ProHoster > Блог > ayelujara iroyin > A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Idi ti nkan naa ni lati pese atilẹyin si awọn onimọ-jinlẹ data ti o bẹrẹ. IN ti tẹlẹ article A ti ṣe ilana awọn ọna mẹta lati yanju idogba ipadasẹhin laini kan: ojutu itupalẹ, irandiwọn gradient, irandiwọn itusilẹ sitokasitik. Lẹhinna fun ojutu itupalẹ a lo agbekalẹ naa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix. Ninu àpilẹkọ yii, gẹgẹbi akọle ṣe imọran, a yoo ṣe idalare lilo ilana yii tabi, ni awọn ọrọ miiran, a yoo gba ara wa.

Kini idi ti o jẹ oye lati san afikun ifojusi si agbekalẹ naa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix?

O jẹ pẹlu idogba matrix pe ni ọpọlọpọ awọn ọran ọkan bẹrẹ lati ni ibatan pẹlu ipadasẹhin laini. Ni akoko kanna, awọn iṣiro alaye ti bi o ṣe jẹ agbekalẹ agbekalẹ jẹ toje.

Fun apẹẹrẹ, ninu awọn iṣẹ ikẹkọ ẹrọ lati Yandex, nigbati awọn ọmọ ile-iwe ba ṣafihan si isọdọtun, wọn funni lati lo awọn iṣẹ lati ile-ikawe. sklearn, lakoko ti kii ṣe ọrọ kan ti mẹnuba nipa aṣoju matrix ti algorithm. O jẹ ni akoko yii diẹ ninu awọn olutẹtisi le fẹ lati ni oye ọrọ yii ni awọn alaye diẹ sii - kọ koodu laisi lilo awọn iṣẹ ti a ti ṣetan. Ati lati ṣe eyi, o gbọdọ kọkọ ṣafihan idogba pẹlu oluṣeto deede ni fọọmu matrix. Nkan yii yoo gba awọn ti o fẹ lati ni oye iru awọn ọgbọn bẹ. Jẹ ká bẹrẹ.

Awọn ipo ibẹrẹ

Awọn itọkasi ibi-afẹde

A ni ọpọlọpọ awọn iye ibi-afẹde. Fun apẹẹrẹ, itọkasi ibi-afẹde le jẹ idiyele ti dukia eyikeyi: epo, goolu, alikama, dola, ati bẹbẹ lọ. Ni akoko kanna, nipasẹ nọmba awọn iye itọkasi ibi-afẹde a tumọ si nọmba awọn akiyesi. Iru awọn akiyesi le jẹ, fun apẹẹrẹ, awọn idiyele epo oṣooṣu fun ọdun, iyẹn ni, a yoo ni awọn iye ibi-afẹde 12. Jẹ ká bẹrẹ ni lenu wo awọn amiakosile. Jẹ ki a tọkasi iye kọọkan ti itọkasi ibi-afẹde bi A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix. Lapapọ a ni A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix awọn akiyesi, eyi ti o tumọ si pe a le ṣe aṣoju awọn akiyesi wa bi A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix.

Regressors

A yoo ro pe awọn ifosiwewe wa ti o ṣe alaye si iye kan ti awọn iye ti itọkasi ibi-afẹde. Fun apẹẹrẹ, oṣuwọn paṣipaarọ dola / ruble ni ipa pupọ nipasẹ iye owo epo, Federal Reserve oṣuwọn, bbl Iru awọn okunfa ni a npe ni regressors. Ni akoko kanna, iye itọkasi ibi-afẹde kọọkan gbọdọ ni ibamu si iye regressor, iyẹn ni, ti a ba ni awọn itọkasi ibi-afẹde 12 fun oṣu kọọkan ni ọdun 2018, lẹhinna a yẹ ki o tun ni awọn iye regressor 12 fun akoko kanna. Jẹ ki a tọkasi awọn iye ti kọọkan regressor nipa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix. Jẹ ki ninu ọran tiwa wa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix regressors (ie. A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix awọn okunfa ti o ni agba awọn iye itọkasi ibi-afẹde). Eyi tumọ si pe awọn atunṣe wa le ṣe afihan bi atẹle: fun 1st regressor (fun apẹẹrẹ, idiyele epo): A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, fun 2nd regressor (fun apẹẹrẹ, oṣuwọn Fed): A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, Fun "A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix-th" regressor: A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Igbẹkẹle awọn itọkasi afojusun lori awọn atunṣe

