Hvordan fik jeg denne bog?
I maj 2017 modtog jeg en e-mail fra min gamle gymnasielærer ved navn George Rutter, hvori han skrev: "Jeg har et eksemplar af Diracs store bog på tysk (Die Prinzipien der Quantenmechanik), som tilhørte Alan Turing, og efter at have læst din bog , det forekom mig indlysende, at du er præcis den person, der har brug for det" Han forklarede mig, at han modtog bogen fra en anden (på det tidspunkt afdød) skolelærer af mig , som jeg vidste var en ven af Alan Turing. George afsluttede sit brev med sætningen: "Hvis du vil have denne bog, kan jeg give dig den næste gang du kommer til England'.
Et par år senere, i marts 2019, ankom jeg faktisk til England, hvorefter jeg aftalte at møde George til morgenmad på et lille hotel i Oxford. Vi spiste, snakkede og ventede på, at maden faldt til ro. Så var det et godt tidspunkt at diskutere bogen. George rakte ud i sin dokumentmappe og trak et ret beskedent designet, typisk akademisk bind fra midten af 1900-tallet frem.
Jeg åbnede låget og spekulerede på, om der kunne være noget på bagsiden, hvor der stod: "Alan Turings ejendom" eller noget i den stil. Men det viste sig desværre ikke at være tilfældet. Den blev dog ledsaget af en ret udtryksfuld fire-siders note fra Norman Routledge til George Rutter, skrevet i 2002.
Jeg kendte Norman Rutledge, da jeg var studerende в i begyndelsen af 1970'erne. Han var en matematiklærer med tilnavnet "Nutty Norman." Han var en behagelig lærer på alle måder og fortalte endeløse historier om matematik og alt muligt andet interessant. Han var ansvarlig for at sikre, at skolen modtog en computer (programmeret ved hjælp af stanset tape på skrivebordet) - det var .
På det tidspunkt vidste jeg intet om Normans baggrund (husk, det var længe før internettet). Alt jeg vidste var, at han var "Dr. Rutledge." Han fortalte historier om Cambridge-folket ret ofte, men han nævnte aldrig Alan Turing i sine historier. Naturligvis var Turing endnu ikke særlig berømt (selv om jeg, som det viser sig, allerede havde hørt om ham fra en, der kendte ham i (palæet, hvor krypteringscentret var placeret under Anden Verdenskrig)).
Alan Turing blev først berømt i 1981, da jeg første gang , selvom den da stadig er i forbindelse med cellulære automater, og ikke .
Når pludselig en dag, mens du kigger gennem et katalog med kort på biblioteket , faldt jeg over en bog , skrevet af hans mor Sarah Turing. Bogen indeholdt en masse information, blandt andet om Turings upublicerede videnskabelige værker om biologi. Jeg lærte dog ikke noget om hans forhold til Norman Routledge, da der ikke blev nævnt noget om ham i bogen (selvom, som jeg fandt ud af, Sarah Turing , og Norman endte endda med at skrive ).
Ti år senere, ekstremt nysgerrig efter Turing og hans (dengang upublicerede) , Jeg besøgte в . Efter snart at være blevet bekendt med, hvad de havde af Turings arbejde, og efter at have brugt noget tid på det, tænkte jeg, at jeg lige så godt kunne bede om at se hans personlige korrespondance. Mens jeg kiggede igennem det, opdagede jeg fra Alan Turing til Norman Routledge.
På det tidspunkt blev den offentliggjort Andrew Hodges, som gjorde så meget for at sikre, at Turing endelig blev berømt, bekræftede, at Alan Turing og Norman Routledge faktisk var venner, og også at Turing var Normans videnskabelige rådgiver. Jeg ville spørge Routledge om Turing, men på det tidspunkt var Norman allerede pensioneret og levede et afsondret liv. Men da jeg afsluttede arbejdet med bogen "” i 2002 (efter min ti år lange afsondrethed) sporede jeg ham og sendte ham en kopi af bogen med overskriften “Til min sidste matematiklærer”. Så han og jeg lidt , og i 2005 kom jeg tilbage til England og aftalte at møde Norman til te på et luksushotel i det centrale London.
Vi havde en hyggelig snak om mange ting, inklusive Alan Turing. Norman begyndte vores samtale med at fortælle os, at han faktisk kendte Turing, for det meste overfladisk, for 50 år siden. Men alligevel havde han noget at fortælle om ham personligt: "Han var usocial". "Han fnisede meget". "Han kunne ikke rigtig tale med ikke-matematikere". "Han var altid bange for at forstyrre sin mor". "Han gik ud om dagen og løb et maraton". "Han var ikke for ambitiøs" Samtalen drejede sig derefter om Normans personlighed. Han sagde, at selvom han har været pensioneret i 16 år, skriver han stadig artikler til ""så at, med hans ord,"færdiggør alle dine videnskabelige værker, før du går videre til den næste verden", hvor, som han tilføjede med et svagt smil, "alle matematiske sandheder vil helt sikkert blive afsløret" Da teselskabet sluttede, tog Norman sin læderjakke på og satte kursen mod sin knallert, helt uvidende om på den dag.
Det var sidste gang, jeg så Norman; han døde i 2013.
Seks år senere sad jeg til morgenmad med George Rutter. Jeg havde med mig en note fra Rutledge, skrevet i 2002 med hans karakteristiske håndskrift:
Først skimmede jeg sedlen. Hun var udtryksfuld som sædvanlig:
Jeg modtog Alan Turings bog fra hans ven og bobestyrer (på King's College var det dagens orden at give bøger væk fra samlingen af døde kammerater, og jeg valgte en digtsamling fra bøger som en passende gave (han var dekan og sprang ned fra kapellet [i 1956])...
Senere i en kort note skriver han:
Du spørger, hvor denne bog skal ende - efter min mening bør den gå til en, der værdsætter alt, der er forbundet med Turings arbejde, så dens skæbne afhænger af dig.
Stephen Wolfram sendte mig sin imponerende bog, men jeg dykkede ikke dybt nok ned i den...
Han afsluttede med at lykønske George Rutter for at have modet til at flytte (midlertidigt, som det viste sig) til Australien efter pensioneringen, og sagde, at han selv "ville lege med at flytte til Sri Lanka som et eksempel på en billig og lotus-agtig tilværelse", men tilføjede at"de begivenheder, der i øjeblikket sker der, indikerer, at han ikke burde have gjort dette"(tilsyneladende betydning i Sri Lanka).
