Năm 2012, giải Nobel Kinh tế được trao cho Lloyd Shapley và Alvin Roth. "Vì lý thuyết phân phối ổn định và thực tiễn tổ chức thị trường." Aleksey Savvateev vào năm 2012 đã cố gắng giải thích một cách đơn giản và rõ ràng bản chất công lao của các nhà toán học. Tôi trình bày cho bạn chú ý một bản tóm tắt .
Hôm nay sẽ có bài giảng lý thuyết. Giới thiệu về thí nghiệm , đặc biệt là với khoản quyên góp, tôi sẽ không kể.
Khi được thông báo rằng nhận giải Nobel, có một câu hỏi tiêu chuẩn: “Làm thế nào!? Anh ta còn sống không!?!?" Kết quả nổi tiếng nhất của ông thu được vào năm 1953.
Về mặt hình thức, tiền thưởng được trao cho việc khác. Cho bài viết năm 1962 của ông về “định lý ổn định hôn nhân”: “Tuyển sinh đại học và sự ổn định của hôn nhân”.
Về hôn nhân bền vững
Phù hợp (khớp) - nhiệm vụ tìm thư từ.
Có một ngôi làng biệt lập nào đó. Có những chàng trai trẻ “m” và những cô gái “w”. Chúng ta cần phải gả họ cho nhau. (Không nhất thiết phải giống nhau, có thể cuối cùng sẽ có người bị bỏ lại một mình.)
Những giả định nào cần được đưa ra trong mô hình? Rằng không dễ để tái hôn một cách ngẫu nhiên. Một bước nhất định đang được thực hiện hướng tới sự lựa chọn tự do. Giả sử có một aksakal khôn ngoan muốn tái hôn để sau khi chết, việc ly hôn không bắt đầu. (Ly hôn là tình trạng người chồng muốn người phụ nữ bên thứ ba làm vợ hơn là vợ.)
Định lý này phù hợp với tinh thần của kinh tế học hiện đại. Cô ấy đặc biệt vô nhân đạo. Kinh tế có truyền thống là vô nhân đạo. Trong kinh tế, con người được thay thế bằng máy móc để tối đa hóa lợi nhuận. Những gì tôi sẽ nói với bạn là những điều hoàn toàn điên rồ xét theo quan điểm đạo đức. Đừng để nó trong lòng.
Các nhà kinh tế nhìn nhận hôn nhân theo cách này.
m1, m2,… mk - nam.
w1, w2,... wL - phụ nữ.
Một người đàn ông được xác định bằng cách anh ta “ra lệnh” cho các cô gái. Ngoài ra còn có “mức XNUMX”, dưới đó phụ nữ hoàn toàn không thể được đề nghị làm vợ, ngay cả khi không có người khác.
Mọi thứ diễn ra theo cả hai hướng, đối với con gái cũng vậy.
Dữ liệu ban đầu là tùy ý. Giả định/hạn chế duy nhất là chúng ta không thay đổi sở thích của mình.
Định lý: Bất kể sự phân bổ và mức độ bằng XNUMX như thế nào, luôn có cách thiết lập sự tương ứng một-một giữa một số đàn ông và một số phụ nữ sao cho nó bền vững trước mọi kiểu chia rẽ (không chỉ riêng các cuộc ly hôn).
Có thể có những mối đe dọa nào?
Có một cặp vợ chồng (m,w) chưa kết hôn. Nhưng đối với w người chồng hiện tại còn tệ hơn m, và đối với tôi người vợ hiện tại còn tệ hơn w. Đây là một tình trạng không bền vững.
Ngoài ra còn có khả năng ai đó đã kết hôn với một người “dưới XNUMX”, trong tình huống này, cuộc hôn nhân cũng sẽ tan vỡ.
Nếu một người phụ nữ đã kết hôn, nhưng cô ấy thích một người đàn ông chưa lập gia đình, người mà cô ấy ở trên mức XNUMX.
Nếu hai người đều chưa kết hôn và cả hai đều “trên XNUMX” đối với nhau.
Người ta lập luận rằng đối với bất kỳ dữ liệu ban đầu nào, một hệ thống hôn nhân như vậy tồn tại, có khả năng chống lại mọi loại mối đe dọa. Thứ hai, thuật toán tìm điểm cân bằng như vậy rất đơn giản. Hãy so sánh với M*N.
Mô hình này được khái quát, mở rộng sang chế độ “đa thê” và được áp dụng trong nhiều lĩnh vực.
Thủ tục Gale-Shapley
Nếu tất cả đàn ông và phụ nữ đều tuân theo “quy định” thì hệ thống hôn nhân sẽ bền vững.
Đơn thuốc.
Chúng tôi mất một vài ngày khi cần thiết. Chúng tôi chia mỗi ngày thành hai phần (sáng và tối).
