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自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）

今天好。

在过去的几年里，我一直在研究和创建自适应天线阵列中空间信号处理的各种算法，并将作为我当前工作的一部分继续这样做。 在这里我想分享一下我自己发现的知识和技巧。 我希望这对开始研究信号处理这一领域的人或仅仅感兴趣的人有用。

什么是自适应天线阵列？

天线阵列 – 这是以某种方式放置在空间中的一组天线元件。 我们将考虑的自适应天线阵列的简化结构可以用以下形式表示：
自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）

自适应天线阵列通常被称为“智能”天线（智能天线）。 使天线阵列变得“智能”的是空间信号处理单元及其中实现的算法。 这些算法分析接收到的信号并形成一组加权系数 $inline$w_1…w_N$inline$，它确定每个元素的信号幅度和初始相位。 给定的幅相分布决定了 辐射方向图 整个格子作为一个整体。 合成所需形状的辐射方向图并在信号处理期间改变它的能力是自适应天线阵列的主要特征之一，它可以解决各种问题。 任务范围. 但首先是第一件事。

辐射方向图是如何形成的？

定向图案 表征在某个方向发射的信号功率。 为了简单起见，我们假设晶格元素是各向同性的，即对于它们中的每一个，发射信号的功率不取决于方向。 光栅在某一方向发射的功率的放大或衰减是由于 干涉 天线阵列的各个元件发射的电磁波。 电磁波的稳定干涉图案只有在以下情况下才可能实现： 连贯性， IE。 信号的相位差不应随时间变化。 理想情况下，天线阵列的每个元件都应辐射 谐波信号 在相同的载波频率$inline$f_{0}$inline$上。 然而，实际上，人们必须处理具有有限宽度 $inline$Delta f << f_{0}$inline$ 频谱的窄带信号。
让所有 AR 元件发出相同的信号 复振幅 $内联$x_n(t)=u(t)$内联$。 然后在 偏僻的 在接收器处，从第 n 个元件接收到的信号可以表示为 分析性的 形式：

$$显示$$a_n(t) = u(t-tau_n)e^{i2pi f_0(t-tau_n)}$$显示$$

其中 $inline$tau_n$inline$ 是从天线元件到接收点的信号传播延迟。
这样的信号是 “准谐波”，并且为了满足相干条件，任何两个元件之间电磁波传播的最大延迟必须远小于信号包络变化的特征时间$inline$T$inline$，即$内联$u(t-tau_n) ≈ u(t-tau_m)$内联$。 因此，窄带信号的相干性条件可以写成如下：

$$显示$$T≈frac{1}{Delta f}>>frac{D_{max}}{c}=max(tau_k-tau_m) $$显示$$

其中$inline$D_{max}$inline$是AR元素之间的最大距离，$inline$с$inline$是光速。

当接收到信号时，在空间处理单元中以数字方式执行相干求和。 在这种情况下，该块输出处的数字信号的复数值由以下表达式确定：

$$显示$$y=sum_{n=1}^Nw_n^*x_n$$显示$$

以形式表示最后一个表达式更方便 点积 矩阵形式的 N 维复向量：

$$显示$$y=(textbf{w},textbf{x})=textbf{w}^Htextbf{x}$$显示$$

哪里 w и x 是列向量，$inline$(.)^H$inline$ 是运算 厄米共轭.

信号的矢量表示是使用天线阵列时的基本表示之一，因为常常可以让你避免繁琐的数学计算。 此外，用向量识别在某个时刻接收到的信号通常可以使人们从真实的物理系统中抽象出来，并从几何的角度理解到底发生了什么。

要计算天线阵列的辐射方向图，您需要在心里按顺序“发射”一组 平面波 来自所有可能的方向。 在这种情况下，向量元素的值 x 可以用以下形式表示：

$$显示$$x_n=s_n​​=exp{-i(textbf{k}(phi,theta),textbf{r}_n)}$$显示$$

哪里 k – 波矢量、$inline$phi$inline$ 和 $inline$theta$inline$ – 方位角 и 仰角，表征平面波的到达方向，$inline$textbf{r}_n$inline$ 是天线元件的坐标，$inline$s_n$inline$ 是相位向量的元素 s 平面波与波矢量 k （在英文文献中，定相矢量称为转向矢量）。 数量幅值平方的依赖性 y 从 $inline$phi$inline$ 和 $inline$theta$inline$ 确定用于接收给定加权系数向量的天线阵列的辐射方向图 w.