Jẹ ki a ro pe awọn gbára ti awọn afojusun Atọka A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix lati awọn regressors"A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrixth" akiyesi le ṣe afihan nipasẹ idogba ifasilẹ laini ti fọọmu naa:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

nibo A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix - "A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix-th" iye regressor lati 1 si A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix,

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix - nọmba ti regressors lati 1 to A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix - awọn onisọdipúpọ angula, eyiti o ṣe aṣoju iye nipasẹ eyiti atọka ibi-afẹde ti a ṣe iṣiro yoo yipada ni apapọ nigbati atunṣe atunṣe ba yipada.

Ni awọn ọrọ miiran, a wa fun gbogbo eniyan (ayafi A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix) ti regressor a pinnu “wa” olùsọdipúpọ A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, lẹhinna isodipupo awọn iye iwọn nipasẹ awọn iye ti awọn regressors "A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrixth" akiyesi, bi abajade a gba isunmọ kan "A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix-th" atọka afojusun.

Nitorina, a nilo lati yan iru awọn iye-iye A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, ninu eyiti awọn iye ti iṣẹ isunmọ wa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix yoo wa ni isunmọ bi o ti ṣee ṣe si awọn iye itọkasi ibi-afẹde.

Ṣiṣayẹwo didara iṣẹ isunmọ

A yoo pinnu idiyele didara ti iṣẹ isunmọ nipa lilo ọna awọn onigun mẹrin ti o kere ju. Iṣẹ iṣiro didara ninu ọran yii yoo gba fọọmu atẹle:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A nilo lati yan iru awọn iye ti awọn iye owo $ w $ fun eyiti iye naa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix yoo jẹ ti o kere julọ.

Yiyipada idogba sinu fọọmu matrix

Aṣoju Vector

Lati bẹrẹ pẹlu, lati jẹ ki igbesi aye rẹ rọrun, o yẹ ki o fiyesi si idogba ipadasẹhin laini ki o ṣe akiyesi pe olusọdipúpọ akọkọ A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix ko ni isodipupo nipasẹ eyikeyi regressor. Ni akoko kanna, nigba ti a ba yi data pada sinu fọọmu matrix, ipo ti a mẹnuba loke yoo ṣe idiju awọn iṣiro naa. Ni iru eyi, o ti wa ni dabaa lati se agbekale miiran regressor fun igba akọkọ olùsọdipúpọ A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix ki o si dọgba si ọkan. Tabi dipo, gbogbo "A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrixdọgbadọgba iye th ti regressor yii si ọkan - lẹhinna, nigbati o ba pọ si ọkan, ko si ohun ti yoo yipada lati oju-ọna ti abajade ti awọn iṣiro, ṣugbọn lati oju-ọna ti awọn ofin fun ọja ti matrices, ijiya wa. yoo wa ni significantly dinku.

Ni bayi, fun akoko yii, lati le ṣe irọrun ohun elo naa, jẹ ki a ro pe a ni ẹyọkan”A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix-th" akiyesi. Lẹhinna, fojuinu awọn iye ti awọn regressors "A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix-th" awọn akiyesi bi fekito A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix. Vector A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix ni iwọn A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, eyini ni A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix awọn ori ila ati ọwọn 1:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jẹ ki a ṣe aṣoju awọn iye-iye ti a beere bi fekito A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, nini iwọn A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Idogba ifaseyin laini fun"A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix-th" akiyesi yoo gba fọọmu naa:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Iṣẹ fun iṣiro didara awoṣe laini yoo gba fọọmu naa:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jọwọ ṣakiyesi pe ni ibamu pẹlu awọn ofin ti isodipupo matrix, a nilo lati tan-pada si fekito naa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix.

