本文提出了作者结合模糊数学的规定和分形理论提出的模糊归纳方法，引入了模糊集的递归度的概念，并给出了模糊集的不完全递归的描述。设置为其分数维度以对主题区域进行建模。 所提出的方法和基于其作为模糊集创建的知识模型的应用范围被认为是信息系统生命周期的管理，包括使用和测试软件的场景的开发。
时事
在信息系统的设计开发、实施和运行过程中，需要对从外部收集的或软件生命周期各阶段产生的数据、信息和信息进行积累和系统化。 这是设计工作和决策的必要信息和方法支持，在高度不确定性和弱结构化环境的情况下尤其重要。 这些资源的积累和系统化所形成的知识库不仅应该是项目团队在创建信息系统过程中获得的有用经验的来源，而且应该是对新愿景、方法和模型进行建模的最简单的手段。实施项目任务的算法。 换句话说，这样的知识库是智力资本的存储库，同时也是知识管理工具[3, 10]。
知识库作为工具的效率、有用性和质量与其维护的资源强度和知识提取的有效性相关。 数据库中知识的收集和记录越简单、越快速，查询结果越一致，工具本身就越好、越可靠 [1, 2]。 然而，适用于数据库管理系统的离散方法和结构化工具，包括关系数据库中关系的规范化，不允许描述或建模语义组件、解释、区间和连续语义集[4]。 这需要一种方法论途径，概括有限本体的特殊情况，并使知识模型更接近信息系统主题领域描述的连续性。
这种方法可以结合模糊数学理论的规定和分形维数的概念[3, 6]。 通过在有限条件下根据哥德尔不完备性原理（在信息系统中——推理的根本不完备性），根据连续性程度（描述的离散化步长的大小）准则来优化知识的描述，从这个系统在其一致性的条件下推导出来），执行顺序模糊化（简化为模糊性），我们获得了一个形式化的描述，它尽可能完整和连贯地反映了一定的知识体系，并且可以用它来执行任何操作信息处理——收集、存储、处理和传输[5]。
模糊集递归的定义
令 X 为建模系统某些特征的一组值：
(1)
其中 n = [N ≥ 3] – 此类特征的值的数量（多于基本集 (0; 1) – (false; true)）。
令X = B，其中B = {a,b,c,…,z}是等价集，逐个元素对应于特征X的值集。
那么模糊集 ，对应于描述特征 X 的模糊（一般情况下）概念，可以表示为：
(2)
其中m是描述离散化步骤，i属于N——步骤重数。
因此，为了根据描述的连续性（柔软性）标准优化信息系统的知识模型，同时保持在推理不完备空间的边界内，我们引入 模糊集的递归度 我们得到其表示形式的以下版本：
(3)
哪里 – 对应于模糊概念的集合，通常比该集合更全面地描述特征 X ，根据柔软度标准； Re——描述的递归程度。
应该指出的是 （可简化为明确的集合）在特殊情况下，如有必要。
分数维的介绍
当Re=1时设定 是一个普通的二阶模糊集，包括描述特征 X [2, 1] 所有值的模糊集（或其清晰映射）作为元素：
(4)
然而，这是一个退化的情况，在最完整的表示中，一些元素 可以是集合，而其余的可以是琐碎（极其简单）的对象。 因此，要定义这样一个集合，有必要引入 分数递归 – 空间分数维的类比（在这种情况下，是某个主题领域的本体空间）[3, 9]。
当 Re 为小数时，我们得到以下条目 :
(5)
哪里 – 值 X1 的模糊集， – 值 X2 的模糊集等。
在这种情况下，递归本质上变得分形，并且描述集变得自相似。
定义模块的许多功能
开放信息系统的架构采用模块化原则，保证了系统的可扩展性、可复制性、适应性和涌现性。 模块化结构使得信息处理的技术实现尽可能接近现实世界中的自然客观体现，开发出功能特性最方便的工具，其设计不是为了取代人类，而是为了有效地帮助他们在知识管理中。
模块是信息系统的独立实体，出于系统存在的目的，模块可能是强制性的或可选的，但无论如何在系统边界内提供一组独特的功能。
整个模块功能可以通过三种类型的操作来描述：创建（记录新数据）、编辑（更改先前记录的数据）、删除（擦除先前记录的数据）。
设X是该函数的某个特征，则对应的集合X可以表示为：
(6)
其中 X1 – 创建，X2 – 编辑，X3 – 删除，
(7)
