Hvordan fik jeg fat i denne bog?
I maj 2017 modtog jeg en e-mail fra en gammel gymnasielærer ved navn George Rutter, som skrev: "Jeg har et eksemplar af Diracs store bog på tysk (Die Prinzipien der Quantenmechanik), som tilhørte Alan Turing, og efter jeg læste din bog , det virkede indlysende for mig, at du var den person, hun havde brug for"Han forklarede mig, at han havde modtaget bogen fra en anden (på det tidspunkt afdød) skolelærer af mig. , som jeg vidste var en ven af Alan Turing. George afsluttede sit brev med sætningen: "Hvis du vil have denne bog, kan jeg give den til dig næste gang du kommer til England.'.
Et par år senere, i marts 2019, ankom jeg faktisk til England og aftalte at mødes med George til morgenmad på et lille hotel i Oxford. Vi spiste, snakkede og ventede på, at maden havde lagt sig. Så kom det belejlige øjeblik til at diskutere bogen. George stak hånden ned i sin mappe og trak et ret beskedent designet, typisk akademisk bind fra midten af 1900-tallet frem.
Jeg åbnede omslaget og spekulerede på, om der mon var en indskrift på bagsiden: ""Alan Turings ejendom" eller noget i den stil. Men desværre var det ikke tilfældet. Den var dog ledsaget af en ret sigende note på fire sider fra Norman Rutledge til George Rutter, skrevet i 2002.
Jeg kendte Norman Rutledge, da jeg stadig var studerende. в i starten af 1970'erne. Han var matematiklærer med øgenavnet "Nutty Norman". Han var en behagelig lærer på alle måder og fortalte utallige historier om matematik og andre interessante ting. Han var ansvarlig for at skaffe skolen en computer (programmerbar med hulbånd i bredde af et skrivebord) - det var .
På det tidspunkt vidste jeg intet om Normans baggrund (husk, det var længe før internettet). Alt, hvad jeg vidste, var, at han var "Dr. Rutledge". Han fortalte ofte historier om folk fra Cambridge, men i sine historier nævnte han aldrig Alan Turing. Turing var selvfølgelig ikke særlig berømt dengang (selvom det viste sig, at jeg havde hørt om ham fra en, der kendte ham i (et palæ, der husede et krypteringscenter under Anden Verdenskrig)).
Alan Turing var ikke berømt før 1981, da jeg først , selvom det stadig var i forbindelse med cellulære automater, og ikke .
Så en dag, mens jeg kiggede igennem kortkataloget på biblioteket, , Jeg stødte på en bog , skrevet af hans mor, Sarah Turing. Bogen var fuld af information, inklusive Turings upublicerede videnskabelige artikler om biologi. Jeg lærte dog intet om hans forhold til Norman Rutledge, da bogen ikke nævnte ham (selvom, som jeg opdagede, Sarah Turing , og Norman endte endda med at skrive ).
Ti år senere, med ekstrem nysgerrighed omkring Turing og hans (dengang uudgivne) , besøgte jeg в Snart, efter at have sat mig ind i, hvad de havde af Turings værker, og efter at have brugt noget tid på det, tænkte jeg, at jeg lige så godt kunne bede om at se hans personlige korrespondance. Ved at gennemgå den fandt jeg fra Alan Turing til Norman Routledge.
På det tidspunkt var den kommet ud i verden Andrew Hodges, som gjorde så meget for at gøre Turing berømt, bekræftede, at Alan Turing og Norman Routledge faktisk var venner, og at Turing havde været Normans videnskabelige rådgiver. Jeg ville spørge Routledge om Turing, men på det tidspunkt var Norman pensioneret og levede et ensomt liv. Ikke desto mindre, da jeg var færdig med at skrive ""I 2002 (efter min tiårige afsondrethed) opsøgte jeg ham og sendte ham et eksemplar af bogen med påskriften "Til min sidste matematiklærer." Så snakkede vi lidt sammen." , og i 2005 vendte jeg tilbage til England og aftalte at mødes med Norman til te på et luksushotel i det centrale London.
Vi havde en hyggelig snak om mange ting, inklusive Alan Turing. Norman indledte vores samtale med at fortælle os, at han ganske vist havde kendt Turing, mest overfladisk, for 50 år siden. Men han havde stadig meget at sige om ham personligt:Han var asocial.". "Han fnisede meget.". "Han kunne ikke rigtig tale med ikke-matematikere.". "Han var altid bange for at gøre sin mor ked af det.". "Han ville tage afsted i løbet af dagen og løbe et maraton.". "Han var ikke for ambitiøs."Så gik samtalen over på Norman selv. Han sagde, at selvom han havde været pensioneret i 16 år, skrev han stadig artikler til""således at, med hans ord,"færdiggør alt dit videnskabelige arbejde, før du går videre til den næste verden", hvor, som han tilføjede med et knap mærkbart smil, "Alle matematiske sandheder vil helt sikkert blive afsløret"Da teselskabet var slut, tog Norman sin læderjakke på og gik mod sin knallert, fuldstændig uvidende om den dag.
Det var sidste gang jeg så Norman, han døde i 2013.
Seks år senere sad jeg til morgenmad med George Rutter. Jeg havde en besked fra Rutledge med mig, skrevet i 2002 med hans karakteristiske håndskrift:
Først skimmede jeg noten. Den var udtryksfuld som sædvanlig:
Jeg modtog Alan Turings bog fra hans ven og bobestyrer (Det var almindelig praksis på King's College at give bøger væk fra afdøde kollegers samling, og jeg valgte en digtsamling) fra bøger som en passende gave (han var dekan og sprang ud fra kapellet [i 1956])...
Senere i en kort note skriver han:
Du spørger, hvor denne bog i sidste ende skal ende – efter min mening bør den ende hos en person, der værdsætter alt, der er forbundet med Turings værk, så dens skæbne er op til dig.
Stephen Wolfram sendte mig sin imponerende bog, men jeg fordybede mig ikke nok i den...
Han afsluttede med at lykønske George Rutter med at have haft modet til at flytte (midlertidigt, viste det sig) til Australien efter sin pensionering og sagde, at han selv "Jeg ville lege med at flytte til Sri Lanka som et eksempel på en billig og lotuslignende tilværelse", men tilføjede at"Begivenhederne der nu viser, at han ikke burde have gjort det" (tilsyneladende betyder i Sri Lanka).
Så hvad gemmer sig i bogens dyb?
