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自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）

今天好。

在過去的幾年裡，我一直在研究和創建自適應天線陣列中空間訊號處理的各種演算法，並將作為我目前工作的一部分繼續這樣做。 在這裡我想分享我自己發現的知識和技巧。 我希望這對開始研究訊號處理這一領域的人或僅僅感興趣的人有用。

什麼是自適應天線陣列？

天線陣列 – 這是以某種方式放置在空間中的一組天線元件。 我們將考慮的自適應天線陣列的簡化結構可以用以下形式表示：
自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）

自適應天線陣列通常被稱為“智慧型”天線（智慧天線）。 使天線陣列變得「智慧」的是空間訊號處理單元及其中實現的演算法。 這些演算法分析接收到的訊號並形成一組加權係數 $inline$w_1…w_N$inline$，它決定每個元素的訊號振幅和初始相位。 給定的幅相分佈決定了 輻射方向圖 整個格子作為一個整體。 合成所需形狀的輻射方向圖並在訊號處理期間改變它的能力是自適應天線陣列的主要特徵之一，它可以解決各種問題。 任務範圍。 但首先要說的是。

輻射方向圖是如何形成的？

定向圖案 表徵在某個方向發射的訊號功率。 為了簡單起見，我們假設晶格元素是各向同性的，即對於它們中的每一個，發射訊號的功率不取決於方向。 光柵在某一方向發射的功率的放大或衰減是由於 干涉 天線陣列的各個元件所發射的電磁波。 電磁波的穩定乾涉圖案只有在下列情況下才可能實現： 連貫性， IE。 訊號的相位差不應隨時間變化。 理想情況下，天線陣列的每個元件都應輻射 諧波訊號 在相同的載波頻率$inline$f_{0}$inline$上。 然而，實際上，人們必須處理具有有限寬度 $inline$Delta f << f_{0}$inline$ 頻譜的窄頻訊號。
讓所有 AR 元件發出相同的訊號 複振幅 $內聯$x_n(t)=u(t)$內聯$。 然後在 偏僻的 在接收器處，從第 n 個元件接收到的訊號可以表示為 分析性的 形式：

$$顯示$$a_n(t) = u(t-tau_n)e^{i2pi f_0(t-tau_n)}$$顯示$$

其中 $inline$tau_n$inline$ 是從天線元件到接收點的訊號傳播延遲。
這樣的訊號是 “準諧波”，而為了滿足相干條件，任何兩個元件之間電磁波傳播的最大延遲必須遠小於訊號包絡變化的特徵時間$inline$T$inline$，即$內聯$u(t-tau_n) ≈ u(t-tau_m)$內聯$。 因此，窄頻訊號的相干性條件可以寫成如下：

$$顯示$$T≈frac{1}{Delta f}>>frac{D_{max}}{c}=max(tau_k-tau_m) $$顯示$$

其中$inline$D_{max}$inline$是AR元素之間的最大距離，$inline$с$inline$是光速。

當接收到訊號時，在空間處理單元中以數位方式執行相干求和。 在這種情況下，該區塊輸出處的數位訊號的複數值由下列表達式決定：

$$顯示$$y=sum_{n=1}^Nw_n^*x_n$$顯示$$

以形式表示最後一個表達式更方便 點積 矩陣形式的 N 維復向量：

$$顯示$$y=(textbf{w},textbf{x})=textbf{w}^Htextbf{x}$$顯示$$

哪裡 w и x 是列向量，$inline$(.)^H$inline$ 是運算 厄米共軛.

