ریاضی کے نقطہ نظر سے ہر کوئی شادی کیسے کر سکتا ہے (سنگل، دو- اور تین جنس شادیاں) اور کیوں مرد ہمیشہ جیتتے ہیں

2012 میں معاشیات کا نوبل انعام لائیڈ شیپلے اور ایلون روتھ کو دیا گیا۔ "مستحکم تقسیم کے نظریہ اور منڈیوں کو منظم کرنے کے عمل کے لیے۔" 2012 میں Aleksey Savvateev نے ریاضی دانوں کی خوبیوں کے جوہر کو سادہ اور واضح طور پر بیان کرنے کی کوشش کی۔ میں آپ کی توجہ میں ایک خلاصہ پیش کرتا ہوں۔ ویڈیو لیکچرز.

آج ایک نظریاتی لیکچر ہوگا۔ تجربات کے بارے میں ایلا روٹا, خاص طور پر عطیہ کے ساتھ، میں نہیں بتاؤں گا.

جب اس کا اعلان ہوا۔ Lloyd Shepley (1923-2016) نوبل انعام ملا، ایک معیاری سوال تھا: "کیسے!؟ کیا وہ ابھی تک زندہ ہے؟!؟ اس کا سب سے مشہور نتیجہ 1953 میں حاصل ہوا تھا۔

رسمی طور پر بونس کسی اور چیز کے لیے دیا گیا تھا۔ "شادی کے استحکام کے نظریہ" پر ان کے 1962 کے مقالے کے لیے: "کالج میں داخلہ اور شادی کا استحکام۔"

پائیدار شادی کے بارے میں

ملاپ۔ (مماثل) - خط و کتابت تلاش کرنے کا کام۔

ایک مخصوص الگ تھلگ گاؤں ہے۔ "m" نوجوان مرد اور "w" لڑکیاں ہیں۔ ہمیں ان کی شادی ایک دوسرے سے کرنی ہے۔ (ضروری نہیں کہ ایک ہی نمبر ہو، ہو سکتا ہے آخر میں کوئی اکیلا رہ جائے۔)

ماڈل میں کیا مفروضے کرنے کی ضرورت ہے؟ کہ بے ترتیب دوبارہ شادی کرنا آسان نہیں ہے۔ آزاد انتخاب کی طرف ایک خاص قدم اٹھایا جا رہا ہے۔ چلیں ایک عقلمند اکسکل ہے جو اس طرح دوبارہ شادی کرنا چاہتا ہے کہ اس کی موت کے بعد طلاقیں شروع نہ ہوں۔ (طلاق ایک ایسی صورت حال ہے جب شوہر کسی تیسرے فریق کی عورت کو اپنی بیوی سے زیادہ اپنی بیوی کے طور پر چاہتا ہے۔)

یہ نظریہ جدید معاشیات کی روح میں ہے۔ وہ غیر معمولی طور پر غیر انسانی ہے۔ اقتصادیات روایتی طور پر غیر انسانی رہی ہے۔ معاشیات میں انسان کو زیادہ سے زیادہ منافع کمانے کے لیے مشین سے بدل دیا جاتا ہے۔ جو میں آپ کو بتاؤں گا وہ اخلاقی نقطہ نظر سے بالکل پاگل چیزیں ہیں۔ اسے دل پر مت لو۔

معاشی ماہرین شادی کو اس طرح دیکھتے ہیں۔
m1, m2, … mk - مرد۔
w1, w2,... wL - خواتین۔

ایک آدمی کی شناخت اس سے ہوتی ہے کہ وہ لڑکیوں کو کس طرح "حکم دیتا ہے"۔ ایک "زیرو لیول" بھی ہے، جس کے نیچے عورتوں کو بیوی کے طور پر پیش نہیں کیا جا سکتا، چاہے کوئی اور نہ ہوں۔

سب کچھ دونوں سمتوں میں ہوتا ہے، لڑکیوں کے لیے ایک جیسا۔

ابتدائی ڈیٹا صوابدیدی ہے۔ صرف مفروضہ / حد یہ ہے کہ ہم اپنی ترجیحات کو تبدیل نہیں کرتے ہیں۔

نظریہ: تقسیم اور صفر کی سطح سے قطع نظر، کچھ مردوں اور کچھ عورتوں کے درمیان ون ٹو ون خط و کتابت قائم کرنے کا ہمیشہ ایک طریقہ ہوتا ہے تاکہ یہ ہر قسم کی تقسیم (صرف طلاق ہی نہیں) کے لیے مضبوط ہو۔

کیا خطرات ہو سکتے ہیں؟

ایک جوڑا (m,w) ہے جو شادی شدہ نہیں ہے۔ لیکن موجودہ شوہر کے لیے م سے بدتر ہے اور میرے لیے موجودہ بیوی w سے بدتر ہے۔ یہ ایک غیر پائیدار صورتحال ہے۔

