Доброго вам дня.
Останні кілька років я присвятив дослідженню та створенню різних алгоритмів просторової обробки сигналів в адаптивних антенних ґратах, і продовжую займатися цим у рамках своєї роботи. Тут я хотів би поділитися тими знаннями та фішками, які відкрив для себе. Сподіваюся, що це буде корисно для людей початківців вивчати цю область обробки сигналів або просто цікавляться.
Що таке адаптивні антенні грати?
– це набір антенних елементів, певним чином розміщених у просторі. Спрощено структуру адаптивної антеної решітки, яку ми розглядатимемо, можна уявити в наступному вигляді:
Адаптивні антенні решітки часто називають «розумними» антенами (). «Розумний» антенну решітку робить блок просторової обробки сигналу та алгоритми, реалізовані в ньому. Ці алгоритми аналізують сигнал і формують набір вагових коефіцієнтів $inline$w_1…w_N$inline$, які визначають амплітуду і початкову фазу сигналу для кожного з елементів. Заданий амплітудно-фазовий розподіл визначає всієї ґрати загалом. Можливість синтезувати діаграму спрямованості необхідної форми та змінювати її в процесі обробки сигналу - одна з головних особливостей адаптивних антенних решіток, що дозволяє вирішувати широкий . Але про все по порядку.
Як формується діаграма спрямованості?
характеризує потужність сигналу, що випромінюється в деякому напрямку. Для простоти покладемо елементи ґрат ізотропними, тобто. для кожного з них потужність сигналу, що випромінюється, не залежить від напрямку. Посилення або ослаблення потужності, що випромінюється гратами в деякому напрямку, виходить внаслідок ЕМВ, випромінюваних різними елементами антеної решітки. Стійка інтерференційна картина для ЕМВ можлива лише за умови їх , тобто. різниця фаз сигналів має змінюватися з часом. В ідеальному випадку кожен із елементів антеної решітки повинен випромінювати на одній і тій самій частоті $inline$f_{0}$inline$. Проте практично доводиться працювати з вузькосмуговими сигналами, мають спектр кінцевої ширини $inline$Delta f << f_{0}$inline$.
Нехай всі елементи АР випромінюють один і той же сигнал $inline$x_n(t)=u(t)$inline$. Тоді на приймачі прийнятий від n-ного елемента сигнал можна подати в вигляді:
$$display$$a_n(t) = u(t-tau_n)e^{i2pi f_0(t-tau_n)}$$display$$
де $inline$tau_n$inline$ – затримка у розповсюдженні сигналу від антенного елемента до точки прийому.
Такий сигнал є «квазігармонічним», і для виконання умови когерентності необхідно, щоб максимальна затримка в поширенні ЕМВ між будь-якими двома елементами була набагато меншою за характерний час зміни огинаючої сигналу $inline$T$inline$, тобто. $inline$u(t-tau_n) ≈ u(t-tau_m)$inline$. Таким чином, умову на когерентність вузькосмугового сигналу можна записати так:
$$display$$T≈frac{1}{Delta f}>>frac{D_{max}}{c}=max(tau_k-tau_m) $$display$$
де $inline$D_{max}$inline$ — максимальна відстань між елементами АР, а $inline$з$inline$ — швидкість світла.
При прийомі сигналу когерентне підсумовування проводиться у цифровому вигляді у блоці просторової обробки. У цьому випадку комплексне значення цифрового сигналу на виході блоку визначається виразом:
$$display$$y=sum_{n=1}^Nw_n^*x_n$$display$$
Останній вираз зручніше подати у вигляді N-вимірних комплексних векторів у матричній формі:
$$display$$y=(textbf{w},textbf{x})=textbf{w}^Htextbf{x}$$display$$
де w и x — вектори-стовпці, а $inline$(.)^H$inline$ — операція .
Векторне уявлення сигналів одна із базових під час роботи з антенними гратами, т.к. часто дозволяє уникнути громіздких математичних викладок. Крім того, ототожнення прийнятого в певний момент часу сигналу з вектором часто дозволяє абстрагуватися від реальної фізичної системи та зрозуміти, що саме відбувається з точки зору геометрії.