Så hvad gjorde jeg med et eksemplar af en tysk bog skrevet af Paul Dirac, der engang tilhørte Alan Turing? Jeg læser ikke tysk, men jeg har på engelsk (som er originalsproget) fra en udgave fra 1970'erne. Men en dag under morgenmaden føltes det rigtigt, at jeg skulle gennemgå bogen side for side. Det er trods alt den almindelige praksis, når man har med antikvariske bøger at gøre.
Det skal bemærkes, at jeg var imponeret over Diracs elegance i sin præsentation. Bogen blev udgivet i 1931, men dens rene formalisme (og ja, på trods af sprogbarrieren kunne jeg læse den matematik, den præsenterede) er næsten den samme, som hvis den var blevet skrevet i dag. (Jeg vil ikke lægge for meget vægt på Dirac her, men min ven...) fortalte mig, at Diracs udlægning, i hvert fald efter hans mening, var enstavelsesformet. Norman Routledge fortalte mig, at han havde været venner i Cambridge med , som blev grafteoretiker. Norman var en hyppig gæst i Diracs hus og rapporterede, at den "store mand" nogle gange syntes at træde i baggrunden i forhold til de mange matematiske gåder, der altid var i forgrunden. Jeg mødte desværre aldrig selv Paul Dirac, selvom jeg har fået at vide, at efter at han endelig forlod Cambridge til fordel for Florida, mistede han meget af sin tidligere sejhed og blev en ret omgængelig person.
Men tilbage til Diracs bog, som tilhørte Turing. På side 9 bemærkede jeg understregninger og små noter i margenerne, skrevet med blyant. Jeg blev ved med at bladre. Efter et par kapitler forsvandt noterne. Men så, pludselig, fandt jeg en note gemt på side 127, hvor der stod:
Det var skrevet på tysk, med standardtysk håndskrift. Og det så ud som om, det kunne have noget at gøre med Jeg tænkte, at måske nogen havde ejet denne bog før Turing, og at dette måtte være en note skrevet af den person.
Jeg fortsatte med at bladre i bogen. Noterne manglede. Og jeg troede ikke, jeg kunne finde andet. Men så, på side 231, fandt jeg et bogmærke med logo - med trykt tekst:
Ville jeg til sidst opdage noget andet? Jeg blev ved med at bladre igennem bogen. Så, i slutningen af bogen, på side 259, i afsnittet om den relativistiske elektronteori, fandt jeg dette:
Jeg foldede dette ark papir ud:
Jeg forstod straks, hvad det var med en blanding , men hvordan er dette ark kommet hertil? Husk at denne bog er en bog om kvantemekanik, men det vedlagte ark handler om matematisk logik, eller det der nu kaldes beregningsteori. Dette er typisk for Turings arbejde. Jeg spekulerede på, om Turing selv skrev denne note?
Selv mens jeg spiste morgenmad, søgte jeg på internettet efter eksempler på Turings håndskrift, men jeg kunne ikke finde nogen eksempler i form af beregninger, så jeg kunne ikke drage nogen konklusioner om håndskriftens nøjagtige identitet. Og snart måtte jeg afsted. Jeg pakkede omhyggeligt bogen, klar til at afsløre hemmeligheden om, hvad denne side var, og hvem der havde skrevet den, og tog den med mig.
Om bogen
Lad os først diskutere selve bogen.» Diracs Fields blev udgivet på engelsk i 1930 og blev snart oversat til tysk. (Diracs forord er dateret 29. maj 1930; det er af oversætteren, (15. august 1930.) Bogen var en milepæl i udviklingen af kvantemekanik, idet den systematisk etablerede en klar formalisme til udførelse af beregninger og blandt andet forklarede Diracs forudsigelse om, at , som åbnes i 1932.
Hvorfor havde Alan Turing en bog på tysk og ikke på engelsk? Jeg ved det ikke med sikkerhed, men tysk var det førende videnskabelige sprog på den tid, og vi ved, at Alan Turing kunne læse det. (Titlen på hans berømte bog var trods alt arbejde « (Entscheidungsproblem)" var et meget langt tysk ord - og i hoveddelen af artiklen opererer han med temmelig uforståelige gotiske symboler i form af "tyske bogstaver", som han brugte i stedet for for eksempel græske symboler).
Købte Alan Turing selv denne bog, eller fik han den givet? Jeg ved det ikke. På indersiden af Turings bogs omslag er der en blyantsnotation på "20/-", som var standardnotationen for "20 shilling", svarende til £1. På højre side er der et visket "26.9.30", der formodentlig henviser til den 26. september 1930 - måske den dato, hvor bogen først blev købt. Derefter, yderst til højre, er der et visket "20". Måske er det prisen igen. (Kunne det være prisen i , forudsat at bogen blev solgt i Tyskland? På det tidspunkt var 1 Reichsmark omkring 1 schilling værd, ville den tyske pris sandsynligvis være skrevet som for eksempel "20 RM".) Endelig står der på indersiden af bagomslaget "c 5/-" - dette kunne være bogens (stærkt nedsatte) brugtpris.
Lad os se på de vigtigste datoer i Alan Turings liv. Alan Turing (tilfældigvis præcis 76 år før) I efteråret 1931 begyndte han på King's College i Cambridge. Han fik sin BA-grad efter de tre standardårige studier i 1934.
Kvantemekanik var et varmt emne i 1920'erne og begyndelsen af 1930'erne, og Alan Turing var bestemt interesseret i det. Vi ved fra hans arkiver, at han i 1932, så snart bogen blev udgivet, modtog en» John von Neumann (på Vi ved også, at Turing i 1935 modtog en opgave fra en fysiker fra Cambridge om emnet studiet af kvantemekanik. (Fowler foreslog at beregne , hvilket faktisk er et meget komplekst problem, der kræver en fuldstændig analyse med den interagerende kvantefeltteori, som stadig ikke er fuldt løst).
Så hvornår og hvordan fik Turing sit eksemplar af Diracs bog? I betragtning af at bogen har et prismærke på sig, købte Turing den formodentlig brugt. Hvem var bogens oprindelige ejer? Noterne i bogen synes primært at beskæftige sig med logisk struktur og bemærker, at en eller anden logisk sammenhæng bør tages som aksiom. Hvad så med noten på side 127?
Det kan være et tilfælde, men det er på side 127, at Dirac taler om kvantemekanik. og lægger grundlaget for — hvilket er grundlaget for al moderne kvanteformalisme. Hvad indeholder noten? Den indeholder en udvidelse af ligning 14, som er ligningen for den tidsmæssige udvikling af kvanteamplituden. Forfatteren af noten har erstattet Diracs A for amplituden med ρ, hvilket muligvis afspejler en tidligere (analogi med en væskes densitet) tysk notation. Forfatteren forsøger derefter at udvide handlingen til potenser af ℏ (, divideret med 2π, hvilket undertiden kaldes ).
