我是怎么得到这本书的？
2017 年 XNUMX 月，我收到了一封来自我以前的高中老师乔治·鲁特 (George Rutter) 的电子邮件，他在邮件中写道：“我有一本狄拉克的德文巨著（Die Prinzipien der Quantenmechanik），它属于阿兰·图灵，在读了你的书之后 ，在我看来不言而喻，你正是需要它的人” 他向我解释说，他从我的另一位（当时已故的）学校老师那里收到了这本书 ，我知道他是艾伦·图灵的朋友。 乔治以这样一句话结束了他的信：“如果你想要这本书，下次你来英国时我可以给你“。
几年后，即 2019 年 1900 月，我实际上到达了英国，之后我安排在牛津的一家小酒店与乔治见面共进早餐。 我们边吃边聊，等待食物上桌。 然后是讨论这本书的好时机。 乔治把手伸进公文包，拿出一本设计相当朴素、典型的 XNUMX 世纪 XNUMX 年代中期学术著作。
我打开封面，想知道背面是否写着：“阿兰·图灵的财产” 或类似的东西。 但不幸的是，事实并非如此。 然而，它还附有诺曼·劳特利奇 (Norman Routledge) 于 2002 年写给乔治·鲁特 (George Rutter) 的颇具表现力的四页纸条。
当我还是一名学生时我就认识诺曼·拉特利奇 в 1970世纪XNUMX年代初。 他是一位数学老师，绰号“疯子诺曼”。 他在各方面都是一位令人愉快的老师，讲了无数关于数学和其他各种有趣的事情的故事。 他负责确保学校收到一台计算机（使用办公桌宽的打孔胶带进行编程） - 它是 .
当时，我对诺曼的背景一无所知（记住，那是在互联网出现之前很久）。 我只知道他是“拉特利奇博士”。 他经常讲剑桥人的故事，但他在故事中从未提到艾伦·图灵。 当然，图灵还不是很有名（尽管事实证明，我已经从认识他的人那里听说过他） （第二次世界大战期间加密中心所在的豪宅））。
阿兰·图灵直到 1981 年才成名，当时我第一次 ，尽管仍然在元胞自动机的背景下，而不是 .
突然有一天，在图书馆翻阅卡片目录时 ，我偶然发现了一本书 ，由他的母亲莎拉·图灵撰写。 这本书包含大量信息，包括有关图灵未发表的生物学科学著作的信息。 然而，我对他与诺曼·劳特利奇的关系一无所知，因为书中没有提到他（尽管，据我所知，莎拉·图灵 ，诺曼甚至最后写了 ).
十年后，对图灵和他的（当时未发表）非常好奇 ，我访问过 в 。 很快，在熟悉了他们对图灵工作的了解并花了一些时间之后，我想我不妨也要求看看他的私人信件。 在翻阅的过程中我发现 从阿兰·图灵到诺曼·劳特利奇。
到时候就已经出版了 安德鲁·霍奇斯（Andrew Hodges）为确保图灵最终成名做了很多工作，它证实了艾伦·图灵和诺曼·劳特利奇确实是朋友，并且图灵是诺曼的科学顾问。 我想向劳特利奇打听有关图灵的事情，但那时诺曼已经退休，过着与世隔绝的生活。 然而，当我完成这本书的工作时“” 2002 年（在我隐居十年之后），我找到了他，并给他寄了一本这本书，标题是“致我最后一位数学老师”。 然后他和我 ，2005年我回到英国，并安排在伦敦市中心的一家豪华酒店与诺曼喝茶。
我们聊了很多事情，包括艾伦·图灵。 诺曼在我们的谈话开始时告诉我们，他实际上在 50 年前就了解图灵，但大多是肤浅的了解。 但他仍然有一些关于他个人的事情要讲：“他不善交际“。 “他咯咯地笑了很多“。 “他无法真正与非数学家交谈“。 “他总是害怕让母亲不高兴“。 “他白天出去跑了一场马拉松“。 “他并没有太大的野心” 然后谈话转向诺曼的性格。 他说，尽管已经退休16年，他仍然为““所以，用他的话来说，”在前往下一个世界之前完成所有的科学工作”，他微笑着补充道，“所有的数学真理一定会被揭晓” 茶话会结束后，诺曼穿上皮夹克，走向他的轻便摩托车，完全没有注意到 在那一天。
那是我最后一次见到诺曼；他于 2013 年去世。
六年后，我和乔治·鲁特一起吃早餐。 我随身带着一张拉特利奇写于 2002 年的便条，用他独特的笔迹写下：
首先我浏览了一下笔记。 她一如既往地表情丰富：
我从艾伦·图灵的朋友兼遗嘱执行人那里收到了他的书 （在国王学院，从死去的家伙的收藏中赠送书籍是当时的惯例，我选择了一本诗集 从书本上 作为一份合适的礼物（他是一名院长，[1956 年] 从教堂跳下）……
后来他在一篇简短的笔记中写道：
你问这本书应该到哪里结束——在我看来，它应该送给那些欣赏与图灵工作相关的一切的人，所以它的命运取决于你。
斯蒂芬·沃尔夫勒姆给我寄了他令人印象深刻的书，但我没有深入研究它......
