我是怎麼得到這本書的？
2017 年 XNUMX 月，我收到了一封來自我以前的高中老師喬治·魯特 (George Rutter) 的電子郵件，他在郵件中寫道：“我有一本狄拉克的德文巨著（Die Prinzipien der Quantenmechanik），它屬於阿蘭·圖靈，在讀了你的書之後 ，在我看來不言而喻，你正是需要它的人」 他向我解釋說，他從我的另一位（當時已故的）學校老師那裡收到了這本書 ，我知道他是艾倫圖靈的朋友。 喬治以這樣一句話結束了他的信：「如果你想要這本書，下次來英國時我可以給你“。
幾年後，在 2019 年 1900 月，我實際上到達了英國，之後我安排在牛津的一家小酒店與喬治見面共進早餐。 我們邊吃邊聊，等待食物上桌。 然後是討論這本書的好時機。 喬治把手伸進公事包，拿出一本設計相當樸素、典型的 XNUMX 世紀 XNUMX 年代中期學術著作。
我打開封面，想知道背面是否寫著：「阿蘭·圖靈的財產” 或類似的東西。 但不幸的是，事實並非如此。 然而，它還附有諾曼·勞特利奇 (Norman Routledge) 於 2002 年寫給喬治·魯特 (George Rutter) 的頗具表現力的四頁紙條。
當我還是學生時我就認識諾曼·拉特利奇 в 1970世紀XNUMX年代初。 他是一位數學老師，綽號「瘋子諾曼」。 他在各方面都是一位令人愉快的老師，講了無數關於數學和其他各種有趣的事情的故事。 他負責確保學校收到一台計算機（使用辦公桌寬的打孔膠帶進行編程） - 它是 .
當時，我對諾曼的背景一無所知（記住，那是在網路出現之前很久）。 我只知道他是「拉特利奇博士」。 他經常講劍橋人的故事，但他在故事中從未提到艾倫·圖靈。 當然，圖靈還不是很有名（儘管事實證明，我已經從認識他的人那裡聽說過他） （第二次世界大戰期間加密中心所在的豪宅））。
阿蘭圖靈直到 1981 年才成名，當時我第一次 ，儘管仍然在元胞自動機的背景下，而不是 .
突然有一天，在圖書館翻閱卡片目錄時 ，我偶然發現一本書 ，由他的母親莎拉·圖靈撰寫。 這本書包含大量訊息，包括有關圖靈未發表的生物學科學著作的資訊。 然而，我對他與諾曼·勞特利奇的關係一無所知，因為書中沒有提到他（儘管，據我所知，莎拉·圖靈 ，諾曼甚至最後寫了 ).
十年後，對圖靈和他的（當時未發表）非常好奇 ，我訪問過 в 。 很快，在熟悉了他們對圖靈工作的了解並花了一些時間之後，我想我不妨也要求看看他的私人信件。 在翻閱的過程中我發現 從阿蘭·圖靈到諾曼·勞特利奇。
到時候就已經出版了 安德魯·霍奇斯（Andrew Hodges）為確保圖靈最終成名做了很多工作，它證實了艾倫·圖靈和諾曼·勞特利奇確實是朋友，並且圖靈是諾曼的科學顧問。 我想向勞特利奇打聽有關圖靈的事情，但那時諾曼已經退休，過著與世隔絕的生活。 然而，當我完成這本書的工作時“「 2002 年（在我隱居十年之後），我找到了他，並給他寄了一本這本書，標題是「致我最後一位數學老師」。 然後他和我 ，2005年我回到英國，並安排在倫敦市中心的豪華飯店與諾曼喝茶。
我們聊了很多事情，包括艾倫·圖靈。 諾曼在我們的談話開始時告訴我們，他實際上在 50 年前就了解圖靈，但大多是膚淺的了解。 但他仍然有一些關於他個人的事情要講：“他不善交際“。 “他咯咯地笑了很多“。 “他無法真正與非數學家交談“。 “他總是害怕讓母親不高興“。 “他白天出去跑了一場馬拉松“。 “他並沒有太大的野心」 然後談話轉向諾曼的性格。 他說，儘管已經退休16年，他仍然為““所以，用他的話來說，”在前往下一個世界之前完成所有的科學工作”，他微笑著補充道，“所有的數學真理一定會被揭曉」 茶會結束後，諾曼穿上皮夾克，走向他的輕便摩托車，完全沒有註意到 在那一天。
那是我最後一次見到諾曼；他於 2013 年去世。
六年後，我和喬治·魯特一起吃早餐。 我隨身帶著一張拉特利奇寫於 2002 年的便條，用他獨特的筆跡寫下：
首先我瀏覽了一下筆記。 她一如既往地表情豐富：
我從艾倫·圖靈的朋友兼遺囑執行人那裡收到了他的書 （在國王學院，從死去的傢伙的收藏中贈送書籍是當時的慣例，我選擇了一本詩集 從書本上 作為一份合適的禮物（他是一名院長，[1956 年] 從教堂跳下）…
後來他在一篇簡短的筆記中寫道：
你問這本書應該到哪裡結束——在我看來，它應該送給那些欣賞與圖靈工作相關的一切的人，所以它的命運取決於你。
史蒂芬·沃爾夫勒姆給我寄了他令人印象深刻的書，但我沒有深入研究它...