Så hvad gemmer der sig i bogens dybder?
Så hvad gjorde jeg med kopien af den tyske bog skrevet af Paul Dirac, som engang tilhørte Alan Turing? Jeg læser ikke tysk, men det har jeg i engelsk (som er originalsproget) udgave fra 1970'erne. Men en dag ved morgenmaden virkede det rigtigt, at jeg omhyggeligt skulle gennemgå bogen side for side. Det er jo almindelig praksis, når man beskæftiger sig med antikvariske bøger.
Det skal bemærkes, at jeg blev slået af elegancen af Diracs præsentation. Bogen udkom i 1931, men dens rene formalisme (og ja, trods sprogbarrieren kunne jeg læse matematikken i bogen) er næsten den samme, som hvis den var skrevet i dag. (Jeg vil ikke lægge for meget vægt på Dirac her, men min ven fortalte mig, at i det mindste efter hans mening er Diracs udlægning enstavelse. Norman Rutledge fortalte mig, at han var venner med i Cambridge , der blev grafteoretiker. Norman besøgte Diracs hus ret ofte og sagde, at den "store mand" nogle gange personligt faldt i baggrunden, mens den første altid var fuld af matematiske gåder. Jeg selv mødte desværre aldrig Paul Dirac, selvom jeg fik at vide, at efter at han endelig forlod Cambridge til Florida, mistede han meget af sin tidligere hårdhed og blev en ganske omgængelig person).
Men lad os vende tilbage til Diracs bog, som tilhørte Turing. På side 9 bemærkede jeg understregning og små noter i margenerne, skrevet med blyant. Jeg fortsatte med at bladre gennem siderne. Efter et par kapitler forsvandt noterne. Men så, pludselig fandt jeg en note vedhæftet side 127, hvor der stod:
Det blev skrevet på tysk med standard tysk håndskrift. Og det ser ud til, at hun kan have noget at gøre med . Jeg tænkte, at der nok var nogen, der havde ejet denne bog før Turing, og dette må være en note skrevet af denne person.
Jeg fortsatte med at bladre i bogen. Der var ingen noter. Og jeg tænkte, at jeg ikke kunne finde andet. Men så, på side 231, opdagede jeg et mærkevarebogmærke - med den trykte tekst:
Vil jeg ende med at opdage noget andet? Jeg fortsatte med at bladre i bogen. Så, i slutningen af bogen, på side 259, i afsnittet om relativistisk elektronteori, opdagede jeg følgende:
Jeg foldede dette stykke papir ud:
Jeg indså straks, hvad det var blandet med , men hvordan endte dette blad her? Lad os huske på, at denne bog er en bog om kvantemekanik, men den vedlagte folder omhandler matematisk logik, eller hvad der nu kaldes beregningsteorien. Dette er typisk for Turings forfatterskab. Jeg spekulerede på, om Turing personligt skrev denne note?
Selv under morgenmaden søgte jeg på internettet efter eksempler på Turings håndskrift, men fandt ingen eksempler i form af beregninger, så jeg kunne ikke drage konklusioner om håndskriftens nøjagtige identitet. Og snart skulle vi afsted. Jeg pakkede omhyggeligt bogen, klar til at afsløre mysteriet om, hvilken side det var, og hvem der skrev den, og tog den med mig.
Om bogen
Først og fremmest, lad os diskutere selve bogen. "» Diracs felter blev udgivet på engelsk i 1930 og blev hurtigt oversat til tysk. (Diracs forord er dateret 29. maj 1930; det tilhører oversætteren - - 15. august 1930.) Bogen blev en milepæl i udviklingen af kvantemekanikken, idet den systematisk etablerede en klar formalisme for udførelse af beregninger og blandt andet forklarede Diracs forudsigelse af , som åbner i 1932.
Hvorfor havde Alan Turing en bog på tysk og ikke engelsk? Jeg ved det ikke med sikkerhed, men dengang var tysk videnskabens førende sprog, og vi ved, at Alan Turing kunne læse det. (Trods alt i hans berømte navn arbejde « (Entscheidungsproblem)" var et meget langt tysk ord - og i hovedparten af artiklen opererer han med ret obskure gotiske symboler i form af "tyske bogstaver", som han brugte i stedet for for eksempel græske symboler).
Købte Alan Turing denne bog selv, eller blev den givet til ham? Jeg ved ikke. På indersiden af Turings bog er der en blyantsnotation "20/-", som var standardnotationen for "20 shilling", svarende til £1. På højre side er der et slettet "26.9.30", der formentlig betyder 26. september 1930, muligvis den dato, hvor bogen blev købt første gang. Så, yderst til højre, er det slettede nummer "20". Måske er det prisen igen. (Kan dette være prisen i , forudsat at bogen blev solgt i Tyskland? I de dage var 1 Reichsmark værd omkring 1 schilling, den tyske pris ville formentlig være skrevet som "RM20" for eksempel.) Endelig er der på indersiden af bagsiden "c 5/-" - måske denne, (med en stor rabat) pris for en brugt bog.
Lad os se på de vigtigste datoer i Alan Turings liv. Alan Turing (tilfældigvis præcis 76 år før ). I efteråret 1931 kom han ind på King's College, Cambridge. Han modtog sin bachelorgrad efter standard tre års studier i 1934.
I 1920'erne og begyndelsen af 1930'erne var kvantemekanik et varmt emne, og Alan Turing var bestemt interesseret i det. Fra hans arkiver ved vi, at han i 1932, så snart bogen udkom, modtog "» John von Neumann (på ). Vi ved også, at Turing i 1935 modtog en opgave fra en Cambridge-fysiker om emnet at studere kvantemekanik. (Fowler foreslog at beregne , hvilket faktisk er et meget komplekst problem, der kræver en fuld analyse med interagerende kvantefeltteori, som stadig ikke er fuldstændig løst).
Og alligevel, hvornår og hvordan fik Turing sit eksemplar af Diracs bog? I betragtning af at bogen har en markant pris, købte Turing den formodentlig brugt. Hvem var den første ejer af bogen? Noterne i bogen synes primært at beskæftige sig med logisk struktur, idet det bemærkes, at nogle logiske forhold bør tages som et aksiom. Hvad så med notatet på side 127?