Men det ser ud til, at der ikke er meget brugbart at hente ud af det, der står på siden. Hvis man holder siden op mod lyset, indeholder den en lille overraskelse – et vandmærke med ordene "Z f. Physik. Chem. B":
Dette er en forkortet version. — et tysk tidsskrift for fysisk kemi, der begyndte at udgives i 1928. Måske er noten skrevet af tidsskriftets redaktør? Her er tidsskriftets titel for 1933. Bekvemt nok er redaktørerne opført efter deres bopæl, og én skiller sig ud: "Født · Cambridge."
Det er det hvem er forfatteren og mange andre ting inden for kvantemekanikkens teori (og også sangerens bedstefar ). Så denne note kunne være skrevet af Max Born? Men desværre er den ikke det, fordi håndskriften ikke stemmer overens.
Hvad med bogmærket på side 231? Her er det fra begge sider:
Bogmærket er mærkeligt og ret smukt. Men hvornår blev det lavet? Der findes et i Cambridge. , selvom det nu er en del af Blackwell. I over 70 år (indtil 1970) lå Heffers på adressen, som bogmærket viser, и .
Dette bogmærke indeholder en vigtig ledetråd – det er et telefonnummer, "Tlf. 862". Det viste sig, at det meste af Cambridge (inklusive Heffers) i 1939 var gået over til firecifrede numre, og i 1940 blev bogmærkerne helt sikkert trykt med "moderne" telefonnumre. (Engelske telefonnumre er blevet længere og længere; da jeg voksede op i England i 1960'erne, var vores telefonnumre "Oxford 56186" og "Kidmore End 2378". Dels husker jeg disse numre, fordi jeg, hvor mærkeligt det end kan lyde nu, altid opgav mit nummer, når jeg besvarede et opkald.)
Denne type bogmærke blev trykt indtil 1939. Men hvor længe før det? Der findes en hel del scanninger af gamle Heffers-reklamer online, der går tilbage til mindst 1912 (sammen med "Vi anmoder venligst om at imødekomme dine anmodninger..."), hvor de tilføjer "Telefon 862" og "(2 linjer)". Der findes også nogle bogmærker med lignende designs i bøger helt tilbage fra 1904 (selvom det er uklart, om de var originale i disse bøger (dvs. trykt på samme tid). Med henblik på vores undersøgelse ser det ud til, at vi kan konkludere, at denne bog kom fra Heffers (som i øvrigt var den største boghandel i Cambridge) engang mellem 1930 og 1939.
Lambda-kalkulusside
Så nu ved vi noget om, hvornår bogen blev købt. Men hvad med "lambda-kalkulus-siden"? Hvornår blev den skrevet? Nå, selvfølgelig må lambda-kalkulusen være opfundet på det tidspunkt. Og det blev den. , en matematiker fra , i sin oprindelige form i 1932 og i sin endelige form i 1935. (Der fandtes værker af tidligere forskere, men de brugte ikke λ-notationen.)
Der er en kompleks forbindelse mellem Alan Turing og lambda-kalkulus. I 1935 blev Turing interesseret i "mekaniseringen" af matematiske operationer og opfandt ideen om en Turing-maskine og brugen af den til at løse problemer i matematikkens grundlæggende principper. Turing indsendte en artikel om emnet til et fransk tidsskrift (), men den gik tabt i posten; og så viste det sig, at modtageren, som han sendte den til, alligevel ikke var der, da han var flyttet til Kina.
Men i maj 1936, før Turing kunne sende sin artikel et andet sted hen, Turing havde tidligere klaget over, at da han udviklede beviset i 1934 , så opdagede jeg, at der var en norsk matematiker, som allerede havde i 1922 år.
Det er ikke svært at se, at Turingmaskiner og lambdakalkulus reelt er ækvivalente i de typer beregninger, de kan repræsentere (og dette er begyndelsen ). Turing (og hans lærer) ) blev overbevist om, at Turings tilgang var tilstrækkelig anderledes til at fortjene separat udgivelse. I november 1936 (og med rettet stavefejl den følgende måned) i Turings berømte artikel blev udgivet .
For at udfylde tidslinjen lidt: Fra september 1936 til juli 1938 (med en tre måneders pause i sommeren 1937) var Turing på Princeton, efter at have taget dertil for at blive kandidatstuderende ved Alonzo Church. I denne periode på Princeton ser Turing ud til at have koncentreret sig udelukkende om matematisk logik og skrevet adskillige , - og højst sandsynligt havde han ikke en bog om kvantemekanik med sig.
Turing vendte tilbage til Cambridge i juli 1938, men i september samme år arbejdede han deltid. , og et år senere flyttede han til Bletchley Park for at arbejde på fuld tid med kryptanalyse. Efter krigens afslutning i 1945 flyttede Turing til London for at arbejde hos om udviklingen af projektet til oprettelse Han tilbragte det akademiske år 1947-8 på Cambridge, men flyttede derefter til Manchester for at udvikle sig. .
I 1951 begyndte Turing at studere det seriøst. (Personligt finder jeg denne kendsgerning noget ironisk, fordi det forekommer mig, at Turing altid ubevidst har troet, at biologiske systemer skulle modelleres af differentialligninger og ikke af noget diskret som Turing-maskiner eller cellulære automater.) Han vendte også sin interesse tilbage til fysik, og i 1954 endda , Hvad: "Jeg prøvede at opfinde en ny kvantemekanik" (selvom han tilføjede: "men i virkeligheden er det ikke en kendsgerning, at det vil virke"). Men desværre fik alt en brat ende den 7. juni 1954, da Turing døde pludselig. (Jeg tror ikke, det var selvmord, men det er en anden historie.)
Så lad os gå tilbage til siden med lambda-regning. Hold den op mod lyset, så ser vi vandmærket igen:
Dette er tydeligvis et britisk fremstillet stykke papir, og det forekommer mig usandsynligt, at det blev brugt på Princeton. Men kan vi datere det præcist? Tja, ikke uden lidt hjælp. , ved vi, at den officielle papirproducent var Spalding & Hodge, Papermakers, Wholesale and Export Company, Drury House, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, London. Dette kan måske hjælpe os, men ikke meget, da det antyder, at deres Excelsior-papirmærke ser ud til at have været inkluderet i forsyningskataloger fra 1890'erne til 1954.