Aṣoju Matrix

Bi abajade ti isodipupo vectors, a gba nọmba naa: A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, eyi ti o yẹ ki o reti. Nọmba yii jẹ isunmọ"A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix-th" atọka afojusun. Ṣugbọn a nilo isunmọ ti kii ṣe iye ibi-afẹde kan nikan, ṣugbọn gbogbo wọn. Lati ṣe eyi, jẹ ki a kọ ohun gbogbo.A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix-th" regressors ni matrix kika A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix. Abajade matrix ni iwọn A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Bayi idogba ifaseyin laini yoo gba fọọmu naa:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jẹ ki a ṣe afihan awọn iye ti awọn itọkasi ibi-afẹde (gbogbo A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix) fun fekito A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix iwọn A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Bayi a le kọ idogba fun iṣiro didara awoṣe laini ni ọna kika matrix:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Lootọ, lati inu agbekalẹ yii a tun gba agbekalẹ ti a mọ si wa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Bawo ni o ṣe ṣe? Awọn biraketi ti wa ni ṣiṣi, iyatọ ti wa ni ti gbe jade, awọn ikosile abajade ti yipada, ati bẹbẹ lọ, ati pe eyi ni ohun ti a yoo ṣe ni bayi.

Awọn iyipada Matrix

Jẹ ki a ṣii awọn biraketi

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jẹ ki a mura idogba fun iyatọ

Lati ṣe eyi, a yoo ṣe diẹ ninu awọn iyipada. Ni awọn iṣiro atẹle yoo jẹ irọrun diẹ sii fun wa ti fekito naa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix yoo jẹ aṣoju ni ibẹrẹ ọja kọọkan ni idogba.

Iyipada 1

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Bawo ni o ṣe ṣẹlẹ? Lati dahun ibeere yii, kan wo awọn iwọn ti awọn matrices ti n pọ si ki o rii pe ni abajade a gba nọmba kan tabi bibẹẹkọ. A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix.

Jẹ ká kọ si isalẹ awọn iwọn ti matrix expressions.

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Iyipada 2

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jẹ ki a kọ ọ ni ọna kanna si iyipada 1

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Ni abajade a gba idogba kan ti a ni lati ṣe iyatọ:
A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A ṣe iyatọ iṣẹ iṣiro didara awoṣe

Jẹ ki a ṣe iyatọ pẹlu ọwọ si fekito A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Awọn ibeere idi A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix ko yẹ ki o wa, ṣugbọn a yoo ṣe ayẹwo awọn iṣẹ ṣiṣe fun ṣiṣe ipinnu awọn itọsẹ ninu awọn ọrọ meji miiran ni awọn alaye diẹ sii.

Iyatọ 1

Jẹ ki a faagun lori iyatọ: A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Lati le pinnu itọsẹ ti matrix tabi fekito, o nilo lati wo ohun ti o wa ninu wọn. Jẹ ki a wo:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jẹ ki a ṣe afihan ọja ti matrices A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix nipasẹ awọn matrix A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix. Matrix A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix square ati ki o Jubẹlọ, o jẹ symmetrical. Awọn ohun-ini wọnyi yoo wulo fun wa nigbamii, jẹ ki a ranti wọn. Matrix A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix ni iwọn A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Bayi iṣẹ-ṣiṣe wa ni lati ṣe isodipupo awọn adaṣe ni deede nipasẹ matrix ati pe ko gba “ẹẹmeji meji jẹ marun,” nitorinaa jẹ ki a ṣojumọ ki a ṣọra gidigidi.

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Sibẹsibẹ, a ti ṣaṣeyọri ikosile intricate! Ni otitọ, a ni nọmba kan - scalar kan. Ati nisisiyi, fun otitọ, a tẹsiwaju si iyatọ. O jẹ dandan lati wa itọsẹ ti ikosile abajade fun olusọdipúpọ kọọkan A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix ati ki o gba awọn iwọn fekito bi o wu A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix. Ni ọran, Emi yoo kọ awọn ilana nipasẹ iṣe:

1) ṣe iyatọ nipasẹ A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, a gba: A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

2) ṣe iyatọ nipasẹ A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, a gba: A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