天线阵列辐射方向图的特点

可以方便地研究水平面上线性等距天线阵列上天线阵列辐射方向图的一般特性（即方向图仅取决于方位角$inline$phi$inline$）。 方便从两个角度来看：分析计算和可视化呈现。

让我们计算单位权重向量的 DN ($inline$w_n=1, n = 1 ... N$inline$)，遵循所描述的 更高 方法。
数学在这里自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）
波矢在垂直轴上的投影：$inline$k_v=-frac{2pi}{lambda}sinphi$inline$
索引为n的天线元件的垂直坐标：$inline$r_{nv}=(n-1)d$inline$
这是 d – 天线阵列周期（相邻元件之间的距离）， λ ——波长。 所有其他向量元素 r 等于零。
天线阵列接收到的信号记录形式如下：

$$显示$$y=sum_{n=1}^{N}1 ⋅exp{i2pi nfrac{d}{lambda}sinphi}$$显示$$

让我们应用以下公式 几何级数之和 и 用复指数表示三角函数 :

$$显示$$y=frac{1-exp{i2pi Nfrac{d}{lambda}sinphi}}{1-exp{i2pi frac{d}{lambda}sinphi}}=frac{sin(pi frac{Nd} {lambda}sinphi)}{sin(pi frac{d}{lambda}sinphi)}exp{ipi frac{d(N-1)}{lambda}sinphi}$$显示$$


结果，我们得到：

$$显示$$F(phi)=|y|^2=frac{sin^2(pi frac{Nd}{lambda}sinphi)}{sin^2(pi frac{d}{lambda}sinphi)} $ $显示$$

辐射图频率

由此产生的天线阵列辐射方向图是角度正弦的周期函数。 这意味着在特定的比率值下 d/λ 它具有衍射（附加）最大值。
自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）N = 5 时天线阵列的非标准化辐射方向图
自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）极坐标系中 N = 5 时天线阵列的归一化辐射方向图

“衍射探测器”的位置可以直接从 公式 对于 DN。 然而，我们将尝试理解它们在物理和几何上（在 N 维空间中）的来源。

分子 定相 向量 s 是复指数$inline$e^{iPsi n}$inline$，其值由广义角$inline$Psi = 2pi frac{d}{lambda}sinphi$inline$的值决定。 如果有两个广义角度对应于平面波的不同到达方向，其中 $inline$Psi_1 = Psi_2 + 2pi m$inline$，那么这意味着两件事：

  • 物理上： 来自这些方向的平面波前在天线阵列的元件上引起电磁振荡的相同幅相分布。
  • 几何上： 定相向量 因为这两个方向重合。

从天线阵列的角度来看，以这种方式相关的波到达方向是等效的，并且彼此无法区分。

如何确定 DP 始终只有一个主要最大值所在的角度区域？ 让我们在零方位角附近进行此操作，出于以下考虑：两个相邻元件之间的相移大小必须位于从 $inline$-pi$inline$ 到 $inline$pi$inline$ 的范围内。

$$显示$$-pi<2pifrac{d}{lambda}sinphi

解决这个不等式，我们得到零附近唯一性区域的条件：

$$显示$$|sinphi|

可以看出，角度唯一性区域的大小取决于以下关系 d/λ。 如果 d = 0.5λ，那么信号到达的每个方向都是“单独的”，并且唯一性区域覆盖了整个角度范围。 如果 d = 2.0λ，那么方向 0、±30、±90 是等效的。 衍射瓣出现在辐射图上。

通常，寻求使用定向天线元件来抑制衍射瓣。 在这种情况下，天线阵列的完整辐射方向图是一个元件的方向图与各向同性元件阵列的乘积。 通常根据天线阵列的不模糊区域的条件来选择一个单元的方向图的参数。

主瓣宽度

众所周知 估算天线系统主瓣宽度的工程公式：$inline$Delta phi ≈ frac{lambda}{D}$inline$，其中 D 是天线的特征尺寸。 该公式适用于各种类型的天线，包括镜面天线。 让我们证明它对于天线阵列也有效。

让我们通过主最大值附近模式的第一个零来确定主瓣的宽度。 分子 表达 对于 $inline$F(phi)$inline$ 当 $inline$sinphi=mfrac{lambda}{dN}$inline$ 时消失。 第一个零对应于 m = ±1。 相信 $inline$frac{lambda}{dN}<<1$inline$ 我们得到 $inline$Delta phi = 2frac{lambda}{dN}$inline$。

通常，天线方向图的宽度由半功率电平 (-3 dB) 确定。 在这种情况下，请使用表达式：

$$显示$$Delta phi≈0.88.​​XNUMXfrac{lambda}{dN}$$显示$$

例子自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）

主瓣的宽度可以通过为天线阵列加权系数设置不同的幅度值来控制。 让我们考虑三个分布：

  • 均匀幅度分布（权重 1）：$inline$w_n=1$inline$。
  • 幅度值朝光栅边缘减小（权重2）：$inline$w_n=0.5+0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$
  • 幅度值朝光栅边缘增加（权重3）：$inline$w_n=0.5-0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$