Hvad står der på denne side?
Så lad os se nærmere på, hvad der står på begge sider af arket. Lad os starte med lambdaer.
Her er en metode til at bestemme , og de er et grundlæggende koncept i matematisk logik, og nu også i funktionel programmering. Disse funktioner er ret almindelige i sproget , og deres opgave er ret nem at forklare. For eksempel skriver nogen f[x] for at betegne en funktion f, anvendt på argumentet x. Og der er mange navngivne funktioner f såsom eller eller Men hvad nu hvis nogen vil f[x] var 2x +1Der er ikke noget direkte navn for denne funktion. Men findes der en anden form for tildeling, f[x]?
Svaret er ja: i stedet f vi skriver Function[a,2a+1]Og på Wolfram-sproget Function [a,2a+1][x] anvender funktioner på argument x, hvilket giver 2x+1. Function[a,2a+1] er en "ren" eller "anonym" funktion, som er den rene operation at gange med 2 og lægge 1 til.
Så λ i lambda-regning er en nøjagtig analog i Wolfram-sproget - og derfor for eksempel λa.(2 a+1) tilsvarende Function[a, 2a + 1]. (Det er værd at bemærke, at funktionen f.eks. Function[b,2b+1] tilsvarende; "bundne variabler" a eller b er simpelthen steder at erstatte funktionsargumentet - og i Wolfram-sproget kan de undgås ved at bruge alternative definitioner af en ren funktion (2# +1)&).
I traditionel matematik betragtes funktioner normalt som objekter, der repræsenterer input (f.eks. heltal) og output (som f.eks. også er heltal). Men hvilken slags objekt er dette? (eller λ)? Det er dybest set en strukturoperator, der tager udtryk og omdanner dem til funktioner. Dette kan virke lidt mærkeligt set fra traditionel matematik og matematisk notation, men hvis man har brug for at manipulere vilkårlige symboler, er det meget mere naturligt, selvom det virker lidt abstrakt i starten. (Det skal bemærkes, at når brugere lærer Wolfram-sproget, kan jeg altid mærke, at de har krydset en vis tærskel for abstrakt tænkning, når de får en fornemmelse af ).
Lambdaer er bare en del af det, der står på siden. Der er et andet, endnu mere abstrakt koncept, og det er Lad os betragte en temmelig obskur linje PI1IIxHvad kunne dette betyde? Det er i bund og grund en sekvens af kombinatorer eller en abstrakt sammensætning af symbolske funktioner.
En simpel superposition af funktioner, som er ret velkendt fra matematik, kan skrives i Wolfram-sproget som: f[g[x]] - hvad betyder "anvende" f til resultatet af ansøgningen g к x"Men har man virkelig brug for parenteser til dette?" På Wolfram-sprog f@g@ x — en alternativ notation. I denne notation bruger vi Wolfram Language-definitionen: @-operatoren er knyttet til højre side, så f@g@x tilsvarende f@(g@x).
Men hvad vil optagelsen betyde? (f@g)@xDette er tilsvarende f[g][x]Og hvis f и g var almindelige funktioner i matematik, ville det være meningsløst, men hvis f — derefter f[g] i sig selv kan være en funktion, der meget vel kan anvendes på x.
Lad os bemærke, at der stadig er en vis kompleksitet her. f[х] — f er en funktion af ét argument. Og f[х] svarende til indgangen Function[a, f[a]][x]Men hvad med en funktion af to argumenter, for eksempel, f[x,y]Dette kan skrives som Function[{a,b},f[a, b]][x, y]Men hvad nu hvis Function[{a},f[a,b]]Hvad er det her? Der er en "fri variabel" her b, som blot sendes til funktionen. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] vil binde denne variabel og derefter Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] Det giver f[x,y] igen. (At definere en funktion, så den har ét argument, kaldes "currying", opkaldt efter en logiker ved navn ).
Hvis der er frie variabler, er der mange forskellige komplikationer i forhold til, hvordan funktioner kan defineres, men hvis vi begrænser os til objekter eller λ, som ikke har nogen frie variabler, så kan de grundlæggende defineres frit. Sådanne objekter kaldes kombinatorer.
Kombinatorer har en lang historie. Det vides, at de først blev foreslået i 1920 af en studerende. — .
På det tidspunkt opdagede man først for nylig, at det ikke var nødvendigt at bruge udtryk , и for at repræsentere udtryk i standard propositionslogik: det var nok at bruge en enkelt operator, som vi nu vil kalde (fordi hvis du f.eks. skriver hvordan · så Or[a,b] vil tage formen Schonfinkel ønskede at finde en lignende minimal repræsentation af prædikatlogik, eller faktisk logik inklusive funktioner.
Han kom op med to "kombinatorer" S og K. I Wolfram-sproget ville dette blive skrevet som
K[x_][y_] → x og S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
Det er bemærkelsesværdigt, at det viste sig muligt at bruge disse to kombinatorer til at udføre enhver form for beregning. For eksempel,
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
kan bruges som en funktion til at addere to heltal.
Disse er alle ret abstrakte objekter, for at sige det mildt, men nu hvor vi forstår Turing-maskiner og lambda-kalkulus, kan vi se, at Schoenfinkels kombinatorer faktisk forudså konceptet med universel beregning. (Og hvad der er endnu mere bemærkelsesværdigt er, at definitionerne af S og K fra 1920 er minimalt simple og minder om , som jeg foreslog i 1990'erne, hvis universalitet var ).
Men lad os vende tilbage til vores folder og linje. PI1IIxSymbolerne skrevet her er kombinatorer, og de er alle beregnet til at definere en funktion. Definitionen her er, at superpositionen af funktioner skal være venstreassociativ, således at fgx bør ikke fortolkes som f@g@x eller f@(g@x) eller f[g[x]], men snarere som (f@g)@x eller f[g][x]. Lad os oversætte dette til en form, der er praktisk til brug i Wolfram-sproget: PI1IIx vil tage formen p[i][en][i][i][x].
Hvorfor skrive sådan noget? For at forklare dette, er vi nødt til at diskutere konceptet med Church-tal (opkaldt efter Alonzo Church). Lad os sige, at vi kun arbejder med symboler og lambdaer eller kombinatorer. Er der en måde at bruge dem til at specificere heltal?
Hvad med bare at sige tallet n svarer til Function[x, Nest[f,x,n]]Eller med andre ord, hvad (i kortere notationer):
1 er f[#]&
2 er f[f[#]]&
3 er f[f[f[#]]]& og så videre.