最后，他祝贺乔治·鲁特（George Rutter）有勇气在退休后搬到（事实证明是暂时的）澳大利亚，并说他自己“会考虑搬到斯里兰卡作为一个廉价而莲花般的存在的例子”，但补充说“目前那里发生的事件表明他不应该这样做”（显然意思是 在斯里兰卡）。
那么这本书的深处到底隐藏着什么呢？
那么我对曾经属于艾伦·图灵的保罗·狄拉克写的德文书做了什么？ 我不懂德语，但我读过 1970 世纪 XNUMX 年代的英文（这是其原始语言）版本。 然而，有一天吃早餐时，我似乎应该一页一页地仔细阅读这本书。 毕竟，这是处理古籍时的常见做法。
应该指出的是，狄拉克演讲的优雅给我留下了深刻的印象。 这本书出版于 1931 年，但其纯粹的形式主义（是的，尽管有语言障碍，我还是能读懂书中的数学）与今天写的几乎一样。 （我不想在这里过分强调狄拉克，但是我的朋友 告诉我，至少在他看来，狄拉克的阐述是单音节的。 诺曼·拉特利奇告诉我，他是剑桥大学的朋友 ，他成为了一名图论学家。 诺曼经常拜访狄拉克的家，他说这位“伟人”有时会亲自消失在背景中，而第一个地方总是充满了数学难题。 不幸的是，我本人从未见过保罗·狄拉克，尽管有人告诉我，在他最终离开剑桥前往佛罗里达之后，他失去了很多早期的强硬，成为了一个相当善于交际的人）。
但让我们回到狄拉克的书，它属于图灵。 在第 9 页上，我注意到页边空白处有用铅笔写的下划线和小注释。 我继续翻着书页。 看了几章之后，笔记就消失了。 但突然，我发现第 127 页附有一张纸条，上面写着：
它是用标准德语手写体用德语写成的。 看起来她可能与 。 我想在图灵之前可能有人拥有这本书，这一定是那个人写的笔记。
我继续翻阅这本书。 没有笔记。 我以为我找不到别的东西了。 但后来，在第 231 页，我发现了一个品牌书签 - 上面印有文字：
我最终会发现其他什么吗？ 我继续翻阅这本书。 然后，在书的最后，第 259 页，在相对论电子理论部分，我发现了以下内容：
我展开这张纸：
我立刻意识到那是什么 夹杂 ，但这片叶子是怎么到这里的呢？ 让我们回想一下，这本书是一本关于量子力学的书，但随附的传单涉及数学逻辑，或者现在所谓的计算理论。 这是图灵著作的典型。 我想知道这个笔记是图灵亲自写的吗？
即使在吃早饭的时候，我也在网上搜索了图灵笔迹的例子，但没有找到计算形式的例子，所以我无法得出关于笔迹的确切身份的结论。 很快我们就不得不走了。 我小心翼翼地把这本书打包带走，准备揭开它是哪一页、是谁写的之谜。
关于这本书
首先，我们来讨论一下这本书本身。 ”» 狄拉克的领域于 1930 年以英文出版，并很快被翻译成德文。 （狄拉克的序言日期为 29 年 1930 月 XNUMX 日；它属于译者 - - 15 年 1930 月 XNUMX 日。）这本书成为量子力学发展的里程碑，系统地建立了执行计算的清晰形式主义，并解释了狄拉克的预测 ，将于 1932 年开放。
为什么阿兰·图灵有一本德文版而不是英文版的书？ 我不确定这一点，但当时德语是科学的主要语言，我们知道艾伦·图灵可以读懂它。 （毕竟，以他著名的名义 工作 « （Entscheidungsproblem）”是一个非常长的德语单词 - 在文章的主要部分中，他以“德语字母”的形式使用相当晦涩的哥特式符号，而不是希腊符号）。
这本书是阿兰·图灵自己买的还是别人送给他的？ 我不知道。 图灵书的内封面上有一个铅笔符号“20/-”，这是“20 先令”的标准符号，类似于 1 英镑。 右页上有一个被删除的“26.9.30”，大概是指 26 年 1930 月 20 日，也可能是这本书首次购买的日期。 然后，最右边是被删除的数字“XNUMX”。 也许又是价格了。 （这可能是价格 ，假设这本书在德国销售？ 那时候，1德国马克大约值1先令，例如德国的价格可能会写成“RM20”。）最后，在封底内侧有“c 5/-”——也许是这个，（有一个大的）折扣）旧书的价格。
让我们看一下艾伦·图灵一生中的主要日期。 艾伦·图灵 （巧合的是，正好是76年前 ）。 1931年秋，他进入剑桥大学国王学院。 1934年，经过三年标准学习后，他获得了学士学位。
在 1920 年代和 1930 年代初期，量子力学是一个热门话题，阿兰·图灵当然对此很感兴趣。 从他的档案中我们知道，1932年，该书一出版，他就收到了“» 约翰·冯·诺依曼（关于 ）。 我们还知道，1935 年图灵接到了一位剑桥物理学家的任务 主题是研究量子力学。 （福勒建议计算 ，这实际上是一个非常复杂的问题，需要用相互作用的量子场论进行全面分析，目前还没有完全解决）。
然而，图灵何时以及如何获得狄拉克的书呢？ 鉴于这本书有标价，图灵可能是二手买的。 这本书的第一任主人是谁？ 书中的注释似乎主要涉及逻辑结构，指出某些逻辑关系应该被视为公理。 那么127页的注释呢？
好吧，也许这是一个巧合，但就在第 127 页 - 狄拉克谈论量子 并奠定基础 ——这是所有现代量子形式主义的基础。 注释包含什么内容？ 它包含方程 14 的扩展，该方程是量子振幅随时间演化的方程。 该注释的作者将振幅的狄拉克 A 替换为 ρ，这或许反映了早期的（流体密度类比）德国表示法。 然后作者尝试通过 ℏ (，除以 2π，有时称为 ).
