நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் கொண்டு வருகிறோம்

ஆரம்ப தரவு விஞ்ஞானிகளுக்கு ஆதரவை வழங்குவதே கட்டுரையின் நோக்கம். IN முந்தைய கட்டுரை நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான மூன்று வழிகளை நாங்கள் கோடிட்டுக் காட்டியுள்ளோம்: பகுப்பாய்வு தீர்வு, சாய்வு வம்சாவளி, சீரான சாய்வு வம்சாவளி. பின்னர் பகுப்பாய்வு தீர்வுக்காக நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம் . இந்த கட்டுரையில், தலைப்பு குறிப்பிடுவது போல, இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதை நியாயப்படுத்துவோம் அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், அதை நாமே பெறுவோம்.

சூத்திரத்தில் கூடுதல் கவனம் செலுத்துவது ஏன் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது ?

மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாட்டுடன் தான் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் ஒருவர் நேரியல் பின்னடைவுடன் பழகத் தொடங்குகிறார். அதே நேரத்தில், சூத்திரம் எவ்வாறு பெறப்பட்டது என்பதற்கான விரிவான கணக்கீடுகள் அரிதானவை.

எடுத்துக்காட்டாக, யாண்டெக்ஸில் இருந்து வரும் இயந்திரக் கற்றல் படிப்புகளில், மாணவர்களை ஒழுங்குபடுத்தும் முறை அறிமுகப்படுத்தப்படும்போது, ​​நூலகத்திலிருந்து செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்த அவர்களுக்கு வழங்கப்படுகிறது. sklearn, அல்காரிதத்தின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம் பற்றி ஒரு வார்த்தை கூட குறிப்பிடப்படவில்லை. இந்த நேரத்தில் சில கேட்போர் இந்த சிக்கலை இன்னும் விரிவாக புரிந்து கொள்ள விரும்பலாம் - ஆயத்த செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தாமல் குறியீட்டை எழுதுங்கள். இதைச் செய்ய, நீங்கள் முதலில் சமன்பாட்டை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் ரெகுலரைசருடன் முன்வைக்க வேண்டும். அத்தகைய திறன்களை மாஸ்டர் செய்ய விரும்புவோர் இந்த கட்டுரை அனுமதிக்கும். ஆரம்பிக்கலாம்.

ஆரம்ப நிலைமைகள்

இலக்கு குறிகாட்டிகள்

எங்களிடம் இலக்கு மதிப்புகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, இலக்கு குறிகாட்டியானது எந்தவொரு சொத்தின் விலையாக இருக்கலாம்: எண்ணெய், தங்கம், கோதுமை, டாலர் போன்றவை. அதே நேரத்தில், பல இலக்கு காட்டி மதிப்புகள் மூலம் நாம் அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறோம். அத்தகைய அவதானிப்புகள், எடுத்துக்காட்டாக, ஆண்டுக்கான மாதாந்திர எண்ணெய் விலைகளாக இருக்கலாம், அதாவது, எங்களிடம் 12 இலக்கு மதிப்புகள் இருக்கும். குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்த ஆரம்பிக்கலாம். இலக்கு குறிகாட்டியின் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் இவ்வாறு குறிப்போம் . மொத்தத்தில் எங்களிடம் உள்ளது அவதானிப்புகள், அதாவது நமது அவதானிப்புகளை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம் .