یہ آپشن بھی ہے کہ کسی کی شادی کسی ایسے شخص سے ہوئی جو "صفر سے نیچے" ہے، اس صورت میں شادی بھی ٹوٹ جائے گی۔

اگر ایک عورت شادی شدہ ہے، لیکن وہ غیر شادی شدہ مرد کو ترجیح دیتی ہے، جس کے لیے وہ صفر سے اوپر ہے۔

اگر دو افراد دونوں غیر شادی شدہ ہیں، اور دونوں ایک دوسرے کے لیے "صفر سے اوپر" ہیں۔

یہ استدلال کیا جاتا ہے کہ کسی بھی ابتدائی اعداد و شمار کے لیے ایسا شادی کا نظام موجود ہے، جو ہر قسم کے خطرات کے خلاف مزاحم ہے۔ دوم، اس طرح کے توازن کو تلاش کرنے کا الگورتھم بہت آسان ہے۔ آئیے M*N کے ساتھ موازنہ کریں۔

اس ماڈل کو عام کیا گیا اور اسے "کثرت ازدواج" تک پھیلایا گیا اور بہت سے علاقوں میں لاگو کیا گیا۔

گیل شیپلی طریقہ کار

اگر تمام مرد اور تمام عورتیں "نسخوں" پر عمل کریں تو نتیجہ میں شادی کا نظام پائیدار رہے گا۔

نسخے.
ہم ضرورت کے مطابق کچھ دن لیتے ہیں۔ ہم ہر دن کو دو حصوں (صبح اور شام) میں تقسیم کرتے ہیں۔

پہلی صبح ہر مرد اپنی بہترین عورت کے پاس جاتا ہے اور کھڑکی پر دستک دیتا ہے اور اسے اس سے شادی کرنے کا کہتا ہے۔

اسی دن کی شام میں باری خواتین کی طرف ہوتی ہے عورت کیا دریافت کر سکتی ہے؟ کہ اس کی کھڑکی کے نیچے ایک ہجوم تھا، ایک یا کوئی مرد۔ جن کا آج کوئی نہیں ہے وہ اپنی باری چھوڑ کر انتظار کریں۔ باقی، جن کے پاس کم از کم ایک ہے، ان مردوں کو چیک کریں جو یہ دیکھنے کے لیے آتے ہیں کہ وہ "صفر سے اوپر" ہیں۔ کم از کم ایک ہونا۔ اگر آپ مکمل طور پر بدقسمت ہیں اور ہر چیز صفر سے نیچے ہے تو سب کو بھیج دیا جائے۔ عورت آنے والوں میں سے سب سے بڑے شخص کو چنتی ہے، اسے انتظار کرنے کو کہتی ہے، اور باقی کو بھیج دیتی ہے۔

دوسرے دن سے پہلے صورت حال یہ ہے کہ بعض عورتوں کے پاس ایک مرد ہوتا ہے اور بعض کے پاس کوئی نہیں ہوتا۔

دوسرے دن، تمام "آزاد" (بھیجے ہوئے) مردوں کو دوسری ترجیح والی عورت کے پاس جانے کی ضرورت ہے۔ اگر ایسا کوئی شخص نہ ہو تو مرد کو سنگل قرار دیا جاتا ہے۔ وہ مرد جو پہلے ہی عورتوں کے ساتھ بیٹھے ہیں ابھی کچھ نہیں کر رہے۔

شام ہوتے ہی عورتیں صورت حال دیکھتی ہیں۔ اگر کوئی جو پہلے سے بیٹھا ہوا تھا اسے اعلیٰ ترجیح کے ساتھ شامل کیا گیا تھا، تو کم ترجیح کو بھیج دیا جاتا ہے۔ اگر آنے والے پہلے سے موجود سے کم ہوں تو سب کو رخصت کر دیا جاتا ہے۔ خواتین ہر بار زیادہ سے زیادہ عنصر کا انتخاب کرتی ہیں۔

ہم دہراتے ہیں۔

نتیجہ یہ نکلا کہ ہر مرد اپنی عورتوں کی پوری فہرست دیکھ کر یا تو اکیلا رہ گیا یا کسی عورت سے منگنی کر گیا۔ پھر ہم سب کی شادی کر دیں گے۔

کیا اس سارے عمل کو چلانا ممکن ہے، لیکن عورتوں کے لیے مردوں کے لیے بھاگنا؟ طریقہ کار سڈول ہے، لیکن حل مختلف ہو سکتا ہے. لیکن سوال یہ ہے کہ اس سے بہتر کون ہے؟

