தெளிவற்ற தூண்டல் முறை மற்றும் மாடலிங் அறிவு மற்றும் தகவல் அமைப்புகளுக்கான அதன் பயன்பாடு

இந்தக் கட்டுரை, ஆசிரியர் உருவாக்கிய தெளிவற்ற கணிதம் மற்றும் பின்னக் கோட்பாட்டின் கலவையாக உருவாக்கப்பட்ட ஒரு தெளிவற்ற தூண்டல் முறையை முன்மொழிகிறது. ஒரு தெளிவற்ற தொகுப்பின் மறுநிகழ்வின் அளவு பற்றிய கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது, மேலும் ஒரு தொகுப்பின் முழுமையற்ற மறுநிகழ்வு, டொமைன் மாடலிங் செய்வதற்கான அதன் பகுதியளவு பரிமாணமாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. முன்மொழியப்பட்ட முறை மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் அறிவு மாதிரிகள் தெளிவற்ற தொகுப்புகளாகப் பயன்படுத்தப்படுவது, மென்பொருள் பயன்பாட்டு நிகழ்வுகளின் வளர்ச்சி மற்றும் சோதனை உட்பட தகவல் அமைப்புகளின் வாழ்க்கைச் சுழற்சி மேலாண்மையை உள்ளடக்கியதாகக் கருதப்படுகிறது.

தலைப்பு சார்ந்த

தகவல் அமைப்புகளின் வடிவமைப்பு, மேம்பாடு, செயல்படுத்தல் மற்றும் செயல்பாட்டின் போது, ​​மென்பொருள் வாழ்க்கைச் சுழற்சியின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் வெளிப்புறமாக சேகரிக்கப்பட்ட அல்லது உருவாக்கப்பட்ட தரவு, தகவல் மற்றும் அறிவைக் குவித்து முறைப்படுத்துவது அவசியம். இது வடிவமைப்பு வேலை மற்றும் முடிவெடுப்பதற்கான அத்தியாவசிய தகவல் மற்றும் வழிமுறை ஆதரவை வழங்குகிறது மற்றும் அதிக நிச்சயமற்ற சூழ்நிலைகளிலும் மோசமாக கட்டமைக்கப்பட்ட சூழல்களிலும் குறிப்பாக பொருத்தமானது. அத்தகைய வளங்களின் குவிப்பு மற்றும் முறைப்படுத்தலின் விளைவாக உருவாகும் அறிவுத் தளம், தகவல் அமைப்பை உருவாக்கும் போது திட்டக் குழுவால் பெறப்பட்ட பயனுள்ள அனுபவத்தின் ஆதாரமாக மட்டுமல்லாமல், திட்டப் பணிகளைச் செயல்படுத்துவதற்கான புதிய பார்வைகள், முறைகள் மற்றும் வழிமுறைகளை மாதிரியாக்குவதற்கான எளிய வழிமுறையாகவும் இருக்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அத்தகைய அறிவுத் தளம் அறிவுசார் மூலதனத்தின் களஞ்சியமாகவும், அதே நேரத்தில், ஒரு அறிவு மேலாண்மை கருவியாகவும் உள்ளது [3, 10].

ஒரு கருவியாக ஒரு அறிவுத் தளத்தின் செயல்திறன், பயன் மற்றும் தரம் அதன் பராமரிப்பின் வள தீவிரம் மற்றும் அறிவு பிரித்தெடுப்பின் செயல்திறன் ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடையது. தளத்தில் அறிவைச் சேகரித்து பதிவு செய்வது எளிமையாகவும் வேகமாகவும் இருக்கும், மேலும் அதற்கான வினவல்களின் முடிவுகள் மிகவும் பொருத்தமானதாக இருக்கும், கருவியே சிறந்ததாகவும் நம்பகமானதாகவும் இருக்கும் [1, 2]. இருப்பினும், அமைப்புகளுக்குப் பொருந்தக்கூடிய தனித்துவமான முறைகள் மற்றும் கட்டமைப்பு கருவிகள் தரவுத்தள மேலாண்மைதொடர்புடைய தரவுத்தள உறவுகளை இயல்பாக்குவது உட்பட, சொற்பொருள் கூறுகள், விளக்கங்கள், இடைவெளி மற்றும் தொடர்ச்சியான சொற்பொருள் தொகுப்புகளின் விளக்கம் அல்லது மாதிரியை அனுமதிக்காது [4, 7, 10]. இதற்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஆன்டாலஜிகளின் குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகளைப் பொதுமைப்படுத்தும் மற்றும் அறிவு மாதிரியை தகவல் அமைப்பின் பொருள் பகுதியின் தொடர்ச்சியான விளக்கத்திற்கு நெருக்கமாகக் கொண்டுவரும் ஒரு வழிமுறை அணுகுமுறை தேவைப்படுகிறது.