பின்னடைவுகள்

இலக்கு குறிகாட்டியின் மதிப்புகளை ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிற்கு விளக்கும் காரணிகள் உள்ளன என்று நாங்கள் கருதுவோம். எடுத்துக்காட்டாக, டாலர்/ரூபிள் மாற்று விகிதம் எண்ணெய் விலை, பெடரல் ரிசர்வ் விகிதம் போன்றவற்றால் வலுவாக பாதிக்கப்படுகிறது. இத்தகைய காரணிகள் பின்னடைவுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அதே நேரத்தில், ஒவ்வொரு இலக்கு காட்டி மதிப்பும் ஒரு பின்னடைவு மதிப்புடன் ஒத்திருக்க வேண்டும், அதாவது, 12 இல் ஒவ்வொரு மாதத்திற்கும் 2018 இலக்கு குறிகாட்டிகள் இருந்தால், அதே காலத்திற்கு 12 பின்னடைவு மதிப்புகள் இருக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு பின்னடைவின் மதிப்புகளையும் குறிப்போம் . நம் விஷயத்தில் இருக்கட்டும் பின்னடைவு (அதாவது இலக்கு காட்டி மதிப்புகளை பாதிக்கும் காரணிகள்). இதன் பொருள், எங்கள் பின்னடைவுகளை பின்வருமாறு வழங்கலாம்: 1வது பின்னடைவுக்கு (உதாரணமாக, எண்ணெய் விலை): , 2வது பின்னடைவுக்கு (உதாரணமாக, மத்திய வங்கி விகிதம்): ,"-வது" பின்னடைவு:

பின்னடைவுகளில் இலக்கு குறிகாட்டிகளின் சார்பு

இலக்கு குறிகாட்டியின் சார்பு என்று வைத்துக்கொள்வோம் பின்னடைவுகளிலிருந்து "படிவத்தின் நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டின் மூலம் வது" கவனிப்பு வெளிப்படுத்தப்படலாம்:

அங்கு - "-th" பின்னடைவு மதிப்பு 1 முதல் ,

- 1 முதல் பின்னடைவுகளின் எண்ணிக்கை

- கோணக் குணகங்கள், இது ரிக்ரஸர் மாறும்போது கணக்கிடப்பட்ட இலக்கு காட்டி சராசரியாக மாறும் அளவைக் குறிக்கும்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாங்கள் அனைவருக்கும் (தவிர ) பின்னடைவை நாம் "எங்கள்" குணகத்தை தீர்மானிக்கிறோம் , பின்னர் குணகங்களை பின்னடைவுகளின் மதிப்புகளால் பெருக்கவும் "வது" கவனிப்பு, இதன் விளைவாக நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட தோராயத்தைப் பெறுகிறோம் "-வது" இலக்கு காட்டி.

எனவே, அத்தகைய குணகங்களை நாம் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் , இதில் நமது தோராயமான செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் இலக்கு காட்டி மதிப்புகளுக்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக அமைந்திருக்கும்.

தோராயமான செயல்பாட்டின் தரத்தை மதிப்பீடு செய்தல்

தோராயமான செயல்பாட்டின் தர மதிப்பீட்டை குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிப்போம். இந்த வழக்கில் தர மதிப்பீட்டு செயல்பாடு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

மதிப்புக்கான $w$ குணகங்களின் அத்தகைய மதிப்புகளை நாம் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் சிறியதாக இருக்கும்.

சமன்பாட்டை அணி வடிவமாக மாற்றுதல்

திசையன் பிரதிநிதித்துவம்

தொடங்குவதற்கு, உங்கள் வாழ்க்கையை எளிதாக்க, நீங்கள் நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாட்டிற்கு கவனம் செலுத்த வேண்டும் மற்றும் முதல் குணகம் என்பதைக் கவனிக்க வேண்டும். எந்த பின்னடைவாலும் பெருக்கப்படுவதில்லை. அதே நேரத்தில், தரவை மேட்ரிக்ஸ் வடிவமாக மாற்றும் போது, ​​மேலே குறிப்பிடப்பட்ட சூழ்நிலைகள் கணக்கீடுகளை மிகவும் சிக்கலாக்கும். இது சம்பந்தமாக, முதல் குணகத்திற்கு மற்றொரு பின்னடைவை அறிமுகப்படுத்த முன்மொழியப்பட்டது மற்றும் அதை ஒன்றுக்கு சமப்படுத்தவும். அல்லது மாறாக, ஒவ்வொரு "இந்த பின்னடைவின் வது மதிப்பை ஒன்றுக்கு சமன் - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒன்றால் பெருக்கப்படும் போது, ​​கணக்கீடுகளின் முடிவின் பார்வையில் இருந்து எதுவும் மாறாது, ஆனால் மெட்ரிக்ஸின் தயாரிப்புக்கான விதிகளின் பார்வையில், எங்கள் வேதனை கணிசமாக குறைக்கப்படும்.