最後，他祝賀喬治·魯特（George Rutter）有勇氣在退休後搬到（事實證明是暫時的）澳大利亞，並說他自己“會考慮搬到斯里蘭卡作為一個廉價而蓮花般的存在的例子”，但補充說“目前在那裡發生的事件表明他不應該這樣做」（顯然意思是 在斯里蘭卡）。
那麼這本書的深處到底隱藏著什麼呢？
那麼我對曾經屬於艾倫·圖靈的保羅·狄拉克寫的德文書做了什麼？ 我不懂德語，但我讀過 1970 世紀 XNUMX 年代的英文（這是其原始語言）版本。 然而，有一天吃早餐時，我似乎應該一頁一頁地仔細閱讀這本書。 畢竟，這是處理古籍時的常見做法。
應該指出的是，狄拉克演講的優雅給我留下了深刻的印象。 這本書出版於 1931 年，但其純粹的形式主義（是的，儘管有語言障礙，我還是能讀懂書中的數學）與今天寫的幾乎一樣。 （我不想在這裡過度強調狄拉克，但是我的朋友 告訴我，至少在他看來，狄拉克的闡述是單音節的。 諾曼·拉特利奇告訴我，他是劍橋大學的朋友 ，他成為了一名圖論學家。 諾曼經常拜訪狄拉克的家，並說這位「偉人」有時會親自消失在背景中，而第一個總是充滿數學難題。 不幸的是，我自己從未見過保羅·狄拉克（Paul Dirac），儘管有人告訴我，在他最終離開劍橋前往佛羅裡達之後，他失去了很多早期的強硬並成為一個相當善於交際的人）。
但讓我們回到狄拉克的書，它屬於圖靈。 在第 9 頁上，我注意到頁邊空白處有用鉛筆寫的底線和小註釋。 我繼續翻著書頁。 讀了幾章之後，筆記就消失了。 但突然，我發現第 127 頁附有一張紙條，上面寫著：
它是用標準德語手寫體用德語寫成的。 看起來她可能與 。 我想在圖靈之前可能有人擁有這本書，這一定是那個人寫的筆記。
我繼續翻閱這本書。 沒有筆記。 我以為我找不到別的東西了。 但後來，在第 231 頁，我發現了一個品牌書籤 - 上面印有文字：
我最終會發現其他什麼嗎？ 我繼續翻閱這本書。 然後，在書的最後，第 259 頁，在相對論電子理論部分，我發現了以下內容：
我展開這張紙：
我立刻意識到那是什麼 夾雜 ，但這片葉子是怎麼到這裡的呢？ 讓我們回想一下，這本書是一本關於量子力學的書，但隨附的傳單涉及數學邏輯，或現在所謂的計算理論。 這是圖靈著作的典型。 我想知道這個筆記是圖靈親自寫的嗎？
即使在吃早餐的時候，我也在網上搜索了圖靈筆蹟的例子，但沒有找到計算形式的例子，所以我無法得出關於筆蹟的確切身份的結論。 很快我們就不得不走了。 我小心翼翼地把這本書打包帶走，準備揭開它是哪一頁、是誰寫的之謎。
關於本書
首先，我們來討論一下這本書本身。 」» 狄拉克的領域於 1930 年以英文出版，並很快被翻譯成德文。 （狄拉克的序言日期為 29 年 1930 月 XNUMX 日；它屬於譯者 - - 15 年 1930 月 XNUMX 日。）這本書成為量子力學發展的里程碑，系統地建立了執行計算的清晰形式主義，並解釋了狄拉克的預測 ，將於 1932 年開放。
為什麼阿蘭圖靈有一本德文版而不是英文版的書？ 我不確定這一點，但當時德語是科學的主要語言，我們知道艾倫圖靈可以讀懂它。 （畢竟，以他著名的名義 工作 « （Entscheidungsproblem）」是一個非常長的德語單字 - 在文章的主要部分中，他以「德語字母」的形式使用相當晦澀的哥德符號，而不是希臘符號）。
這本書是阿蘭圖靈自己買的還是別人送給他的？ 我不知道。 圖靈書的內封面上有一個鉛筆符號“20/-”，這是“20 先令”的標準符號，類似於 1 英鎊。 右頁有一個被刪除的“26.9.30”，大概是指 26 年 1930 月 20 日，也可能是這本書首次購買的日期。 然後，最右邊是被刪除的數字「XNUMX」。 也許又是價格了。 （這可能是價格 ，假設這本書在德國銷售？ 那時候，1德國馬克大約值1先令，例如德國的價格可能會寫成“RM20”。）最後，在封底內側有“c 5/-”——也許是這個，（有一個大的）折扣）舊書的價格。
讓我們來看看艾倫圖靈一生中的主要日期。 艾倫圖靈 （巧合的是，剛好是76年前 ）。 1931年秋，他進入劍橋大學國王學院。 1934年，經過三年標準學習後，他獲得了學士學位。
在 1920 年代和 1930 年代初期，量子力學是一個熱門話題，阿蘭·圖靈當然對此很感興趣。 從他的檔案中我們知道，1932年，該書一出版，他就收到了“» 約翰·馮·諾依曼（關於 ）。 我們也知道，1935 年圖靈接到了一位劍橋物理學家的任務 主題是研究量子力學。 （福勒建議計算 ，這其實是一個非常複雜的問題，需要用相互作用的量子場論進行全面分析，目前還沒有完全解決）。
然而，圖靈何時以及如何獲得狄拉克的書呢？ 鑑於這本書有標價，圖靈可能是二手買的。 這本書的第一位主人是誰？ 書中的註釋似乎主要涉及邏輯結構，指出某些邏輯關係應該被視為公理。 那麼127頁的註解呢？
好吧，也許這是一個巧合，但就在第 127 頁 - 狄拉克談論量子 並奠定基礎 ——這是所有現代量子形式主義的基礎。 註釋包含什麼內容？ 它包含方程式 14 的擴展，該方程式是量子振幅隨時間演化的方程式。 該註釋的作者將振幅的狄拉克 A 替換為 ρ，這或許反映了早期的（流體密度類比）德國表示法。 然後作者嘗試透過 ℏ (，除以 2π，有時稱為 ).