Nå, måske er det en tilfældighed, men lige på side 127 - Dirac taler om kvante og lægger grunden til - som er grundlaget for al moderne kvanteformalisme. Hvad indeholder sedlen? Den indeholder en udvidelse af ligning 14, som er ligningen for tidsudviklingen af kvanteamplituden. Forfatteren af noten erstattede Dirac A for amplitude med ρ, hvilket måske afspejler en tidligere (væsketæthedsanalogi) tysk notation. Forfatteren forsøger derefter at udvide handlingen ved magt ℏ (, divideret med 2π, nogle gange kaldet ).
Men der ser ikke ud til at være meget nyttig information at hente fra det, der er på siden. Hvis du holder siden op mod lyset, indeholder den en lille overraskelse - et vandmærke, der siger "Z f. Fysik. Chem. B":
Dette er den forkortede version - et tysk tidsskrift om fysisk kemi, som begyndte at blive udgivet i 1928. Måske er notatet skrevet af en magasinredaktør? Her er en magasinoverskrift fra 1933. Redaktørerne er bekvemt listet efter placering, og en skiller sig ud: "Bourne · Cambridge."
Det er, hvad det er hvem er forfatteren og meget mere i teorien om kvantemekanik (såvel som sangerens bedstefar ). Så denne note kan være skrevet af Max Born? Men det er desværre ikke tilfældet, for håndskriften stemmer ikke overens.
Hvad med bogmærket på side 231? Her er det fra begge sider:
Bogmærket er mærkeligt og ret smukt. Men hvornår blev den lavet? I Cambridge er der , selvom det nu er en del af Blackwell. I mere end 70 år (indtil 1970) lå Heffers på adressen, som bogmærket viser, и .
Denne fane indeholder en vigtig nøgle - dette er telefonnummeret "Tlf. 862". Som det skete, skiftede det meste af Cambridge (inklusive Heffers) til firecifrede tal i 1939, og i 1940 blev bogmærker trykt med "moderne" telefonnumre. (Engelske telefonnumre blev gradvist længere; da jeg voksede op i England i 1960'erne, var vores telefonnumre "Oxford 56186" og "Kidmore End 2378". En del af grunden til, at jeg husker disse numre, er fordi, hvor mærkeligt det er nu det så ikke ud til, at jeg altid ringede til mit nummer, når jeg besvarede et indgående opkald).
Bogmærket blev trykt i denne form indtil 1939. Men hvor lang tid før det? Der er en del scanninger af gamle Heffers-reklamer online, der dateres tilbage til mindst 1912 (sammen med "Vi beder dig venligst opfylde dine anmodninger..."), de fuldender "Telefon 862" ved at tilføje "(2 linjer)." Der er også nogle bogmærker med lignende designs, der kan findes i bøger så langt tilbage som 1904 (selvom det er uklart, om de var originale til disse bøger (dvs. trykt på samme tid). Med henblik på vores undersøgelse ser det ud til, at vi kan konkludere, at denne bog kom fra Heffer's (som i øvrigt var hovedboghandelen i Cambridge) engang mellem 1930 og 1939.
Lambdaregningsside
Så nu ved vi noget om, hvornår bogen er købt. Men hvad med "lambda-regningssiden"? Hvornår blev dette skrevet? Nå, naturligvis, på det tidspunkt burde lambdaregning allerede være opfundet. Og det blev gjort , matematiker fra , i sin oprindelige form i 1932 og i sin endelige form i 1935. (Der var værker af tidligere videnskabsmænd, men de brugte ikke notationen λ).
Der er en kompleks sammenhæng mellem Alan Turing og lambdaregning. I 1935 blev Turing interesseret i "mekanisering" af matematiske operationer og opfandt ideen om en Turing-maskine, ved at bruge den til at løse problemer i matematikkens grundlag. Turing sendte en artikel om dette emne til et fransk magasin (), men det gik tabt med posten; og så viste det sig, at modtageren, som han sendte det til, ikke var der alligevel, da han var flyttet til Kina.
Men i maj 1936, før Turing kunne sende sit papir et andet sted hen, . Turing havde tidligere klaget over det, da han udviklede beviset i 1934 , så opdagede jeg, at der var en norsk matematiker, der allerede havde i 1922 år.
Det er ikke svært at se, at Turing-maskiner og lambdaregning faktisk er ækvivalente i den slags beregninger, de kan repræsentere (og det er en start ). Men Turing (og hans lærer ) var overbevist om, at Turings tilgang var anderledes nok til, at den fortjente sin egen udgivelse. I november 1936 (og med stavefejl rettet den følgende måned) i Turings berømte papir blev offentliggjort .
For at udfylde tidslinjen lidt: fra september 1936 til juli 1938 (med tre måneders pause i sommeren 1937) var Turing i Princeton, efter at have rejst dertil med det mål at blive kandidatstuderende i Alonzo Church. I denne periode i Princeton koncentrerede Turing sig tilsyneladende udelukkende om matematisk logik og skrev flere , - og højst sandsynligt havde han ikke en bog om kvantemekanik med sig.
Turing vendte tilbage til Cambridge i juli 1938, men i september samme år arbejdede han på deltid kl , og et år senere flyttede han til Bletchley Park med det mål at arbejde der på fuld tid med spørgsmål relateret til kryptoanalyse. Efter krigens afslutning i 1945 flyttede Turing til London for at arbejde for om udvikling af et projekt til at skabe . Han tilbragte det akademiske år 1947-8 i Cambridge, men flyttede derefter til Manchester for at udvikle sig .
I 1951 begyndte Turing at studere seriøst . (For mig personligt er denne kendsgerning noget ironisk, fordi det forekommer mig, at Turing altid ubevidst troede, at biologiske systemer skulle modelleres ved differentialligninger, og ikke af noget diskret som Turing-maskiner eller cellulære automater). Han vendte også sin interesse tilbage til fysik, og i 1954 endda , Hvad: "Jeg prøvede at opfinde en ny kvantemekanik"(selvom han tilføjede:"men faktisk er det ikke et faktum, at det vil lykkes"). Men desværre fik alt en brat ende den 7. juni 1954, da Turing pludselig døde. (Jeg gætter på, at det ikke var selvmord, men det er en anden historie.)