Щоб розрахувати діаграму спрямованості антеної решітки, необхідно подумки і послідовно «запустити» на неї набір. з усіх можливих напрямів. У цьому випадку значення елементів вектора x можна уявити в наступному вигляді:
$$display$$x_n=s_n=exp{-i(textbf{k}(phi,theta),textbf{r}_n)}$$display$$
де k - , $inline$phi$inline$ та $inline$theta$inline$ – и , що характеризують напрям приходу плоскої хвилі, $inline$textbf{r}_n$inline$ – координата антенного елемента, $inline$s_n$inline$ – елемент фазуючого вектора s плоскої хвилі з вектор хвиль k (В англомовній літературі фазуючий вектор називають steerage vector). Залежність квадрата амплітуди величини y від $inline$phi$inline$ і $inline$theta$inline$ визначає діаграму спрямованості антеної решітки на прийом при заданому векторі вагових коефіцієнтів w.
Особливості діаграми спрямованості антеної решітки
Дослідити загальні властивості діаграми спрямованості антенних ґрат зручно на лінійній еквідистантній антеній решітці в горизонтальній площині (тобто ДН залежить тільки від азимутального кута $inline$phi$inline$). Зручно з двох точок зору: аналітичних викладок та візуального уявлення.
Розрахуємо ДН для одиничного вагового вектора ($inline$w_n=1, n = 1 … N$inline$), дотримуючись описаного підходу.
Математика тут
Проекція хвильового вектора на вертикальну вісь: $inline$k_v=-frac{2pi}{lambda}sinphi$inline$
Вертикальна координата антенного елемента з індексом n: $inline$r_{nv}=(n-1)d$inline$
Тут d – період антеної решітки (відстань між сусідніми елементами), λ - довжина хвилі. Всі інші елементи вектора r рівні нулю.
Сигнал, що приймається антеною решіткою, записується в наступному вигляді:
$$display$$y=sum_{n=1}^{N}1 ⋅exp{i2pi nfrac{d}{lambda}sinphi}$$display$$
Застосуємо формулу для и :
$$display$$y=frac{1-exp{i2pi Nfrac{d}{lambda}sinphi}}{1-exp{i2pi frac{d}{lambda}sinphi}}=frac{sin(pi frac{Nd} {lambda}sinphi)}{sin(pi frac{d}{lambda}sinphi)}exp{ipi frac{d(N-1)}{lambda}sinphi}$$display$$
У результаті отримаємо:
$$display$$F(phi)=|y|^2=frac{sin^2(pi frac{Nd}{lambda}sinphi)}{sin^2(pi frac{d}{lambda}sinphi)} $ $display$$
Періодичність діаграми спрямованості
Отримана діаграма спрямованості антени – періодична функція від синуса кута. Це означає, що за певних значень співвідношення d/λ вона має дифракційні (додаткові) максимуми.
Ненормована діаграма спрямованості антени для N = 5
Нормована діаграма спрямованості антеної решітки для N = 5 у полярній системі координат
Положення «дифракційників» можна подивитися безпосередньо з для ДН. Однак ми спробуємо зрозуміти, звідки вони беруться фізично та геометрично (у N-мірному просторі).
елементи вектора s є комплексними експонентами $inline$e^{iPsi n}$inline$, значення яких визначаються величиною узагальненого кута $inline$Psi = 2pi frac{d}{lambda}sinphi$inline$. Якщо існують два узагальнені кути, що відповідають різним напрямкам приходу плоскої хвилі, для яких виконується $inline$Psi_1 = Psi_2 + 2pi m$inline$, то це означає дві речі:
- Фізично: плоскі хвильові фронти, що надходять з цих напрямків, індукують на елементах антеної решітки ідентичні амплітудно-фазові розподілу електромагнітних коливань.
- Геометрично: цих двох напрямів збігаються.
Пов'язані подібним чином напрямки приходу хвилі є з погляду антеної ґрат еквівалентними і не помітні між собою.
Як визначити область кутів, в якій завжди лежить лише один головний максимум ДН? Зробимо це на околицях нульового азимуту з таких міркувань: величина набігу фаз між двома сусідніми елементами повинна лежати в інтервалі від $inline$-pi$inline$ до $inline$pi$inline$.
$$display$$-pi<2pifrac{d}{lambda}sinphi
Дозволяючи цю нерівність отримаємо умову область однозначності в околиці нуля:
$$display$$|sinphi|
Видно, що розмір області однозначності по куту залежить від співвідношення d/λ. Якщо d = 0.5λ, то кожен напрямок приходу сигналу «індивідуально», а область однозначності охоплює повний діапазон кутів. Якщо ж d = 2.0λто напрями 0, ±30, ±90 – еквівалентні. На діаграмі спрямованості утворюються дифракційні пелюстки.