但從頁面上似乎沒有太多有用的信息可以收集。 如果你將頁面放在燈光下，它會包含一個小驚喜 - 一個水印，上面寫著「Z f. 物理學。 化學。 乙”：
這是縮短版 - 德國物理化學雜誌，1928 年開始出版。 也許這張便條是由雜誌編輯寫的？ 這是 1933 年的雜誌標題。 方便的是，編輯器按地點列出，其中一個很突出：「伯恩劍橋」。
就是這樣 作者是誰 以及更多量子力學理論（以及歌手的祖父 ）。 那麼，這張紙條可能是馬克斯玻恩寫的呢？ 但不幸的是，事實並非如此，因為筆跡不符。
第 231 頁的書籤怎麼樣？ 這是從兩邊看的：
書籤很奇怪，也很漂亮。 但它是什麼時候製作的呢？ 在劍橋有 ，儘管它現在是布萊克威爾的一部分。 70 多年來（直到 1970 年），赫弗斯一直位於這個地址，如書籤所示： и .
此選項卡包含一個重要的按鍵 - 這是電話號碼“Tel”。 862”。 碰巧的是，1939 年，劍橋的大部分地區（包括赫弗斯）都改用了四位數字，當然到了 1940 年，書籤上都印上了「現代」電話號碼。 （英文電話號碼逐漸變長；當我在 1960 世紀 56186 年代在英國長大時，我們的電話號碼是“Oxford 2378”和“Kidmore End XNUMX”。我記得這些號碼的部分原因是，儘管現在很奇怪看起來我並不總是在接聽來電時撥打我的號碼）。
書籤一直以這種形式印刷，直到 1939 年。 但那之前還有多久呢？ 網路上有許多 Heffers 舊廣告的掃描，至少可以追溯到 1912 年（連同「我們要求您滿足您的要求…」），他們透過增加「（862 行）」來完成「電話 2」。 還有一些具有類似設計的書籤可以在早在 1904 年的書籍中找到（儘管尚不清楚它們是否是這些書籍的原創（即同時印刷）。出於我們調查的目的，我們似乎可以得出結論，這本書來自Heffer's（順便說一句，這是劍橋的主要書店）1930 年至1939 年間的某個時間。
Lambda 演算頁面
現在我們知道了這本書的購買時間。 但是「lambda 演算頁」呢？ 這是什麼時候寫的？ 嗯，很自然，到那時 lambda 演算應該已經被發明了。 一切都完成了 ，數學家來自 ，其最初形式於 1932 年，其最終形式於 1935 年。 （以前的科學家也有工作，但他們沒有使用符號 λ）。
阿蘭圖靈和 lambda 演算之間存在著複雜的關聯。 1935年，圖靈對數學運算的「機械化」產生了興趣，並發明了圖靈機的想法，用它來解決基礎數學問題。 圖靈向一家法國雜誌發送了一篇關於這個主題的文章（），但在郵寄過程中遺失了； 結果發現，他寄給他的收件人並不在那裡，因為他已經搬到中國了。
但在 1936 年 XNUMX 月，在圖靈將他的論文送到其他地方之前， 。 圖靈此前曾抱怨說，當他在 1934 年提出證明時 ，然後我發現有一位挪威數學家已經 1922年。
不難看出圖靈機和 lambda 演算在它們可以表示的計算類型上實際上是等價的（這是一個開始 ）。 然而，圖靈（和他的老師 ）確信圖靈的方法夠不同，值得單獨出版。 1936 年 XNUMX 月（並於次月更正拼字錯誤） 圖靈著名論文發表 .
稍微填一下時間線：從 1936 年 1938 月到 1937 年 XNUMX 月（XNUMX 年夏天有三個月的休息時間），圖靈在普林斯頓，目標是成為阿朗佐·丘奇的研究生。 在普林斯頓大學期間，圖靈顯然完全專注於數理邏輯，寫了幾本 ， - 而且，他很可能沒有帶一本關於量子力學的書。
圖靈於 1938 年 XNUMX 月返回劍橋，但到當年 XNUMX 月，他在劍橋大學兼職 一年後，他搬到布萊切利公園，目標是在那裡全職研究與密碼分析相關的問題。 1945年戰爭結束後，圖靈搬到倫敦，為 開發一個專案來創建 。 1947-8 學年，他在劍橋度過，但隨後搬到曼徹斯特發展 .
1951年，圖靈開始認真研究 。 （對我個人來說，這個事實有點諷刺，因為在我看來，圖靈總是下意識地認為生物系統應該用微分方程建模，而不是像圖靈機或細胞自動機這樣離散的東西）。 他也將興趣重新轉向物理學，到 1954 年甚至 ， 什麼： ”我試圖發明一種新的量子力學」（儘管他補充說：“但事實上這並不是一個事實”）。 但不幸的是，一切在7年1954月XNUMX日戛然而止，圖靈突然去世。 （我猜這不是自殺，但那是另一個故事了。）
那麼讓我們回到 lambda 演算頁。 讓我們把它拿到燈光下再看看水印：
它似乎是一張英國製造的紙，在我看來它不太可能在普林斯頓大學使用。 但我們能準確地確定它的年代嗎？ 好吧，並非沒有一些幫助 ，我們知道紙張的官方製造商是 Spalding & Hodge, Papermakers, Drury House Wholesale and Export Company, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, London。 這可能對我們有幫助，但幫助不大，因為可以假設他們的 Excelsior 品牌紙張似乎已包含在 1890 年代至 1954 年的供應目錄中。
這個頁面說了什麼？
那麼，讓我們仔細看看這張紙的兩面都有什麼。 讓我們從 lambda 開始。
這裡有一個方法來確定 ，它們是數理邏輯中的基本概念，現在也出現在函數式程式設計中。 這些函數在語言中很常見 ，他們的任務很容易解釋。 例如，有人寫 f[x] 表示一個函數 f，應用於參數 x。 並且有很多命名函數 f 如 或 或 。 但如果有人想要怎麼辦 f[x] 曾是 2x +1？ 該函數沒有直接的名稱。 但是有另一種形式的分配嗎？ f[x]?