訊號的向量表示是使用天線陣列時的基本表示之一，因為常常可以讓你避免繁瑣的數學計算。 此外，用向量識別在某個時刻接收到的訊號通常可以使人們從真實的物理系統中抽像出來，並從幾何的角度理解到底發生了什麼。

要計算天線陣列的輻射方向圖，您需要在心裡按順序「發射」一組 平面波 來自所有可能的方向。 在這種情況下，向量元素的值 x 可以用以下形式表示：

$$顯示$$x_n=s_n​​=exp{-i(textbf{k}(phi,theta),textbf{r}_n)}$$顯示$$

哪裡 k - 波向量、$inline$phi$inline$ 和 $inline$theta$inline$ – 方位角 и 仰角，表徵平面波的到達方向，$inline$textbf{r}_n$inline$ 是天線元件的座標，$inline$s_n$inline$ 是相位向量的元素 s 平面波與波向量 k （在英文文獻中，定相向量稱為轉向向量）。 數量幅值平方的依賴性 y 從 $inline$phi$inline$ 和 $inline$theta$inline$ 決定用於接收給定加權係數向量的天線陣列的輻射方向圖 w.

天線陣列輻射方向圖的特點

可以方便地研究水平面上線性等距天線陣列上天線陣列輻射方向圖的一般特性（即方向圖僅取決於方位角$inline$phi$inline$）。 方便從兩個角度來看：分析計算和視覺化呈現。

讓我們計算單位權重向量的 DN ($inline$w_n=1, n = 1 ... N$inline$)，遵循所描述的 以上 方法。
數學在這裡自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）
波矢在垂直軸上的投影：$inline$k_v=-frac{2pi}{lambda}sinphi$inline$
索引為n的天線元件的垂直座標：$inline$r_{nv}=(n-1)d$inline$
這裡 d – 天線陣列週期（相鄰元件之間的距離）， λ ——波長。 所有其他向量元素 r 都等於零。
天線陣列接收到的訊號記錄形式如下：

$$顯示$$y=sum_{n=1}^{N}1 ⋅exp{i2pi nfrac{d}{lambda}sinphi}$$顯示$$

讓我們應用以下公式 幾何級數之和 и 用複指數表示三角函數 :

$$顯示$$y=frac{1-exp{i2pi Nfrac{d}{lambda}sinphi}}{1-exp{i2pi frac{d}{lambda}sinphi}}=frac{sin(pi frac{Nd} {lambda}sinphi)}{sin(pi frac{d}{lambda}sinphi)}exp{ipi frac{d(N-1)}{lambda}sinphi}$$顯示$$


結果，我們得到：

$$顯示$$F(phi)=|y|^2=frac{sin^2(pi frac{Nd}{lambda}sinphi)}{sin^2(pi frac{d}{lambda}sinphi)} $ $顯示$$

輻射圖頻率

所產生的天線陣列輻射方向圖是角度正弦的週期函數。 這意味著在特定的比率值下 d/λ 它具有衍射（附加）最大值。
自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）N = 5 時天線陣列的非標準化輻射方向圖
自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）極座標系中 N = 5 時天線陣列的歸一化輻射方向圖

「衍射探測器」的位置可以直接從 公式 對於 DN。 然而，我們將嘗試理解它們在物理和幾何上（在 N 維空間中）的來源。

分子 定相 向量 s 為複數指數$inline$e^{iPsi n}$inline$，其值由廣義角$inline$Psi = 2pi frac{d}{lambda}sinphi$inline$的值決定。 如果有兩個廣義角度對應於平面波的不同到達方向，其中 $inline$Psi_1 = Psi_2 + 2pi m$inline$，那麼這意味著兩件事：

  • 物理上： 來自這些方向的平面波前在天線陣列的元件上引起電磁振盪的相同振幅相位分佈。
  • 幾何上： 定相向量 因為這兩個方向重合。

從天線陣列的角度來看，以這種方式相關的波到達方向是等效的，並且彼此無法區分。

如何確定 DP 始終只有一個主要最大值所在的角度區域？ 讓我們在零方位角附近進行此操作，出於以下考慮：兩個相鄰元件之間的相移幅度必須在 $inline$-pi$inline$ 到 $inline$pi$inline$ 的範圍內。

$$顯示$$-pi<2pifrac{d}{lambda}sinphi

解這個不等式，我們得到零附近唯一性區域的條件：

$$顯示$$|sinphi|

可以看出，角度唯一性區域的大小取決於以下關係 d/λ。 如果 d = 0.5λ，那麼訊號到達的每個方向都是“單獨的”，並且唯一性區域覆蓋了整個角度範圍。 如果 d = 2.0λ，那麼方向 0、±30、±90 是等效的。 衍射瓣出現在輻射圖上。