Як правило, дифракційні пелюстки прагнуть придушити за допомогою спрямованих антенних елементів. У цьому випадку повна діаграма спрямованості антени є твором ДН одного елемента і решітки ізотропних елементів. Параметри ДН одного елемента зазвичай вибирають виходячи з умови область однозначності антеної решітки.
Ширина головної пелюстки
інженерна формула для оцінки ширини головної пелюстки антени: $inline$Delta phi ≈ frac{lambda}{D}$inline$, де D – характерний розмір антени. Формула використовується для різноманітних антен, у тому числі дзеркальних. Покажемо, що вона справедлива і для антенних ґрат.
Визначимо ширину головної пелюстки першими нулями ДН на околиці головного максимуму. Чисельник $inline$F(phi)$inline$ звертається в нуль при $inline$sinphi=mfrac{lambda}{dN}$inline$. Перші нулі відповідають m = ±1. $inline$frac{lambda}{dN}<<1$inline$ отримуємо $inline$Delta phi = 2frac{lambda}{dN}$inline$.
Зазвичай ширину ДН спрямованості АР визначають за рівнем половинної потужності (-3 дБ). У цьому випадку використовують вираз:
$$display$$Delta phi≈0.88frac{lambda}{dN}$$display$$
Приклад
Шириною головної пелюстки можна керувати, задаючи різні значення амплітуд для вагових коефіцієнтів антени. Розглянемо три розподіли:
- Рівномірний розподіл амплітуди (weights 1): $inline$w_n=1$inline$.
- Значення амплітуди (weights 2), що спадає до країв решітки: $inline$w_n=0.5+0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$
- Решітки, що збільшуються до країв, значення амплітуди (weights 3): $inline$w_n=0.5-0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$
На малюнку показані нормовані діаграми спрямованості в логарифмічному масштабі:
З малюнка можна простежити такі тенденції: розподіл амплітуд вагових коефіцієнтів, що спадає до країв решітки, призводить до розширення головної пелюстки ДН, але зменшення рівня бічних пелюсток. Значення амплітуд, що збільшуються до країв антеної решітки, навпаки, призводять до звуження головної пелюстки і збільшення рівня боковиків. Тут зручно розглянути граничні випадки:
- Амплітуди вагових коефіцієнтів всіх елементів, крім крайніх, дорівнюють нулю. Ваги для крайніх елементів дорівнюють одиниці. В цьому випадку грати стає еквівалентною двоелементною АР з періодом D = (N-1)d. Не важко прикинути за поданою вище формулою ширину головної пелюстки. При цьому боковики перетворяться на дифракційні максимуми і вирівняться за рівнем з головним максимумом.
- Вага центрального елемента дорівнює одиниці, а решти – нулю. У цьому випадку ми отримали по суті одну антену із ізотропною діаграмою спрямованості.
Напрямок головного максимуму
Отже, ми подивилися, як можна регулювати ширину головної пелюстки ДН АР. Тепер подивимося, як покерувати напрямком. Згадаймо для прийнятого сигналу Нехай ми хочемо, щоб максимум діаграми спрямованості дивився в деякому напрямку $inline$phi_0$inline$. Це означає, що з цього напряму має прийматись максимальна потужність. Даному напрямку відповідає фазуючий вектор $inline$textbf{s}(phi_0)$inline$ N-мірному векторному просторі, а прийнята потужність визначається як квадрат скалярного твору цього фазуючого вектора на вектор вагових коефіцієнтів w. Скалярний добуток двох векторів максимально, коли вони , тобто. $inline$textbf{w}=beta textbf{s}(phi_0)$inline$, де β - Деякий нормуючий множник. Таким чином, якщо ми виберемо ваговий вектор рівним фазу для необхідного напрямку, то повернемо максимум діаграми спрямованості.
Розглянемо як приклад такі вагові коефіцієнти: $inline$textbf{w}=textbf{s}(10°)$inline$
$$display$$w_n=exp{i2pifrac{d}{lambda}(n-1)sin(10pi/180)}$$display$$
У результаті отримаємо діаграму спрямованості з основним максимумом у напрямку 10 °.