下图显示了对数标度的归一化辐射方向图：自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）
从图中可以看出以下趋势：权重系数幅度的分布朝阵列边缘减小，导致图案的主瓣变宽，但旁瓣的电平减小。 相反，幅度值朝天线阵列边缘增加会导致主瓣变窄和旁瓣电平增加。 在这里考虑限制情况很方便：

  1. 除极端元素外，所有元素的加权系数幅值均为零。 最外面元素的权重等于 XNUMX。 在这种情况下，晶格等效于具有周期的二元 AR D = (N-1)d。 使用上述公式估计主花瓣的宽度并不困难。 在这种情况下，侧壁将变成衍射最大值并与主最大值对齐。
  2. 中心元素的权重等于 XNUMX，所有其他元素的权重都等于 XNUMX。 在这种情况下，我们基本上收到了一根具有各向同性辐射图的天线。

主最大值方向

因此，我们研究了如何调整 AP AP 主瓣的宽度。 现在让我们看看如何引导方向。 让我们记住 向量表达 对于接收到的信号。 让我们希望辐射方向图的最大值朝某个方向 $inline$phi_0$inline$ 方向看。 这意味着应从该方向接收最大功率。 该方向对应于相位矢量 $inline$textbf{s}(phi_0)$inline$ N维向量空间，接收功率定义为该相位向量与加权系数向量的标量积的平方 w。 当两个向量的标量积最大时 共线， IE。 $inline$textbf{w}=beta textbf{s}(phi_0)$inline$，其中 β – 一些标准化因素。 因此，如果我们选择的权重向量等于所需方向的相位向量，我们将旋转辐射方向图的最大值。
自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）
以以下权重因子为例：$inline$textbf{w}=textbf{s}(10°)$inline$

$$显示$$w_n=exp{i2pifrac{d}{lambda}(n-1)sin(10pi/180)}$$显示$$

结果，我们获得了在 10° 方向上具有主要最大值的辐射方向图。

现在我们应用相同的加权系数，但不是用于信号接收，而是用于传输。 这里值得考虑的是，当传输信号时，波矢量的方向变为相反。 这意味着元素 定相向量 对于接收和传输，它们的指数符号不同，即通过复杂的共轭相互连接。 结果，我们得到-10°方向发射方向图的最大值，与相同权重系数下接收方向图的最大值不一致，为了纠正这种情况，需要也将复共轭应用于权重系数。
自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）
在使用天线阵列时，应始终牢记所描述的接收和传输模式形成的特征。

让我们来玩一下辐射图

几个高点

让我们设定在以下方向形成辐射方向图的两个主要最大值的任务：-5° 和 10°。 为此，我们选择相应方向的相位向量的加权和作为权重向量。

$$显示$$textbf{w} = betatextbf{s}(10°)+(1-beta)textbf{s}(-5°)$$显示$$

自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）通过调整比例 β 您可以调整主花瓣之间的比例。 在这里，我们可以很方便地查看向量空间中发生的情况。 如果 β 大于 0.5，则加权系数向量更接近于 s（10°），否则 s（-5°）。 权重向量越接近相量之一，相应的标量积就越大，因此相应的最大 DP 的值就越大。
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然而，值得考虑的是，两个主花瓣的宽度都是有限的，如果我们想调谐到两个接近的方向，那么这些花瓣将合并成一个，朝向某个中间方向。

一个最大值和零

现在我们尝试将辐射方向图的最大值调整到 $inline$phi_1=10°$inline$ 方向，同时抑制来自 $inline$phi_2=-5°$inline$ 方向的信号。 为此，您需要将相应角度的 DN 设置为零。 您可以按如下方式执行此操作：

$$显示$$textbf{w}=textbf{s}_1-frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{N}textbf{s}_2$$显示$$

其中$inline$textbf{s}_1 = textbf{s}(10°)$inline$，$inline$textbf{s}_2 = textbf{s}(-5°)$inline$。
自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）
选择权重向量的几何意义如下。 我们想要这个向量 w 在 $inline$textbf{s}_1$inline$ 上有最大投影，同时与向量 $inline$textbf{s}_2$inline$ 正交。 向量 $inline$textbf{s}_1$inline$ 可以表示为两项：共线向量 $inline$textbf{s}_2$inline$ 和正交向量 $inline$textbf{s}_2$inline$。 为了满足问题陈述，需要选择第二个分量作为加权系数的向量 w。 共线分量可以通过使用标量积将向量 $inline$textbf{s}_1$inline$ 投影到归一化向量 $inline$frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}$inline$ 上来计算。

$$显示$$textbf{s}_{1||}=frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{sqrt{N}} $$显示$$