Alt dette kan virke lidt mere obskurt, men grunden til, at det er interessant, er, at det giver os mulighed for at gøre alting fuldstændig symbolsk og abstrakt, uden at vi eksplicit skal tale om ting som heltal.
Med denne metode til at tildele tal, lad os for eksempel forestille os at addere to tal: 3 kan repræsenteres som f[f[f[#]]]& og 2 er f[f[#]]&Du kan lægge dem sammen ved blot at anvende den ene oven på den anden:
Men hvad er objektet? fDet kunne være hvad som helst! På en måde, "gå lambda" hele vejen og repræsenter tal ved hjælp af funktioner, der tager f som et argument. Med andre ord, lad os for eksempel repræsentere 3 som Function[f,f[f[f[#]]] &] eller Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (hvornår og hvordan man skal navngive variabler er det afgørende punkt i lambda-kalkulus).
Lad os se på et fragment af Turings artikel fra 1937. , som opsætter objekter præcis som vi lige har diskuteret:
Indgangen her kan være lidt forvirrende. x Turing er vores f, Og hans x' (Sæteren lavede en fejl ved at indsætte et mellemrum) - dette er vores xMen præcis den samme fremgangsmåde bruges her.
Så lad os se på linjen lige efter folden på forsiden af papiret. Dette er I1IIYI1IIxI Wolfram-sprognotation ville dette være i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]Men her er i identitetsfunktionen, så i[one] den giver bare ud en. I mellemtiden en — er kirkenummeret repræsentation for 1 eller Function[f,f[#]&]Men med denne definition one[а] bliver a[#]& и one[a][b] bliver a[b]. (Forresten, i[а][b]Eller Identity[а][b] er også а[b]).
Det vil være meget tydeligere, hvis vi nedskriver erstatningsreglerne for i и en, i stedet for direkte at anvende lambda-kalkulus. Resultatet vil være det samme. Anvender vi disse regler eksplicit, får vi:
Og det er præcis det samme som det, der præsenteres i den første forkortede artikel:
Lad os nu se på bladet igen, øverst:
Der er nogle ret forvirrende og obskure objekter "E" og "D" her, men de betyder "P" og "Q", så vi kan skrive udtrykket ud og evaluere det (bemærk at her - efter en vis forvirring med det allersidste symbol - sætter den "mystiske videnskabsmand" […] og (…) for at repræsentere funktionens anvendelse):
Så det er den første forkortelse, der vises. For at se mere, lad os tilføje definitionerne for Q:
Vi får præcis følgende reduktion vist. Hvad sker der, hvis vi erstatter udtrykkene med P?
Her er resultatet:
Og nu, ved at bruge det faktum, at i er en funktion, der selv udskriver argumentet, får vi:
Ups! Men det er ikke den næste linje, der er skrevet. Er der en fejl her? Det er ikke tydeligt. For i modsætning til de fleste andre tilfælde er der trods alt ingen pil, der angiver, at den næste linje følger efter den foregående.
Der er lidt af et mysterium her, men lad os gå videre til bunden af arket:
Her er 2 kirkenummeret, defineret for eksempel af mønsteret two[a_] [b_] → a[a[b]]Bemærk at dette faktisk er formen af den anden række, hvis a betragtes som Function[r,r[р]] и b som qSå forventer vi, at resultatet af beregningen bliver som følger:
Det underliggende udtryk а[b] kan skrives som x (sandsynligvis forskellig fra det x, der tidligere er skrevet på arket) - som et resultat får vi det endelige resultat:
Så vi kan ikke tyde meget af, hvad der foregår på dette stykke papir, men mindst ét mysterium, der stadig er uopklaret, er, hvad Y formodes at være.
Faktisk findes der i kombinatorisk logik en standard Y-kombinator: den såkaldte Formelt er det defineret ved, at Y[f] skal være lig med f[Å[f]], eller med andre ord, at Y[f] ændrer sig ikke, når f anvendes, så det er et fikspunkt for f. (Kombinator Y er forbundet med #0 på Wolfram-sproget.)
Y-kombinatoren er nu berømt for sin , navngivet således (som har været fan i lang tid и og implementerede den allerførste webshop baseret på dette sprog). Han fortalte mig engang personligt "Ingen forstår, hvad en Y-kombinator er"(Det skal bemærkes, at Y Combinator er præcis det, der gør det muligt for virksomheder at undgå transaktioner med faste punkter...)
Y-kombinatoren (som en fastpunktskombinator) er blevet opfundet flere gange. Turing kom faktisk med en implementering i 1937, som han kaldte Θ. Men er "Y" på vores side den berømte fastpunktskombinator? Sandsynligvis ikke. Så hvad er vores "Y"? Overvej denne forkortelse:
Men denne information er tydeligvis ikke nok til entydigt at bestemme, hvad Y er. Det er tydeligt, at Y opererer på mere end blot ét argument; det ser ud til at operere på mindst to argumenter, men det er ikke klart (i hvert fald for mig), hvor mange argumenter det tager som input, og hvad det gør.
Endelig, selvom vi kan forstå mange dele af opgaven, må vi sige, at det ikke er klart på globalt plan, hvad der blev gjort i den. Selvom der kræves en masse forklaring til det, der præsenteres i opgaven, er det ret elementært i lambda-kalkulus og brugen af kombinatorer.
Formentlig er dette et forsøg på at skabe et simpelt "program" - ved hjælp af lambda-kalkulus og kombinatorer til at gøre noget. Men hvad angår reverse engineering, er det svært at sige, hvad det "noget" skal være, eller hvad det overordnede "forklarlige" mål er.
Der er endnu en funktion præsenteret på arket, som er værd at kommentere her - brugen af forskellige typer parenteser. I traditionel matematik bruges parenteser generelt til alt - og til funktionsapplikationer (som i f (x)), og grupperinger af medlemmer (som i (1+x) (1-x), eller, mindre åbenlyst, en(1-x)(I Wolfram-sproget skelner vi mellem forskellige anvendelser af parenteser – i firkantede parenteser til at definere funktioner f [x] — og runde parenteser bruges kun til gruppering).
Da lambda-kalkulus først kom frem, var der mange spørgsmål om brugen af parenteser. Alan Turing skrev senere en hel (ikke-publiceret) artikel kaldet", men allerede i 1937 følte han, at han havde brug for at beskrive de moderne (temmelig forhalede) definitioner af lambda-kalkulus (som i øvrigt skyldtes Church).
