ในปี 2012 รางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ตกเป็นของ Lloyd Shapley และ Alvin Roth “สำหรับทฤษฎีการกระจายตัวที่มั่นคงและแนวปฏิบัติในการจัดการตลาด” Aleksey Savvateev ในปี 2012 พยายามอธิบายสาระสำคัญของคุณธรรมของนักคณิตศาสตร์อย่างเรียบง่ายและชัดเจน ฉันนำเสนอบทสรุปให้คุณทราบ .
วันนี้จะมีการบรรยายภาคทฤษฎี เกี่ยวกับการทดลอง โดยเฉพาะเรื่องการบริจาคผมจะไม่บอก
เมื่อประกาศแล้ว ได้รับรางวัลโนเบล มีคำถามมาตรฐาน: “อย่างไร!? เขายังมีชีวิตอยู่ไหม!?!?” ผลลัพธ์ที่โด่งดังที่สุดของเขาได้รับในปี 1953
อย่างเป็นทางการมีการให้โบนัสอย่างอื่น สำหรับบทความปี 1962 ของเขาเรื่อง "ทฤษฎีบทความมั่นคงในการแต่งงาน": "การรับเข้าเรียนในวิทยาลัยและความมั่นคงของการแต่งงาน"
เกี่ยวกับการแต่งงานที่ยั่งยืน
แม็ทชิ่ง (การจับคู่) - งานค้นหาจดหมายโต้ตอบ
มีหมู่บ้านแห่งหนึ่งที่โดดเดี่ยว มีทั้งชายหนุ่ม “m” และผู้หญิง “w” เราต้องแต่งงานกับพวกเขาให้กันและกัน (ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวเลขเดียวกัน บางทีสุดท้ายแล้วอาจมีคนถูกทิ้งให้อยู่ตามลำพัง)
จำเป็นต้องมีสมมติฐานอะไรบ้างในแบบจำลอง? ว่าไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะแต่งงานใหม่แบบสุ่ม กำลังดำเนินการขั้นตอนบางอย่างไปสู่ทางเลือกที่เสรี สมมติว่ามีอักสคัลผู้ฉลาดคนหนึ่งที่ต้องการแต่งงานใหม่ในลักษณะที่การหย่าร้างไม่เริ่มต้นหลังจากเขาเสียชีวิต (การหย่าร้างคือสถานการณ์ที่สามีต้องการให้ผู้หญิงที่เป็นบุคคลที่สามเป็นภรรยาของเขามากกว่าภรรยาของเขา)
ทฤษฎีบทนี้อยู่ในจิตวิญญาณของเศรษฐศาสตร์สมัยใหม่ เธอไร้มนุษยธรรมเป็นพิเศษ เศรษฐศาสตร์เป็นสิ่งที่ไร้มนุษยธรรมมาโดยตลอด ในทางเศรษฐศาสตร์ มนุษย์ถูกแทนที่ด้วยเครื่องจักรเพื่อเพิ่มผลกำไรสูงสุด สิ่งที่ฉันจะบอกคุณเป็นสิ่งที่บ้าคลั่งอย่างยิ่งจากมุมมองทางศีลธรรม อย่าเก็บเอามาใส่ใจ.
นักเศรษฐศาสตร์มองการแต่งงานด้วยวิธีนี้
m1, m2,… mk - ผู้ชาย
w1, w2,... wL - ผู้หญิง
ผู้ชายจะถูกระบุด้วยวิธีการ "สั่ง" เด็กผู้หญิง นอกจากนี้ยังมี "ระดับศูนย์" ซึ่งต่ำกว่านี้ซึ่งผู้หญิงไม่สามารถเสนอให้เป็นภรรยาได้เลย แม้ว่าจะไม่มีคนอื่นก็ตาม
ทุกอย่างเกิดขึ้นทั้งสองทิศทางเหมือนกันสำหรับเด็กผู้หญิง
ข้อมูลเริ่มต้นเป็นไปตามอำเภอใจ ข้อสันนิษฐาน/ข้อจำกัดเพียงอย่างเดียวคือ เราจะไม่เปลี่ยนการตั้งค่าของเรา
ทฤษฎีบท: ไม่ว่าการกระจายตัวและระดับศูนย์จะเป็นเช่นไร ก็มีวิธีสร้างการติดต่อสื่อสารแบบตัวต่อตัวระหว่างผู้ชายกับผู้หญิงบางคนเสมอ เพื่อให้สามารถรับมือกับการแยกทางทุกประเภทได้ (ไม่ใช่แค่การหย่าร้าง)
อาจมีภัยคุกคามอะไรบ้าง?