تھیوریم۔ آئیے نہ صرف ان دو متوازی حلوں پر غور کریں بلکہ تمام مستحکم شادی کے نظاموں کے سیٹ پر بھی غور کریں۔ اصل مجوزہ طریقہ کار (مرد چلاتے ہیں اور عورتیں قبول/انکار کرتی ہیں) کے نتیجے میں ایک ایسا نظامِ ازدواج ہوتا ہے جو کسی بھی مرد کے لیے کسی دوسرے سے بہتر اور عورت کے لیے کسی دوسرے سے بدتر ہے۔

ہم جنس شادی

"ہم جنس شادی" کی صورت حال پر غور کریں۔ آئیے ایک ریاضیاتی نتیجہ پر غور کریں جو ان کو قانونی شکل دینے کی ضرورت پر شکوک پیدا کرتا ہے۔ نظریاتی طور پر غلط مثال۔

چار ہم جنس پرستوں پر غور کریں a, b, c, d.

ایک کے لیے ترجیحات: bcd
b:cad کے لیے ترجیحات
c: abd کے لیے ترجیحات
اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ وہ باقی تینوں کو کس طرح درجہ دیتا ہے۔

بیان: اس نظام میں کوئی پائیدار شادی کا نظام نہیں ہے۔

چار افراد کے لیے کتنے نظام ہیں؟ تین۔ ab cd, ac bd, ad bc. جوڑے الگ ہوجائیں گے اور یہ عمل چکروں میں چلے گا۔

"تین جنس" نظام۔
یہ سب سے اہم سوال ہے جو ریاضی کے پورے شعبے کو کھول دیتا ہے۔ یہ ماسکو میں میرے ساتھی ولادیمیر ایوانووچ ڈینیلوف نے کیا۔ اس نے "شادی" کو ووڈکا پینے کے طور پر دیکھا اور اس کے کردار اس طرح تھے: "وہ جو ڈالتا ہے،" "وہ جو ٹوسٹ بولتا ہے،" اور "وہ جو ساسیج کاٹتا ہے۔" ایسی صورت حال میں جہاں ہر کردار کے 4 یا اس سے زیادہ نمائندے ہوں، اسے وحشیانہ طاقت سے حل کرنا ناممکن ہے۔ پائیدار نظام کا سوال کھلا ہے۔

شیپلی ویکٹر

کاٹیج گاؤں میں انہوں نے سڑک کو اسفالٹ کرنے کا فیصلہ کیا۔ داخل کرنے کی ضرورت ہے۔ کیسے؟

شیپلی نے 1953 میں اس مسئلے کا حل تجویز کیا۔ آئیے لوگوں کے ایک گروپ کے ساتھ تنازعہ کی صورت حال فرض کریں N={1,2…n}۔ لاگت/فوائد بانٹنے کی ضرورت ہے۔ فرض کریں کہ لوگ مل کر کوئی مفید کام کریں، اسے بیچ دیں اور منافع کو کیسے تقسیم کریں؟

شیپلی نے تجویز کیا کہ تقسیم کرتے وقت، ہمیں اس بات سے رہنمائی کرنی چاہیے کہ ان لوگوں کے کچھ ذیلی سیٹ کتنے حاصل کر سکتے ہیں۔ تمام 2N غیر خالی ذیلی سیٹ کتنی رقم کما سکتے ہیں؟ اور اس معلومات کی بنیاد پر شیپلے نے ایک عالمگیر فارمولا لکھا۔

مثال کے طور پر. ایک سولوسٹ، گٹارسٹ اور ڈرمر ماسکو میں زیرزمین گزرگاہ میں کھیل رہے ہیں۔ ان میں سے تین فی گھنٹہ 1000 روبل کماتے ہیں۔ اسے کیسے تقسیم کیا جائے؟ ممکنہ طور پر یکساں طور پر۔
V(1,2,3)=1000

آئیے اس کا بہانہ کریں
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100

ایک منصفانہ تقسیم کا تعین اس وقت تک نہیں کیا جا سکتا جب تک کہ ہم یہ نہ جان لیں کہ اگر کوئی کمپنی الگ ہو جاتی ہے اور خود ہی کام کرتی ہے تو اسے کیا فائدہ ہو گا۔ اور جب ہم نے نمبروں کا تعین کیا (کوآپریٹو گیم کو خصوصیت کی شکل میں سیٹ کریں)۔

Superadditivity وہ ہوتی ہے جب وہ اکٹھے الگ سے زیادہ کماتے ہیں، جب متحد ہونا زیادہ منافع بخش ہوتا ہے، لیکن یہ واضح نہیں ہوتا کہ جیت کو کیسے تقسیم کیا جائے۔ اس بارے میں بہت سی کاپیاں ٹوٹ چکی ہیں۔