Han sagde det f, anvendt på g, det skal skrives {f}(g), hvis bare f er ikke det eneste symbol, i dette tilfælde kan det være f(g)Så sagde han, at lambda (som i Function[a, b]) skal skrives som λ a[b] eller alternativt λ a.b.
Men måske var hele ideen om at bruge {…} og […] til at betegne forskellige objekter i 1940 blevet opgivet, stort set til fordel for parenteser i den matematiske standardstil.
Se øverst på siden:
Det er svært at forstå, som det ser ud nu. I Churchs definitioner bruges firkantede parenteser til gruppering, hvor den indledende parentes erstatter punktummet. Ved at bruge denne definition bliver det klart, at Q'et (som til sidst bliver mærket D) i parentes til sidst er det, hele den indledende lambda gælder for.
Faktisk afgrænser den firkantede parentes ikke lambda-funktionens brødtekst; i stedet repræsenterer den faktisk en anden anvendelse af funktionen, og der er ingen eksplicit indikation af, hvor lambda-brødteksten slutter. Til sidst kan man se, at den "mystiske videnskabsmand" har ændret den afsluttende firkantede parentes til en parentes, hvilket effektivt anvender Churchs definition - og dermed får udtrykket til at blive evalueret som vist på arket.
Så hvad betyder denne lille smule? Jeg tror, det antyder, at siden blev skrevet i 1930'erne, eller ikke så længe efter, da konventionerne for parenteser endnu ikke havde slået sig ned på det tidspunkt.
Så hvis håndskrift var det egentlig?
Så indtil videre har vi talt om, hvad der står på siden. Men hvad med, hvem der rent faktisk skrev det?
Den mest oplagte kandidat til denne rolle ville være Alan Turing selv, da siden trods alt var inde i hans bog. Indholdsmæssigt synes der intet at være uforeneligt med ideen om, at Alan Turing kunne have skrevet den – selv da han først rodede med lambda-kalkulus efter at have modtaget Churchs artikel i begyndelsen af 1936.
Hvad med håndskriften? Er det Alan Turings? Lad os se på nogle overlevende eksempler, som vi med sikkerhed ved er skrevet af Alan Turing:
Den præsenterede tekst ser tydeligvis ret anderledes ud, men hvad med de notationer, der er brugt i teksten? I hvert fald ser det efter min mening ikke så tydeligt ud - og man kan antage, at enhver forskel kan skyldes, at de eksisterende eksempler (præsenteret i arkiverne) så at sige er skrevet "på den blanke tavle", mens vores side netop er en afspejling af tankeværket.
Det viste sig at være belejligt for vores undersøgelse, at der i Turings arkiv er en side, hvor han skrev ned , nødvendigt for betegnelserne. Og når man sammenligner disse symboler bogstav for bogstav, ser de ret ens ud for mig (disse optegnelser blev lavet i Turing, da han var forlovet , deraf betegnelsen "arkareal"):
Jeg ville gerne undersøge dette nærmere, så jeg sendte prøver , en professionel håndskriftsekspert (og forfatter til håndskriftsbaserede problemer), som jeg engang mødte – blot præsenterede vores opgave som "eksempel 'A'" og en eksisterende prøve af Turings håndskrift som "eksempel 'B'". Hendes svar var definitivt og negativt: "Skrivestilen er fuldstændig anderledes. Personligt set har forfatteren af eksempel B en hurtigere og mere intuitiv tankestil end forfatteren af eksempel A.'.
Jeg var ikke helt overbevist endnu, men jeg besluttede, at det var tid til at se mig om efter andre muligheder.
Så hvis det viser sig, at Turing ikke skrev dette, hvem gjorde det så? Norman Routledge fortalte mig, at han fik bogen fra Robin Gandy, som var Turings eksekutor. Så jeg sendte Gandys "Sample C":
Men Sheilas indledende konklusion var, at de tre prøver sandsynligvis var skrevet af tre forskellige personer, og hun bemærkede igen, at prøve "B" var fra "den hurtigste tænker - den der er mest tilbøjelig til at finde usædvanlige løsninger på problemer"(Jeg finder det forfriskende, at en moderne håndskriftsekspert ville give denne vurdering af Turings håndskrift, i betragtning af hvor meget alle klagede over hans håndskrift i Turings skoleopgaver i 1920'erne.)
Nå, på dette tidspunkt så det ud til, at både Turing og Gandhi var blevet fjernet fra listen over "mistænkte". Så hvem kunne have skrevet dette? Jeg begyndte at tænke på de mennesker, som Turing kunne have lånt sin bog til. De måtte da være i stand til at lave beregninger ved hjælp af lambda-kalkulus.
Jeg antog, at personen måtte være fra Cambridge, eller i det mindste fra England, givet vandmærket på papiret. Jeg antog, at 1936 eller deromkring var et godt tidspunkt at skrive dette på. Så hvem kendte og omgik Turing på det tidspunkt? Vi havde en liste over alle studerende og undervisere i matematik på King's College i den periode. (Der var 13 kendte studerende, der deltog mellem 1930 og 1936.)
Og af disse syntes den mest lovende kandidat at være Han var på samme alder som Turing, hans mangeårige ven, og han var også interesseret i matematikkens grundlag - i 1933 udgav han endda en artikel om det, vi nu kalder : 0.12345678910111213… (opnået af 1, 2, 3, 4,…, 8, 9, 10, 11, 12,…, og et af de meget få tal, i den forstand, at hver mulig blok af tal forekommer med lige stor sandsynlighed).
I 1937 brugte han endda Dirac-gammatricer, som nævnt i Diracs bog, til at løse (Det skete sådan, at jeg år senere blev en stor fan af gamma-matrixberegninger.)
Da han begyndte at studere matematik, kom Champernowne under påvirkning af (også på King's College) og blev til sidst en fremtrædende økonom, især med arbejde om indkomstulighed. (Imidlertid arbejdede han i 1948 også sammen med Turing for at skabe — et skakprogram, der praktisk talt var det første i verden, der blev implementeret på en computer).
Men hvor kunne jeg finde et eksempel på Champernownes håndskrift? Jeg fandt snart hans søn Arthur Champernowne på LinkedIn, som mærkeligt nok havde en uddannelse i matematisk logik og arbejdede for Microsoft. Han sagde, at hans far havde talt en del med ham om Turings arbejde, selvom han ikke nævnte skematører. Han sendte mig et eksempel på sin fars håndskrift (delen om algoritmisk musikkomposition):
Det kan straks siges, at håndskriftene ikke stemmer overens (krøller og halere i bogstaverne f i Champernownes håndskrift osv.)