มีคู่สามีภรรยา (ม,ก) ที่ยังไม่ได้แต่งงาน แต่สามีคนปัจจุบันแย่กว่าสามี และภรรยาคนปัจจุบันแย่กว่าสามี นี่เป็นสถานการณ์ที่ไม่ยั่งยืน
นอกจากนี้ยังมีตัวเลือกที่ใครสักคนจะแต่งงานกับคนที่ "ต่ำกว่าศูนย์" ในสถานการณ์นี้ ชีวิตสมรสก็จะแตกสลายเช่นกัน
หากผู้หญิงแต่งงานแล้ว แต่เธอชอบผู้ชายที่ยังไม่ได้แต่งงานซึ่งเธออยู่เหนือศูนย์
หากคนสองคนไม่ได้แต่งงานกัน และทั้งคู่มี "ค่าศูนย์" ซึ่งกันและกัน
เป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าสำหรับข้อมูลเบื้องต้นใดๆ ก็ตาม ระบบการแต่งงานนั้นมีอยู่จริง และทนทานต่อภัยคุกคามทุกประเภท ประการที่สอง อัลกอริธึมในการค้นหาสมดุลดังกล่าวนั้นง่ายมาก ลองเปรียบเทียบกับ M*N
โมเดลนี้ถูกนำไปใช้ทั่วไปและขยายไปสู่ "การมีภรรยาหลายคน" และนำไปใช้ในหลายพื้นที่
ขั้นตอนของเกล-แชปลีย์
หากชายและหญิงทุกคนปฏิบัติตาม “ใบสั่งยา” ระบบการแต่งงานที่ตามมาก็จะยั่งยืน
ใบสั่งยา
เราใช้เวลาสองสามวันตามความจำเป็น เราแบ่งแต่ละวันออกเป็นสองส่วน (เช้าและเย็น)
ในเช้าวันแรก ผู้ชายทุกคนไปหาผู้หญิงที่ดีที่สุดของเขา และเคาะหน้าต่างเพื่อขอเธอแต่งงานกับเขา
ในตอนเย็นของวันเดียวกันนั้นหันกลับมาหาผู้หญิง ผู้หญิงจะค้นพบอะไรได้บ้าง? ว่ามีฝูงชนอยู่ใต้หน้าต่างของเธอ ไม่ว่าจะมีผู้ชายเพียงคนเดียวหรือไม่มีเลย วันนี้ใครไม่มีใครก็ข้ามตาไปรอได้เลย ที่เหลือซึ่งมีอย่างน้อยหนึ่งคน ให้ตรวจสอบผู้ชายที่มาดูว่าพวกเขา "อยู่เหนือระดับศูนย์" ให้มีอย่างน้อยหนึ่งอย่าง หากคุณโชคไม่ดีเลยและทุกอย่างต่ำกว่าศูนย์ ควรจะส่งทุกคนไป ผู้หญิงเลือกคนที่ตัวใหญ่ที่สุดจากคนที่มา บอกให้เขารอ แล้วที่เหลือก็ไปส่ง
ก่อนวันที่สองสถานการณ์จะเป็นเช่นนี้ ผู้หญิงบางคนมีผู้ชายหนึ่งคน บางคนไม่มีเลย
ในวันที่สอง ผู้ชายที่ "ว่าง" (ส่ง) ทุกคนต้องไปที่ผู้หญิงที่มีลำดับความสำคัญเป็นอันดับสอง หากไม่มีบุคคลดังกล่าว แสดงว่าบุคคลนั้นถือเป็นโสด ผู้ชายที่นั่งอยู่กับผู้หญิงแล้วยังไม่ทำอะไรเลย
ตอนเย็นผู้หญิงก็ดูสถานการณ์ หากมีคนที่นั่งอยู่แล้วเข้าร่วมด้วยลำดับความสำคัญที่สูงกว่า ลำดับความสำคัญที่ต่ำกว่าจะถูกส่งออกไป ถ้าคนที่มาต่ำกว่าที่มีอยู่แล้วทุกคนก็ไล่ออกไป ผู้หญิงเลือกธาตุสูงสุดทุกครั้ง
เราทำซ้ำ
เป็นผลให้ผู้ชายแต่ละคนดูรายชื่อผู้หญิงของเขาทั้งหมดและถูกทิ้งให้อยู่ตามลำพังหรือหมั้นหมายกับผู้หญิงบางคน แล้วเราจะแต่งงานกันทุกคน
เป็นไปได้ไหมที่จะดำเนินการทั้งหมดนี้ แต่สำหรับผู้หญิงต้องวิ่งไปหาผู้ชาย? ขั้นตอนมีความสมมาตร แต่วิธีแก้ปัญหาอาจแตกต่างกัน แต่คำถามคือใครจะดีกว่านี้?