Så lad os gå tilbage til lambdaregningssiden. Lad os holde det op mod lyset og se vandmærket igen:
Det ser ud til at være et stykke britisk fremstillet papir, og det forekommer mig usandsynligt, at det ville være blevet brugt i Princeton. Men kan vi datere det nøjagtigt? Nå, ikke uden hjælp , ved vi, at den officielle producent af papiret var Spalding & Hodge, Papermakers, Drury House Wholesale and Export Company, Russell Street, Drury Lane, Covent Garden, London. Dette kan måske hjælpe os, men ikke særlig meget, da det kan antages, at deres papirmærke Excelsior synes at have været inkluderet i forsyningskataloger fra 1890'erne til 1954.
Hvad siger denne side?
Så lad os se nærmere på, hvad der er på begge sider af papiret. Lad os starte med lambdas.
Her er en måde at bestemme , og de er et grundlæggende begreb i matematisk logik, og nu i funktionel programmering. Disse funktioner er ret almindelige i sproget , og deres opgave er ret nem at forklare. Nogen skriver f.eks f[x] for at angive en funktion f, anvendt på argumentet x. Og der er mange navngivne funktioner f såsom eller eller . Men hvad nu hvis nogen vil f[x] var 2x +1? Der er ikke noget direkte navn til denne funktion. Men er der en anden form for opgave, f[x]?
Svaret er ja: i stedet f vi skriver Function[a,2a+1]. Og på Wolfram-sprog Function [a,2a+1][x] anvender funktioner på argument x, producerer 2x+1. Function[a,2a+1] er en "ren" eller "anonym" funktion, der repræsenterer den rene operation med at gange med 2 og lægge 1 til.
Så λ i lambda-regning er en nøjagtig analog i Wolfram-sproget - og derfor f.eks. λa.(2 a+1) tilsvarende Function[a, 2a + 1]. (Det er værd at bemærke, at en funktion f.eks. Function[b,2b+1] tilsvarende; "bundne variable" a eller b er simpelthen funktionsargumentsubstitutioner - og i Wolfram-sproget kan de undgås ved at bruge alternative rene funktionsdefinitioner (2# +1)&).
I traditionel matematik tænkes funktioner typisk som objekter, der repræsenterer input (som også er heltal, for eksempel) og output (som også er, for eksempel heltal). Men hvad er det for en genstand? (eller λ)? Grundlæggende er det en strukturoperator, der tager udtryk og omdanner dem til funktioner. Dette kan virke lidt mærkeligt set fra traditionel matematik og matematisk notation, men hvis man skal lave vilkårlig symbolmanipulation, er det meget mere naturligt, selvom det umiddelbart virker lidt abstrakt. (Det skal bemærkes, at når brugere lærer Wolfram-sproget, kan jeg altid se, at de har passeret en vis tærskel for abstrakt tænkning, når de opnår en forståelse af ).
Lambdaer er kun en del af det, der er til stede på siden. Der er et andet, endnu mere abstrakt begreb - dette . Overvej den ret obskure streng PI1IIx? Hvad kunne dette betyde? I det væsentlige er dette en sekvens af kombinatorer eller en abstrakt sammensætning af symbolske funktioner.
Den sædvanlige overlejring af funktioner, som er ganske velkendte i matematik, kan skrives på Wolfram-sproget som: f[g[x]] - hvilket betyder "anvend" f til resultatet af ansøgningen g к x" Men er parenteser virkelig nødvendige for dette? På Wolfram-sprog f@g@ x - en alternativ form for optagelse. I dette indlæg stoler vi på definitionen i Wolfram-sproget: @-operatoren er forbundet med højre side, så f@g@x tilsvarende f@(g@x).
Men hvad vil optagelsen betyde? (f@g)@x? Dette svarer til f[g][x]. Og hvis f и g var almindelige funktioner i matematik, ville det være meningsløst, men hvis f — derefter f[g] i sig selv kan være en funktion, der godt kan anvendes på x.
Bemærk, at der stadig er en vis kompleksitet her. I f[х] — f er en funktion af et argument. OG f[х] svarer til at skrive Function[a, f[a]][x]. Men hvad med en funktion med to argumenter, f.eks f[x,y]? Dette kan skrives som Function[{a,b},f[a, b]][x, y]. Men hvad nu hvis Function[{a},f[a,b]]? Hvad er dette? Der er en "fri variabel" her b, som blot overføres til funktionen. Function[{b},Function[{a},f[a,b]]] vil binde denne variabel og derefter Function[{b},Function[{a},f [a, b]]][y][x] Det giver f[x,y] en gang til. (At specificere en funktion, så den har ét argument, kaldes "currying" til ære for den navngivne logiker ).
Hvis der er frie variable, så er der mange forskellige kompleksiteter med hensyn til, hvordan funktioner kan defineres, men hvis vi begrænser os til objekter eller λ, som ikke har frie variable, så kan de som udgangspunkt specificeres frit. Sådanne objekter kaldes kombinatorer.
Kombinatorer har en lang historie. Det er kendt, at de først blev foreslået i 1920 af en studerende — .
På det tidspunkt var det først for ganske nylig, at man opdagede, at der ikke var behov for at bruge udtrykkene , и at repræsentere udtryk i standard propositionel logik: det var nok at bruge en enkelt operator, som vi nu vil kalde (fordi f.eks. hvis du skriver som · da Or[a,b] vil tage formen ). Schoenfinkel ønskede at finde den samme minimale repræsentation af prædikatlogik, eller i det væsentlige logik inklusive funktioner.
Han kom op med to "kombinatorer" S og K. I Wolfram-sproget vil dette blive skrevet som
K[x_][y_] → x og S[x_][y_][z_] → x[z][y[z]].
Det er bemærkelsesværdigt, at det viste sig at være muligt at bruge disse to kombinatorer til at udføre enhver beregning. For eksempel,
S[K[S]][S[K[S[K[S]]]][S[K[K]]]]
kan bruges som en funktion til at tilføje to heltal.
Disse er mildest talt ret abstrakte objekter, men nu hvor vi forstår, hvad Turing-maskiner og lambdaregning er, kan vi se, at Schoenfinkel-kombinatorer faktisk forudså konceptet med universel databehandling. (Og hvad der er endnu mere bemærkelsesværdigt er, at 1920-definitionerne af S og K er minimalt enkle og minder om , som jeg foreslog i 1990'erne, hvis alsidighed var ).