அத்தகைய அணுகுமுறை தெளிவற்ற கணிதக் கோட்பாட்டின் விதிகள் மற்றும் பின்ன பரிமாணக் கருத்து [3, 6] ஆகியவற்றின் கலவையாக இருக்கலாம். கோடெல் முழுமையற்ற தன்மை கொள்கையின் கட்டுப்பாடுகளின் கீழ் (ஒரு தகவல் அமைப்பில் - பகுத்தறிவின் அடிப்படை முழுமையற்ற தன்மை, அதன் நிலைத்தன்மையின் நிபந்தனையின் கீழ் இந்த அமைப்பிலிருந்து பெறப்பட்ட அறிவு), தொடர்ச்சியான தெளிவின்மை (மங்கலான தன்மைக்குக் குறைப்பு) செய்வதன் கீழ், தொடர்ச்சியின் அளவின் அளவுகோலின் படி அறிவின் விளக்கத்தை மேம்படுத்துவதன் மூலம், ஒரு குறிப்பிட்ட அறிவின் வரிசையை மிகவும் முழுமையாகவும் ஒத்திசைவாகவும் காண்பிக்கும் ஒரு முறைப்படுத்தப்பட்ட விளக்கத்தைப் பெறுகிறோம். தகவல் செயல்முறைகளின் எந்தவொரு செயல்பாடுகளையும் - சேகரிப்பு, சேமிப்பு, செயலாக்கம் மற்றும் பரிமாற்றம் [5, 8, 9] - செய்ய முடியும்.

தெளிவற்ற தொகுப்பு மறுநிகழ்வின் வரையறை

மாதிரியாக்கப்படும் அமைப்பின் சில பண்புகளின் மதிப்புகளின் தொகுப்பாக X இருக்கட்டும்:

(1)

இங்கு n = [N ≥ 3] என்பது அத்தகைய பண்பின் மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை (தொடக்கத் தொகுப்பை விட அதிகமாக (0; 1) – (தவறு; உண்மை)).
X = B என்று வைத்துக்கொள்வோம், இங்கு B = {a,b,c,…,z} என்பது X பண்புக்கூறு மதிப்புகளின் தொகுப்பிற்கு உறுப்பு வாரியாக ஒத்திருக்கும் சமமானவர்களின் தொகுப்பாகும்.
பின்னர் தெளிவற்ற தொகுப்பு , இது சிறப்பியல்பு X ஐ விவரிக்கும் தெளிவற்ற (பொதுவாக) கருத்துக்கு ஒத்திருக்கிறது, இதை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்:

(2)

இங்கு m என்பது விளக்க தனிப்படுத்தலின் படி, i என்பது N - படி பெருக்கத்தைச் சேர்ந்தது.
அதன்படி, விளக்கத்தின் தொடர்ச்சி (மென்மை) அளவுகோலின் படி தகவல் அமைப்பைப் பற்றிய அறிவின் மாதிரியை மேம்படுத்துவதற்காக, பகுத்தறிவின் முழுமையற்ற இடத்தின் எல்லைக்குள் மீதமுள்ள, நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம் தெளிவற்ற தொகுப்பின் மறுநிகழ்வு அளவு அதன் பிரதிநிதித்துவத்தின் பின்வரும் பதிப்பைப் பெறுகிறோம்:

(3)

எங்கே – ஒரு தெளிவற்ற கருத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு தொகுப்பு, இது பொதுவாக X பண்புகளை தொகுப்பை விட முழுமையாக விவரிக்கிறது. மென்மை அளவுகோலின் படி; Re என்பது விளக்கத்தின் மறுநிகழ்வின் அளவு.
தயவு செய்து கவனிக்கவும் தேவைப்பட்டால் ஒரு குறிப்பிட்ட சந்தர்ப்பத்தில் (ஒரு மிருதுவான தொகுப்பாகக் குறைக்கலாம்).

