Розшифровка відео лекції.
Теорія ігор - дисципліна, яка міцно зависла між математикою та соціальними науками. Одним канатом до математики, іншим канатом до соціальних наук, міцно прикріплена.
У ній є теореми, досить серйозні (теорема існування рівноваги), про неї знято фільм «Ігри розуму», теорія ігор проявляється у безлічі художніх творів. Якщо дивитися довкола, раз у раз зустрічаєш ігрову ситуацію. Я зібрав кілька сюжетів.
Усі мої презентації робить дружина. Всі презентації можуть вільно поширюватися, я буду вкрай радий, якщо ви читатимете лекції. .
Деякі сюжети суперечливі. Моделі можуть бути різними, можете не погоджуватися з моєю моделлю.
- Теорія ігор у Талмуді.
- Теорія ігор у російській класиці.
- Телегра або завдання про паркувальні місця.
- Люксембург у Євросоюзі.
- Сіндзо Абе та Північна Корея
- Парадокс Брайєса у Метрогородку (Москва)
- Два парадокси Дональда Трампа
- Раціональне божевілля (знов Північна Корея)
(Наприкінці посту – опитування про бомбу.)
Талмуд: завдання спадщини
Колись було дозволено багатоженство (3-4 тис. років тому). Єврей, коли одружився, підписував шлюбний договір, скільки виплатять дружині, коли він помре. Ситуація: вмирає єврей, у якого три дружини. Першою заповідалося 100 монет, другою — 200, третьою — 300. Але коли відкрили спадщину, там було менше 600 монет. Що робити?
Офтоп про підхід євреїв до вирішення питань:
Шабат починається із першою зіркою. А за полярним колом?
- «Спуститися» меридіаном і орієнтуватися по тій місцевості де все нормально. (Не працює з Північним полюсом)
- Починати о 00-00 і не паритися. (теж не працює з Північним полюсом), тому:
- Єврею нічого робити за полярним колом і їздити туди не треба.
- У Талмуді написано, якщо спадок менший за 100 монет, то ділити порівну.
- Якщо до 300 монет, то ділимо 50-100-150
- Якщо 200 монет, ділимо 50-75-75
Як ці умови можна склеїти в одну формулу?
Принцип як вирішувати кооперативні ігри.
Виписуємо претензії кожної дружини, претензії пар дружин, за умови, що третя все погасила. Отримуємо перелік претензій, не тільки поодиноких, а й «компаній». Береться таке рішення, такий поділ спадщини, щоб найважча претензія була мінімально можливою (максимін). Теоретично ігор це вивчали, назвали «“. Роберт Алман довів, що всі три сценарії з Талмуду — строго по нуклеолусу!
Як це може бути? 3000 років тому? Ні я, ніхто інший не розуміє, як це може бути. (Господь диктував? Чи їхня математика була набагато складнішою, ніж ми думаємо?)
Микола Васильович Гоголь
Іхарєв. Дозвольте вам зробити одне питання: як робили ви досі, щоб пустити в хід колоди? Адже підкуповувати слуг не завжди можна.
Втішний. Збережи Бог! та й небезпечно. Це означає іноді себе продати. Ми це робимо інакше. Одного разу ми вчинили ось як: приїжджає на ярмо наш агент, зупиняється під ім'ям купця в міському трактирі. Крамниці ще не встигли найняти; скрині та в'юки поки що в кімнаті. Живе він у шинку, витримується, їсть, п'є — і раптом зникає невідомо куди, не заплативши. Хазяїн нишпорить у кімнаті. Бачить, лишився один в'юк; розпаковує – сто дюжин карт. Карти, природно, зараз продані з громадського торгу. Пустили карбованцем дешевше, купці мить розхопили у свої лавки. А за чотири дні програлося все місто!
Це суто теоретико-числова двоходівка. У мене теж була нещодавно у житті двоходівка, у Тюмені. Їду до поїзда. Я вивчаю ситуацію та прошу взяти мені верхнє місце в купе. Мені кажуть: "Не треба економити, беріть нижнє, гроші не питання". Я говорю: «Верхнє».
Чому я просив верхнє місце? (Підказка: завдання я виконав на 3/4)
відповідьУ мене в результаті було два місця — верхнє та нижнє.