此外，任何模块的功能都是这样的：数据创建不是自相似的（无需递归实现 - 创建函数不会重复自身），并且一般情况下的编辑和删除可能涉及逐个元素的实现（执行对数据集的选定元素的操作）及其本身包括与其自身相似的操作。
应该注意的是，如果功能X的操作没有在给定模块中执行（没有在系统中实现），则与这样的操作对应的集合被认为是空的。
因此，为了描述模糊概念（陈述）“一个模块允许您出于信息系统的目的对相应的数据集执行操作”，模糊集 在最简单的情况下，它可以表示为：
(8)
一般情况下，这样的集合的递归度等于1,6(6)，并且同时具有分形和模糊性。
准备使用和测试模块的场景
在信息系统的开发和运营阶段，需要特殊的场景，根据模块的功能目的（用例场景）描述使用模块的操作顺序和内容，并检查是否符合预期和要求。模块的实际结果（测试场景。.test-case）。
考虑到上述想法，处理此类场景的过程可以描述如下。
为模块形成模糊集 :
(9)
哪里
– 根据功能X创建数据操作的模糊集；
– 根据函数 X 编辑数据操作的模糊集，而递归度 a（函数嵌入）是自然数，在普通情况下等于 1；
– 根据函数 X 删除数据操作的模糊集，而递归度 b（函数嵌入）是自然数，在平凡情况下等于 1。
如此众多的描述 到底创建、编辑和/或删除了什么（哪些数据对象） 对于模块的任何使用。
然后编译一组使用 Ux 实现相关模块的功能 X 的场景，每个场景都描述 为什么（针对什么业务任务）创建、编辑和/或删除由集合描述的数据对象？ ，以及按什么顺序:
(10)
其中 n 是 X 的用例数量。
接下来，针对相关模块的每个用例的功能 X 编译一组 Tx 测试场景。 测试脚本描述， 执行用例时使用哪些数据值以及以什么顺序，以及应该获得什么结果:
(11)
其中 [D] 是测试数据数组，n 是 X 的测试场景数。
在所描述的方法中，测试场景的数量等于相应用例的数量，这简化了随着系统开发而描述和更新的工作。 此外，这样的算法可以用于自动测试信息系统的软件模块。
结论
所提出的模糊归纳方法可以在任何模块化信息系统生命周期的不同阶段实现，既可以用于积累知识库的描述性部分，也可以用于处理使用和测试模块的场景。
此外，模糊归纳有助于根据所获得的模糊描述来综合知识，就像一个“认知万花筒”，其中一些元素保持清晰明确，而另一些元素则根据自相似规则应用指定的次数。每组已知数据的递归程度。 总而言之，所得的模糊集形成了一个模型，该模型既可用于信息系统的目的，也可用于搜索一般新知识。
这种方法论可以被归类为“人工智能”的一种独特形式，考虑到综合集合不应与不完全推理原则相矛盾，并且旨在帮助人类智能，而不是取代它。
参考文献
- Borisov V.V.、Fedulov A.S.、Zernov M.M.，“模糊集理论基础”。 M.：热线 – 电信，2014 年。 – 88 页。
- Borisov V.V.、Fedulov A.S.、Zernov M.M.，“模糊逻辑推理理论的基础知识”。 M.：热线 – 电信，2014 年。 – 122 页。
- Demenok S.L.，“分形：神话与工艺之间。” 圣彼得堡：文化研究院，2011 年。 – 296 页。
- Zadeh L.，“复杂系统和决策过程分析新方法的基础”/“今日数学”。 M.：“知识”，1974 年。 – 第 5 – 49 页。
- Kranz S.，“数学证明的不断变化的本质”。 M.：知识实验室，2016。 – 320 页。
- Mavrikidi F.I.，“分形数学和变化的本质”/“Delphis”，第 54 期 (2/2008)， .
- Mandelbrot B.，“自然的分形几何”。 M.：计算机研究所，2002 年。 – 656 页。
- “模糊集理论基础：方法说明”，comp。 科罗博娃 I.L.、迪亚科夫 I.A. 坦波夫：坦波出版社。 状态那些。 大学，2003 年。 – 24 页。
- Uspensky V.A.，“为数学道歉”。 M.：Alpina 非小说类，2017 年。 – 622 页。
- Zimmerman HJ“模糊集合论及其应用”，第 4 版。 施普林格科学 + 商业媒体，纽约，2001 年。 – 514 页。
来源： habr.com