பின்ன பரிமாணங்களின் அறிமுகம்

Re = 1 செட் ஆகும் போது 2வது பட்டத்தின் ஒரு சாதாரண தெளிவற்ற தொகுப்பாகும், இதில் X பண்புகளின் அனைத்து மதிப்புகளையும் விவரிக்கும் கூறுகளாக தெளிவற்ற தொகுப்புகள் (அல்லது அவற்றின் தெளிவான வரைபடங்கள்) அடங்கும் [1, 2]:

(4)

இருப்பினும், இது ஒரு சீரழிந்த வழக்கு, மேலும் மிகவும் முழுமையான பிரதிநிதித்துவத்தில், சில கூறுகள் கணங்களாக இருக்கலாம், மீதமுள்ளவை அற்பமான (மிகவும் எளிமையான) பொருள்களாகும். எனவே, அத்தகைய கணத்தை வரையறுக்க, அறிமுகப்படுத்துவது அவசியம் பின்ன மறுநிகழ்வு – இடத்தின் பின்ன பரிமாணத்தின் ஒப்புமை (இந்த சூழலில் – ஒரு குறிப்பிட்ட பாடப் பகுதியின் ஆன்டாலஜி இடம்) [3, 9].

Re பின்னமாக இருக்கும்போது, ​​பின்வரும் உள்ளீட்டைப் பெறுகிறோம். :

(5)

எங்கே – X1 மதிப்புக்கான தெளிவற்ற தொகுப்பு, – X2 போன்ற மதிப்புகளுக்கான தெளிவற்ற தொகுப்பு.

இந்த நிகழ்வில், மறுநிகழ்வு அடிப்படையில் பின்னமாகிறது, மேலும் விளக்கங்களின் தொகுப்புகள் சுய-ஒத்ததாகின்றன.

தொகுதி செயல்பாட்டின் தொகுப்பை வரையறுத்தல்

திறந்த தகவல் அமைப்பின் கட்டமைப்பு மட்டுப்படுத்தல் கொள்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது அளவிடுதல், நகலெடுத்தல், தகவமைப்பு மற்றும் அமைப்பு வெளிப்பாட்டை செயல்படுத்துகிறது. மட்டு வடிவமைப்பு, தகவல் செயல்முறைகளின் தொழில்நுட்ப செயல்படுத்தலை உண்மையான உலகில் அவற்றின் இயல்பான, புறநிலை உருவகத்திற்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக இருக்க அனுமதிக்கிறது, மேலும் அவற்றின் செயல்பாட்டு பண்புகளில் மிகவும் வசதியான மற்றும் மக்களை மாற்றுவதற்காக அல்ல, ஆனால் அறிவு மேலாண்மையில் அவர்களுக்கு திறம்பட உதவுவதற்காக வடிவமைக்கப்பட்ட கருவிகளை உருவாக்குகிறது.

ஒரு தொகுதி என்பது ஒரு தகவல் அமைப்பின் தனி நிறுவனமாகும், இது அமைப்பின் இருப்பு நோக்கங்களுக்காக கட்டாயமாகவோ அல்லது விருப்பமாகவோ இருக்கலாம், ஆனால் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் அமைப்பின் எல்லைகளுக்குள் ஒரு தனித்துவமான செயல்பாடுகளை வழங்குகிறது.

தொகுதிகளின் செயல்பாட்டுத் திறன்களின் முழு பன்முகத்தன்மையையும் மூன்று வகையான செயல்பாடுகளால் விவரிக்கலாம்: உருவாக்கம் (புதிய தரவை எழுதுதல்), திருத்துதல் (முன்பு பதிவுசெய்யப்பட்ட தரவை மாற்றுதல்), நீக்குதல் (முன்பு பதிவுசெய்யப்பட்ட தரவை அழித்தல்).