இப்போது, ​​​​தற்போதைக்கு, பொருளை எளிமைப்படுத்த, நம்மிடம் ஒன்று மட்டுமே உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்.-வது" கவனிப்பு. பின்னர், பின்னடைவுகளின் மதிப்புகளை கற்பனை செய்து பாருங்கள் "ஒரு திசையன் போன்ற அவதானிப்புகள் . திசையன் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது அதாவது வரிசைகள் மற்றும் 1 நெடுவரிசை:

தேவையான குணகங்களை வெக்டராகக் குறிப்பிடுவோம் , பரிமாணம் கொண்டது :

"க்கான நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு-வது" கவனிப்பு வடிவம் எடுக்கும்:

நேரியல் மாதிரியின் தரத்தை மதிப்பிடுவதற்கான செயல்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் விதிகளின்படி, நாம் திசையன் இடமாற்றம் செய்ய வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் .

மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம்

திசையன்களைப் பெருக்குவதன் விளைவாக, எண்ணைப் பெறுகிறோம்: , இது எதிர்பார்க்கப்படுகிறது. இந்த எண் தோராயமாகும்"-வது" இலக்கு காட்டி. ஆனால் நமக்கு ஒரு இலக்கு மதிப்பின் தோராயமான மதிப்பீடு தேவை, ஆனால் அவை அனைத்தும். இதைச் செய்ய, எல்லாவற்றையும் எழுதுவோம்.மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் -th" பின்னடைவுகள் . இதன் விளைவாக வரும் அணி பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது :

இப்போது நேரியல் பின்னடைவு சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

இலக்கு குறிகாட்டிகளின் மதிப்புகளைக் குறிப்போம் (அனைத்தும் ) ஒரு திசையன் பரிமாணம் :

இப்போது மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் ஒரு நேரியல் மாதிரியின் தரத்தை மதிப்பிடுவதற்கான சமன்பாட்டை எழுதலாம்:

உண்மையில், இந்த சூத்திரத்திலிருந்து நமக்குத் தெரிந்த சூத்திரத்தை மேலும் பெறுகிறோம்

அது எப்படி முடிந்தது? அடைப்புக்குறிகள் திறக்கப்படுகின்றன, வேறுபாடு மேற்கொள்ளப்படுகிறது, இதன் விளைவாக வெளிப்பாடுகள் மாற்றப்படுகின்றன, முதலியன, இதைத்தான் இப்போது செய்வோம்.

மேட்ரிக்ஸ் மாற்றங்கள்

அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்

வேறுபாட்டிற்கான சமன்பாட்டைத் தயாரிப்போம்

இதைச் செய்ய, நாங்கள் சில மாற்றங்களைச் செய்வோம். அடுத்தடுத்த கணக்கீடுகளில் திசையன் என்றால் அது நமக்கு மிகவும் வசதியாக இருக்கும் சமன்பாட்டில் ஒவ்வொரு தயாரிப்பின் தொடக்கத்திலும் குறிப்பிடப்படும்.

மாற்றம் 1

அது நடந்தது எப்படி? இந்தக் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, மெட்ரிக்குகளின் அளவுகள் பெருக்கப்படுவதைப் பார்த்து, வெளியீட்டில் ஒரு எண்ணைப் பெறுகிறோம் அல்லது வேறுவிதமாகப் பார்க்கவும். .

மேட்ரிக்ஸ் வெளிப்பாடுகளின் அளவுகளை எழுதுவோம்.