3) ṣe iyatọ nipasẹ A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, a gba: A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Ijade jẹ fekito ti a ṣe ileri ti iwọn A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Ti o ba wo fekito diẹ sii ni pẹkipẹki, iwọ yoo ṣe akiyesi pe apa osi ati awọn eroja ọtun ti o baamu ti fekito le ṣe akojọpọ ni ọna ti, bi abajade, fekito kan le ya sọtọ kuro ninu fekito ti a gbekalẹ. A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix iwọn A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix... Fun apere, A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix (ẹya osi ti laini oke ti fekito) A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix (awọn ọtun ano ti awọn oke ila ti awọn fekito) le wa ni ipoduduro bi A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, ati A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix - Bawo A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix ati be be lo. lori kọọkan ila. Jẹ ki a ṣe ẹgbẹ:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jẹ ká ya jade ni fekito A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix ati ni abajade a gba:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Bayi, jẹ ki a wo ni pẹkipẹki ni matrix abajade. Matrix jẹ apapọ awọn matiri meji A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jẹ ki a ranti pe diẹ sẹhin a ṣe akiyesi ohun-ini pataki kan ti matrix naa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix - o jẹ symmetrical. Da lori ohun-ini yii, a le ni igboya sọ pe ikosile naa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix dogba A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix. Eyi le ṣe idaniloju ni irọrun nipasẹ fifi ọja ti eroja matrices pọ nipasẹ eroja A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix. A kii yoo ṣe eyi nibi; awọn ti o nifẹ le ṣayẹwo funrararẹ.

Jẹ ki a pada si ikosile wa. Lẹhin awọn iyipada wa, o wa ni ọna ti a fẹ lati rii:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Nitorinaa, a ti pari iyatọ akọkọ. Jẹ ki a tẹsiwaju si ikosile keji.

Iyatọ 2

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jẹ ki a tẹle ọna ti o lu. Yoo kuru pupọ ju ti iṣaaju lọ, nitorinaa maṣe jinna pupọ si iboju naa.

Jẹ ki a faagun awọn fekito ati eroja matrix nipasẹ eroja:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jẹ ki a yọ awọn meji kuro ninu awọn iṣiro fun igba diẹ - ko ṣe ipa nla, lẹhinna a yoo fi pada si ipo rẹ. Jẹ ki a isodipupo awọn fekito nipasẹ matrix. Ni akọkọ, jẹ ki a ṣe isodipupo matrix naa A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix si fekito A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix, a ko ni awọn ihamọ nibi. A gba fekito iwọn A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jẹ ká ṣe awọn wọnyi igbese - isodipupo awọn fekito A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix si awọn Abajade fekito. Ni ijade nọmba naa yoo duro de wa:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Lẹhinna a yoo ṣe iyatọ rẹ. Ni abajade a gba fekito ti iwọn A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix:

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Nkankan leti mi bi? Iyẹn tọ! Eyi ni ọja ti matrix A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix si fekito A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix.

Nitorinaa, iyatọ keji ti pari ni aṣeyọri.

Dipo ti pinnu

Bayi a mọ bi o ṣe jẹ dọgbadọgba A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix.

Ni ipari, a yoo ṣe apejuwe ọna iyara lati yi awọn agbekalẹ ipilẹ pada.

Jẹ ki a ṣe iṣiro didara awoṣe ni ibamu pẹlu ọna onigun mẹrin ti o kere julọ:
A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Jẹ ki a ṣe iyatọ ikosile ti abajade:
A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

A mu idogba ifaseyin laini wa sinu fọọmu matrix

Iwe iwe

Awọn orisun Ayelujara:

1) habr.com/en/post/278513
2) habr.com/ru/company/ods/blog/322076
3) habr.com/en/post/307004
4) nabatchikov.com/blog/view/matrix_der

Awọn iwe-ẹkọ, awọn akojọpọ awọn iṣoro:

1) Awọn akọsilẹ ikowe lori mathimatiki ti o ga: iṣẹ kikun / D.T. Ti a kọ - 4th ed. – M.: Iris-tẹ, 2006
2) Ayẹwo atunṣe ti a lo / N. Draper, G. Smith - 2nd ed. - M .: Isuna ati awọn iṣiro, 1986 (tumọ lati Gẹẹsi)
3) Awọn iṣoro fun ipinnu awọn idogba matrix:
function-x.ru/matrix_equations.html
mathprofi.ru/deistviya_s_matricami.html

orisun: www.habr.com

Fi ọrọìwòye kun