அத்தகைய செயல்பாட்டுத் திறன்களின் சில சிறப்பியல்புகளாக X இருக்கட்டும், பின்னர் தொடர்புடைய தொகுப்பு X ஐ இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்:

(6)

இங்கு X1 என்பது உருவாக்கம், X2 என்பது திருத்துதல், X3 என்பது நீக்குதல்,

(7)

மேலும், எந்தவொரு தொகுதியின் செயல்பாடானது தரவு உருவாக்கம் சுய-ஒத்ததாக இருக்காது (மறுநிகழ்வு இல்லாமல் செயல்படுத்தப்படுகிறது - உருவாக்க செயல்பாடு தன்னைத்தானே திரும்பத் திரும்பச் செய்யாது), மேலும் பொதுவான வழக்கில் திருத்துதல் மற்றும் நீக்குதல் ஆகியவை உறுப்பு-மூலம்-உறுப்பு செயல்படுத்தல் (தரவுத் தொகுப்புகளின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கூறுகளில் ஒரு செயல்பாட்டைச் செய்தல்) இரண்டையும் வழங்க முடியும், மேலும் அவை ஒத்த செயல்பாடுகளை உள்ளடக்குகின்றன.

கொடுக்கப்பட்ட தொகுதியில் உள்ள ஒரு செயல்பாடான X-க்கான செயல்பாடு செய்யப்படாவிட்டால் (அது அமைப்பில் செயல்படுத்தப்படவில்லை), அத்தகைய செயல்பாட்டிற்கு ஒத்த தொகுப்பு காலியாகக் கருதப்படுகிறது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

எனவே, தெளிவற்ற கருத்தை (அறிக்கை) விவரிக்க, "தகவல் அமைப்பின் நோக்கங்களுக்காக தொடர்புடைய தரவுத் தொகுப்பைக் கொண்டு ஒரு செயல்பாட்டைச் செய்ய தொகுதி உங்களை அனுமதிக்கிறது", தெளிவற்ற தொகுப்பு எளிமையான வழக்கில், இதை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்:

(8)

பொது வழக்கில் இத்தகைய தொகுப்பு 1,6(6) க்கு சமமான மறுநிகழ்வு அளவைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அதே நேரத்தில் பின்னமாகவும் தெளிவற்றதாகவும் இருக்கும்.

தொகுதியைப் பயன்படுத்துவதற்கும் சோதிப்பதற்கும் காட்சிகளைத் தயாரித்தல்

ஒரு தகவல் அமைப்பின் வளர்ச்சி மற்றும் செயல்பாட்டின் கட்டங்களில், தொகுதிக்கூறுகளை அவற்றின் செயல்பாட்டு நோக்கத்திற்காகப் பயன்படுத்துவதற்கான செயல்பாடுகளின் வரிசை மற்றும் உள்ளடக்கத்தை விவரிக்கும் சிறப்பு காட்சிகள் தேவைப்படுகின்றன (பயன்பாட்டு-நிகழ்வு காட்சிகள்), அத்துடன் தொகுதிக்கூறுகளின் செயல்பாட்டின் எதிர்பார்க்கப்படும் மற்றும் உண்மையான முடிவுகளின் இணக்கத்தை சரிபார்க்கவும் (சோதனை-நிகழ்வு காட்சிகள்).

மேலே குறிப்பிட்டுள்ள கருத்துக்களைக் கருத்தில் கொண்டு, அத்தகைய சூழ்நிலைகளில் பணிபுரியும் செயல்முறையை பின்வருமாறு விவரிக்கலாம்.

தொகுதிக்கு ஒரு தெளிவற்ற தொகுப்பு உருவாக்கப்படுகிறது. :

(9)

எங்கே
– செயல்பாடு X இல் தரவை உருவாக்கும் செயல்பாட்டிற்கான தெளிவற்ற தொகுப்பு;
– X செயல்பாட்டில் தரவைத் திருத்துவதற்கான ஒரு தெளிவற்ற தொகுப்பு, இதில் மறுநிகழ்வு a (செயல்பாடு உட்பொதித்தல்) அளவு ஒரு இயற்கை எண்ணாகும் மற்றும் அற்பமான வழக்கில் 1 க்கு சமமாக இருக்கும்;
– செயல்பாட்டு திறன் X இல் தரவை நீக்குவதற்கான ஒரு தெளிவற்ற தொகுப்பு, இதில் மறுநிகழ்வு b (செயல்பாடு உட்பொதித்தல்) அளவு ஒரு இயற்கை எண்ணாகும் மற்றும் அற்பமான வழக்கில் 1 க்கு சமமாக இருக்கும்.