答案是肯定的：相反 f 我們正在寫 Function[a,2a+1]。 用 Wolfram 語言 Function [a,2a+1][x] 將函數應用於參數 x，產生 2x+1. Function[a,2a+1] 是一個「純」或「匿名」函數，表示乘以 2 加 1 的純運算。
所以，lambda 演算中的 λ 就是一個精確的模擬 在 Wolfram 語言中 - 因此，例如 λa.(2a+1) 相等的 Function[a, 2a + 1]。 （值得注意的是，一個函數，例如， Function[b,2b+1] 相等的; “綁定變數” a 或 b 只是函數參數替換 - 在 Wolfram 語言中，可以透過使用替代的純函數定義來避免它們 (2# +1)&).
在傳統數學中，函數通常被認為是表示輸入（例如，也是整數）和輸出（例如，也是整數）的物件。 但這是什麼樣的物體呢？ （或λ）？ 本質上，它是一個結構運算符，它接受表達式並將其轉換為函數。 就傳統數學和數學符號而言，這似乎有點奇怪，但如果需要進行任意符號操作，那就更自然了，即使一開始看起來有點抽象。 （需要注意的是，當使用者學習 Wolfram 語言時，當他們了解了 ).
Lambda 只是頁面上顯示內容的一部分。 還有一個更抽象的概念──這個 。 考慮相當晦澀的字串 PI1IIx？ 這意味著什麼？ 本質上，這是一個組合器序列，或是符號函數的某種抽象組合。
通常的函數疊加，在數學中非常常見，可以用 Wolfram 語言寫成： f[g[x]] - 意思是“應用” f 至申請結果 g к x」 但括號真的有必要嗎？ 用 Wolfram 語言 f@g@ x - 另一種錄音形式。 在這篇文章中，我們依賴 Wolfram 語言中的定義：@ 運算子與右側相關聯，因此 f@g@x 相等的 f@(g@x).
但錄音意味著什麼？ (f@g)@x？ 這相當於 f[g][x]。 而如果 f и g 如果是數學中的普通函數，那就沒有意義了，但是如果 f - ，然後 f[g] 本身可能是一個可以很好地應用於 x.
請注意，這裡仍然存在一些複雜性。 在 f[х] - f 是一個參數的函數。 和 f[х] 相當於寫作 Function[a, f[a]][x]。 但是如果一個函數有兩個參數呢？ f[x,y]？ 這可以寫成 Function[{a,b},f[a, b]][x, y]。 但如果 Function[{a},f[a,b]]？ 這是什麼？ 這裡有一個“自由變數” b，它只是傳遞給函數。 Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] 將綁定這個變量，然後 Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] дает f[x,y] 再次。 （指定一個函數使其具有一個參數稱為“柯里化”，以紀念邏輯學家 ).
如果存在自由變量，那麼如何定義函數就會有許多不同的複雜性，但如果我們將自己限制在物件上 或 λ，沒有自由變量，那麼它們基本上可以自由指定。 這樣的物件稱為組合器。
組合器有著悠久的歷史。 據了解，它們是在 1920 年由一名學生首次提出的。 - .
當時直到最近才發現不需要用這些表達方式 , и 表示標準命題邏輯中的表達式：使用單一運算子就足夠了，我們現在稱之為 （因為，例如，如果你寫 作為 · 那麼 Or[a,b] 將採取形式 ）。 Schoenfinkel 希望找到謂詞邏輯（或本質上包含函數的邏輯）的相同最小表示。
他提出了兩個「組合器」S 和 K。在 Wolfram 語言中，這將寫為
K[x_][y_] → x 和 S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]]。
值得注意的是，事實證明可以使用這兩個組合器來執行任何計算。 例如，
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
可以用作將兩個整數相加的函數。
至少可以說，這些都是相當抽象的對象，但現在我們了解了圖靈機和 lambda 演算是什麼，我們可以看到舍恩芬克爾組合器實際上預見了通用計算的概念。 （更值得注意的是 1920 年 S 和 K 的定義非常簡單，讓人想起 ，我在 1990 世紀 XNUMX 年代提出，其多功能性是 ).
但讓我們回到我們的葉子和線條 PI1IIx。 這裡寫的符號是組合符，它們都是為了指定一個函數而設計的。 這裡的定義是函數的疊加必須是左邊結合的，因此 福格克斯 不應解釋為 f@g@x 或 f@(g@x) 或 f[g[x]]，而應解釋為 (f@g)@x 或 f[g][x]。 讓我們將此條目翻譯成方便 Wolfram 語言使用的形式： PI1IIx 將採取形式 p[i][一][i][i][x].