Men lad os vende tilbage til vores blad og streg PI1IIx. Symbolerne skrevet her er kombinatorer, og de er alle designet til at specificere en funktion. Her er definitionen, at overlejringen af funktioner skal efterlades associativ, således at fgx skal ikke fortolkes som f@g@x eller f@(g@x) eller f[g[x]], men snarere som (f@g)@x eller f[g][x]. Lad os oversætte denne post til en formular, der er praktisk til brug for Wolfram-sproget: PI1IIx vil tage formen p[i][en][i][i][x].
Hvorfor skrive sådan noget? For at forklare dette er vi nødt til at diskutere begrebet kirketal (opkaldt efter Alonzo-kirken). Lad os sige, at vi bare arbejder med symboler og lambdaer eller kombinatorer. Er der en måde at bruge dem til at specificere heltal?
Hvad med at vi bare siger, at antallet n svarer til Function[x, Nest[f,x,n]]? Eller med andre ord, at (i kortere notation):
1 er f[#]&
2 er f[f[#]]&
3 er f[f[f[#]]]& og så videre.
Det hele virker måske lidt mere uklart, men grunden til, at det er interessant, er, at det giver os mulighed for at gøre alting fuldstændig symbolsk og abstrakt uden at skulle tale om noget som heltal.
Med denne metode til at angive tal, forestil dig f.eks. at tilføje to tal: 3 kan repræsenteres som f[f[f[#]]]& og 2 er f[f[#]]&. Du kan tilføje dem ved blot at anvende en af dem på den anden:
Men hvad er genstanden? f? Det kan være hvad som helst! På en måde "gå til lambda" hele vejen og repræsentere tal ved hjælp af funktioner, der tager f som et argument. Med andre ord, lad os repræsentere 3, for eksempel som Function[f,f[f[f[#]]] &] eller Function[f,Function[x,f[f[f[x]]]]. (hvornår og hvordan du skal navngive variabler er rub i lambda-regning).
Overvej et fragment af Turings papir fra 1937 , som opsætter objekter nøjagtigt som vi lige har diskuteret:
Det er her, optagelsen kan blive lidt forvirrende. x Turing er vores f, Og hans x' (maskinskriveren lavede en fejl ved at indsætte et mellemrum) - dette er vores x. Men nøjagtig samme tilgang bruges her.
Så lad os se på linjen lige efter folden på forsiden af papiret. Det her I1IIIYI1IIx. Ifølge Wolfram Language-notationen ville dette være i[one][i][i][y][i][one][i][i][x]. Men her er jeg identitetsfunktionen, så i[one] det viser sig simpelthen en. I mellemtiden en er Kirkens numeriske fremstilling for 1 hhv Function[f,f[#]&]. Men med denne definition one[а] bliver a[#]& и one[a][b] bliver a[b]. (I øvrigt, i[а][b]Eller Identity[а][b] er også а[b]).
Det bliver meget tydeligere, hvis vi skriver udskiftningsreglerne vedr i и eni stedet for direkte at anvende lambdaregning. Resultatet bliver det samme. Anvend disse regler eksplicit, vi får:
Og dette er nøjagtigt det samme som præsenteret i den første forkortede post:
Lad os nu se på bladet igen, øverst:
Der er nogle ret forvirrende og forvirrende objekter "E" og "D" her, men med disse mener vi "P" og "Q", så vi kan skrive udtrykket ud og evaluere det (bemærk at her - efter en vis forvirring med allersidste symbol - den "mystiske videnskabsmand" sætter […] og (...) for at repræsentere anvendelsen af funktionen):
Så dette er den første forkortelse, der vises. For at se mere, lad os tilføje definitionerne for Q:
Vi får præcis følgende reduktion vist. Hvad sker der, hvis vi erstatter udtryk med P?
Her er resultatet:
Og nu, ved at bruge det faktum, at i er en funktion, der udsender selve argumentet, får vi:
Ups! Men dette er ikke den næste optagede linje. Er der en fejl her? Uklar. For i modsætning til de fleste andre tilfælde er der trods alt ingen pil, der indikerer, at den næste linje følger af den forrige.
Der er lidt af et mysterium her, men lad os gå videre til bunden af arket:
Her er 2 kirkenummeret, f.eks. bestemt af mønsteret two[a_] [b_] → a[a[b]]. Bemærk, at dette faktisk er formen af den anden linje, hvis a betragtes som Function[r,r[р]] и b som q. Så vi forventer, at resultatet af beregningen bliver som følger:
Dog udtrykket indeni а[b] kan skrives som x (sandsynligvis forskellig fra x tidligere skrevet på stykket papir) - til sidst får vi det endelige resultat:
Så vi kan dechifrere lidt af, hvad der foregår på dette stykke papir, men mindst et mysterium, der stadig er tilbage, er, hvad Y formodes at være.
Faktisk er der i kombinatorisk logik en standard Y-kombinator: den såkaldte . Formelt defineres det ved, at Y[f] skal være ens f[Y[f]], eller med andre ord, at Y[f] ændres ikke, når f anvendes, så det er et fast punkt for f. (Kombinatoren Y er forbundet med #0 på Wolfram-sproget.)
I øjeblikket er Y-kombinatoren blevet berømt takket være , så navngivet (som har været fan i lang tid и og implementerede den allerførste webbutik baseret på dette sprog). Han fortalte mig engang personligt "ingen forstår, hvad en Y-kombinator er" (Det skal bemærkes, at Y Combinator er præcis det, der gør det muligt for virksomheder at undgå transaktioner med faste punkter...)
Y-kombinatoren (som en fastpunktskombinator) er blevet opfundet flere gange. Turing kom faktisk med en implementering af det i 1937, som han kaldte Θ. Men er bogstavet "Y" på vores side den berømte fastpunktskombinator? Måske ikke. Så hvad er vores "Y"? Overvej denne forkortelse:
Men denne information er tydeligvis ikke nok til entydigt at afgøre, hvad Y er. Det er klart, at Y ikke kun opererer med ét argument; Det ser ud til, at der er mindst to argumenter involveret, men det er uklart (i hvert fald for mig), hvor mange argumenter det tager som input, og hvad det gør.
Til sidst, selvom vi kan forstå mange dele af papiret, må vi sige, at det på globalt plan ikke er klart, hvad der blev gjort på det. Selvom der er meget forklaring involveret i, hvad der står på arket her, er det ret grundlæggende i lambda-regning og brug af kombinatorer.