மாற்றம் 2

உருமாற்றம் 1-ஐப் போலவே இதை எழுதுவோம்

வெளியீட்டில் நாம் வேறுபடுத்த வேண்டிய ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

மாதிரி தர மதிப்பீட்டு செயல்பாட்டை நாங்கள் வேறுபடுத்துகிறோம்

திசையன் தொடர்பாக வேறுபடுத்துவோம் :

ஏன் என்ற கேள்விகள் இருக்கக்கூடாது, ஆனால் மற்ற இரண்டு வெளிப்பாடுகளில் டெரிவேடிவ்களை தீர்மானிப்பதற்கான செயல்பாடுகளை இன்னும் விரிவாக ஆராய்வோம்.

வேறுபாடு 1

வேறுபாட்டை விரிவுபடுத்துவோம்:

மேட்ரிக்ஸ் அல்லது வெக்டரின் வழித்தோன்றலைத் தீர்மானிக்க, அவற்றின் உள்ளே என்ன இருக்கிறது என்பதை நீங்கள் பார்க்க வேண்டும். பார்ப்போம்:

மெட்ரிக்குகளின் பலனைக் குறிப்போம் அணி மூலம் . மேட்ரிக்ஸ் சதுர மற்றும் மேலும், அது சமச்சீர் உள்ளது. இந்த பண்புகள் பின்னர் நமக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும், அவற்றை நினைவில் கொள்வோம். மேட்ரிக்ஸ் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது :

இப்போது எங்கள் பணி திசையன்களை மேட்ரிக்ஸால் சரியாகப் பெருக்குவது மற்றும் “இரண்டு இரண்டு ஐந்து ஐந்து” பெறாமல் இருக்க வேண்டும், எனவே கவனம் செலுத்தி மிகவும் கவனமாக இருக்க வேண்டும்.

இருப்பினும், நாங்கள் ஒரு சிக்கலான வெளிப்பாட்டை அடைந்துள்ளோம்! உண்மையில், எங்களுக்கு ஒரு எண் கிடைத்தது - ஒரு அளவிடுதல். இப்போது, ​​உண்மையில், நாம் வேறுபாட்டிற்கு செல்கிறோம். ஒவ்வொரு குணகத்திற்கும் விளைவாக வெளிப்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவது அவசியம் மற்றும் பரிமாண வெக்டரை வெளியீட்டாகப் பெறவும் . ஒரு வேளை, நான் செயலின் மூலம் நடைமுறைகளை எழுதுவேன்:

1) வேறுபடுத்தி , நாங்கள் பெறுகிறோம்:

2) வேறுபடுத்தி , நாங்கள் பெறுகிறோம்:

3) வேறுபடுத்தி , நாங்கள் பெறுகிறோம்:

வெளியீடு அளவு உறுதியளிக்கப்பட்ட திசையன் ஆகும் :

நீங்கள் திசையனை இன்னும் உன்னிப்பாகப் பார்த்தால், திசையனின் இடது மற்றும் தொடர்புடைய வலது கூறுகளை குழுவாகக் காணலாம், இதன் விளைவாக, வழங்கப்பட்ட திசையனிலிருந்து ஒரு திசையன் தனிமைப்படுத்தப்படலாம். அளவு . உதாரணமாக (வெக்டரின் மேல் கோட்டின் இடது உறுப்பு) (வெக்டரின் மேல் கோட்டின் வலது உறுப்பு) என குறிப்பிடலாம் மற்றும் - எப்படி முதலியன ஒவ்வொரு வரியிலும். குழுவாக்குவோம்:

வெக்டரை வெளியே எடுப்போம் மற்றும் வெளியீட்டில் நாம் பெறுகிறோம்:

இப்போது, ​​​​விளைவான மேட்ரிக்ஸைக் கூர்ந்து கவனிப்போம். அணி என்பது இரண்டு அணிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும் :

மேட்ரிக்ஸின் ஒரு முக்கியமான சொத்தை சற்று முன்னதாகவே குறிப்பிட்டோம் என்பதை நினைவு கூர்வோம் - இது சமச்சீர். இந்த சொத்தின் அடிப்படையில், வெளிப்பாடு என்று நம்பிக்கையுடன் சொல்லலாம் சமம் . மெட்ரிக்ஸ் உறுப்பின் பெருக்கத்தை உறுப்பு மூலம் விரிவாக்குவதன் மூலம் இதை எளிதாகச் சரிபார்க்கலாம் . இதை நாங்கள் இங்கு செய்ய மாட்டோம்; ஆர்வமுள்ளவர்கள் தாங்களே சரிபார்த்துக் கொள்ளலாம்.

