2012 yılında Nobel Ekonomi Ödülü Lloyd Shapley ve Alvin Roth'a verildi. "İstikrarlı dağıtım teorisi ve piyasaları organize etme uygulaması için." Aleksey Savvateev, 2012 yılında matematikçilerin erdemlerinin özünü basit ve net bir şekilde açıklamaya çalıştı. Özetini dikkatinize sunuyorum .
Bugün teorik bir ders olacak. Deneyler hakkında Özellikle bağış konusunda söylemeyeceğim.
Bunun duyurulduğu zaman Nobel Ödülü'nü aldığında standart bir soru vardı: "Nasıl!? Hala hayatta mı!?!?” En ünlü sonucu 1953'te elde edildi.
Resmi olarak ikramiye başka bir şey için verildi. "Evlilik istikrarı teoremi" üzerine 1962 tarihli makalesi için: "Üniversiteye Kabul ve Evliliğin İstikrarı."
Sürdürülebilir evlilik hakkında
Uygun (eşleştirme) - bir yazışma bulma görevi.
Belli bir izole köy var. “m” genç erkek ve “w” kız var. Onları birbirleriyle evlendirmeliyiz. (Mutlaka aynı sayı olmayabilir, belki sonunda birileri yalnız kalacaktır.)
Modelde hangi varsayımların yapılması gerekiyor? Rastgele yeniden evlenmenin kolay olmadığını. Özgür seçime doğru belirli bir adım atılıyor. Diyelim ki bir bilge aksakal var ve öldükten sonra boşanmalar başlamasın diye yeniden evlenmek istiyor. (Boşanma, kocanın üçüncü taraf bir kadını karısı olarak karısından daha çok istemesi durumudur.)
Bu teorem modern ekonominin ruhuna uygundur. O, son derece insanlık dışıdır. Ekonomi geleneksel olarak insanlık dışı olmuştur. Ekonomide, kârı maksimize etmek için insanın yerini bir makine almıştır. Size anlatacaklarım ahlaki açıdan kesinlikle çılgınca şeyler. Bunu ciddiye almayın.
İktisatçılar evliliğe bu şekilde bakıyorlar.
m1, m2,… mk - erkekler.
w1, w2,... wL - kadınlar.
Bir erkek, kızlara nasıl “emir verdiği” ile özdeşleşir. Ayrıca, başkası olmasa bile, kadınların eş olarak teklif edilemeyeceği bir “sıfır düzeyi” de vardır.
Her şey her iki yönde de olur, kızlar için de aynısı geçerlidir.
Başlangıç verileri keyfidir. Tek varsayım/sınırlama tercihlerimizi değiştirmememizdir.
Teorem: Dağılım ve sıfır düzeyi ne olursa olsun, her zaman bazı erkeklerle bazı kadınlar arasında birebir yazışma kurmanın bir yolu vardır, böylece her türlü bölünmeye (sadece boşanmalara değil) karşı dayanıklı olur.
Ne gibi tehditler olabilir?
Evli olmayan bir çift (e,w) var. Ancak w için şu anki koca m'den daha kötü ve m için şu anki eş w'den daha kötü. Bu sürdürülemez bir durumdur.
Bir de “sıfırın altında” olan biriyle evli olma ihtimali var, bu durumda evlilik de bozulacaktır.
Bir kadın evli ise ancak sıfırın üzerinde olduğu evli olmayan bir erkeği tercih eder.
Eğer iki kişi de evli değilse ve her ikisi de birbirleri için “sıfırın üstünde” ise.
Herhangi bir başlangıç verisine göre, her türlü tehdide karşı dayanıklı böyle bir evlilik sisteminin var olduğu ileri sürülüyor. İkincisi, böyle bir dengeyi bulma algoritması çok basittir. M*N ile karşılaştıralım.
Bu model genelleştirilerek "çok eşliliğe" genişletildi ve birçok alanda uygulandı.
Gale-Shapley prosedürü
Eğer tüm erkekler ve tüm kadınlar “reçetelere” uyarsa ortaya çıkan evlilik sistemi sürdürülebilir olacaktır.
Reçeteler.
Gerektiğinde birkaç gün ayırıyoruz. Her günü ikiye bölüyoruz (sabah ve akşam).
İlk sabah her erkek en iyi kadınının yanına gider ve pencereyi çalar ve ona evlenme teklif eder.