Formentlig er dette et forsøg på at skabe et simpelt "program" - ved at bruge lambdaregning og kombinatorer til at gøre noget. Men så meget som dette er typisk for reverse engineering, er det svært for os at sige, hvad det "noget" skal være, og hvad det overordnede "forklarlige" mål er.
Der er endnu en funktion præsenteret på arket, som er værd at kommentere på her - brugen af forskellige typer parenteser. Traditionel matematik bruger for det meste parenteser til alt - og funktionsapplikationer (som i f (x)), og grupperinger af medlemmer (som i (1+x) (1-x)eller, mindre indlysende, a(1-x)). (I Wolfram-sproget adskiller vi de forskellige anvendelser af parenteser - i firkantede parenteser for at definere funktioner f [x] - og parenteser bruges kun til gruppering).
Da lambdaregning først dukkede op, var der mange spørgsmål om brugen af parenteser. Alan Turing skulle senere skrive et helt (upubliceret) værk med titlen”, men allerede i 1937 følte han, at han havde brug for at beskrive de moderne (temmelig hackede) definitioner for lambdaregning (som i øvrigt dukkede op på grund af Kirken).
Han sagde det f, anvendt på g, skal skrives {f}(g), Hvis bare f er ikke den eneste karakter, i dette tilfælde kunne det være f(g). Så sagde han lambda (som i Function[a, b]) skal skrives som λ a[b] eller alternativt λ a.b.
Men måske i 1940 var hele ideen om at bruge {...} og […] til at repræsentere forskellige objekter blevet opgivet, stort set til fordel for standard parenteser i matematisk stil.
Tag et kig øverst på siden:
I denne form er det svært at forstå. I Kirkens definitioner er kantede parenteser beregnet til gruppering, hvor en åben parentes erstatter perioden. Ved at bruge denne definition bliver det klart, at Q (til sidst mærket D), som er omgivet af parentes i slutningen, er det, som hele den indledende lambda gælder for.
Den firkantede parentes her afgrænser faktisk ikke lambdaens krop; i stedet repræsenterer det faktisk en anden anvendelse af funktionen, og der er ingen eksplicit indikation af, hvor kroppen af lambdaen ender. Til sidst kan det ses, at den "mystiske videnskabsmand" har ændret den afsluttende firkantede parentes til en rund parentes og derved effektivt anvendt Kirkens definition - og derved tvunget udtrykket til at blive beregnet som vist på arket.
Så hvad betyder dette lille stykke overhovedet? Jeg synes, det tyder på, at siden er skrevet i 1930'erne, eller ikke alt for længe efter, da konventionerne for parentes endnu ikke var slået fast til den tid.
Så hvis håndskrift var dette overhovedet?
Så før dette talte vi om, hvad der står på siden. Men hvad med hvem der egentlig har skrevet det?
Den mest oplagte kandidat til denne rolle ville være Alan Turing selv, da siden trods alt var inde i hans bog. Indholdsmæssigt synes der ikke at være noget uforeneligt med tanken om, at Alan Turing kunne have skrevet det - selv da han først fik fat i lambdaregning efter at have modtaget Churchs papir i begyndelsen af 1936.
Hvad med håndskrift? Tilhører det Alan Turing? Lad os se på et par overlevende eksempler, som vi med sikkerhed ved er skrevet af Alan Turing:
Den præsenterede tekst ser naturligvis meget anderledes ud, men hvad med den notation, der bruges i teksten? Efter min mening ser det i hvert fald ikke så indlysende ud - og man kan antage, at enhver forskel netop kan skyldes, at de eksisterende prøver (fremstillet i arkiverne) så at sige er skrevet "på overfladen" , mens vores siden netop er en afspejling af tankeværket.
Det viste sig praktisk for vores undersøgelse, at Turings arkiv indeholder en side, som han skrev på , nødvendig for notation. Og når man sammenligner disse symboler bogstav for bogstav, ligner de mig ret meget (disse noter blev lavet i Turing, da han studerede , deraf etiketten "bladområde"):
Jeg ville undersøge dette nærmere, så jeg sendte prøver , en professionel håndskriftsekspert (og forfatter til håndskriftsbaserede problemer), som jeg havde fornøjelsen af at møde én gang - blot ved at præsentere vores papir som "Sample 'A'" og et eksisterende eksempel på Turings håndskrift som "Sample 'B'." Hendes svar var endeligt og negativt: "Skrivestilen er helt anderledes. Med hensyn til personlighed har prøve "B" forfatter en hurtigere og mere intuitiv tænkestil end prøve "A" forfatter.'.
Jeg var ikke helt overbevist endnu, men jeg besluttede, at det var på tide at se på andre muligheder.
Så hvis det viser sig, at Turing ikke har skrevet det, hvem gjorde så? Norman Routledge fortalte mig, at han modtog bogen fra Robin Gandy, som var Turings eksekutor. Så jeg sendte "Sample "C"" fra Gandhi:
Men Sheilas første konklusion var, at de tre prøver sandsynligvis var skrevet af tre forskellige personer, og igen bemærkede, at prøve "B" kom fra "den hurtigste tænker – den, der sandsynligvis er mest villig til at lede efter usædvanlige løsninger på problemer" (Jeg finder det forfriskende, at en moderne håndskriftsekspert ville give denne vurdering af Turings håndskrift, i betragtning af hvor meget alle klagede over hans håndskrift i Turings skoleopgaver fra 1920'erne.)
Nå, på dette tidspunkt så det ud til, at både Turing og Gandhi var blevet udelukket som "mistænkte". Så hvem kunne have skrevet dette? Jeg begyndte at tænke på de mennesker, Turing kunne have lånt sin bog til. De skal selvfølgelig også kunne lave beregninger ved hjælp af lambdaregning.
Jeg antog, at personen måtte være fra Cambridge, eller i det mindste England, givet vandmærket på papiret. Jeg tog det som en arbejdshypotese, at 1936 eller deromkring var et godt tidspunkt at skrive dette. Så hvem kendte og kommunikerede Turing med på det tidspunkt? For denne periode har vi fået en liste over alle studerende og lærere i matematik på King's College. (Der var 13 kendte studerende, der studerede fra 1930 til 1936.)
Og af dem virkede den mest lovende kandidat . Han var på samme alder som Turing, hans mangeårige ven, og han var også interesseret i grundlæggende matematik - i 1933 udgav han endda et papir om det, vi nu kalder : 0.12345678910111213... (opnået af 1, 2, 3, 4,..., 8, 9, 10, 11, 12,... og et af de meget få tal i den forstand, at hver mulig blok af cifre forekommer med lige stor sandsynlighed).