Нижнє у півтора рази дорожче. Дорогих місць не беруть. Я подивився, що майже всі верхні куплені, а нижні майже всі порожні. Тому взяв навмання верхню. Лише на ділянці Єкатеринбург-Тюмень був сусід.
Настав час пограти
Ось написано мій телефон. У телефоні немає жодної непрочитаної смски, звук вимкнений. Протягом хвилини ви посилаєте смс, або не посилаєте. Шоколадку отримають ті, хто послав смс, але тільки в тому випадку, якщо тих, хто послав, буде не більше двох. Час пішов.
Хвилина пройшла. 11 смсів:
- Шоколадка!
- шоколадка
- Ізі
- шшшш
- 123
- Привіт Олексій Володимирович
- Привіт Олексій
- Шоколадка:)
- +
- Combo-breacker
- А
У Майкопі у мене на лекції був глава республіки Адигея і поставив змістовне запитання.
У Красноярську у залі сиділо 300 мотивованих школярів. 138 смсів. Я почав їх зачитувати, п'ятий виявився матюком.
Давайте розберемо цю гру. Звичайно, це лохотрон. Жодного разу за історію розіграшів (ближче до 100 раундів) не було, щоби шоколадка комусь дісталася.
Є рівновага, коли зал домовляється на якихось двох людей. Договір має бути таким, у якому всім вигідно брати участь.
Рівновага – це такий розіграш, коли можна оголосити стратегії вголос, і від цього вони не зміняться.
Нехай шоколадка в 100 разів дорожча за смс (якщо в 1000, то результат буде трохи інший). Кількість людей у залі не відіграє майже жодної ролі.
Змішана рівновага. Кожен із вас сумнівається і не знає як грати. І він віддає свій хід нагоді. Наприклад, рулетці 1/6. Людина вирішує, що в 1/6 випадків (при багаторазовій грі) він посилатиме смс.
Запитання: яка «рулетка» буде рівноважною?
Ми хочемо знайти симетричну рівновагу. Роздаємо всім рулетку 1/р. Треба впевнитись, що люди хочуть у таку рулетку зіграти.
Істотна деталь. Якщо ви її зрозумієте, вважай, що з теорією ігор ви вже познайомилися. Я стверджую, що з рівновагою сумісне лише одне "р".
Припустимо, що «р» дуже маленьке. Наприклад, 1/1000. Тоді отримавши таку рулетку ти швидко здогадаєшся, що шоколадки не бачити і викинеш таку рулетку і слатимеш смс.
Якщо "р" занадто велика, наприклад 1/2. Тоді правильним рішенням буде не надсилати смс і заощадити рубль. Точно ти не будеш другим, а швидше за все сорок другим.
Є розрахунок рівноваги з одночасним глибоким продумуванням. Але зараз не про них йдеться.
Значення «р» повинні бути такі, що ваш виграш від того, що ви надішлете смс, в середньому дорівнюватиме виграшу від того, що не надішлете.
Порахуємо цю можливість.
N+2 – кількість людей в аудиторії.
На відео розбір формул на 33-й хвилині.
(1+pn)(1+p)^n = 1/100 (ймовірність шоколадки = ціні смс)
Якщо рулетка така, що її незалежний запуск усіма іншими учасниками призводить до ймовірності отримання шоколадки у разі відправлення смса (рівною 0,01).
При ціні співвідношення цін шоколадка/смс = 100, кількість смс буде 7, при 1000 - 10.
Ви бачите, що колективна раціональність страждає. Ми шукаємо рівновагу, коли кожен поводиться раціонально, але як наслідок, майже напевно буде смсок більше. Тільки змова дасть більше результату.
Один із результатів теорії ігор — ідея вільного ринку, що він сам все налагодить — зовсім не вірна. Якщо пустили на самоплив — буде гірше, ніж якби домовились.
Люксембург у Євросоюзі
Приготувалися сміятися.
Люксембург входив до Євросоюзу.
Рада міністрів Європейського Союзу складалася з шести представників по одному з кожної країни ЄС (з 6 по 1958).