但从页面上似乎没有太多有用的信息可以收集。 如果你将页面放在灯光下，它会包含一个小惊喜 - 一个水印，上面写着“Z f. 物理学。 化学。 乙”：
这是缩短版 - 德国物理化学杂志，1928 年开始出版。 也许这张便条是由杂志编辑写的？ 这是 1933 年的杂志标题。 方便的是，编辑器按地点列出，其中一个很突出：“伯恩·剑桥”。
这是 作者是谁 以及更多量子力学理论（以及歌手的祖父 ）。 那么，这张纸条可能是马克斯·玻恩写的？ 但不幸的是，事实并非如此，因为笔迹不匹配。
第 231 页的书签怎么样？ 这是从两边看的：
书签很奇怪，也很漂亮。 但它是什么时候制作的呢？ 在剑桥有 ，尽管它现在是布莱克威尔的一部分。 70 多年来（直到 1970 年），赫弗斯一直位于这个地址，如书签所示： и .
此选项卡包含一个重要的键 - 这是电话号码“Tel”。 862”。 碰巧的是，1939 年，剑桥的大部分地区（包括赫弗斯）都改用了四位数字，当然到了 1940 年，书签上都印上了“现代”电话号码。 （英语电话号码逐渐变长；当我在 1960 世纪 56186 年代在英国长大时，我们的电话号码是“Oxford 2378”和“Kidmore End XNUMX”。我记得这些号码的部分原因是，尽管现在很奇怪看起来我并不总是在接听来电时拨打我的号码）。
书签一直以这种形式印刷，直到 1939 年。 但那之前还有多久呢？ 网上有很多 Heffers 旧广告的扫描，至少可以追溯到 1912 年（连同“我们要求您满足您的要求……”），他们通过添加“（862 行）”来完成“电话 2”。 还有一些具有类似设计的书签可以在早在 1904 年的书籍中找到（尽管尚不清楚它们是否是这些书籍的原创（即同时印刷）。出于我们调查的目的，我们似乎可以得出结论，这本书来自 Heffer’s（顺便说一句，这是剑桥的主要书店）1930 年至 1939 年间的某个时间。
Lambda 演算页面
现在我们知道了这本书的购买时间。 但是“lambda 演算页面”呢？ 这是什么时候写的？ 嗯，很自然，到那时 lambda 演算应该已经被发明了。 一切都完成了 ，数学家来自 ，其最初形式于 1932 年，其最终形式于 1935 年。 （以前的科学家也有工作，但他们没有使用符号 λ）。
阿兰·图灵和 lambda 演算之间存在着复杂的联系。 1935年，图灵对数学运算的“机械化”产生了兴趣，并发明了图灵机的想法，用它来解决基础数学问题。 图灵向一家法国杂志发送了一篇关于这个主题的文章（），但在邮寄过程中丢失了； 结果发现，他寄给他的收件人并不在那里，因为他已经搬到了中国。
但在 1936 年 XNUMX 月，在图灵将他的论文发送到其他地方之前， 。 图灵此前曾抱怨说，当他在 1934 年提出证明时 ，然后我发现有一位挪威数学家已经 1922年。
不难看出图灵机和 lambda 演算在它们可以表示的计算类型上实际上是等价的（这是一个开始 ）。 然而，图灵（和他的老师 ）确信图灵的方法足够不同，值得单独出版。 1936 年 XNUMX 月（并于次月更正拼写错误） 图灵著名论文发表 .
稍微填一下时间线：从 1936 年 1938 月到 1937 年 XNUMX 月（XNUMX 年夏天有三个月的休息时间），图灵在普林斯顿，目标是成为阿朗佐·丘奇的研究生。 在普林斯顿大学期间，图灵显然完全专注于数理逻辑，写了几本 ， - 而且，他很可能没有带一本关于量子力学的书。
图灵于 1938 年 XNUMX 月返回剑桥，但到当年 XNUMX 月，他在剑桥大学兼职 一年后，他搬到布莱切利公园，目标是在那里全职研究与密码分析相关的问题。 1945年战争结束后，图灵搬到伦敦，为 开发一个项目来创建 。 他在剑桥度过了 1947-8 学年，但后来搬到曼彻斯特发展 .
1951年，图灵开始认真研究 。 （对我个人来说，这个事实有点讽刺，因为在我看来，图灵总是下意识地认为生物系统应该用微分方程建模，而不是像图灵机或细胞自动机这样离散的东西）。 他还将兴趣重新转向物理学，到 1954 年甚至 ， 什么： ”我试图发明一种新的量子力学”（尽管他补充道：“但事实上这并不是一个事实”）。 但不幸的是，一切在7年1954月XNUMX日戛然而止，图灵突然去世。 （我猜这不是自杀，但那是另一个故事了。）
那么让我们回到 lambda 演算页面。 让我们把它拿到灯光下再看看水印：
它似乎是一张英国制造的纸，在我看来它不太可能在普林斯顿大学使用。 但我们能准确地确定它的年代吗？ 好吧，并非没有一些帮助 ，我们知道该纸张的官方制造商是 Spalding & Hodge, Papermakers, Drury House Wholesale and Export Company, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, London。 这可能对我们有帮助，但帮助不大，因为可以假设他们的 Excelsior 品牌纸张似乎已包含在 1890 年代至 1954 年的供应目录中。
这个页面说了什么？
那么，让我们仔细看看这张纸的两面都有什么。 让我们从 lambda 开始。
这里有一个方法来确定 ，它们是数理逻辑中的基本概念，现在也出现在函数式编程中。 这些函数在语言中很常见 ，他们的任务很容易解释。 例如，有人写 f[x] 表示一个函数 f，应用于参数 x。 并且有很多命名函数 f 如 или или 。 但如果有人想要怎么办 f[x] 曾是 2x +1？ 该函数没有直接的名称。 但是还有另一种形式的分配吗？ f[x]?