Vào buổi sáng đầu tiên, mỗi người đàn ông đều đến gặp người phụ nữ phù rể của mình và gõ cửa sổ, ngỏ lời cầu hôn cô ấy.
Buổi tối cùng ngày, đến lượt phụ nữ, phụ nữ có thể khám phá được điều gì? Rằng có một đám đông dưới cửa sổ phòng cô, hoặc một hoặc không có đàn ông. Ai hôm nay không có ai thì bỏ lượt và chờ đợi. Những người còn lại, những người có ít nhất một người, sẽ kiểm tra những người đàn ông đến để xem họ “trên mức XNUMX”. Để có ít nhất một. Nếu bạn hoàn toàn không may mắn và mọi thứ đều dưới XNUMX, thì mọi người nên được cử đi. Người phụ nữ chọn người lớn nhất trong số những người đến, bảo anh ta đợi và gửi phần còn lại.
Trước ngày thứ hai, tình hình là thế này: một số phụ nữ có một người đàn ông, một số không có.
Vào ngày thứ hai, tất cả những người đàn ông “tự do” (được gửi) cần đến gặp người phụ nữ ưu tiên thứ hai. Nếu không có người như vậy thì người đàn ông được tuyên bố là độc thân. Những người đàn ông đã ngồi với phụ nữ vẫn chưa làm gì cả.
Buổi tối, phụ nữ xem xét tình hình. Nếu ai đó đang ngồi được tham gia với mức độ ưu tiên cao hơn, thì mức độ ưu tiên thấp hơn sẽ bị gửi đi. Nếu số người đến thấp hơn số người sẵn có thì mọi người sẽ bị đuổi đi. Phụ nữ luôn chọn yếu tố tối đa.
Chúng ta lặp lại.
Kết quả là, mỗi người đàn ông xem qua toàn bộ danh sách phụ nữ của mình và bị bỏ lại một mình hoặc đã đính hôn với một phụ nữ nào đó. Sau đó chúng ta sẽ tổ chức đám cưới cho mọi người.
Có thể chạy toàn bộ quá trình này nhưng để phụ nữ chạy đến nam giới? Quy trình này đối xứng, nhưng giải pháp có thể khác. Nhưng câu hỏi đặt ra là ai được lợi hơn từ việc này?
Định lý. Chúng ta hãy xem xét không chỉ hai giải pháp đối xứng này mà còn xem xét tập hợp tất cả các hệ thống hôn nhân ổn định. Cơ chế đề xuất ban đầu (nam chạy và nữ chấp nhận/từ chối) dẫn đến một hệ thống hôn nhân tốt hơn cho bất kỳ người đàn ông nào hơn bất kỳ người nào khác và tệ hơn bất kỳ hệ thống nào khác đối với bất kỳ người phụ nữ nào.
Hôn nhân đồng giới
Hãy xem xét trường hợp “hôn nhân đồng giới”. Hãy xem xét một kết quả toán học gây nghi ngờ về sự cần thiết phải hợp pháp hóa chúng. Một ví dụ không chính xác về mặt tư tưởng.
Xét XNUMX người đồng tính a, b, c, d.
ưu tiên cho a:bcd
ưu tiên cho b:cad
ưu tiên cho c: abd
đối với d, việc anh ta xếp hạng ba người còn lại như thế nào không quan trọng.
Tuyên bố: Không có hệ thống hôn nhân bền vững trong hệ thống này.
Có bao nhiêu hệ thống cho bốn người? Ba. ab cd, ac bd, quảng cáo bc. Các cặp đôi sẽ tan vỡ và quá trình này sẽ diễn ra theo chu kỳ.
Hệ thống “ba giới”.
Đây là câu hỏi quan trọng nhất mở ra toàn bộ lĩnh vực toán học. Điều này được thực hiện bởi đồng nghiệp của tôi ở Moscow, Vladimir Ivanovich Danilov. Anh ấy coi “hôn nhân” giống như việc uống rượu vodka và các vai trò như sau: “người rót”, “người nâng cốc chúc mừng” và “người cắt xúc xích”. Trong tình huống có từ 4 đại diện trở lên của mỗi vai trò thì không thể giải quyết bằng vũ lực. Câu hỏi về một hệ thống bền vững là một câu hỏi mở.
Vector hình dạng
Ở ngôi làng nhỏ, họ quyết định trải nhựa đường. Cần phải chip vào. Làm sao?
Shapley đề xuất giải pháp cho vấn đề này vào năm 1953. Giả sử tình huống xung đột với một nhóm người N={1,2…n}. Chi phí/lợi ích cần được chia sẻ. Giả sử mọi người cùng nhau làm việc gì có ích thì bán đi và chia lợi nhuận như thế nào?