通常，尋求使用定向天線元件來抑制衍射瓣。 在這種情況下，天線陣列的完整輻射方向圖是一個元件的方向圖與各向同性元件陣列的乘積。 通常根據天線陣列的不模糊區域的條件來選擇一個單元的方向圖的參數。

主瓣寬度

眾所周知 估算天線系統主瓣寬度的工程公式：$inline$Delta phi ≈ frac{lambda}{D}$inline$，其中 D 是天線的特徵尺寸。 此公式適用於各種類型的天線，包括鏡面天線。 讓我們證明它對於天線陣列也有效。

讓我們透過主最大值附近模式的第一個零來確定主瓣的寬度。 分子 表達式 對於 $inline$F(phi)$inline$ 當 $inline$sinphi=mfrac{lambda}{dN}$inline$ 時消失。 第一個零對應於 m = ±1。 相信 $inline$frac{lambda}{dN}<<1$inline$ 我們得到 $inline$Delta phi = 2frac{lambda}{dN}$inline$。

通常，天線方向圖的寬度由半功率電平 (-3 dB) 決定。 在這種情況下，請使用表達式：

$$顯示$$Delta phi≈0.88.​​XNUMXfrac{lambda}{dN}$$顯示$$

例子自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）

主瓣的寬度可以透過為天線陣列加權係數設定不同的振幅值來控制。 讓我們考慮三個分佈：

  • 均勻幅度分佈（權重 1）：$inline$w_n=1$inline$。
  • 振幅值朝光柵邊緣減少（重量2）：$inline$w_n=0.5+0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$
  • 振幅值朝向光柵邊緣增加（重量3）：$inline$w_n=0.5-0.3cos(2pifrac{n-1}{N}-pifrac{N-1}{N})$inline$

下圖顯示了對數標度的歸一化輻射方向圖：自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）
從圖中可以看出以下趨勢：權重係數幅度的分佈朝陣列邊緣減小，導致圖案的主瓣變寬，但旁瓣的電平降低。 相反，振幅值朝向天線陣列邊緣增加會導致主瓣變窄和旁瓣電平增加。 在這裡考慮限制情況很方便：

  1. 除極端元素外，所有元素的加權係數振幅均為零。 最外面元素的權重等於 XNUMX。 在這種情況下，晶格等效於具有週期的二元 AR D = (N-1)d。 使用上述公式估計主花瓣的寬度並不困難。 在這種情況下，側壁將變成繞射最大值並與主最大值對齊。
  2. 中心元素的權重等於 XNUMX，所有其他元素的權重都等於 XNUMX。 在這種情況下，我們基本上收到了一根具有各向同性輻射圖的天線。

主最大值方向

因此，我們研究如何調整 AP AP 主瓣的寬度。 現在讓我們看看如何引導方向。 讓我們記住 向量表達 對於接收到的訊號。 讓我們希望輻射方向圖的最大值朝某個方向 $inline$phi_0$inline$ 方向看。 這意味著應從該方向接收最大功率。 此方向對應於相位向量 $inline$textbf{s}(phi_0)$inline$ N維向量空間，接收功率定義為此相位向量與加權係數向量的標量積的平方 w。 當兩個向量的標量積最大時 共線， IE。 $inline$textbf{w}=beta textbf{s}(phi_0)$inline$，其中 β – 一些標準化因素。 因此，如果我們選擇的權重向量等於所需方向的相位向量，我們將旋轉輻射方向圖的最大值。
自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）
以下列權重因子為例：$inline$textbf{w}=textbf{s}(10°)$inline$

$$顯示$$w_n=exp{i2pifrac{d}{lambda}(n-1)sin(10pi/180)}$$顯示$$

結果，我們獲得了在 10° 方向上具有主要最大值的輻射方向圖。

現在我們應用相同的加權係數，但不是用於訊號接收，而是用於傳輸。 這裡值得考慮的是，當傳輸訊號時，波矢量的方向變成相反。 這意味著元素 定相向量 對於接收和傳輸，它們的指數符號不同，即透過複雜的共軛相互連接。 結果，我們得到-10°方向發射方向圖的最大值，與相同權重係數下接收方向圖的最大值不一致，為了修正這種情況，需要也將複共軛應用於權重係數。
自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）
在使用天線陣列時，應始終牢記所描述的接收和傳輸模式形成的特徵。