Så hvem ellers kunne det være? Jeg har altid beundret , på mange måder en mentor for Alan Turing. Newman interesserede Turing først i "mekanisering af matematik", var hans mangeårige ven, og blev år senere hans chef på computerprojektet i Manchester. (Trods sin interesse for datalogi synes Newman altid primært at have set sig selv som topolog, selvom hans konklusioner blev understøttet af et mangelfuldt bevis, han udledte fra ).
Det var ikke svært at finde et eksempel på Newmans håndskrift – og igen, nej, håndskriftene stemte bestemt ikke overens.
"Spor" af bogen
Så ideen om at identificere håndskriften var mislykkedes. Og jeg besluttede, at det næste skridt ville være at forsøge at spore lidt mere detaljeret, hvad der rent faktisk skete med den bog, jeg holdt i mine hænder.
Så, for det første, hvad var den længere historie om Norman Routledge? Han gik på King's College i Cambridge i 1946 og mødte Turing (ja, de var begge homoseksuelle). Han dimitterede i 1949 og begyndte derefter at skrive sin ph.d. med Turing som vejleder. Han modtog sin ph.d. i 1954, hvor han arbejdede med matematisk logik og rekursionsteori. Han modtog et navngivent stipendium på King's, og i 1957 var han leder af den matematiske afdeling der. Han kunne have gjort dette hele sit liv, men han havde en bred vifte af interesser (musik, kunst, arkitektur, rekreativ matematik, slægtsforskning osv.). I 1960 ændrede han sit akademiske fokus og blev lærer på Eton, hvor mange generationer af studerende (inklusive mig selv) arbejdede (og studerede) og mødte hans eklektiske og til tider endda bizarre viden.
Kunne Norman Rutledge have skrevet denne mystiske side selv? Han kendte lambda-kalkulus (selvom han tilfældigvis nævnte det, da vi drak te i 2005, at han altid havde fundet det "forvirrende"). Hans karakteristiske håndskrift udelukker ham dog straks som en mulig "mystisk videnskabsmand".
Kunne siden på en eller anden måde være forbundet med en af Normans studerende, måske fra hans tid på Cambridge? Jeg tvivler. For jeg tror ikke, at Norman nogensinde har studeret lambda-kalkulus eller noget lignende. Da jeg skrev denne artikel, opdagede jeg, at Norman skrev en artikel i 1955 om at skabe logik på "elektroniske computere" (og skabe konjunktive normalformer, som den indbyggede funktion gør i dag). Da jeg kendte Norman, var han meget ivrig efter at skrive værktøjer til rigtige computere (hans initialer var "NAR", og han kaldte sine programmer "NAR...", for eksempel "NARLAB" - et program til at oprette tekstetiketter ved hjælp af hullede "mønstre" på papirtape). Men han talte aldrig om teoretiske beregningsmodeller.
Lad os læse Normans note i bogen lidt nærmere. Det første, vi bemærker, er, at han taler om "at tilbyde bøger fra en afdød persons bibliotek"Og ud fra ordlyden lyder det som om, det hele skete ret kort efter mandens død, hvilket antyder, at Norman modtog bogen kort efter Turings død i 1954, og at Gandhi havde savnet den i en længere periode. Norman fortsætter med at sige, at han faktisk modtog fire bøger, to om ren matematik og to om teoretisk fysik."
Så sagde han, at han gav "endnu en af fysikbøgerne (tror jeg, )""Til Sebag Montefiore, en behagelig ung mand, du måske husker [George Rutter]"Okay, hvem er han så?" Jeg gravede min sjældent brugte medlemsliste frem. . (Jeg må sige, at da jeg åbnede den, kunne jeg ikke lade være med at bemærke dens regler fra 1902, hvoraf den første under overskriften "Medlemmernes rettigheder" underholdende lød: "Klæd dig i foreningens farver").
Det skal tilføjes, at jeg sandsynligvis aldrig ville have meldt mig ind i dette selskab eller modtaget denne bog, hvis det ikke havde været for insisteren fra en ven af mig fra Eton ved navn , som siden han var 12 år gammel havde planlagt at blive premierminister en dag, men desværre døde i en alder af 21).
Men under alle omstændigheder var der kun fem af de anførte personer ved navn Sebag-Montefiore, med en bred vifte af træningsdatoer. Det var let at se, at den rigtige var Det viser sig, at verden er lille, men hans familie ejede Bletchley Park, før de solgte den til den britiske regering i 1938. Og i 2000 skrev Sebag-Montefiore — det er højst sandsynligt derfor, at Norman i 2002 besluttede at give ham den bog, som Turing havde i sin besiddelse.
Okay, men hvad med de andre bøger, som Norman fik fra Turing? Da jeg ikke havde nogen anden måde at finde ud af, hvad der skete med dem, bestilte jeg en kopi af Normans testamente. Den sidste sætning var tydeligt normannisk:
Testamentet specificerede, at Normans bøger skulle testamenteres til King's College. Selvom en komplet samling af hans bøger tilsyneladende ikke findes nogen steder, er to bøger om ren matematik, der tilhører Turing, og som han nævnte i sin note, nu behørigt arkiveret i King's College Library.
Næste spørgsmål: Hvad skete der med Turings andre bøger? Jeg kiggede på Turings testamente, som viste sig at efterlade dem alle til Robin Gandy.
Gandy var matematikstuderende på King's College, Cambridge, og blev venner med Alan Turing i hans sidste år der i 1940. Gandy havde arbejdet med radio og radar i begyndelsen af krigen, men i 1944 blev han tildelt den samme enhed som Turing, hvor han arbejdede med talekryptering. Efter krigen vendte Gandy tilbage til Cambridge, hvor han snart fik en ph.d. med Turing som sin vejleder.
Hans arbejde i militæret førte tilsyneladende til, at han blev interesseret i spørgsmål inden for fysik, og hans afhandling, der blev færdiggjort i 1952, havde titlen Det Gandhi tilsyneladende har forsøgt at gøre, er måske at karakterisere fysiske teorier ud fra matematisk logik. Han taler om и , men ikke om Turing-maskiner. Og ud fra hvad vi ved nu, tror jeg, vi kan konkludere, at han nærmest misforstod pointen. Og faktisk, har siden begyndelsen af 1980'erne argumenteret for, at fysiske processer bør ses som "forskellige beregninger" - som f.eks. Turingmaskiner eller cellulære automater - snarere end som teoremer, der skal udledes. (Gandhi diskuterer rækkefølgen af typer involveret i fysiske teorier ret smukt og siger for eksempel, at "Jeg mener, at ordensordenen af ethvert beregningsbart decimaltal i binær form er mindre end otte."). Han sagde, at "En af grundene til, at moderne kvantefeltteori er så kompliceret, er simpelthen fordi den beskæftiger sig med objekter af en ret kompliceret type - funktionaler af funktioner ...", som i sidste ende siger, at"Vi kunne meget vel tage den største type almindelig brug som indikator for matematiske fremskridt. ")
Gandhi nævner Turing flere gange i sin afhandling og bemærker i indledningen, at han står i gæld til A. M. Turing, som "henledte først hans noget ufokuserede opmærksomhed på Churchs kalkulus" (dvs. lambda-kalkulus), selvom hans afhandling faktisk har adskillige lambda-beviser.