為什麼要寫這樣的東西？ 為了解釋這一點，我們需要討論教堂數字（以阿隆佐教堂命名）的概念。 假設我們只是使用符號和 lambda 或組合器。 有沒有辦法使用它們來指定整數？
我們就說這個數字怎麼樣？ n 對應於 Function[x, Nest[f,x,n]]？ 或者，換句話說，（用更簡短的表示法）：
1 是 f[#]&
2 是 f[f[#]]&
3 是 f[f[f[#]]]& 等。
這可能看起來有點晦澀難懂，但它有趣的原因是它允許我們使一切完全象徵性和抽象，而不必明確談論整數之類的東西。
透過這種指定數字的方法，想像一下，例如，將兩個數字相加：3 可以表示為 f[f[f[#]]]& 2 是 f[f[#]]&。 您只需將其中一個應用到另一個即可將它們相加：
但對像是什麼？ f？ 它可以是任何東西！ 從某種意義上說，一直「轉到 lambda」並使用採用以下函數的函數表示數字 f 作為一個論點。 換句話說，我們將 3 表示為 Function[f,f[f[f[#]]] &] 或 Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]。 （何時以及如何命名變數是 lambda 演算中的難題）。
考慮圖靈 1937 年論文的片段 ，它按照我們剛才討論的方式設定物件：
這是錄音可能會有點混亂的地方。 x 圖靈是我們的 f， 和他的 X' （打字員犯了一個錯誤，插入了一個空格） - 這是我們的 x。 但這裡使用了完全相同的方法。
讓我們看看紙張正面折疊後的那條線。 這 I1IIYI1IIx。 根據 Wolfram 語言符號，這將是 i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]。 但這裡 i 是恆等函數，所以 i[one] 它只是顯示 為前線醫護人員打氣，送上由衷的敬意。讓你在送禮的同時，也為香港盡一分力。. 同時， 為前線醫護人員打氣，送上由衷的敬意。讓你在送禮的同時，也為香港盡一分力。 是 Church 的數字表示形式 1 或 Function[f,f[#]&]。 但有了這個定義 one[а] 正在成長 a[#]& и one[a][b] 正在成長 a[b]。 （順便一提， i[а][b]或 Identity[а][b] 也是 а[b]).
如果我們把替換規則寫下來就更清楚了 i и 為前線醫護人員打氣，送上由衷的敬意。讓你在送禮的同時，也為香港盡一分力。，而不是直接應用 lambda 演算。 結果是一樣的。 明確應用這些規則，我們得到：
這與第一個縮寫條目中的內容完全相同：
現在讓我們再看看葉子的頂部：
這裡有一些相當令人困惑和令人困惑的物件“E”和“D”，但我們指的是“P”和“Q”，因此我們可以寫出表達式並對其求值（請注意，這裡- 在與最後一個符號 - “神秘科學家”用 [...] 和 (...) 來代表函數的應用）：
這是顯示的第一個縮寫。 要了解更多信息，讓我們插入 Q 的定義：
我們得到如下所示的精確減少。 如果我們用表達式取代 P 會發生什麼事？
結果如下：
現在，利用 i 是一個輸出參數本身的函數這一事實，我們得到：
哎呀！ 但這不是下一個錄製的台詞。 這裡有錯誤嗎？ 不清楚。 因為，畢竟，與大多數其他情況不同，沒有箭頭指示下一行是上一行的後面。
這裡有一點神秘，但讓我們繼續看看表格的底部：
這裡 2 是 Church 編號，例如由模式決定 two[a_] [b_] → a[a[b]]。 請注意，如果 a 被認為是，這實際上是第二行的形式 Function[r,r[р]] и b 作為 q。 所以我們預計計算結果如下：
然而裡面的表達 а[b] 可以寫成x（可能和之前紙上寫的x不同）－最終我們得到最終的結果：
因此，我們幾乎無法解讀這張紙上發生的事情，但至少仍然存在一個謎團：Y 應該是什麼。
事實上，在組合邏輯中，有一個標準的 Y 組合器：所謂的 。 形式上，它的定義是 Y[f] 必須相等 f[是[f]]，或者換句話說，Y[f] 在應用 f 時不會改變，因此它是一個不動點 f。 （組合器 Y 與 #0 在 Wolfram 語中。）
目前，Y-combinator 已因以下原因而聞名 ，如此命名 （已經是粉絲很久了 и 並基於這種語言實現了第一個網路商店）。 他曾經親口告訴我“沒有人明白 Y 組合器是什麼」 （應該指出的是，Y Combinator 正是讓公司避免定點交易的原因...）
Y組合器（作為定點組合器）已被發明多次。 圖靈實際上在 1937 年提出了它的實現，他稱之為 θ。 但是我們頁面上的字母“Y”是著名的定點組合器嗎？ 也許不是。 那我們的「Y」是什麼？ 考慮這個縮寫：
但這一訊息顯然不足以明確地確定 Y 是什麼。很明顯，Y 不僅與一個參數一起運行；而且還與一個參數一起運行。 似乎至少涉及兩個參數，但不清楚（至少對我來說）它需要多少個參數作為輸入以及它的作用。
最後，雖然我們可以理解這篇論文的許多部分，但我們必須說，在全球範圍內，尚不清楚它做了什麼。 儘管這裡的工作表上涉及許多解釋，但 lambda 演算和使用組合器都是非常基本的。
據推測，這是創建一個簡單的「程序」的嘗試 - 使用 lambda 演算和組合器來做某事。 但是，儘管這是逆向工程的典型特徵，但我們很難說出「某物」應該是什麼以及總體「可解釋」的目標是什麼。
表上還有一個值得在此評論的功能 - 使用不同類型的括號。 傳統數學大多使用括號來表示所有內容 - 以及函數應用（如 F（X））和成員分組（如 (1+x) (1-x)，或者，不太明顯的是， a(1-x)）。 （在 Wolfram 語言中，我們將括號的不同用法分開－在方括號中定義函數 f [x] - 且括號僅用於分組）。
當 lambda 演算首次出現時，有許多關於括號使用的問題。 艾倫·圖靈後來寫了一部完整的（未出版的）作品，題為”，但早在 1937 年，他就覺得自己需要描述 lambda 演算的現代（相當老套）定義（順便說一句，它是由於 Church 的出現而出現的）。
他說過 f， 應用於 g, 應寫成 {f}（克）， 要是 f 不是唯一的字符，在這種情況下它可能是 f(克)。 然後他說 lambda（如 Function[a, b]) 應該寫成 λ a[b] 或 λ a.b.