Aynı günün akşamında sıra kadınlara döner: Bir kadın ne keşfedebilir? Penceresinin altında ya bir erkek ya da hiç erkek olmayan bir kalabalık vardı. Bugün kimsesi olmayanlar sırasını atlayıp bekliyor. En az bir taneye sahip olan geri kalanlar, gelen adamları "sıfır seviyenin üzerinde" olup olmadıklarını kontrol ediyorlar. En az birine sahip olmak. Tamamen şanssızsanız ve her şey sıfırın altındaysa herkes gönderilmelidir. Kadın gelenlerin en büyüğünü seçer, beklemesini söyler ve geri kalanını gönderir.
İkinci gün öncesinde durum şu; bazı kadınların tek erkeği var, bazılarının ise hiç erkeği yok.
İkinci gün, tüm “özgür” (gönderilen) erkeklerin ikinci öncelikli kadına gitmesi gerekir. Böyle bir kişi yoksa erkek bekar ilan edilir. Zaten kadınlarla oturan erkekler henüz bir şey yapmıyor.
Akşam kadınlar duruma bakıyor. Halihazırda oturan bir kişi daha yüksek önceliğe sahipse, daha düşük önceliğe sahip olan kişi uzaklaştırılır. Gelenler mevcut olandan daha düşükse herkes gönderilir. Kadınlar her zaman maksimum unsuru seçerler.
Tekrar ediyoruz.
Sonuç olarak her erkek, kadınlarının tüm listesini gözden geçirdi ve ya yalnız kaldı ya da bir kadınla nişanlandı. O zaman herkesi evlendireceğiz.
Kadınların erkeklere koşması dışında tüm bu süreci yürütmek mümkün mü? Prosedür simetriktir ancak çözüm farklı olabilir. Ama soru şu ki, bundan kim daha iyi durumda?
Teorem. Sadece bu iki simetrik çözümü değil, aynı zamanda tüm istikrarlı evlilik sistemlerini de ele alalım. Önerilen orijinal mekanizma (erkekler kaçar ve kadınlar kabul eder/reddeder), herhangi bir erkek için diğerlerinden daha iyi ve herhangi bir kadın için diğerlerinden daha kötü bir evlilik sistemiyle sonuçlanır.
Eşcinsel evlilikler
“Eşcinsel evlilik” ile ilgili durumu düşünün. Bunları yasallaştırma ihtiyacı konusunda şüphe uyandıran matematiksel bir sonucu ele alalım. İdeolojik olarak yanlış bir örnek.
Dört eşcinseli düşünün: a, b, c, d.
a için öncelikler: bcd
b:cad için öncelikler
c: abd için öncelikler
d için kalan üçünü nasıl sıraladığı önemli değil.
Onay: Bu sistemde sürdürülebilir bir evlilik sistemi yoktur.
Dört kişilik kaç sistem var? Üç. ab cd, ac bd, reklam bc. Çiftler dağılacak ve süreç döngüler halinde ilerleyecek.
"Üç cinsiyetli" sistemler.
Bu, matematiğin bütün bir alanını açan en önemli sorudur. Bu, Moskova'daki meslektaşım Vladimir Ivanovich Danilov tarafından yapıldı. "Evliliği" votka içmek olarak görüyordu ve roller şu şekildeydi: "döken", "tost söyleyen" ve "sosis kesen." Her rolün 4 veya daha fazla temsilcisinin olduğu bir durumda kaba kuvvetle çözüm mümkün değildir. Sürdürülebilir bir sistem sorunu açık bir sorundur.
Shapley vektör
Yazlık köyde yolu asfaltlamaya karar verdiler. Çip takmanız gerekiyor. Nasıl?
Shapley 1953'te bu soruna bir çözüm önerdi. N={1,2…n} kişilik bir grupla çatışma durumu olduğunu varsayalım. Maliyetlerin/faydaların paylaşılması gerekir. Diyelim ki insanlar birlikte faydalı bir şey yaptılar, sattılar ve kâr nasıl bölünecek?
Shapley, bölüştürürken bu insanların belirli alt gruplarının ne kadar alabileceğine göre yönlendirilmemiz gerektiğini öne sürdü. 2N boş olmayan alt kümenin tümü ne kadar para kazanabilir? Ve bu bilgiye dayanarak Shapley evrensel bir formül yazdı.