ทฤษฎีบท. ให้เราพิจารณาไม่เพียงแต่วิธีแก้ปัญหาแบบสมมาตรทั้งสองนี้เท่านั้น แต่ยังพิจารณาชุดของระบบการแต่งงานที่มั่นคงทั้งหมดด้วย กลไกที่เสนอมาแต่เดิม (ผู้ชายวิ่งหนีและผู้หญิงยอมรับ/ปฏิเสธ) ส่งผลให้ระบบการแต่งงานดีสำหรับผู้ชายมากกว่าใครๆ และแย่กว่าผู้หญิงทุกคน
แต่งงานกับเพศเดียวกัน
ลองพิจารณาสถานการณ์ของ “การแต่งงานของคนเพศเดียวกัน” ลองพิจารณาผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ทำให้เกิดข้อสงสัยเกี่ยวกับความจำเป็นในการทำให้ถูกกฎหมาย ตัวอย่างที่ไม่ถูกต้องตามอุดมคติ
ลองพิจารณากลุ่มรักร่วมเพศสี่คน a, b, c, d
ลำดับความสำคัญสำหรับ: bcd
ลำดับความสำคัญสำหรับ b:cad
ลำดับความสำคัญสำหรับ c: abd
เพราะไม่สำคัญว่าเขาจะจัดอันดับสามคนที่เหลืออย่างไร
คำแถลง: ไม่มีระบบการแต่งงานที่ยั่งยืนในระบบนี้
สี่คนมีกี่ระบบ? สาม. ab ซีดี, ac bd, โฆษณา bc คู่รักจะแตกสลายและกระบวนการจะดำเนินไปเป็นวัฏจักร
ระบบ "สามเพศ"
นี่เป็นคำถามที่สำคัญที่สุดที่เปิดสาขาคณิตศาสตร์ทั้งหมด สิ่งนี้ทำโดยเพื่อนร่วมงานของฉันในมอสโก Vladimir Ivanovich Danilov เขามอง "การแต่งงาน" เหมือนการดื่มวอดก้า และบทบาทมีดังนี้ "คนที่ริน" "คนที่พูดขนมปัง" และ "คนที่หั่นไส้กรอก" ในสถานการณ์ที่มีตัวแทน 4 คนขึ้นไปในแต่ละบทบาท เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ไขโดยใช้กำลังดุร้าย คำถามเกี่ยวกับระบบที่ยั่งยืนนั้นเป็นคำถามที่เปิดกว้าง
เวกเตอร์แชปลีย์
ในหมู่บ้านกระท่อมพวกเขาตัดสินใจปูถนน จำเป็นต้องชิปเข้า ยังไง?
แชปลีย์เสนอวิธีแก้ปัญหานี้ในปี พ.ศ. 1953 สมมติว่าสถานการณ์ขัดแย้งกับกลุ่มคน N={1,2…n} ต้นทุน/ผลประโยชน์ต้องมีการแบ่งปันกัน สมมุติว่าคนร่วมกันทำอะไรที่มีประโยชน์ ขายไป แล้วแบ่งกำไรยังไง?
แชปลีย์แนะนำว่าเมื่อแบ่ง เราควรคำนึงถึงจำนวนกลุ่มย่อยของคนเหล่านี้ที่จะได้รับ ชุดย่อยที่ไม่ว่างเปล่า 2N ทั้งหมดสามารถรับเงินได้เท่าไร และจากข้อมูลนี้ แชปลีย์ได้เขียนสูตรสากลขึ้นมา
ตัวอย่าง ศิลปินเดี่ยว นักกีตาร์ และมือกลองเล่นในทางเดินใต้ดินในมอสโก พวกเขาทั้งสามมีรายได้ 1000 รูเบิลต่อชั่วโมง จะแบ่งได้อย่างไร? อาจจะพอๆ กัน..