Efter at have forsvaret sin ph.d., vendte Gandhi sig mod renere matematisk logik og skrev i over tre årtier artikler med en hastighed på én om året, og disse artikler var ret succesfulde i det internationale matematiske logiksamfund. I 1969 flyttede han til Oxford, og jeg tror, jeg må have mødt ham i min ungdom, selvom jeg ikke har nogen erindring om det.
Gandhi forgudede tilsyneladende Turing og talte ofte om ham i senere år. Dette rejser spørgsmålet om en komplet samling af Turings papirer. Kort efter Turings død bad Sarah Turing og Max Newman Gandhi, som hans bobestyrer, om at sørge for udgivelsen af Turings upublicerede papirer. Som årene gik, afspejle Sarah Turings frustration over sagen. Men på en eller anden måde syntes Gandhi aldrig at have planlagt at indsamle Turings papirer.
Gandhi døde i 1995 uden at have samlet sine færdige værker. - litteraturkritiker og biograf , som Turing havde mødt på King's College, var Turings litterære agent, og han begyndte til sidst at arbejde på en samling af Turings værker. Det mest kontroversielle syntes at være bogen om matematisk logik, og for dette tiltrak han Robin Gandys første seriøse ph.d.-studerende, en vis , som fandt breve til Gandhi om de samlede værker, som ikke var blevet påbegyndt i 24 år. ( dukkede endelig op i 2001 - 45 år efter deres udgivelse).
Men hvad med de bøger, som Turing personligt ejede? I mit fortsatte forsøg på at spore dem, var mit næste stop Turing-familien, og især Turings brors yngre søn, (som egentlig er Sir Dermot Turing, fordi han var , titlen gik ikke videre til ham gennem Alans linje i Turing-familien). Dermot Turing (som for nylig skrev ) fortalte mig om "Turings bedstemor" (også kendt som Sarah Turing), hendes hus der tilsyneladende delte en haveindgang med hans familie, og mange andre ting om Alan Turing. Han fortalte mig, at familien aldrig havde nogen af Alan Turings personlige bøger.
Så jeg vendte tilbage til at læse testamenterne og opdagede, at Gandhis bobestyrer var hans elev Mike Yates. Jeg fandt ud af, at Mike Yates var gået på pension fra sit professorat for 30 år siden og nu bor i Nordwales. Han sagde, at i de årtier, han havde arbejdet med matematisk logik og beregningsteori, havde han aldrig rigtig rørt en computer - men endelig gjorde han det, da han gik på pension (hvilket var kort efter, at han opdagede programmet). Han sagde, at det var vidunderligt, at Turing var blevet så berømt, og at da han ankom til Manchester blot tre år efter Turings død, talte ingen om Turing, ikke engang Max Newman, da han underviste i logik. Gandy ville dog senere tale om, hvor rørt han var over sin omgang med Turings samlede papirer, og til sidst overlod han dem alle til Mike.
Hvad vidste Mike om Turings bøger? Han fandt en af Turings håndskrevne notesbøger, som Gandhi ikke havde givet til King's College, fordi (mærkeligt nok) Gandhi havde brugt den som en forklædning for de drømmenotater, han opbevarede. (Turing opbevarede også drømmenotater, som blev ødelagt efter hans død.) Mike sagde, at notesbogen for nylig var blevet solgt på auktion for omkring 1 million dollars. Og at han ellers ikke ville have gættet, at Gandhis ting indeholdt Turings materiale.
Det virkede som om, at alle vores muligheder var udtømte, men Mike bad mig om at se på det mystiske stykke papir. Og straks sagde han: "Dette er Robin Gandhis håndskrift!"Han sagde, at han havde set så meget af det gennem årene. Og han var sikker. Han sagde, at han ikke vidste meget om lambdaregning, og han kunne ikke rigtig læse siden, men han var sikker på, at Robin Gandy havde skrevet den."
Vi gik tilbage til vores håndskriftsekspert med flere prøver, og hun var enig i, at ja, det der var, matchede Gandhis håndskrift. Så fandt vi endelig ud af: Robin Gandy skrev det mystiske stykke papirDette blev ikke skrevet af Alan Turing; det blev skrevet af hans elev Robin Gandy.
Der er selvfølgelig stadig nogle mysterier tilbage. Turing lånte angiveligt Gandhi bogen, men hvornår? Ud fra den måde, lambdakalkulus er skrevet på, ser det ud til, at det var omkring 1930'erne. Men baseret på kommentarerne til hans afhandling, ville Gandhi sandsynligvis ikke have lavet noget med lambdakalkulus før slutningen af 1940'erne. Spørgsmålet bliver så, hvorfor Gandhi skrev den. Den ser ikke ud til at være direkte relateret til hans afhandling, så måske var det, da han først forsøgte at finde ud af lambdakalkulus.
Jeg tvivler på, at vi nogensinde får sandheden at kende, men det har bestemt været sjovt at forsøge at finde ud af det. Jeg må sige, at hele denne rejse har gjort meget for at udvide min forståelse af, hvor komplekse historierne i sådanne bøger fra tidligere århundreder, som dem jeg ejer, kan være. Det får mig til at tænke, at jeg hellere skal sørge for at kigge alle deres sider igennem, bare for at se, hvad der mon er interessant der…
Jeg vil gerne takke Jonathan Gorard (privatstudier ved Cambridge), Dana Scott (matematisk logik) og Matthew Shudzik (matematisk logik) for deres hjælp.
Om oversættelseOversættelse af Stephen Wolframs indlæg "".
Jeg udtrykker min dybe taknemmelighed и for hjælp til oversættelse og udarbejdelse af udgivelse.
Vil du lære at programmere i Wolfram-sproget?
Se ugentligt .
. Parat .
på Wolfram Language.
Kilde: www.habr.com