答案是肯定的：相反 f 我们正在写 Function[a,2a+1]。 用 Wolfram 语言 Function [a,2a+1][x] 将函数应用于参数 x，产生 2x+1. Function[a,2a+1] 是一个“纯”或“匿名”函数，表示乘以 2 加 1 的纯运算。
所以，lambda 演算中的 λ 是一个精确的模拟 在 Wolfram 语言中 - 因此，例如 λa.(2a+1) 相等的 Function[a, 2a + 1]。 （值得注意的是，一个函数，例如， Function[b,2b+1] 相等的; “绑定变量” a или b 仅仅是函数参数替换 - 在 Wolfram 语言中，可以通过使用替代的纯函数定义来避免它们 (2# +1)&).
在传统数学中，函数通常被认为是表示输入（例如，也是整数）和输出（例如，也是整数）的对象。 但这是什么样的物体呢？ （或λ）？ 本质上，它是一个结构运算符，它接受表达式并将其转换为函数。 从传统数学和数学符号的角度来看，这似乎有点奇怪，但如果需要进行任意符号操作，那就更自然了，即使一开始看起来有点抽象。 （需要注意的是，当用户学习 Wolfram 语言时，当他们了解了 ).
Lambda 只是页面上显示内容的一部分。 还有一个更抽象的概念——这个 。 考虑一下相当晦涩的字符串 PI1IIx？ 这意味着什么？ 本质上，这是一个组合器序列，或者是符号函数的某种抽象组合。
通常的函数叠加，在数学中非常常见，可以用 Wolfram 语言写为： f[g[x]] - 意思是“应用” f 至申请结果 g к x” 但括号真的有必要吗？ 用 Wolfram 语言 f@g@ x - 另一种录音形式。 在这篇文章中，我们依赖 Wolfram 语言中的定义：@ 运算符与右侧相关联，因此 f@g@x 相等的 f@(g@x).
但录音意味着什么？ (f@g)@x？ 这相当于 f[g][x]。 而如果 f и g 如果是数学中的普通函数，那就没有意义了，但是如果 f - ，然后 f[g] 本身可能是一个可以很好地应用于 x.
请注意，这里仍然存在一些复杂性。 在 f[х] - f 是一个参数的函数。 和 f[х] 相当于写作 Function[a, f[a]][x]。 但是如果一个函数有两个参数呢？ f[x,y]？ 这可以写成 Function[{a,b},f[a, b]][x, y]。 但如果 Function[{a},f[a,b]]？ 这是什么？ 这里有一个“自由变量” b，它只是传递给函数。 Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] 将绑定这个变量，然后 Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] 它给 f[x,y] 再次。 （指定一个函数使其具有一个参数被称为“柯里化”，以纪念逻辑学家 ).
如果存在自由变量，那么如何定义函数就会有许多不同的复杂性，但如果我们将自己限制在对象上 或 λ，没有自由变量，那么它们基本上可以自由指定。 这样的对象称为组合器。
组合器有着悠久的历史。 据了解，它们是在 1920 年由一名学生首次提出的。 - .
当时直到最近才发现不需要用这些表达方式 , и 表示标准命题逻辑中的表达式：使用单个运算符就足够了，我们现在将其称为 （因为，例如，如果你写 作为 · 那么 Or[a,b] 将采取以下形式 ）。 Schoenfinkel 希望找到谓词逻辑（或者本质上包括函数的逻辑）的相同最小表示。
他提出了两个“组合器”S 和 K。在 Wolfram 语言中，这将写为
K[x_][y_] → x 和 S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]]。
值得注意的是，事实证明可以使用这两个组合器来执行任何计算。 例如，
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
可以用作将两个整数相加的函数。
至少可以说，这些都是相当抽象的对象，但现在我们了解了图灵机和 lambda 演算是什么，我们可以看到舍恩芬克尔组合器实际上预见了通用计算的概念。 （更值得注意的是 1920 年 S 和 K 的定义非常简单，让人想起 ，我在 1990 世纪 XNUMX 年代提出，其多功能性是 ).
但让我们回到我们的叶子和线条 PI1IIx。 这里写的符号是组合符，它们都是为了指定一个函数而设计的。 这里的定义是函数的叠加必须是左结合的，因此 福格克斯 不应解释为 f@g@x 或 f@(g@x) 或 f[g[x]]，而应解释为 (f@g)@x 或 f[g][x]。 让我们将此条目翻译成方便 Wolfram 语言使用的形式： PI1IIx 将采取以下形式 p[i][一][i][i][x].