I 1937 brugte han endda Diracs gammamatricer, som nævnt i Diracs bog, til at løse . (Som det sker, år senere blev jeg en stor fan af gammamatrix-beregninger).
Efter at have begyndt at studere matematik, kom Champernowne under indflydelse (også på King's College) og blev til sidst en fremtrædende økonom, der især arbejdede med indkomstulighed. (I 1948 arbejdede han dog også sammen med Turing for at skabe - et skakprogram, som praktisk talt blev det første i verden, der blev implementeret på en computer).
Men hvor kunne jeg finde et eksempel på Champernownes håndskrift? Jeg fandt hurtigt hans søn Arthur Champernowne på LinkedIn, som mærkeligt nok havde en grad i matematisk logik og arbejdede for Microsoft. Han sagde, at hans far talte en del med ham om Turings arbejde, selvom han ikke nævnte kombinatorer. Han sendte mig en prøve af sin fars håndskrift (et fragment om algoritmisk musikkomposition):
Du kan med det samme se, at håndskrifterne ikke matchede (krøller og haler i bogstaverne f i Champernownes håndskrift osv.)
Så hvem kunne det ellers være? Jeg har altid beundret , på mange måder en mentor for Alan Turing. Newman interesserede først Turing"mekanisering af matematik" var hans mangeårige ven og blev år senere hans chef ved et computerprojekt i Manchester. (På trods af sin interesse for beregninger, synes Newman altid primært at have set sig selv som en topolog, selvom hans konklusioner blev understøttet af et fejlagtigt bevis, han hentede fra ).
Det var ikke svært at finde en prøve af Newmans håndskrift – og igen, nej, håndskrifterne stemte bestemt ikke overens.
"Spor" af bogen
Så ideen om at identificere håndskrift mislykkedes. Og jeg besluttede, at det næste skridt at tage var at prøve at spore lidt mere detaljeret, hvad der faktisk skete med bogen, som jeg holdt i mine hænder.
Så først og fremmest, hvad var den længere historie med Norman Rutledge? Han gik på King's College, Cambridge i 1946 og mødte Turing (ja, begge var homoseksuelle). Han dimitterede fra college i 1949, og begyndte derefter at skrive sin ph.d.-afhandling med Turing som sin rådgiver. Han modtog sin ph.d. i 1954, hvor han arbejdede på matematisk logik og rekursionsteori. Han modtog et personligt stipendium til King's College, og i 1957 blev han leder af den matematiske afdeling der. Han kunne have gjort dette hele sit liv, men han havde brede interesser (musik, kunst, arkitektur, rekreativ matematik, genealogi osv.). I 1960 ændrede han sin akademiske retning og blev lærer på Eton, hvor generationer af studerende (inklusive mig selv) arbejdede (og studerede) og blev udsat for hans eklektiske og nogle gange endda mærkelige viden.
Kunne Norman Routledge selv have skrevet denne mystiske side? Han kendte lambdaregning (selvom han tilfældigvis nævnte det, da vi havde te i 2005, at han altid fandt det "forvirrende"). Men hans karakteristiske håndskrift udelukker ham straks som en mulig "mystisk videnskabsmand."
Kunne siden på en eller anden måde være forbundet med en elev af Norman, måske fra da han stadig var i Cambridge? Jeg tvivler. For jeg tror ikke, at Norman nogensinde har studeret lambdaregning eller noget lignende. Mens jeg skrev denne artikel, opdagede jeg, at Norman havde skrevet et papir i 1955 om at skabe logik på "elektroniske computere" (og skabe konjunktive normale former, som den indbyggede funktion nu gør ). Da jeg kendte Norman, var han meget interesseret i at skrive hjælpeprogrammer til rigtige computere (hans initialer var "NAR", og han kaldte sine programmer "NAR...", for eksempel "NARLAB", et program til at lave tekstetiketter ved hjælp af hullet hul "mønstre" "på papirbånd). Men han talte aldrig om teoretiske beregningsmodeller.
Lad os læse Normans notat inde i bogen lidt nærmere. Det første vi vil bemærke er, at han taler om "tilbud om bøger fra den afdødes bibliotek" Og ud fra ordlyden lyder det, som om det hele skete ret hurtigt efter mandens død, hvilket tyder på, at Norman modtog bogen kort efter Turing døde i 1954, og at Gandhi havde savnet den i betydelig lang tid. Norman fortæller videre, at han faktisk modtog fire bøger, to om ren matematik og to om teoretisk fysik.
Så sagde han, at han gav "en anden fra en fysikbog (en slags, )""Til Sebag Montefiore, en behagelig ung mand, som du måske husker [George Rutter]" Okay, hvem er han så? Jeg gravede min sjældent brugte medlemsliste frem . (Jeg må rapportere, at da jeg åbnede den, kunne jeg ikke undgå at bemærke dens regler siden 1902, hvoraf den første, under overskriften "Medlemsrettigheder", lød sjovt: "Klæd dig i foreningens farver").
Det skal tilføjes, at jeg sandsynligvis aldrig ville have meldt mig ind i dette selskab eller modtaget denne bog, hvis det ikke havde været for opfordring fra en Eton-ven ved navn , der havde planlagt siden han var 12 til en dag at blive premierminister, men desværre døde i en alder af 21).
Men under alle omstændigheder var der kun fem af de personer, der var opført med efternavnet Sebag-Montefiore, med en bred vifte af studiedatoer. Det var ikke svært at forstå, at det var passende . Lille verden, som det viser sig, ejede hans familie Bletchley Park, før han solgte den til den britiske regering i 1938. Og i 2000 skrev Sebag-Montefiore - det er efter al sandsynlighed derfor, at Norman i 2002 besluttede at give ham bogen, som Turing ejede.
Okay, hvad med de andre bøger, Norman fik fra Turing? Da jeg ikke havde nogen anden måde at finde ud af, hvad der skete med dem, bestilte jeg en kopi af Normans testamente. Den sidste klausul i testamentet var tydeligvis i Normans stil:
I testamentet stod der, at Normans bøger skulle efterlades på King's College. Og selvom hans komplette samling af bøger ser ud til at være ingen steder at finde, er Turings to bøger om ren matematik, som han nævnte i sit notat, nu behørigt arkiveret på King's College Library.