ایک کھیل ہے۔ تین تاجروں کو بیک وقت 1 ملین ڈالر کا ڈپازٹ ملا۔ اگر یہ تینوں متفق ہیں تو ان میں سے دس لاکھ ہیں۔ کوئی بھی جوڑا قتل کر سکتا ہے (کیس سے ہٹا سکتا ہے) اور پورے ملین اپنے لیے حاصل کر سکتا ہے۔ اور کوئی اکیلا کچھ نہیں کر سکتا۔ یہ ایک خوفناک شریک کھیل ہے جس کا کوئی حل نہیں ہے۔ ہمیشہ دو لوگ ہوں گے جو تیسرے کو ختم کر سکتے ہیں... کوآپریٹو گیم تھیوری ایک مثال سے شروع ہوتی ہے جس کا کوئی حل نہیں ہوتا۔

ہم ایسا حل چاہتے ہیں کہ کوئی بھی اتحاد مشترکہ حل کو روکنا نہیں چاہے گا۔ تمام ڈویژنوں کا سیٹ جو بلاک نہیں کیا جا سکتا دانا ہے۔ ایسا ہوتا ہے کہ کور خالی ہے۔ لیکن خالی بھی نہ ہو تو تقسیم کیسے ہو؟

شیپلی اس طرح تقسیم کرنے کا مشورہ دیتے ہیں۔ ن کے ساتھ ایک سکہ ٹاس کریں! کناروں ہم تمام کھلاڑیوں کو اس ترتیب میں لکھتے ہیں۔ پہلے ڈھولک کہتے ہیں۔ وہ اندر آتا ہے اور اپنا 100 لے لیتا ہے۔ پھر "دوسرا" آتا ہے، آئیے سولوسٹ کہتے ہیں۔ (ڈرمر کے ساتھ مل کر وہ 450 کما سکتے ہیں، ڈرمر پہلے ہی 100 لے چکا ہے) سولوسٹ 350 لیتا ہے۔ گٹارسٹ داخل ہوتا ہے (ایک ساتھ 1000، -450)، 550 لیتا ہے۔ اکثر میں آخری جیت جاتا ہے۔ (سپر ماڈیولرٹی)

اگر ہم تمام احکامات کے لیے لکھتے ہیں:
GSB - (جیت C) - (D جیت) - (B جیت)
SGB ​​- (جیت C) - (D جیت) - (B جیت)
SBG - (جیت C) - (D جیت) - (B جیت)
BSG - (جیت C) - (D جیت) - (B جیت)
BGS - (گین C) - (گین D) - (گین بی)
GBS - (جیت C) - (D جیت) - (B جیت)

اور ہر کالم کے لیے ہم 6 سے جوڑتے اور تقسیم کرتے ہیں - تمام آرڈرز کی اوسط سے - یہ شیپلی ویکٹر ہے۔.

شیپلے نے تھیوریم (تقریباً) ثابت کیا: گیمز کی ایک کلاس (سپر ماڈیولر) ہوتی ہے، جس میں اگلا شخص جو ایک بڑی ٹیم میں شامل ہوتا ہے اس کے لیے بڑی جیت لاتا ہے۔ دانا ہمیشہ خالی نہیں ہوتا ہے اور پوائنٹس کا محدب مجموعہ ہوتا ہے (ہمارے معاملے میں، 6 پوائنٹس)۔ شیپلی ویکٹر نیوکلئس کے بالکل مرکز میں واقع ہے۔ اسے ہمیشہ حل کے طور پر پیش کیا جاسکتا ہے، کوئی بھی اس کے خلاف نہیں ہوگا۔

1973 میں، یہ ثابت ہوا کہ کاٹیجز کا مسئلہ سپر ماڈیولر ہے۔

تمام n لوگ پہلی کاٹیج تک سڑک کا اشتراک کرتے ہیں۔ دوسرے تک - n-1 لوگ۔ وغیرہ

ہوائی اڈے کا رن وے ہے۔ مختلف کمپنیوں کو مختلف لمبائی کی ضرورت ہوتی ہے۔ ایک ہی مسئلہ پیدا ہوتا ہے۔

میرا خیال ہے کہ جن لوگوں نے نوبل انعام دیا ان کے ذہن میں یہ خوبی تھی، نہ کہ صرف مارجن کا کام۔

آپ کا شکریہ!

ابھی تک

• چینل "ریاضی - سادہ": youtube.com/punkmathematics
• چینل "Savvateev بغیر سرحدوں": edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
• عوامی "ریاضی آسان ہے": vk.com/alexei_savvateev
• عوامی "ریاضی دانوں کا مذاق": vk.com/bsu_mmf_jokes
• ویب سائٹ، وہاں تمام لیکچرز +100 اسباق اور مزید: savvateev.xyz

ماخذ: www.habr.com