然而，也許到了 1940 年，使用 {...} 和 [...] 來表示不同物件的整個想法已經被放棄，很大程度上支持標準數學風格的括號。
看一下頁面頂部：
這種形式很難理解。 在 Church 的定義中，方括號用於分組，用開括號代替句點。 使用此定義，可以清楚地看到末尾括號中的 Q（最終標記為 D）是整個初始 lambda 所適用的內容。
這裡的方括號其實並不界定 lambda 的主體；而是相反，它實際上代表了該函數的另一種用法，並且沒有明確指示 lambda 主體在哪裡結束。 最後，您可以看到「神秘科學家」將右方括號更改為圓括號，從而有效地應用了 Church 的定義，從而導致表達式的計算結果如表中所示。
那麼這個小片段到底代表什麼呢？ 我認為這表明該頁面是在 1930 世紀 XNUMX 年代或不久之後編寫的，因為當時括號的約定尚未確定。
那麼這到底是誰的筆跡呢？
所以，在此之前我們討論了頁面上寫的內容。 但到底是誰寫的呢？
這個角色最明顯的候選人是艾倫·圖靈本人，因為畢竟，該頁面在他的書中。 就內容而言，似乎沒有什麼與艾倫·圖靈能夠寫出它的想法不相容——即使當他在 1936 年初收到丘奇的論文後第一次接觸 lambda 演算時也是如此。
手寫呢？ 它屬於艾倫圖靈嗎？ 讓我們來看一些現存的例子，我們確信這些例子是由艾倫‧圖靈寫的：
所呈現的文本顯然看起來非常不同，但是文本中使用的符號又如何呢？ 至少，在我看來，它看起來並不那麼明顯- 人們可以假設任何差異可能正是由於現有樣本（在檔案中提供）被寫入這一事實而引起的，可以這麼說，“從表面上看， 」而我們的頁面恰恰反映了思想工作。
事實證明，圖靈的檔案中包含他寫過的一頁，這對我們的調查很方便 ，表示法所必需的。 當逐個字母比較這些符號時，它們看起來與我非常相似（這些註釋是在 圖靈讀書時 ，因此標籤為“葉面積”）：
我想進一步探索這個問題，所以我發送了樣品 ，一位專業的筆跡專家（以及基於筆蹟的問題的作者），我有幸見過他一次- 只需將我們的論文作為“樣本'A'”並將圖靈筆蹟的現有樣本作為“樣本' B'」。 她的回答是最終的、否定的：「寫作風格完全不同。 就性格而言，樣本「B」作者比樣本「A」作者有更快、更直覺的思考方式。“。
我還沒有完全相信，但我決定是時候考慮其他選擇了。
那麼，如果事實證明這不是圖靈寫的，那又是誰寫的呢？ 諾曼·勞特利奇告訴我，他從圖靈的遺囑執行人羅賓·甘迪那裡收到了這本書。 所以我發送了甘地的“樣本“C””：
但 Sheila 的初步結論是，這三個樣本可能是由三個不同的人編寫的，並再次指出樣本“B”來自“最快的思考者－可能最願意尋找不尋常的問題解決方案的人」 （考慮到每個人都對圖靈 1920 年代學校作業中的筆跡有多少抱怨，現代筆跡專家會對圖靈的筆跡做出這樣的評估，這讓我感到耳目一新。）
好吧，至此，圖靈和甘地似乎都被排除在「嫌疑犯」之外了。 那麼這是誰寫的呢？ 我開始思考圖靈可能把他的書借給了哪些人。 當然，他們也必須能夠使用 lambda 演算進行計算。
考慮到紙上的水印，我認為這個人一定來自劍橋，或至少是英國。 我把 1936 年左右是寫這篇文章的好時機當作一個可行的假設。 那麼圖靈當時認識並與誰交流呢？ 我們獲得了這段時間國王學院數學系所有學生和教師的名單。 （有 13 位已知學生曾在 1930 年至 1936 年間學習。）
其中，最有前途的候選人似乎 。 他和他的老朋友圖靈同齡，而且他對基礎數學也很感興趣——1933年他甚至發表了一篇關於我們現在所說的數學的論文 ：0.12345678910111213…（透過獲得 1, 2, 3, 4,…, 8, 9, 10, 11, 12,…, 以及極少數的數字之一 從某種意義上說，每個可能的數字區塊以相同的機率出現）。
1937年，他甚至使用狄拉克書中提到的狄拉克伽瑪矩陣來解決 。 （碰巧的是，幾年後我成為伽瑪矩陣計算的忠實粉絲）。
開始學習數學後，錢珀諾恩受到了 （也在國王學院）並最終成為傑出的經濟學家，特別是在收入不平等問題上進行研究。 （不過，1948年他還與圖靈合作創建了 - 一個國際象棋程序，實際上成為世界上第一個在電腦上實現的程式）。
但我可以在哪裡找到錢珀諾恩的筆跡樣本呢？ 我很快就在 LinkedIn 上找到了他的兒子 Arthur Champernowne，奇怪的是，他擁有數理邏輯學位並在微軟工作。 他說他的父親和他談了很多關於圖靈的工作，儘管他沒有提到組合器。 他寄了一份他父親的筆跡樣本給我（一段關於演算法音樂創作的片段）：
您可以立即看出筆跡不符（Chambernowne 筆跡中字母 f 的捲曲和尾部等）
那還能是誰呢？ 我一直很欣賞 ，在很多方面都是艾倫·圖靈的導師。 紐曼首先對圖靈感興趣”數學機械化「是他的老朋友，幾年後成為他在曼徹斯特一個電腦專案的老闆。 （儘管紐曼對計算感興趣，但他似乎總是將自己主要視為拓撲學家，儘管他的結論得到了他得出的錯誤證明的支持 ).