Örnek. Bir solist, gitarist ve davulcu Moskova'daki bir yeraltı geçidinde çalıyor. Üçü saatte 1000 ruble kazanıyor. Nasıl bölünür? Muhtemelen eşit derecede.
V(1,2,3)=1000
Hadi öyle davranalım
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Belirli bir şirketin ayrılıp kendi başına hareket etmesi durumunda ne gibi kazançların beklediğini bilene kadar adil bir paylaşıma karar verilemez. Ve sayıları belirlediğimizde (işbirlikçi oyunu karakteristik bir biçimde ayarlayın).
Süpertoplamsallık, birlikte ayrı ayrı kazandıklarından daha fazla kazanmaları, birleşmenin daha karlı olması, ancak kazancın nasıl paylaştırılacağının net olmamasıdır. Bununla ilgili birçok kopya kırıldı.
Bir oyun var. Üç iş adamı aynı anda 1 milyon dolar değerinde depozito buldu. Eğer üçü aynı fikirdeyse, o zaman onlardan bir milyon var demektir. Herhangi bir çift öldürebilir (davadan çıkarılabilir) ve tüm milyonu kendilerine alabilir. Ve hiç kimse tek başına bir şey yapamaz. Bu, çözümü olmayan korkunç bir işbirliği oyunudur. Üçüncüyü eleyebilecek iki kişi her zaman olacaktır... İşbirlikçi oyun teorisi, çözümü olmayan bir örnekle başlar.
Biz öyle bir çözüm istiyoruz ki hiçbir koalisyon ortak çözümün önünü kesmek istemesin. Engellenemeyen tüm bölümlerin kümesi çekirdektir. Çekirdek boş olur. Ama boş olmasa bile nasıl bölünecek?
Shapley bu şekilde bölünmeyi öneriyor. N ile yazı tura atın! kenarlar. Tüm oyuncuları bu sırayla yazıyoruz. Diyelim ki ilk davulcu. Geliyor 100'ünü alıyor. Sonra “ikinci” geliyor, solist diyelim. (Davulcuyla birlikte 450 kazanabiliyorlar, davulcu zaten 100 almış) Solist 350 alıyor. Gitarist giriyor (1000, -450 ile birlikte), 550 alıyor. Sonuncusu sıklıkla kazanıyor. (Süper modülerlik)
Tüm siparişler için yazarsak:
GSB - (C kazan) - (D kazan) - (B kazan)
SGB - (C kazan) - (D kazan) - (B kazan)
SBG - (C kazan) - (D kazan) - (B kazan)
BSG - (C kazan) - (D kazan) - (B kazan)
BGS - (C kazancı) - (D kazancı) - (B kazancı)
GBS - (C kazan) - (D kazan) - (B kazan)
Ve her sütun için toplayıp 6'ya bölüyoruz - tüm sıralamaların ortalaması alınarak - bu bir Shapley vektörüdür.
Shapley teoremi (yaklaşık olarak) kanıtladı: Büyük bir takıma katılan bir sonraki kişinin ona daha büyük bir kazanç getirdiği bir oyun sınıfı (süper modüller) vardır. Çekirdek her zaman boş değildir ve noktaların dışbükey bir birleşimidir (bizim durumumuzda 6 nokta). Shapley vektörü çekirdeğin tam merkezinde yer alır. Her zaman çözüm olarak sunulabilir, buna kimse karşı çıkmaz.
1973 yılında kır evlerindeki sorunun süper modüler olduğu kanıtlandı.
N kişinin tamamı ilk kulübeye giden yolu paylaşıyor. İkinciye kadar - n-1 kişi. Vesaire.
Havaalanının pisti var. Farklı şirketlerin farklı uzunluklara ihtiyacı vardır. Aynı sorun ortaya çıkıyor.
Bence Nobel Ödülü'nü verenlerin akıllarında sadece marjinallik görevi değil, bu meziyet de vardı.
Teşekkürler!
Ещё
- Kanal “Matematik - Basit”:
- Kanal “Sınırsız Savvateev”: edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Herkese açık “Matematik basittir”:
- Kamuya açık “Matematikçiler şakası”:
- Web sitesi, tüm dersler +100 ders ve daha fazlası: savvateev.xyz
Kaynak: habr.com