Shapley gợi ý rằng khi chia, chúng ta nên được hướng dẫn về số tiền mà một số nhóm nhỏ những người này có thể nhận được. Tất cả 2N tập hợp con không trống có thể kiếm được bao nhiêu tiền? Và dựa trên thông tin này, Shapley đã viết ra một công thức phổ quát.
Ví dụ. Một nghệ sĩ độc tấu, nghệ sĩ guitar và tay trống chơi trong một lối đi ngầm ở Moscow. Ba người họ kiếm được 1000 rúp mỗi giờ. Làm thế nào để chia nó? Có thể bằng nhau.
V(1,2,3)=1000
Hãy giả vờ như vậy
V(1,2)=600
V(1,3)=450
V(2,3)=400
V(1)=300
V(2)=200
V(3)=100
Không thể xác định được sự phân chia công bằng cho đến khi chúng ta biết được lợi ích nào đang chờ đợi một công ty nhất định nếu nó tách ra và tự hoạt động. Và khi chúng ta xác định được các con số (đặt trò chơi hợp tác ở dạng đặc trưng).
Tính siêu cộng là khi họ cùng nhau kiếm được nhiều tiền hơn riêng lẻ, khi đoàn kết sẽ có lợi hơn, nhưng không rõ cách phân chia số tiền thắng được. Nhiều bản sao đã bị phá vỡ về điều này.
Có một trò chơi. Ba doanh nhân cùng lúc tìm được số tiền đặt cọc trị giá 1 triệu USD. Nếu ba người họ đồng ý thì có cả triệu người. Cặp đôi nào cũng có thể giết (bỏ khỏi vụ án) và lấy về cho mình cả triệu đồng. Và không ai có thể làm bất cứ điều gì một mình. Đây là một game co-op đáng sợ không có giải pháp. Sẽ luôn có hai người có thể loại bỏ người thứ ba... Lý thuyết trò chơi hợp tác bắt đầu bằng một ví dụ không có lời giải.
Chúng tôi muốn một giải pháp mà không liên minh nào muốn cản trở giải pháp chung. Tập hợp tất cả các bộ phận không thể bị chặn là kernel. Nó xảy ra rằng lõi trống rỗng. Nhưng cho dù nó không rỗng thì làm sao chia được?
Shapley đề nghị chia theo cách này. Tung đồng xu với n! các cạnh. Chúng tôi viết ra tất cả người chơi theo thứ tự này. Giả sử tay trống đầu tiên. Anh ấy bước vào và lấy số 100. Sau đó, người “thứ hai” bước vào, giả sử là nghệ sĩ độc tấu. (Cùng với tay trống, họ có thể kiếm được 450, tay trống đã lấy 100) Người độc tấu lấy 350. Người chơi guitar tham gia (cùng 1000, -450), lấy 550. Người cuối cùng thường thắng. (Siêu mô đun)
Nếu chúng tôi viết ra cho tất cả các đơn đặt hàng:
GSB - (thắng C) - (thắng D) - (thắng B)
SGB - (thắng C) - (thắng D) - (thắng B)
SBG - (thắng C) - (thắng D) - (thắng B)
BSG - (thắng C) - (thắng D) - (thắng B)
BGS - (tăng C) - (tăng D) - (tăng B)
GBS - (thắng C) - (thắng D) - (thắng B)
Và đối với mỗi cột, chúng tôi cộng và chia cho 6 - tính trung bình cho tất cả các đơn hàng - đây là một vectơ Shapley.
Shapley đã chứng minh định lý (xấp xỉ): Có một loại trò chơi (siêu mô-đun), trong đó người tiếp theo tham gia một đội lớn sẽ mang lại chiến thắng lớn hơn cho đội đó. Hạt nhân luôn không trống và là tổ hợp lồi của các điểm (trong trường hợp của chúng tôi là 6 điểm). Vectơ Shapley nằm ở chính giữa hạt nhân. Nó luôn có thể được đưa ra như một giải pháp, sẽ không có ai chống lại nó.
Năm 1973, người ta đã chứng minh rằng vấn đề với những ngôi nhà nhỏ kiểu nông thôn là siêu mô hình.
Tất cả n người đi chung đường đến ngôi nhà thứ nhất. Lên đến thứ hai - n-1 người. Vân vân.
Sân bay có đường băng. Các công ty khác nhau cần độ dài khác nhau. Vấn đề tương tự phát sinh.
Tôi nghĩ rằng những người được trao giải Nobel đều nghĩ đến công lao này chứ không chỉ là nhiệm vụ bên lề.
Cảm ơn bạn!
Ещё
- Kênh “Toán - Đơn Giản”:
- Kênh “Savvateev không biên giới”: edusex.ru, brainsex.ru, studfuck.ru
- Công cộng “Toán học rất đơn giản”:
- “Trò đùa của các nhà toán học” công khai:
- Trang web, tất cả các bài giảng ở đó +100 bài học và hơn thế nữa: savvateev.xyz
Nguồn: www.habr.com