找到紐曼筆蹟的樣本並不困難——而且，不，筆跡絕對不匹配。
書的“蹤跡”
所以，辨識筆跡的想法失敗了。 我決定下一步要嘗試更詳細地追蹤我手中的這本書到底發生了什麼事。
首先，諾曼·拉特利奇的長篇故事是什麼？ 1946 年，他就讀於劍橋國王學院並遇到了圖靈（是的，他們都是同性戀）。 1949 年他大學畢業，然後開始在圖靈的指導下撰寫博士論文。 他於 1954 年獲得博士學位，研究方向為數理邏輯和遞歸理論。 他獲得了國王學院的個人獎學金，並於 1957 年成為該學院數學系主任。 他本來可以一輩子都這樣做，但他有廣泛的興趣（音樂、藝術、建築、娛樂數學、家譜等）。 1960年，他改變了自己的學術方向，成為伊頓公學的一名教師，一代又一代的學生（包括我自己）在那裡工作（和學習），並接觸到他不拘一格、有時甚至是奇怪的知識。
這神秘的一頁會是諾曼勞特利奇本人寫的嗎？ 他知道 lambda 演算（不過，巧合的是，他在 2005 年我們喝茶時提到了它，但他總是覺得它「令人困惑」）。 然而，他獨特的筆跡立即排除了他可能是「神秘科學家」的可能性。
該頁面是否與諾曼的一名學生有某種聯繫，也許是他還在劍橋時就開始的？ 我懷疑。 因為我認為諾曼從未研究過 lambda 演算或類似的東西。 在寫這篇文章時，我發現 Norman 在 1955 年寫了一篇關於在「電子計算機」上創建邏輯（以及創建合取範式，就像內建函數現在所做的那樣）的論文 ）。 當我認識諾曼時，他對為真實計算機編寫實用程式非常感興趣（他的首字母縮寫是“NAR”，他稱他的程式為“NAR...”，例如“NARLAB”，一個使用打孔建立文字標籤的程式孔「圖案」「在紙帶上」）。 但他從未談論過計算的理論模型。
讓我們更仔細地閱讀書中諾曼的註釋。 我們首先註意到的是他談論“提供死者圖書館的書籍」 從措辭來看，這一切似乎是在圖靈去世後很快發生的，這表明諾曼在 1954 年圖靈去世後不久就收到了這本書，而甘地已經錯過了相當長的一段時間。 諾曼接著說，他實際上收到了四本書，兩本關於純數學，兩本關於理論物理學。
然後他說他給了“另一個來自一本物理書（有點， )'“致塞巴格‧蒙蒂菲奧裡 (Sebag Montefiore)，一位令人愉快的年輕人，您可能還記得他 [喬治‧魯特 (George Rutter)]」 好吧，那他是誰？ 我翻出了我很少使用的會員列表 。 （我必須報告，當我打開它時，我不禁注意到它自 1902 年以來的規則，其中第一條，在“會員權利”標題下，聽起來很有趣：“穿著協會顏色的衣服“）。
應該補充的是，如果不是伊頓公學朋友的敦促，我可能永遠不會加入這個協會，也不會收到這本書。 他從 12 歲起就一直計劃有一天成為首相，但不幸在 21 歲時去世）。
但無論如何，名單中姓塞巴格-蒙蒂菲奧裡的人只有五個，研究日期也很廣泛。 不難理解，適合 。 事實證明，布萊奇利公園的世界很小，他的家族在 1938 年將其出售給英國政府之前就擁有它。 2000 年，Sebag-Montefiore 寫道 - 這很可能是 2002 年諾曼決定將圖靈擁有的書送給他的原因。
好吧，諾曼從圖靈那裡得到的其他書呢？ 由於沒有其他方法可以了解他們發生了什麼事，我訂購了一份諾曼的遺囑副本。 遺囑的最後一條顯然是諾曼的風格：
遺囑規定諾曼的書應留在國王學院。 儘管他的完整藏書似乎無處可尋，但圖靈在筆記中提到的兩本關於純數學的書現在已正式存檔在國王學院圖書館。
下一個問題： 圖靈的其他書怎麼了？ 我看了圖靈的遺囑，結果把它們全部留給了羅賓·甘迪。
甘地是劍橋大學國王學院的數學系學生，1940 年在大學最後一年與艾倫·圖靈成為朋友。 戰爭開始時，甘地從事無線電和雷達工作，但在 1944 年，他被分配到與圖靈同一單位，從事語音加密工作。 戰後，甘地回到劍橋，很快就獲得博士學位，圖靈成為他的顧問。
他在軍隊的工作顯然使他對物理學產生了興趣，他的論文於 1952 年完成，題為 。 甘地似乎想做的也許是用數理邏輯來描述物理理論。 他談到 и ，但不是關於圖靈機。 從我們現在所知道的情況來看，我想我們可以得出這樣的結論：他完全沒有抓到重點。 確實， 自 1980 世紀 XNUMX 年代初以來，他一直主張物理過程應被視為「各種計算」——例如圖靈機或元胞自動機——而不是被推導出來的定理。 （甘地很好地討論了物理理論中涉及的類型順序，例如說“我相信任何可計算的十進制數的二進制形式的階數都小於八”）。 他說過 ”現代量子場論如此複雜的原因之一隻是因為它處理相當複雜類型的物件 - 函數的泛函...”，這最終意味著“我們很可能將最大的共同使用類型作為數學進步的衡量標準”。）