为什么要写这样的东西？ 为了解释这一点，我们需要讨论教堂数字（以阿隆佐教堂命名）的概念。 假设我们只是使用符号和 lambda 或组合器。 有没有办法使用它们来指定整数？
我们就说这个数字怎么样？ n 对应于 Function[x, Nest[f,x,n]]？ 或者，换句话说，（用更简短的表示法）：
1 是 f[#]&
2 是 f[f[#]]&
3 是 f[f[f[#]]]& 等。
这可能看起来有点晦涩难懂，但它有趣的原因是它允许我们使一切完全象征性和抽象，而不必明确谈论整数之类的东西。
通过这种指定数字的方法，想象一下，例如，将两个数字相加：3 可以表示为 f[f[f[#]]]& 2 是 f[f[#]]&。 您只需将其中之一应用到另一个即可将它们相加：
但对象是什么？ f？ 它可以是任何东西！ 从某种意义上说，一直“转到 lambda”并使用采用以下函数的函数表示数字 f 作为一个论点。 换句话说，我们将 3 表示为 Function[f,f[f[f[#]]] &] или Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]。 （何时以及如何命名变量是 lambda 演算中的难题）。
考虑图灵 1937 年论文的一个片段 ，它按照我们刚才讨论的方式设置对象：
这是录音可能会有点混乱的地方。 x 图灵是我们的 f和他的 X' （打字员犯了一个错误，插入了一个空格） - 这是我们的 x。 但这里使用了完全相同的方法。
让我们看看纸张正面折叠后的那条线。 这 I1IIYI1IIx。 根据 Wolfram 语言符号，这将是 i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]。 但这里 i 是恒等函数，所以 i[one] 它只是显示 一种。 与此同时， 一种 是 Church 的数字表示形式 1 或 Function[f,f[#]&]。 但有了这个定义 one[а] 成为 a[#]& и one[a][b] 成为 a[b]。 （顺便一提， i[а][b]或 Identity[а][b] 也是 а[b]).
如果我们把替换规则写下来就更清楚了 i и 一种，而不是直接应用 lambda 演算。 结果是一样的。 明确应用这些规则，我们得到：
这与第一个缩写条目中的内容完全相同：
现在让我们再次看看叶子的顶部：
这里有一些相当令人困惑和令人困惑的对象“E”和“D”，但我们指的是“P”和“Q”，因此我们可以写出表达式并对其求值（请注意，这里 - 在与最后一个符号 - “神秘科学家”用 [...] 和 (...) 来代表函数的应用）：
这是显示的第一个缩写。 要了解更多信息，让我们插入 Q 的定义：
我们得到如下所示的精确减少。 如果我们用表达式代替 P 会发生什么？
结果如下：
现在，利用 i 是一个输出参数本身的函数这一事实，我们得到：
哎呀！ 但这不是下一条记录的线路。 这里有错误吗？ 不清楚。 因为，毕竟，与大多数其他情况不同，没有箭头指示下一行是上一行的后面。
这里有一点神秘，但让我们继续看看表格的底部：
这里 2 是 Church 编号，例如由模式确定 two[a_] [b_] → a[a[b]]。 请注意，如果 a 被认为是，这实际上是第二行的形式 Function[r,r[р]] и b 如 q。 所以我们预计计算结果如下：
然而里面的表达 а[b] 可以写成x（可能和之前纸上写的x不同）——最终我们得到最终的结果：
因此，我们几乎无法解读这张纸上发生的事情，但至少仍然存在一个谜团：Y 应该是什么。
事实上，在组合逻辑中，有一个标准的 Y 组合器：所谓的 。 形式上，它的定义是 Y[f] 必须相等 f[是[f]]，或者换句话说，Y[f] 在应用 f 时不会改变，因此它是一个不动点 f。 （组合器 Y 与 #0 在 Wolfram 语言中。）
目前，Y-combinator 已因以下原因而闻名 ，如此命名 （已经是粉丝很久了 и 并基于这种语言实现了第一个网络商店）。 他曾经亲口告诉过我“没有人明白 Y 组合器是什么” （应该指出的是，Y Combinator 正是让公司避免定点交易的原因......）
Y组合器（作为定点组合器）已被发明多次。 图灵实际上在 1937 年提出了它的实现，他称之为 θ。 但是我们页面上的字母“Y”是著名的定点组合器吗？ 也许不是。 那么我们的“Y”是什么？ 考虑这个缩写：
但这一信息显然不足以明确地确定 Y 是什么。很明显，Y 不仅与一个参数一起运行；而且还与一个参数一起运行。 似乎至少涉及两个参数，但不清楚（至少对我来说）它需要多少个参数作为输入以及它的作用。
最后，虽然我们可以理解这篇论文的许多部分，但我们必须说，在全球范围内，尚不清楚它做了什么。 尽管这里的工作表上涉及很多解释，但 lambda 演算和使用组合器都是非常基础的。
据推测，这是创建一个简单的“程序”的尝试 - 使用 lambda 演算和组合器来做某事。 但是，尽管这是逆向工程的典型特征，但我们很难说出“某物”应该是什么以及总体“可解释”的目标是什么。
该表上还有一个值得在此评论的功能 - 使用不同类型的括号。 传统数学大多使用括号来表示所有内容 - 以及函数应用（如 F（X））和成员分组（如 (1+x) (1-x)，或者，不太明显的是， a(1-x)）。 （在 Wolfram 语言中，我们将括号的不同用法分开——在方括号中定义函数 f [x] - 且括号仅用于分组）。
当 lambda 演算首次出现时，有很多关于括号使用的问题。 艾伦·图灵后来写了一部完整的（未出版的）作品，题为”，但早在 1937 年，他就觉得自己需要描述 lambda 演算的现代（相当老套）定义（顺便说一句，它是由于 Church 的缘故而出现的）。
他说过 f， 应用于 g, 应写成 {f}（克）， 要是 f 不是唯一的字符，在这种情况下它可能是 f(克)。 然后他说 lambda（如 Function[a, b]) 应该写成 λ a[b] 或 λ a.b.