因此，从原始定相向量 $inline$textbf{s}_1$inline$ 中减去其共线分量，我们就得到了所需的权重向量。
自适应天线阵列：它是如何工作的？ （基本）

一些附加说明

  1. 上面的所有地方，我都忽略了权重向量归一化的问题，即它的长度。 因此，权向量的归一化不会影响天线阵列辐射方向图的特性：主最大值的方向、主瓣的宽度等。 还可以证明，这种归一化不会影响空间处理单元输出处的SNR。 就此而言，在考虑空间信号处理算法时，我们通常接受权重向量的单位归一化，即$内联$textbf{w}^Htextbf{w}=1$内联$
  2. 形成天线阵列方向图的可能性由单元的数量N决定。单元越多，可能性越广。 实现空间权重处理时的自由度越大，如何在N维空间中“扭曲”权重向量的选择就越多。
  3. 当接收辐射方向图时，天线阵列在物理上并不存在，而这一切仅存在于处理信号的计算单元的“想象”中。 这意味着可以同时合成多个模式并独立处理来自不同方向的信号。 在传输的情况下，一切都稍微复杂一些，但也可以合成几个DN来传输不同的数据流。 通信系统中的这项技术称为 多输入多输出.
  4. 使用提供的 matlab 代码，您可以自己尝试 DN
    代码

    % antenna array settings
N = 10;             % number of elements
d = 0.5;            % period of antenna array
wLength = 1;        % wavelength
mode = 'receiver';  % receiver or transmitter

% weights of antenna array
w = ones(N,1);    
% w = 0.5 + 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))/N).';
% w = 0.5 - 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))/N).';
% w = exp(2i*pi*d/wLength*sin(10/180*pi)*(0:N-1)).';
% b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d/wLength*sin(+10/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d/wLength*sin(-5/180*pi)*(0:N-1)).';
% b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d/wLength*sin(+3/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d/wLength*sin(-3/180*pi)*(0:N-1)).';

% s1 = exp(2i*pi*d/wLength*sin(10/180*pi)*(0:N-1)).';
% s2 = exp(2i*pi*d/wLength*sin(-5/180*pi)*(0:N-1)).';
% w = s1 - (1/N)*s2*s2'*s1;
% w = s1;

% normalize weights
w = w./sqrt(sum(abs(w).^2));

% set of angle values to calculate pattern
angGrid_deg = (-90:0.5:90);

% convert degree to radian
angGrid = angGrid_deg * pi / 180;
% calculate set of steerage vectors for angle grid
switch (mode)
    case 'receiver'
        s = exp(2i*pi*d/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid)));
    case 'transmitter'
        s = exp(-2i*pi*d/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid)));
end

% calculate pattern
y = (abs(w'*s)).^2;

%linear scale
plot(angGrid_deg,y/max(y));
grid on;
xlim([-90 90]);

% log scale
% plot(angGrid_deg,10*log10(y/max(y)));
% grid on;
% xlim([-90 90]);

使用自适应天线阵列可以解决哪些问题？

未知信号的最佳接收如果信号的到达方向未知（并且如果通信信道是多径的话，一般有几个方向），那么通过分析天线阵列接收到的信号，可以形成一个最优的权向量 w 使得空间处理单元的输出处的SNR将是最大的。

针对背景噪声的最佳信号接收这里提出的问题是：预期有用信号的空间参数已知，但外部环境存在干扰源。 需要最大化AP输出端的SINR，尽可能减少干扰对信号接收的影响。

向用户传输最佳信号这个问题在移动通信系统（4G、5G）以及 Wi-Fi 中得到了解决。 含义很简单：借助用户反馈信道中的特殊导频信号，评估通信信道的空间特性，并在此基础上选择最适合传输的加权系数向量。

数据流的空间复用自适应天线阵列允许在相同频率上同时向多个用户传输数据，为每个用户形成单独的模式。 这项技术称为 MU-MIMO，目前正在通信系统中积极实施（并且已经在某处实施）。 例如，在4G LTE移动通信标准、IEEE802.11ay Wi-Fi标准和5G移动通信标准中提供了空间复用的可能性。

雷达虚拟天线阵列数字天线阵列可以使用多个发射天线元件形成尺寸明显更大的虚拟天线阵列以进行信号处理。 虚拟网格具有真实网格的所有特征，但实现所需的硬件较少。

辐射源参数估计自适应天线阵列可以解决估计数量、功率、 角坐标 无线电发射源，在不同源的信号之间建立统计联系。 在这方面，自适应天线阵列的主要优点是能够超分辨附近的辐射源。 源之间的角距离小于天线阵列辐射方向图主瓣的宽度（瑞利分辨率极限）。 这主要是由于信号的矢量表示、众所周知的信号模型以及线性数学装置而成为可能。

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来源： habr.com

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