Країни були різні і тому:
- Франція Німеччина Італія - по 4 голоси,
- Бельгія, Нідерланди - 2 голоси,
- Люксембург - 1 голос.
Шість осіб ухвалювали рішення з усіх питань 15 років поспіль. Рішення прийнято, якщо квота перевищена. Квота = 12...
Немає жодної потенційної ситуації, коли Люксембург може змінити хід рішення своїм голосом. Сидить людина 15 років за столом і нічого не вирішує.
Я коли це дізнався, попросив своїх знайомих німців (не було знайомих із Люксембургу) прокоментувати. Вони відповіли:
— Ти не порівнюй Люксембург із вашим радянським табором, де математику добре знають. Вони жодного уявлення про парність/непарність не мають.
- Як, вся країна?!??!?
— Так, крім, може, парочки вчителів.
Запитав ще одного німця, який одружений із люксембуржкою. Він сказав:
— Люксембург — це країна, яка є повністю аполітичною, і взагалі не стежить за зовнішньою політикою. У Люксембурзі людей цікавить лише те, що відбувається у дворі.
Сіндзо Абе
Я їхав на лекцію з теорії ігор і побачив новину:
У мене заграв тривожний дзвіночок. Що цього може бути. Ніяк. КНДР здатні зробити атомну бомбу, але доставити її навряд.
Навіщо вводити у навмисну дезінформацію?
Щоправда в тому, що ракети можуть долетіти до Японії. Це жахливо для японців. Але якщо це повідомити НАТО, це ні до чого не приведе, а лякаючи Європою, приведе.
Я не наполягаю на правоті, може, є й інші аналізи цієї новини.
Метромістечко
Колись дано жартівники назвали вулицю «Відкрите шосе», бо вона тупикова і впирається у ліс. Ті ж жартівники назвали район «Метромістечко», бо там ніколи не буде метро».
На початку 90-х пробок ще не було і розігрався наступний сюжет.
Метромістечко позначено буквою «М».
Щолківське шосе поєднує гігантський кластер міст. 700 000 осіб, згідно з останнім переписом.
З Метромістечка до ВДНГ веде маленька звивиста доріжка, без жодного світлофора. Шосе їхати година, по доріжці - 20 хвилин. Частина народу з шосе починає "зрізати" - результат - 30 хв пробка.
Це з теорії ігор. Якщо значно менше 30 хвилин пробка - це відомо, і тоді ще більше машин згортають, щоб "зрізати". Якщо більше, народ перестає «зрізати».
Рівноважне значення часу пробки - суто результат теоретико-числової взаємодії автомобілістів, які вирішують куди їхати. Принцип Вардроп.
Для водіїв як була година, так і залишилася, а для мешканців Метромістечка 20 хвилин перетворилися на 50. Без «з'єднувачки» 1 годину та 20 хвилин, із «сполучником» — 1 годину та 50 хвилин. Чистий феномен Браєса.
А ось приклад який коштував . Юрій Євгенович Нестеров отримав найвищу нагороду у галузі математичного програмування.
Ідея така. Якщо поява нової дороги може призвести до погіршення дорожньої ситуації, то, певно, якась заборона може призвести до покращення. І Він зобразив конкретику, коли це відбувається.
Є пункт "А" і пункт "Б" і посередині точка, якої не можна уникнути.
У результаті всі їдуть 1 годину та 20 хвилин. Нестеров запропонував поставити знак "зміни дороги".
У результаті машини поділилися на дві категорії, хто їхав прямо, а потім в об'їзд (4000) і тих, хто їхав в об'їзд, а потім прямо (4000) і при цьому пробок на вузькій дорозі не виникало. І у результаті всі учасники дорожнього руху їдуть 1 годину.
Трамп
За Трампа проголосувало менше ніж проти нього.
Виборщики.
У першому штаті 8 млн осіб, усі «проти» Трампа. 2 виборщики.
У другому штаті 12 млн осіб, 8 - "за", 4 - "проти". 3 виборщики та всі зобов'язані голосувати за Трампа.
У підсумку 2:3 за виборцями на користь Трампа, хоча за нього проголосувало 8, а проти нього 12 млн.