然而，也许到了 1940 年，使用 {...} 和 [...] 来表示不同对象的整个想法已经被放弃，很大程度上支持标准数学风格的括号。
看一下页面顶部：
这种形式很难理解。 在 Church 的定义中，方括号用于分组，用开括号代替句点。 使用此定义，可以清楚地看到末尾括号中的 Q（最终标记为 D）是整个初始 lambda 所适用的内容。
这里的方括号实际上并不界定 lambda 的主体；而是相反，它实际上代表了该函数的另一种用法，并且没有明确指示 lambda 主体在哪里结束。 最后，可以看到“神秘科学家”将右方括号改为圆括号，从而有效地应用了丘奇的定义——从而迫使表达式按照表格中所示的方式进行计算。
那么这个小片段到底意味着什么呢？ 我认为这表明该页面是在 1930 世纪 XNUMX 年代或不久之后编写的，因为当时括号的约定尚未确定。
那么这到底是谁的笔迹呢？
所以，在此之前我们讨论了页面上写的内容。 但到底是谁写的呢？
这个角色最明显的候选人是艾伦·图灵本人，因为毕竟，该页面在他的书中。 就内容而言，似乎没有什么与艾伦·图灵可以写出它的想法不相容——即使当他在 1936 年初收到丘奇的论文后第一次接触 lambda 演算时也是如此。
手写呢？ 它属于艾伦·图灵吗？ 让我们看一些现存的例子，我们确信这些例子是由艾伦·图灵写的：
所呈现的文本显然看起来非常不同，但是文本中使用的符号又如何呢？ 至少，在我看来，它看起来并不那么明显 - 人们可以假设任何差异可能正是由于现有样本（在档案中提供）被写入这一事实而引起的，可以这么说，“从表面上看， ”而我们的页面恰恰反映了思想工作。
事实证明，图灵的档案中包含他写过的一页，这对我们的调查很方便 ，表示法所必需的。 当逐个字母比较这些符号时，它们看起来与我非常相似（这些注释是在 图灵读书时 ，因此标签为“叶面积”）：
我想进一步探索这个问题，所以我发送了样品 ，一位专业的笔迹专家（以及基于笔迹的问题的作者），我有幸见过他一次 - 只需将我们的论文作为“样本'A'”并将图灵笔迹的现有样本作为“样本'B'”。 她的回答是最终的、否定的：“写作风格完全不同。 就性格而言，样本“B”作者比样本“A”作者具有更快、更直观的思维方式。“。
我还没有完全相信，但我决定是时候考虑其他选择了。
那么，如果事实证明这不是图灵写的，那么又是谁写的呢？ 诺曼·劳特利奇告诉我，他从图灵的遗嘱执行人罗宾·甘迪那里收到了这本书。 所以我发送了甘地的“样本“C””：
但 Sheila 的初步结论是，这三个样本可能是由三个不同的人编写的，并再次指出样本“B”来自“最快的思考者——可能最愿意寻找不寻常的问题解决方案的人” （考虑到每个人都对图灵 1920 年代学校作业中的笔迹有多少抱怨，现代笔迹专家会对图灵的笔迹做出这样的评估，这让我感到耳目一新。）
好吧，至此，图灵和甘地似乎都被排除在“嫌疑人”之外了。 那么这是谁写的呢？ 我开始思考图灵可能把他的书借给了哪些人。 当然，他们还必须能够使用 lambda 演算进行计算。
考虑到纸上的水印，我认为这个人一定来自剑桥，或者至少是英国。 我把 1936 年左右是写这篇文章的好时机作为一个可行的假设。 那么图灵当时认识并与谁交流呢？ 我们获得了这段时间国王学院数学系所有学生和教师的名单。 （有 13 名已知学生曾在 1930 年至 1936 年间学习。）
其中，最有前途的候选人似乎 。 他和他的老朋友图灵同龄，而且他对基础数学也很感兴趣——1933年他甚至发表了一篇关于我们现在所说的数学的论文 ：0.12345678910111213…（通过获得 1, 2, 3, 4,…, 8, 9, 10, 11, 12,…, 以及极少数的数字之一 从某种意义上说，每个可能的数字块以相同的概率出现）。
1937年，他甚至使用狄拉克书中提到的狄拉克伽玛矩阵来解决 。 （碰巧的是，几年后我成为伽玛矩阵计算的忠实粉丝）。
开始学习数学后，钱珀诺恩受到了 （也在国王学院）并最终成为一名杰出的经济学家，特别是在收入不平等问题上进行研究。 （不过，1948年他还与图灵合作创建了 - 一个国际象棋程序，实际上成为世界上第一个在计算机上实现的程序）。
但我在哪里可以找到钱珀诺恩的笔迹样本呢？ 我很快在 LinkedIn 上找到了他的儿子 Arthur Champernowne，奇怪的是，他拥有数理逻辑学位并在微软工作。 他说他的父亲和他谈了很多关于图灵的工作，尽管他没有提到组合器。 他给我发了一份他父亲的笔迹样本（一段关于算法音乐创作的片段）：
您可以立即看出笔迹不匹配（Chambernowne 笔迹中字母 f 的卷曲和尾部等）
那么还能是谁呢？ 我一直很欣赏 ，在很多方面都是艾伦·图灵的导师。 纽曼首先对图灵感兴趣”数学机械化”是他的老朋友，几年后成为他在曼彻斯特一个计算机项目的老板。 （尽管纽曼对计算感兴趣，但他似乎总是将自己主要视为拓扑学家，尽管他的结论得到了他得出的错误证明的支持 ).