甘地在論文中多次提到圖靈，並在引言中指出他要感謝 A. M. 圖靈，他“首先讓他有點不集中的注意力集中在丘奇的微積分上」（即 lambda 演算），儘管事實上他的論文有幾個 lambda 證明。
論文答辯後，甘地轉向了更純粹的數理邏輯，三十多年來以每年一篇的速度撰寫文章，這些文章在國際數理邏輯界得到了相當成功的引用。 他於 1969 年搬到了牛津，我想我一定在年輕時見過他，儘管我對此沒有任何記憶。
甘地顯然非常崇拜圖靈，並在晚年經常談到他。 這就提出了圖靈著作全集的問題。 圖靈去世後不久，莎拉·圖靈和馬克斯·紐曼要求甘地（作為他的遺囑執行人）安排出版圖靈未出版的作品。 歲月流逝， 反映了莎拉·圖靈在這個問題上的沮喪。 但不知何故，甘地似乎從未計劃將圖靈的論文放在一起。
甘地於 1995 年去世，尚未整理完成的作品。 - 文學評論家、傳記作家 圖靈在國王學院認識的人是圖靈的文學經紀人，他最後開始了圖靈文集的創作。 最具爭議性的似乎是關於數理邏輯的書，為此他吸引了他的第一個認真的研究生羅賓·甘迪（Robin Gandy），他是一位著名的數學家。 ，他發現了寫給甘地的信，內容涉及 24 年來沒有開始創作的作品集。 （ 終於在 2001 年出現－發行 45 年後）。
但是圖靈個人擁有的書呢？ 繼續嘗試追蹤他們，我的下一站是圖靈家族，特別是圖靈兄弟最小的兒子， （他實際上是德莫特·圖靈爵士，因為他是 ，這個頭銜並不是透過圖靈家族的艾倫傳給他的）。 圖靈（Dermot Turing）（最近寫了 ）告訴我有關「圖靈的祖母」（又名莎拉·圖靈）的事情，她的房子顯然與他的家人共用一個花園入口，以及關於艾倫·圖靈的許多其他事情。 他告訴我，阿蘭圖靈的私人書籍從來沒有在他們家。
於是我回去閱讀遺囑，發現甘地的遺囑執行人是他的學生麥克耶茨。 我了解到邁克耶茨 (Mike Yates) 30 年前以教授身份退休，現在住在北威爾斯。 他說，在他研究數理邏輯和計算理論的幾十年裡，他從未真正接觸過電腦——但在他退休時終於接觸到了（而且，這發生在他發現該程式後不久） ）。 他說圖靈如此出名真是太棒了，當他在圖靈去世三年後到達曼徹斯特時，沒有人談論圖靈，甚至連馬克斯·紐曼在教授邏輯課程時也沒有人談論圖靈。 然而，甘迪後來談到他對處理圖靈的作品集感到多麼興奮，並最終將它們全部留給了麥克。
麥克對圖靈的書了解多少？ 他找到了一本圖靈的手寫筆記本，甘地沒有將其交給國王學院，因為（奇怪的是）甘地用它來掩蓋他保存的有關夢想的筆記。 （圖靈也記錄了他的夢想，這些夢想在他死後被毀掉了。）麥克說，這本筆記本最近在拍賣會上以大約 1 萬美元的價格售出。 否則他也不會想到甘地的東西裡面有圖靈的材料。
似乎我們所有的選擇都已枯竭，但麥克讓我看看那張神秘的紙。 他立即說：「這是羅賓甘迪的筆跡！» 他說這些年他見識了很多東西。 他很確定。 他說他對 lambda 演算了解不多，也無法真正閱讀該頁面，但他確信是 Robin Gandy 寫的。
我們帶著更多樣本回到我們的筆跡專家那裡，她同意，是的，那裡的內容與甘地的筆跡相符。 所以我們終於弄清楚了： 羅賓·甘迪寫了那張神祕的紙。 它不是阿蘭·圖靈寫的；而是由阿蘭·圖靈寫的。 這是他的學生羅賓甘迪寫的。
當然，有些謎團仍然存在。 據說圖靈借給了甘地這本書，但什麼時候呢？ lambda 演算符號的形式讓人感覺像是在 1930 世紀 1940 年代左右。 但根據對甘地論文的評論，他可能直到 XNUMX 世紀 XNUMX 年代末才對 lambda 演算進行任何研究。 那麼問題就出現了，為什麼甘地要寫這篇文章。 這似乎與他的論文沒有直接關係，因此可能是在他第一次嘗試計算 lambda 演算時發生的。
我懷疑我們永遠不會知道真相，但嘗試弄清楚真相確實很有趣。 在這裡，我必須說，這整個旅程極大地擴展了我對過去幾個世紀類似書籍的歷史有多麼複雜的理解，尤其是我擁有的這些書籍的歷史。 這讓我覺得我最好確保我查看了他們的所有頁面 - 只是為了看看那裡可能有趣的內容...
感謝以下人士的幫助：Jonathan Gorard（劍橋私人研究）、Dana Scott（數理邏輯）和 Matthew Szudzik（數理邏輯）。
關於翻譯史蒂芬·沃爾夫勒姆的帖子的翻譯““。
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