Скандальний кандидат
Буває, що якийсь кандидат із опитувань не проходить. Або про «Брекзит» за опитуваннями не мало статися. Є недоброякісні опитування (коли випилюють неугодні думки з вибірки), але професійні соціологи роблять так рідко.
Людина живе ніби в каптані, каже одне, а перед скринькою скидає каптан і голосує по-іншому. У каптані зручно жити, має якесь соціальне оточення: роботодавець, сім'я, батьки.
Ось модель мого знайомого, бо я не маю фейсбуку. Всі ці люди так чи інакше на нього впливають.
Думки 500 осіб є важливими. І якщо ми з ним обговорюємо політику і сильно розходимося, це є деякою невеликою дискомфортною складовою.
Модель соціального розколу.
приклади:
- Брекзіт
- Російсько-український розкол
- Вибори США
Є люди, які принципово не беруть участь у суперечках, це їхня позиція, не тому що вони не мають своєї думки, а тому що витрати від висловлювання своєї точки зору дуже великі.
Можна написати функцію виграшу:
Є матриця взаємодій aij (багато мільйонів на багато мільйонів). У кожній клітинці написано, як кожна людина впливає на кожного і з яким знаком. Дуже несиметрична матриця. Один може впливати на багатьох, але на одного впливають людина 200.
Ми примножуємо внутрішній стан vi людини на те, що він сказав уголос σi.
Рівновага — це коли кожен прийняв рішення, яке транслювати вголос.
Можуть навіть думати одночасно про одне, а вголос говорити водночас інше. Обидва брешуть, але солідаризуються.
Ще додаються шуми. І обчислюється з якою ймовірністю ви промовчите, скажете «за» чи «проти». На цей набір можливостей виникають рівняння.
З пасіонарних та фанатиків треба починати прораховувати рівновагу.
ТБ - це магнітне поле, яке зміщує внутрішню думку.
Імовірність того, що ви топитимете «за» якусь конкретну сторону, дорівнює ймовірності того, що різниця білих шумів буде більшою, ніж виграш. Все визначається значенням усередині дужок, але це виходить залежно від інших. У результаті система рівнянь.
При формулі моделювання білого шуму:
Виходить по два рівняння на кожну людину, 100 млн осіб - 200 млн рівнянь. Дуже багато.
Можливо, настане момент, коли можна буде взяти дані соцопитувань, дослідити кількісні показники соціальної мережі знайомств та сказати: «У цій системі соцопитування на 7% зменшить кількість голосів за даного кандидата».
Теоретично це можливо. Я не знаю, скільки буде перешкод на шляху туди.
Висновки
Люди соромляться своєї підтримки «скандального» кандидата (Жириновський, Навальний тощо), але у виборчої скриньки «дають вихід протесту». Розв'язавши цю систему рівнянь, ми змогли б кількісно оцінити відхилення результатів опитувань від реального голосування. Але нам заважає складність улаштування соціальних мереж.
Модель раціонального божевілля
Багато людей вражаються «безстрашністю» керівництва Північної Кореї, яка проводить випробування своєї ядерної зброї «під носом» у США. Особливо, враховуючи долю Каддафі, Саддама Хусейна та ін. Невже Кім Чен Ин збожеволів? Однак у його «шаленій» поведінці цілком може бути раціональне зерно.
Це модель Цезаря, що спалює мости.
У разі війни країну з ядерною зброєю знищать повністю. Якщо вона не має ядерної зброї, можна перемогти і без повного знищення. Якщо керівник держави знає, що «чи пан, чи зник», то війну будуть пущені великі ресурси. А якщо так, то протилежний бік злякається цих великих ресурсів, тому що у неї самої буде великий програш від війни.
Дерево гри та прогноз.
PS
Підніміть руку, хто вважає, що в найближчі п'ять років буде скинуто атомну бомбу?
Я вважаю 50%. Підлогу руки б я підняв.
Тільки зареєстровані користувачі можуть брати участь в опитуванні. , будь ласка.
Яка ймовірність, що в найближчі п'ять років буде скинуто атомну бомбу?
-
менше 5%
-
5-20%
-
20-40%
-
50%
-
60-80%
-
більше 95%
-
інше
Проголосували 256 користувачів. Утрималися 76 користувачів.
Джерело: habr.com