讓我們來玩一下輻射圖

幾個高點

讓我們設定在以下方向形成輻射方向圖的兩個主要最大值的任務：-5° 和 10°。 為此，我們選擇相應方向的相位向量的加權和作為權重向量。

$$顯示$$textbf{w} = betatextbf{s}(10°)+(1-beta)textbf{s}(-5°)$$顯示$$

自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）調整比例 β 您可以調整主花瓣之間的比例。 在這裡，我們可以很方便地查看向量空間中發生的情況。 如果 β 大於 0.5，則加權係數向量更接近 s（10°），否則 s（-5°）。 權重向量越接近相量之一，相應的標量積就越大，因此相應的最大 DP 的值就越大。
自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）
然而，值得考慮的是，兩個主花瓣的寬度都是有限的，如果我們想調諧到兩個接近的方向，那麼這些花瓣將合併成一個，朝向某個中間方向。

一個最大值和零

現在我們嘗試將輻射方向圖的最大值調整到 $inline$phi_1=10°$inline$ 方向，同時抑制來自 $inline$phi_2=-5°$inline$ 方向的訊號。 為此，您需要將相應角度的 DN 設為零。 您可以按如下方式執行此操作：

$$顯示$$textbf{w}=textbf{s}_1-frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{N}textbf{s}_2$$顯示$$

其中$inline$textbf{s}_1 = textbf{s}(10°)$inline$，$inline$textbf{s}_2 = textbf{s}(-5°)$inline$。
自適應天線陣列：它是如何運作的？ （基本）
選擇權重向量的幾何意義如下。 我們想要這個向量 w 在 $inline$textbf{s}_1$inline$ 上有最大投影，同時與向量 $inline$textbf{s}_2$inline$ 正交。 向量 $inline$textbf{s}_1$inline$ 可以表示為兩個項：共線向量 $inline$textbf{s}_2$inline$ 和正交向量 $inline$textbf{s}_2$inline$。 為了滿足問題陳述，需要選擇第二個分量作為加權係數的向量 w。 共線分量可以透過使用標量積將向量 $inline$textbf{s}_1$inline$ 投影到歸一化向量 $inline$frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}$inline$ 上來計算。

$$顯示$$textbf{s}_{1||}=frac{textbf{s}_2}{sqrt{N}}frac{textbf{s}_2^Htextbf{s}_1}{sqrt{N}} $$顯示$$

因此，從原始定相向量 $inline$textbf{s}_1$inline$ 中減去其共線分量，我們就得到了所需的權重向量。
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一些附加說明

  1. 上面的所有地方，我都忽略了權重向量歸一化的問題，即它的長度。 因此，權向量的歸一化不會影響天線陣列輻射方向圖的特性：主最大值的方向、主瓣的寬度等。 也可以證明，這種歸一化不會影響空間處理單元輸出處的SNR。 就此而言，在考慮空間訊號處理演算法時，我們通常會接受權重向量的單位歸一化，即$內聯$textbf{w}^Htextbf{w}=1$內聯$
  2. 形成天線陣列方向圖的可能性由單元的數量N決定。單元越多，可能性越廣。 實現空間權重處理時的自由度越大，如何在N維空間中「扭曲」權重向量的選擇就越多。
  3. 當接收輻射方向圖時，天線陣列在物理上並不存在，而這一切僅存在於處理訊號的計算單元的「想像」中。 這意味著可以同時合成多個模式並獨立處理來自不同方向的訊號。 在傳輸的情況下，一切都稍微複雜一些，但也可以合成幾個DN來傳輸不同的資料流。 通訊系統中的這項技術稱為 多輸入多輸出.
  4. 使用提供的 matlab 程式碼，您可以自己嘗試 DN
    代碼