Тепер застосуємо ті ж вагові коефіцієнти, але не для прийому сигналу, а для передачі. Тут варто врахувати, що з передачі сигналу напрям хвильового вектора змінюється на протилежне. Це означає, що елементи для прийому та передачі відрізняються знаком показника експоненти, тобто. пов'язані між собою комплексним поєднанням. У результаті отримаємо максимум діаграми спрямованості на передачу в напрямку -10 °, що не збігається з максимумом ДН на прийом при тих же вагових коефіцієнтах. Щоб виправити ситуацію, необхідно застосувати комплексне сполучення також і до вагових коефіцієнтів.
Описану особливість формування ДН на прийом та передачу слід завжди мати на увазі при роботі з антенними ґратами.
Пограємо з діаграмою спрямованості
Декілька максимумів
Поставимо завдання сформувати два основні максимуми діаграми спрямованості в напрямку: -5 ° і 10 °. Для цього виберемо як ваговий вектор зважену суму фазуючих векторів для відповідних напрямків.
$$display$$textbf{w} = betatextbf{s}(10°)+(1-beta)textbf{s}(-5°)$$display$$
Регулюючи коефіцієнт β можна регулювати співвідношення між головними пелюстками. Тут знову зручно подивитися на те, що відбувається у векторному просторі. Якщо β більше 0.5, то вектор вагових коефіцієнтів лежить ближче до s(10°), інакше до s(-5 °). Чим ближче ваговий вектор до одного з фазорів, тим більший відповідний скалярний добуток, а отже, і величина відповідного максимуму ДН.
Однак варто врахувати, що обидва головні пелюстки мають кінцеву ширину, і якщо ми захочемо налаштуватися на два близькі напрямки, то ці пелюстки зіллються в один, орієнтований на деякий середній напрямок.
Один максимум і нуль
Тепер спробуємо налаштувати максимум діаграми спрямованості на напрям $inline$phi_1=10°$inline$ і одночасно придушити сигнал, що надходить із напрямку $inline$phi_2=-5°$inline$. Для цього необхідно виставити нуль ДН для відповідного кута. Зробити це можна так:
$$display$$textbf{w}=textbf{s}_1-frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{N}textbf{s}_2$$display$$
де $inline$textbf{s}_1 = textbf{s}(10°)$inline$, а $inline$textbf{s}_2 = textbf{s}(-5°)$inline$.
Геометричний сенс вибору наступного вагового вектора. Ми хочемо, щоб цей вектор w мав максимальну проекцію на $inline$textbf{s}_1$inline$ і був ортогонален вектору $inline$textbf{s}_2$inline$. Вектор $inline$textbf{s}_1$inline$ можна представити у вигляді двох доданків: вектора колінеарного $inline$textbf{s}_2$inline$ і вектор ортогонального $inline$textbf{s}_2$inline$. Щоб задовольнити постановку завдання, необхідно вибрати другу компоненту як вектор вагових коефіцієнтів w. Розрахувати колінеарну компоненту можна спроектувавши вектор $inline$textbf{s}_1$inline$ на нормований вектор $inline$frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}$inline$ за допомогою скалярного твору.
$$display$$textbf{s}_{1||}=frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{sqrt{N}} $$display$$
Відповідно, віднімаючи з вихідного фазуючого вектора $inline$textbf{s}_1$inline$ його колінеарну компоненту, отримаємо шуканий ваговий вектор.
Деякі додаткові зауваження
- Скрізь я опустив питання нормування вагового вектора, тобто. його довжина. Так ось, нормування вагового вектора не впливає на характеристики діаграми спрямованості антеної решітки: напрямок головного максиму, ширину головної пелюстки тощо. Можна також показати, що це нормування не впливає і на ЗСШ на виході блоку просторової обробки. У зв'язку з цим під час розгляду алгоритмів просторової обробки сигналу зазвичай приймаю одиничне нормування вагового вектора, тобто. $inline$textbf{w}^Htextbf{w}=1$inline$
- Можливості формування ДН антени грати визначаються кількістю елементів N. Чим більше елементів, тим ширші можливості. Тим більше ступенів свободи при здійсненні просторової вагової обробки, більше варіантів, як «покрутити» ваговим вектором у N-мірному просторі.
- При здійсненні прийому ДН антеної решітки фізично немає, проте це існує лише у «уяві» обчислювального блоку, здійснює обробку сигналу. Це означає, що в той самий момент часу можна синтезувати кілька ДН і вести незалежно обробку сигналів, що приходять з різних напрямків. У разі передачі всі дещо складніше, проте також існує можливість синтезувати кілька ДН для передачі різних потоків даних. Така технологія у системах зв'язку отримала назву .