இந்த தொகுப்பு விவரிக்கிறது, சரியாக என்ன (எந்த தரவு பொருள்கள்) உருவாக்கப்படுகின்றன, திருத்தப்படுகின்றன மற்றும்/அல்லது நீக்கப்படுகின்றன தொகுதியின் எந்தவொரு பயன்பாட்டிற்கும்.

பின்னர் கேள்விக்குரிய தொகுதிக்கான X செயல்பாட்டிற்காக Ux பயன்பாட்டு காட்சிகளின் தொகுப்பு தொகுக்கப்படுகிறது, அவை ஒவ்வொன்றும் விவரிக்கிறது, தொகுப்பால் விவரிக்கப்படும் தரவுப் பொருள்கள் எந்த நோக்கத்திற்காக (எந்த வணிகப் பணிக்காக) உருவாக்கப்படுகின்றன, திருத்தப்படுகின்றன மற்றும்/அல்லது நீக்கப்படுகின்றன? , மற்றும் எந்த வரிசையில்:

(10)

இங்கு n என்பது X-க்கான பயன்பாட்டு நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை.

அடுத்து, பரிசீலனையில் உள்ள தொகுதியின் ஒவ்வொரு பயன்பாட்டு நிகழ்விற்கும் X செயல்பாட்டுக்கான சோதனை காட்சிகளின் தொகுப்பு Tx தொகுக்கப்படுகிறது. சோதனை காட்சி விவரிக்கிறது, ஒரு பயன்பாட்டு வழக்கை செயல்படுத்தும்போது என்ன தரவு மதிப்புகள் மற்றும் எந்த வரிசையில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, என்ன முடிவைப் பெற வேண்டும்:

(11)

இங்கு [D] என்பது சோதனை தரவு வரிசை, n என்பது X க்கான சோதனை காட்சிகளின் எண்ணிக்கை.
விவரிக்கப்பட்ட அணுகுமுறையில், சோதனைக் காட்சிகளின் எண்ணிக்கை தொடர்புடைய பயன்பாட்டு நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும், இது அமைப்பு உருவாகும்போது அவற்றின் விளக்கத்தையும் புதுப்பிப்பையும் எளிதாக்குகிறது. மேலும், இந்த வழிமுறை ஒரு தகவல் அமைப்பிற்குள் மென்பொருள் தொகுதிகளின் சோதனையை தானியக்கமாக்கப் பயன்படுகிறது.

முடிவுக்கு

வழங்கப்பட்ட தெளிவற்ற தூண்டல் முறையை, எந்தவொரு மட்டு தகவல் அமைப்பின் வாழ்க்கைச் சுழற்சியின் வெவ்வேறு கட்டங்களிலும், அறிவுத் தளத்தின் விளக்கமான பகுதியைக் குவிப்பதற்கும், தொகுதிகளைப் பயன்படுத்துவதற்கும் சோதிப்பதற்கும் காட்சிகளில் பணியாற்றுவதற்கும் செயல்படுத்தலாம்.

மேலும், தெளிவற்ற தூண்டல், "அறிவாற்றல் கலைடோஸ்கோப்" போன்ற, விளைந்த தெளிவற்ற விளக்கங்களின் அடிப்படையில் அறிவை ஒருங்கிணைக்க உதவுகிறது, இதில் சில கூறுகள் தெளிவாகவும் தெளிவற்றதாகவும் இருக்கும், மற்றவை, சுய-ஒற்றுமை விதியின்படி, அறியப்பட்ட ஒவ்வொரு தரவுத் தொகுப்பிற்கும், மறுநிகழ்வின் அளவால் குறிப்பிடப்பட்ட பல முறை பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒன்றாக எடுத்துக்கொண்டால், விளைந்த தெளிவற்ற தொகுப்புகள் ஒரு மாதிரியை உருவாக்குகின்றன, இது தகவல் அமைப்பு நோக்கங்களுக்காகவும் புதிய அறிவிற்கான பொதுவான தேடலுக்காகவும் பயன்படுத்தப்படலாம்.