วี(1,2,3)=1000
มาแสร้งทำเป็นว่า
วี(1,2)=600
วี(1,3)=450
วี(2,3)=400
วี(1)=300
วี(2)=200
วี(3)=100
การแบ่งแยกที่ยุติธรรมไม่สามารถระบุได้จนกว่าเราจะรู้ว่าอะไรจะเกิดขึ้นที่รอบริษัทหนึ่งๆ หากบริษัทแยกตัวออกไปและดำเนินการด้วยตัวมันเอง และเมื่อเรากำหนดตัวเลขแล้ว (กำหนดเกมสหกรณ์ในรูปแบบลักษณะเฉพาะ)
Superadditivity คือเมื่อรวมกันแล้วพวกเขามีรายได้มากกว่าแยกจากกัน เมื่อรวมกันแล้วได้กำไรมากกว่า แต่ก็ไม่ชัดเจนว่าจะแบ่งเงินรางวัลอย่างไร มีสำเนาหลายฉบับถูกทำลายเกี่ยวกับเรื่องนี้
มีเกม. นักธุรกิจสามคนพบเงินฝากมูลค่า 1 ล้านดอลลาร์พร้อมกัน หากทั้งสามเห็นด้วยก็มีเป็นล้านคน คู่รักคนไหนก็ฆ่าได้ (เอาออกจากคดี) ได้เงินเต็มล้านเป็นของตัวเอง และไม่มีใครทำอะไรได้เพียงลำพัง นี่คือเกม Co-op ที่น่ากลัวซึ่งไม่มีทางแก้ไข จะมีคนสองคนที่สามารถกำจัดคนที่สามได้เสมอ... ทฤษฎีเกมร่วมมือเริ่มต้นด้วยตัวอย่างที่ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
เราต้องการวิธีแก้ปัญหาที่ไม่มีแนวร่วมใดต้องการขัดขวางวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ชุดของดิวิชั่นทั้งหมดที่ไม่สามารถบล็อกได้คือเคอร์เนล มันเกิดขึ้นที่แกนกลางว่างเปล่า แต่ถึงจะไม่ว่างจะแบ่งยังไง?
แชปลีย์แนะนำให้แบ่งด้วยวิธีนี้ โยนเหรียญด้วย n! ขอบ เราเขียนผู้เล่นทั้งหมดตามลำดับนี้ สมมติว่ามือกลองคนแรก เขาเข้ามาและรับ 100 จากนั้น "วินาที" ก็เข้ามา สมมติว่าเป็นศิลปินเดี่ยว (ร่วมกับมือกลองพวกเขาสามารถหารายได้ 450 มือกลองได้ไปแล้ว 100) นักร้องเดี่ยวได้ 350 นักกีตาร์เข้า (รวม 1000, -450) ได้ 550 คนสุดท้ายมักจะชนะ (ซุปเปอร์โมดูลาริตี้)
หากเราเขียนคำสั่งทั้งหมด:
ธนาคารออมสิน - (วิน C) - (วิน D) - (วิน B)
SGB - (วิน C) - (วิน D) - (วิน B)
SBG - (วิน C) - (วิน D) - (วิน B)
BSG - (วิน C) - (วิน D) - (วิน B)
BGS - (ได้รับ C) - (ได้รับ D) - (ได้รับ B)
GBS - (วิน C) - (วิน D) - (วิน B)
และสำหรับแต่ละคอลัมน์เราบวกและหารด้วย 6 - โดยเฉลี่ยจากคำสั่งซื้อทั้งหมด - นี่คือเวกเตอร์แชปลีย์.
แชปลีย์พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ (โดยประมาณ): มีเกมประเภทหนึ่ง (ซูเปอร์โมดูลาร์) ซึ่งบุคคลถัดไปที่เข้าร่วมทีมใหญ่จะได้รับชัยชนะที่ใหญ่กว่า เคอร์เนลจะไม่ว่างเปล่าเสมอและเป็นการรวมจุดนูน (ในกรณีของเราคือ 6 จุด) เวกเตอร์แชปลีย์อยู่ที่ศูนย์กลางของนิวเคลียส มันสามารถเสนอเป็นวิธีแก้ปัญหาได้เสมอไม่มีใครต่อต้านมันได้
ในปี พ.ศ. 1973 ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าปัญหาเกี่ยวกับกระท่อมเป็นเรื่องแบบโมดูลาร์
ทุกคนต่างใช้ถนนร่วมกันเพื่อไปสู่กระท่อมหลังแรก จนถึงวินาที - n-1 คน ฯลฯ
สนามบินมีรันเวย์ บริษัทต่างๆ ต้องการความยาวที่แตกต่างกัน ปัญหาเดียวกันนี้เกิดขึ้น
ฉันคิดว่าผู้ที่ได้รับรางวัลโนเบลมีข้อดีนี้อยู่ในใจ และไม่ใช่แค่หน้าที่ของกำไรเท่านั้น
ขอบคุณ!
ยัง
- ช่อง “คณิตศาสตร์ - ง่าย”:
- ช่อง "Savvateev ไร้พรมแดน": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- สาธารณะ “คณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย”:
- “เรื่องตลกของนักคณิตศาสตร์” สาธารณะ:
- เว็บไซต์ การบรรยายทั้งหมด +100 บทเรียนและอีกมากมาย: savvateev.xyz
ที่มา: will.com