usemi unaosababishwa kwa kila mgawo na upate vekta ya mwelekeo kama pato . Ikiwezekana, nitaandika taratibu kwa hatua:

1) kutofautisha na , tunapata:

2) kutofautisha na , tunapata:

3) kutofautisha na , tunapata:

Pato ni vector iliyoahidiwa ya ukubwa :

Ikiwa unatazama vekta kwa karibu zaidi, utaona kwamba vipengele vya kushoto na vinavyolingana vya kulia vya vector vinaweza kuwekwa kwa njia ambayo, kwa sababu hiyo, vector inaweza kutengwa na vector iliyowasilishwa. saizi . Kwa mfano (kipengele cha kushoto cha mstari wa juu wa vekta) (kipengele cha kulia cha mstari wa juu wa vekta) kinaweza kuwakilishwa kama Na - kama na kadhalika. kwenye kila mstari. Wacha tupange kikundi:

Hebu tuondoe vector na kwa pato tunapata:

Sasa, hebu tuangalie kwa karibu matrix inayosababisha. Matrix ni jumla ya matrices mbili :

Hebu tukumbuke kwamba mapema kidogo tulibainisha mali moja muhimu ya matrix - ina ulinganifu. Kulingana na mali hii, tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba kujieleza sawa . Hii inaweza kuthibitishwa kwa urahisi kwa kupanua bidhaa ya kipengele cha matrices kwa kipengele . Hatutafanya hivi hapa; wale wanaopenda wanaweza kuiangalia wenyewe.

Turudi kwenye usemi wetu. Baada ya mabadiliko yetu, ikawa kama tulitaka kuiona:

Kwa hivyo, tumekamilisha utofautishaji wa kwanza. Wacha tuendelee kwenye usemi wa pili.

Utofautishaji 2

Wacha tufuate njia iliyopigwa. Itakuwa fupi sana kuliko ile iliyopita, kwa hivyo usiende mbali sana na skrini.

Wacha tupanue veta na kipengee cha matrix kwa kipengele:

Hebu tuondoe mbili kutoka kwa mahesabu kwa muda - haifai jukumu kubwa, basi tutaiweka tena mahali pake. Wacha tuzidishe vekta kwa matrix. Kwanza kabisa, hebu tuzidishe matrix kwa vekta , hatuna vikwazo hapa. Tunapata vector ya ukubwa :

Hebu tufanye hatua ifuatayo - kuzidisha vector kwa vector inayosababisha. Wakati wa kutoka nambari itakuwa ikitusubiri:

Kisha tutaitofautisha. Katika pato tunapata vector ya mwelekeo :

Je, unanikumbusha kitu? Hiyo ni sawa! Hii ni bidhaa ya matrix kwa vekta .

Kwa hivyo, utofautishaji wa pili umekamilika kwa mafanikio.

Badala ya hitimisho

Sasa tunajua jinsi usawa ulikuja .

Hatimaye, tutaelezea njia ya haraka ya kubadilisha fomula za msingi.

Wacha tuchunguze ubora wa mfano kulingana na njia ndogo ya mraba:

Wacha tutofautishe usemi unaosababisha:

Fasihi

Vyanzo vya mtandao:

1) habr.com/sw/post/278513
2) habr.com/ru/company/ods/blog/322076
3) habr.com/sw/post/307004
4) nabatchikov.com/blog/view/matrix_der

Vitabu, makusanyo ya shida:

1) Vidokezo vya mihadhara juu ya hesabu ya juu: kozi kamili / D.T. Imeandikwa - toleo la 4. - M.: Iris-press, 2006
2) Uchambuzi wa urejeshaji uliotumika / N. Draper, G. Smith - 2nd ed. – M.: Fedha na Takwimu, 1986 (tafsiri kutoka Kiingereza)
3) Shida za kutatua hesabu za matrix:
function-x.ru/matrix_equations.html
mathprofi.ru/deistviya_s_matricami.html

Chanzo: mapenzi.com