நமது வெளிப்பாட்டிற்கு வருவோம். எங்கள் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, நாங்கள் அதைப் பார்க்க விரும்பிய விதத்தில் அது மாறியது:

எனவே, நாங்கள் முதல் வேறுபாட்டை முடித்துள்ளோம். இரண்டாவது வெளிப்பாடுக்கு செல்லலாம்.

வேறுபாடு 2

அடிபட்ட பாதையில் செல்வோம். இது முந்தையதை விட மிகக் குறைவாக இருக்கும், எனவே திரையில் இருந்து வெகுதூரம் செல்ல வேண்டாம்.

வெக்டர்கள் மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் உறுப்பை உறுப்பு மூலம் விரிவாக்குவோம்:

சிறிது நேரம் கணக்கீடுகளிலிருந்து இரண்டையும் அகற்றுவோம் - இது ஒரு பெரிய பாத்திரத்தை வகிக்காது, பின்னர் அதை மீண்டும் அதன் இடத்தில் வைப்போம். வெக்டர்களை மேட்ரிக்ஸால் பெருக்கலாம். முதலில், மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்குவோம் திசையன் வரை , எங்களுக்கு இங்கு எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை. நாம் அளவு திசையன் பெறுகிறோம் :

பின்வரும் செயலைச் செய்வோம் - வெக்டரைப் பெருக்கவும் இதன் விளைவாக வரும் திசையன். வெளியேறும்போது எண் எங்களுக்காக காத்திருக்கும்:

பின்னர் அதை வேறுபடுத்துவோம். வெளியீட்டில் பரிமாணத்தின் திசையன் கிடைக்கும் :

எனக்கு ஏதாவது நினைவூட்டுகிறதா? அது சரி! இது மேட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பு ஆகும் திசையன் வரை .

எனவே, இரண்டாவது வேறுபாடு வெற்றிகரமாக முடிந்தது.

அதற்கு பதிலாக, ஒரு முடிவுக்கும்

சமத்துவம் எப்படி வந்தது என்பது இப்போது நமக்குத் தெரியும் .

இறுதியாக, அடிப்படை சூத்திரங்களை மாற்றுவதற்கான விரைவான வழியை விவரிப்போம்.

குறைந்தபட்ச சதுர முறைக்கு ஏற்ப மாதிரியின் தரத்தை மதிப்பீடு செய்வோம்:

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை வேறுபடுத்துவோம்:

இலக்கியம்

இணைய ஆதாரங்கள்:

1) habr.com/en/post/278513
2) habr.com/ru/company/ods/blog/322076
3) habr.com/en/post/307004
4) nabatchikov.com/blog/view/matrix_der

பாடப்புத்தகங்கள், சிக்கல்களின் தொகுப்புகள்:

1) உயர் கணிதம் பற்றிய விரிவுரை குறிப்புகள்: முழு பாடநெறி / டி.டி. எழுதப்பட்டது - 4வது பதிப்பு. – எம்.: ஐரிஸ்-பிரஸ், 2006
2) பயன்பாட்டு பின்னடைவு பகுப்பாய்வு / என். டிராப்பர், ஜி. ஸ்மித் - 2வது பதிப்பு. – எம்.: நிதி மற்றும் புள்ளியியல், 1986 (ஆங்கிலத்திலிருந்து மொழிபெயர்ப்பு)
3) மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உள்ள சிக்கல்கள்:
function-x.ru/matrix_equations.html
mathprofi.ru/deistviya_s_matricami.html

ஆதாரம்: www.habr.com