- За допомогою представленого matlab коду можна самостійно погратися з ДН
Код% antenna array settings N = 10; % number of elements d = 0.5; % period of antenna array wLength = 1; % wavelength mode = 'receiver'; % receiver or transmitter % weights of antenna array w = ones(N,1); % w = 0.5 + 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))/N).'; % w = 0.5 - 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))/N).'; % w = exp(2i*pi*d/wLength*sin(10/180*pi)*(0:N-1)).'; % b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d/wLength*sin(+10/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d/wLength*sin(-5/180*pi)*(0:N-1)).'; % b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d/wLength*sin(+3/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d/wLength*sin(-3/180*pi)*(0:N-1)).'; % s1 = exp(2i*pi*d/wLength*sin(10/180*pi)*(0:N-1)).'; % s2 = exp(2i*pi*d/wLength*sin(-5/180*pi)*(0:N-1)).'; % w = s1 - (1/N)*s2*s2'*s1; % w = s1; % normalize weights w = w./sqrt(sum(abs(w).^2)); % set of angle values to calculate pattern angGrid_deg = (-90:0.5:90); % convert degree to radian angGrid = angGrid_deg * pi / 180; % calculate set of steerage vectors for angle grid switch (mode) case 'receiver' s = exp(2i*pi*d/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid))); case 'transmitter' s = exp(-2i*pi*d/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid))); end % calculate pattern y = (abs(w'*s)).^2; %linear scale plot(angGrid_deg,y/max(y)); grid on; xlim([-90 90]); % log scale % plot(angGrid_deg,10*log10(y/max(y))); % grid on; % xlim([-90 90]);
Які завдання можна вирішувати за допомогою адаптивної антеної решітки?
Оптимальний прийом невідомого сигналуЯкщо напрям прихід сигналу невідомий (а якщо канал зв'язку багатопроменевий, напрямків взагалі декілька), то проаналізувавши прийманий антеною решіткою сигнал, можна сформувати оптимальний ваговий вектор w так що ОСШ на виході блоку просторової обробки буде максимальним.
Оптимальний прийом сигналу на тлі перешкодТут завдання ставиться так: просторові параметри очікуваного корисного сигналу відомі, проте у зовнішньому середовищі існують джерела перешкод. Необхідно максимізувати ОСШП на виході АР, максимально знизивши вплив перешкод прийом сигналу.
Оптимальна передавання сигналу користувачуЦе завдання вирішується в системах мобільного зв'язку (4G, 5G), а також у Wi-Fi. Сенс простий: з допомогою спеціальних пілотних сигналів в каналі зворотного зв'язку користувача проводиться оцінка просторових характеристик каналу зв'язку, і її основі вибирається оптимальний передачі вектор вагових коефіцієнтів.
Просторове мультиплексування потоків данихАдаптивні антенні решітки дозволяють вести передачу даних декільком користувачам в той самий час на одній і тій же частоті, сформувавши для кожного з них індивідуальну ДН. Ця технологія називається MU-MIMO і в даний час активно впроваджується (а десь вже) у системи зв'язку. Можливість просторового мультиплексування передбачена, наприклад, у стандарті мобільного зв'язку 4G LTE, Wi-Fi стандарті IEEE802.11ay, стандартах мобільного зв'язку 5G.
Віртуальні антенні масиви для радарівЦифрові антенні решітки дозволяють за допомогою кількох передавальних антенних елементів сформувати для обробки сигналу віртуальну антенну решітку значно більших розмірів. Віртуальна решітка має всі характеристики реальної, проте для реалізації вимагає менших апаратних витрат.
Оцінка параметрів джерел випромінюванняАдаптивні антенні решітки дозволяють вирішувати завдання оцінки числа, потужності, джерел радіовипромінювання, встановлювати статистичну зв'язок між сигналами різних джерел. Головною перевагою адаптивних антенних решіток у цьому питанні є здатність до надрозв'язання близьких джерел випромінювання. Джерел, кутова відстань між якими менше ширини головної пелюстки діаграми спрямованості антеної решітки (). Головним чином це стає можливим за рахунок векторного уявлення сигналу, відомої сигнальної моделі, а також апарата лінійної математики.
Дякуємо за увагу
Джерело: habr.com