找到纽曼笔迹的样本并不困难——而且，不，笔迹绝对不匹配。
书中的“踪迹”
所以，识别笔迹的想法失败了。 我决定下一步要尝试更详细地追踪我手里的这本书到底发生了什么。
首先，诺曼·拉特利奇的长篇故事是什么？ 1946 年，他就读于剑桥国王学院并遇到了图灵（是的，他们都是同性恋）。 1949 年他大学毕业，然后开始在图灵的指导下撰写博士论文。 他于 1954 年获得博士学位，研究方向为数理逻辑和递归理论。 他获得了国王学院的个人奖学金，并于 1957 年成为该学院数学系主任。 他本可以一辈子都这样做，但他有广泛的兴趣（音乐、艺术、建筑、娱乐数学、家谱等）。 1960年，他改变了自己的学术方向，成为伊顿公学的一名教师，一代又一代的学生（包括我自己）在那里工作（和学习），并接触到他不拘一格、有时甚至是奇怪的知识。
这神秘的一页会是诺曼·劳特利奇本人写的吗？ 他知道 lambda 演算（不过，巧合的是，他在 2005 年我们喝茶时提到了它，但他总是觉得它“令人困惑”）。 然而，他独特的笔迹立即排除了他可能是“神秘科学家”的可能。
该页面是否与诺曼的一名学生有某种联系，也许是他还在剑桥时就开始的？ 我怀疑。 因为我认为诺曼从未研究过 lambda 演算或类似的东西。 在写这篇文章时，我发现 Norman 在 1955 年写了一篇关于在“电子计算机”上创建逻辑（以及创建合取范式，就像内置函数现在所做的那样）的论文 ）。 当我认识诺曼时，他对为真实计算机编写实用程序非常感兴趣（他的首字母缩写是“NAR”，他称他的程序为“NAR...”，例如“NARLAB”，一个使用打孔创建文本标签的程序孔“图案”“在纸带上）。 但他从未谈论过计算的理论模型。
让我们更仔细地阅读书中诺曼的注释。 我们首先注意到的是他谈论“提供死者图书馆的书籍” 从措辞来看，这一切似乎是在图灵去世后很快发生的，这表明诺曼在 1954 年图灵去世后不久就收到了这本书，而甘地已经错过了相当长的一段时间。 诺曼接着说，他实际上收到了四本书，两本关于纯数学，两本关于理论物理学。
然后他说他给了“另一个来自一本物理书（有点， )“，”致塞巴格·蒙蒂菲奥里 (Sebag Montefiore)，一位令人愉快的年轻人，您可能还记得他 [乔治·鲁特 (George Rutter)]” 好吧，那么他是谁？ 我翻出了我很少使用的会员列表 。 （我必须报告，当我打开它时，我不禁注意到它自 1902 年以来的规则，其中第一条，在“会员权利”标题下，听起来很有趣：“穿着协会颜色的衣服“）。
应该补充的是，如果不是伊顿公学朋友的敦促，我可能永远不会加入这个协会，也不会收到这本书。 他从 12 岁起就一直计划有一天成为首相，但不幸在 21 岁时去世）。
但无论如何，名单中姓塞巴格-蒙蒂菲奥里的人只有五个，而且研究日期也很广泛。 不难理解，适合 。 事实证明，布莱奇利公园的世界很小，他的家族在 1938 年将其出售给英国政府之前就拥有它。 2000 年，Sebag-Montefiore 写道 - 这很可能就是 2002 年诺曼决定将图灵拥有的书送给他的原因。
好吧，诺曼从图灵那里得到的其他书呢？ 由于没有其他方法可以了解他们发生了什么事，我订购了一份诺曼的遗嘱副本。 遗嘱的最后一条显然是诺曼的风格：
遗嘱规定诺曼的书籍应留在国王学院。 尽管他的完整藏书似乎无处可寻，但图灵在笔记中提到的两本关于纯数学的书现在已正式存档在国王学院图书馆。
下一个问题： 图灵的其他书怎么了？ 我看了图灵的遗嘱，结果把它们全部留给了罗宾·甘迪。
甘地是剑桥大学国王学院的一名数学系学生，1940 年在大学最后一年与艾伦·图灵成为朋友。 战争开始时，甘地从事无线电和雷达工作，但在 1944 年，他被分配到与图灵同一单位，从事语音加密工作。 战后，甘地回到剑桥，很快获得博士学位，图灵成为他的顾问。
他在军队的工作显然使他对物理学产生了兴趣，他的论文于 1952 年完成，题为 。 甘地似乎想做的也许是用数理逻辑来描述物理理论。 他谈到 и ，但不是关于图灵机。 从我们现在所知道的情况来看，我想我们可以得出这样的结论：他完全没有抓住要点。 确实， 自 1980 世纪 XNUMX 年代初以来，他一直主张物理过程应该被视为“各种计算”——例如图灵机或元胞自动机——而不是被推导出来的定理。 （甘地很好地讨论了物理理论中涉及的类型顺序，例如说“我相信任何可计算的十进制数的二进制形式的阶数都小于八”）。 他说过 ”现代量子场论如此复杂的原因之一只是因为它处理相当复杂类型的对象 - 函数的泛函......”，这最终意味着“我们很可能将最大的共同使用类型作为数学进步的衡量标准»。