இந்த வகை முறையை "செயற்கை நுண்ணறிவின்" தனித்துவமான வடிவமாக வகைப்படுத்தலாம், ஏனெனில் தொகுக்கப்பட்ட தொகுப்புகள் முழுமையற்ற பகுத்தறிவின் கொள்கைக்கு முரணாக இருக்கக்கூடாது, மேலும் அதை மாற்றுவதற்குப் பதிலாக மனித நுண்ணறிவுக்கு உதவுவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளன.

குறிப்புகள்

1. போரிசோவ் வி.வி., ஃபெடோலோவ் ஏ.எஸ்., ஜெர்னோவ் எம்.எம்., "தெளிவில்லாத தொகுப்புகளின் கோட்பாட்டின் அடிப்படைகள்". மாஸ்கோ: கோரியாசாயா லினியா - டெலிகாம், 2014. - 88 பக்.
2. Borisov V.V., Fedolov A.S., Zernov M.M., "தெளிவில்லாத தருக்க அனுமானத்தின் கோட்பாட்டின் அடிப்படைகள்". மாஸ்கோ: கோரியாசாயா லினியா - டெலிகாம், 2014. - 122 பக்.
3. டெமெனோக் எஸ்.எல்., “ஃப்ராக்டல்: பிட்வீன் மித் அண்ட் கிராஃப்ட்.” செயிண்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க்: கலாச்சார ஆராய்ச்சி அகாடமி, 2011. – 296 பக்.
4. சேட் எல்., "சிக்கலான அமைப்புகள் மற்றும் முடிவெடுக்கும் செயல்முறைகளின் பகுப்பாய்விற்கான ஒரு புதிய அணுகுமுறையின் அடிப்படைகள்" / "இன்றைய கணிதம்". மாஸ்கோ: "அறிவு", 1974. - ப. 5 - 49.
5. கிராண்ட்ஸ் எஸ்., “கணிதச் சான்றுகளின் மாறிவரும் தன்மை.” மாஸ்கோ: அறிவு ஆய்வகம், 2016. – 320 பக்.
6. மவ்ரிகிடி எஃப்.ஐ., “பிராக்டல் கணிதம் மற்றும் மாற்றத்தின் தன்மை” / “டெல்பிஸ்”, எண். 54 (2/2008), http://www.delphis.ru/journal/article/fraktalnaya-matematika-i-priroda-peremen.
7. மண்டேல்பிரோட் பி., "ஃப்ராக்டல் ஜியோமெட்ரி ஆஃப் நேச்சர்". மாஸ்கோ: இன்ஸ்டிடியூட் ஆஃப் கம்ப்யூட்டர் ரிசர்ச், 2002. – 656 பக்.
8. "தெளிவற்ற தொகுப்புகளின் கோட்பாட்டின் அடிப்படைகள்: வழிமுறை வழிகாட்டுதல்கள்", ஐ.எல். கொரோபோவா, ஐ.ஏ. டியாகோவ் ஆகியோரால் தொகுக்கப்பட்டது. தம்போவ்: தம்போவ் மாநில தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகத்தின் வெளியீட்டு இல்லம், 2003. - 24 பக்.
9. உஸ்பென்ஸ்கி வி.ஏ., "கணிதத்தின் மன்னிப்பு". மாஸ்கோ: அல்பினா புனைகதை அல்லாத, 2017. – 622 பக்.
10. ஜிம்மர்மேன் ஹெச்ஜே “ஃபஸி செட் தியரி – மற்றும் அதன் பயன்பாடுகள்”, 4வது பதிப்பு. ஸ்பிரிங்கர் சயின்ஸ் + பிசினஸ் மீடியா, நியூயார்க், 2001. – 514 பக்.

ஆதாரம்: www.habr.com