    % antenna array settings
N = 10;             % number of elements
d = 0.5;            % period of antenna array
wLength = 1;        % wavelength
mode = 'receiver';  % receiver or transmitter

% weights of antenna array
w = ones(N,1);    
% w = 0.5 + 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))/N).';
% w = 0.5 - 0.3*cos(2*pi*((0:N-1)-0.5*(N-1))/N).';
% w = exp(2i*pi*d/wLength*sin(10/180*pi)*(0:N-1)).';
% b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d/wLength*sin(+10/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d/wLength*sin(-5/180*pi)*(0:N-1)).';
% b = 0.5; w = b*exp(2i*pi*d/wLength*sin(+3/180*pi)*(0:N-1)).' + (1-b)*exp(2i*pi*d/wLength*sin(-3/180*pi)*(0:N-1)).';

% s1 = exp(2i*pi*d/wLength*sin(10/180*pi)*(0:N-1)).';
% s2 = exp(2i*pi*d/wLength*sin(-5/180*pi)*(0:N-1)).';
% w = s1 - (1/N)*s2*s2'*s1;
% w = s1;

% normalize weights
w = w./sqrt(sum(abs(w).^2));

% set of angle values to calculate pattern
angGrid_deg = (-90:0.5:90);

% convert degree to radian
angGrid = angGrid_deg * pi / 180;
% calculate set of steerage vectors for angle grid
switch (mode)
    case 'receiver'
        s = exp(2i*pi*d/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid)));
    case 'transmitter'
        s = exp(-2i*pi*d/wLength*bsxfun(@times,(0:N-1)',sin(angGrid)));
end

% calculate pattern
y = (abs(w'*s)).^2;

%linear scale
plot(angGrid_deg,y/max(y));
grid on;
xlim([-90 90]);

% log scale
% plot(angGrid_deg,10*log10(y/max(y)));
% grid on;
% xlim([-90 90]);

使用自適應天線陣列可以解決哪些問題？

未知訊號的最佳接收如果訊號的到達方向未知（而且如果通訊頻道是多路徑的話，一般有幾個方向），那麼透過分析天線陣列接收到的訊號，可以形成一個最優的權向量 w 使得空間處理單元的輸出處的SNR將是最大的。

針對背景雜訊的最佳訊號接收這裡提出的問題是：預期有用訊號的空間參數已知，但外部環境存在幹擾源。 需要最大化AP輸出端的SINR，盡可能減少干擾對訊號接收的影響。

向用戶傳輸最佳訊號這個問題在行動通訊系統（4G、5G）以及 Wi-Fi 中得到了解決。 意義很簡單：借助用戶回饋頻道中的特殊導頻訊號，評估通訊頻道的空間特性，並在此基礎上選擇最適合傳輸的加權係數向量。

資料流的空間復用自適應天線陣列允許同時以相同頻率向多個用戶傳輸數據，為每個用戶形成單獨的模式。 這項技術稱為 MU-MIMO，目前正在通訊系統中積極實施（並且已經在某處實施）。 例如，在4G LTE行動通訊標準、IEEE802.11ay Wi-Fi標準和5G行動通訊標準中提供了空間復用的可能性。

雷達虛擬天線陣列數位天線陣列可以使用多個發射天線元件形成尺寸明顯更大的虛擬天線陣列以進行訊號處理。 虛擬網格具有真實網格的所有特徵，但實現所需的硬體較少。

輻射源參數估計自適應天線陣列可以解決估計數量、功率、 角座標 無線電發射源，在不同源的訊號之間建立統計聯繫。 在這方面，自適應天線陣列的主要優點是能夠超分辨附近的輻射源。 源之間的角距離小於天線陣列輻射方向圖主瓣的寬度（瑞利分辨率極限）。 這主要歸功於訊號的向量表示、眾所周知的訊號模型以及線性數學裝置。

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來源： www.habr.com

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