甘地在论文中多次提到图灵，并在引言中指出他要感谢 A. M. 图灵，他“首先让他有点不集中的注意力集中在丘奇的微积分上”（即 lambda 演算），尽管事实上他的论文有几个 lambda 证明。
论文答辩后，甘地转向了更纯粹的数理逻辑，三十多年来以每年一篇的速度撰写文章，这些文章在国际数理逻辑界得到了相当成功的引用。 他于 1969 年搬到了牛津，我想我一定在年轻时见过他，尽管我对此没有任何记忆。
甘地显然非常崇拜图灵，并在晚年经常谈到他。 这就提出了图灵著作全集的问题。 图灵去世后不久，莎拉·图灵和马克斯·纽曼要求甘地（作为他的遗嘱执行人）安排出版图灵未出版的作品。 岁月流逝， 反映了莎拉·图灵在这个问题上的沮丧。 但不知何故，甘地似乎从未计划将图灵的论文放在一起。
甘地于 1995 年去世，尚未整理完成的作品。 - 文学评论家和传记作家 图灵在国王学院遇到的人是图灵的文学经纪人，他最终开始了图灵文集的创作。 最具争议性的似乎是关于数理逻辑的书，为此他吸引了他的第一个认真的研究生罗宾·甘迪（Robin Gandy），他是一位数学家。 ，他发现了写给甘地的信，内容涉及 24 年来一直没有开始创作的作品集。 （ 终于在 2001 年出现——发行 45 年后）。
但是图灵个人拥有的书呢？ 继续尝试追踪他们，我的下一站是图灵家族，特别是图灵兄弟最小的儿子， （他实际上是德莫特·图灵爵士，因为他是 ，这个头衔并不是通过图灵家族的艾伦传给他的）。 德莫特·图灵（Dermot Turing）（最近写了 ）告诉我有关“图灵的祖母”（又名莎拉·图灵）的事情，她的房子显然与他的家人共用一个花园入口，以及有关艾伦·图灵的许多其他事情。 他告诉我，阿兰·图灵的私人书籍从来没有在他们家里。
于是我回去阅读遗嘱，发现甘地的遗嘱执行人是他的学生迈克·耶茨。 我了解到迈克·耶茨 (Mike Yates) 30 年前以教授身份退休，现在住在北威尔士。 他说，在他研究数理逻辑和计算理论的几十年里，他从未真正接触过计算机——但在他退休时终于接触到了（而且，这发生在他发现该程序后不久） ）。 他说图灵变得如此出名真是太好了，当他在图灵去世三年后到达曼彻斯特时，没有人谈论图灵，甚至连马克斯·纽曼在教授逻辑课程时也没有人谈论图灵。 然而，甘迪后来谈到他对处理图灵的作品集感到多么兴奋，并最终将它们全部留给了迈克。
迈克对图灵的书了解多少？ 他找到了一本图灵的手写笔记本，甘地没有将其交给国王学院，因为（奇怪的是）甘地用它来掩盖他保存的有关梦想的笔记。 （图灵还记录了他的梦想，这些梦想在他死后被毁掉了。）迈克说，这本笔记本最近在拍卖会上以大约 1 万美元的价格售出。 否则他也不会想到甘地的东西里有图灵的材料。
似乎我们所有的选择都已枯竭，但迈克让我看看那张神秘的纸。 他立即说道：“这是罗宾·甘迪的笔迹！» 他说这些年他见识了很多东西。 他很确定。 他说他对 lambda 演算了解不多，也无法真正阅读该页面，但他确信是 Robin Gandy 写的。
我们带着更多样本回到我们的笔迹专家那里，她同意，是的，那里的内容与甘地的笔迹相符。 所以我们终于弄清楚了： 罗宾·甘迪写下了那张神秘的纸。 它不是阿兰·图灵写的；而是由阿兰·图灵写的。 这是他的学生罗宾·甘迪写的。
当然，一些谜团仍然存在。 据说图灵借给了甘地这本书，但是什么时候呢？ lambda 演算符号的形式让人感觉像是在 1930 世纪 1940 年代左右。 但根据对甘地论文的评论，他可能直到 XNUMX 世纪 XNUMX 年代末才对 lambda 演算进行任何研究。 那么问题就出现了，为什么甘地要写这篇文章。 这似乎与他的论文没有直接关系，因此可能是在他第一次尝试计算 lambda 演算时发生的。
我怀疑我们永远不会知道真相，但尝试弄清楚真相确实很有趣。 在这里，我必须说，这整个旅程极大地扩展了我对过去几个世纪类似书籍的历史有多么复杂的理解，尤其是我拥有的这些书籍的历史。 这让我觉得我最好确保我查看了他们的所有页面 - 只是为了看看那里可能有趣的内容......
感谢以下人士的帮助：Jonathan Gorard（剑桥私人研究）、Dana Scott（数理逻辑）和 Matthew Szudzik（数理逻辑）。
关于翻译斯蒂芬·沃尔夫勒姆的帖子的翻译“«。
我表达深深的谢意 и 协助翻译和准备出版物。
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