Næste spørgsmål: hvad skete der med Turings andre bøger? Jeg kiggede på Turings testamente, som viste sig at overlade dem alle til Robin Gandy.
Gandhi var matematikstuderende ved King's College, Cambridge, som blev venner med Alan Turing i sit sidste år på college i 1940. I starten af krigen arbejdede Gandhi med radio og radar, men i 1944 blev han tilknyttet samme enhed som Turing og arbejdede med talekryptering. Og efter krigen vendte Gandhi tilbage til Cambridge og modtog snart sin doktorgrad, og Turing blev hans rådgiver.
Hans arbejde i militæret førte tilsyneladende til, at han interesserede sig for fysik, og hans afhandling, afsluttet i 1952, havde titlen . Det, Gandhi så ud til at forsøge at gøre, var måske at karakterisere fysiske teorier i form af matematisk logik. Han taler om и , men ikke om Turing-maskiner. Og ud fra hvad vi ved nu, tror jeg, vi kan konkludere, at han snarere missede pointen. Og sandelig, har argumenteret siden begyndelsen af 1980'erne, at fysiske processer bør betragtes som "forskellige beregninger" - for eksempel som Turing-maskiner eller cellulære automater - snarere end som teoremer, der skal udledes. (Gandhi diskuterer ganske pænt rækkefølgen af typer involveret i fysiske teorier, og siger for eksempel at "Jeg tror, at rækkefølgen af ethvert beregneligt decimaltal i binær form er mindre end otte"). Han sagde det "En af grundene til, at moderne kvantefeltteori er så kompleks, er kun fordi den beskæftiger sig med objekter af en ret kompleks type - funktionaler af funktioner...", hvilket i sidste ende betyder, at"vi kunne godt tage den største type almindelig brug som et mål for matematiske fremskridt. ")
Gandhi nævner Turing flere gange i afhandlingen og bemærker i indledningen, at han står i gæld til A. M. Turing, som "henledte først hans noget ufokuserede opmærksomhed på Churchs kalkulation” (dvs. lambdaregning), selvom hans afhandling faktisk har flere lambdabeviser.
Efter at have forsvaret sin afhandling, vendte Gandhi sig til en renere matematisk logik og skrev i mere end tre årtier artikler med en hastighed på én om året, og disse artikler blev ganske vellykket citeret i fællesskabet af international matematisk logik. Han flyttede til Oxford i 1969, og jeg tror, jeg må have mødt ham i min ungdom, selv om jeg ikke har nogen erindring om det.
Gandhi idoliserede tilsyneladende Turing i høj grad og talte ofte om ham i senere år. Dette rejser spørgsmålet om den komplette samling af Turings værker. Kort efter Turings død bad Sarah Turing og Max Newman Gandhi - som hans eksekutør - om at sørge for udgivelsen af Turings upublicerede værker. Årene gik og afspejle Sarah Turings frustration over dette spørgsmål. Men på en eller anden måde syntes Gandhi aldrig at have planlagt at samle Turings papirer.
Gandhi døde i 1995 uden at samle de færdige værker. - litteraturkritiker og biograf , som Turing mødte på King's College, var Turings litterære agent, og han begyndte endelig at arbejde på Turings samlede værker. Det mest kontroversielle syntes at være bindet om matematisk logik, for hvilket han tiltrak sin første seriøse kandidatstuderende, Robin Gandy, en vis , der fandt breve til Gandhi om indsamlede værker, der ikke var blevet startet i 24 år. ( dukkede endelig op i 2001 - 45 år efter deres udgivelse).
Men hvad med de bøger, som Turing personligt ejede? Jeg fortsatte med at forsøge at spore dem, og mit næste stop var Turing-familien, og især Turings brors yngste søn, (som faktisk er Sir Dermot Turing, på grund af det faktum, at han var det , denne titel gik ikke til ham gennem Alan i Turing-familien). Dermot Turing (som for nylig skrev ) fortalte mig om "Turings bedstemor" (alias Sarah Turing), hendes hus delte åbenbart en haveindgang med hans familie og mange andre ting om Alan Turing. Han fortalte mig, at Alan Turings personlige bøger aldrig havde været i deres familie.
Så jeg gik tilbage til at læse testamenterne og opdagede, at Gandhis bobestyrer var hans elev Mike Yates. Jeg lærte, at Mike Yates gik på pension som professor for 30 år siden og nu bor i det nordlige Wales. Han sagde, at i de årtier, han arbejdede med matematisk logik og beregningsteori, rørte han aldrig rigtig ved en computer - men det gjorde han til sidst, da han gik på pension (og det skete, kort efter han opdagede programmet ). Han sagde, hvor vidunderligt det var, at Turing var blevet så berømt, og at da han ankom til Manchester kun tre år efter Turings død, var der ingen, der talte om Turing, ikke engang Max Newman, da han underviste i et kursus i logik. Gandy ville dog senere fortælle om, hvor meget han blev begejstret for at beskæftige sig med Turings samling af værker, og i sidste ende overlod dem alle til Mike.
Hvad vidste Mike om Turings bøger? Han fandt en af Turings håndskrevne notesbøger, som Gandhi ikke gav til King's College, fordi Gandhi (mærkeligt nok) brugte den som en forklædning for de noter, han havde om sine drømme. (Turing førte også noter om sine drømme, som blev ødelagt efter hans død.) Mike sagde, at notesbogen for nylig blev solgt på auktion for omkring 1 million dollars. Og at han ellers ikke ville have troet, at der blandt Gandhis ting var Turing-materialer.
Det så ud til, at alle vores muligheder var tørret ud, men Mike bad mig se på det mystiske stykke papir. Og straks sagde han: "Dette er Robin Gandys håndskrift!»Han sagde, at han havde set så mange ting gennem årene. Og han var sikker. Han sagde, at han ikke vidste meget om lambdaregning og ikke rigtig kunne læse siden, men han var sikker på, at Robin Gandy havde skrevet den.
Vi gik tilbage til vores håndskriftsekspert med flere prøver, og hun var enig i, at ja, det, der var der, matchede Gandhis håndskrift. Så fandt vi endelig ud af det: Robin Gandy skrev det mystiske stykke papir. Det var ikke skrevet af Alan Turing; det er skrevet af hans elev Robin Gandy.
Selvfølgelig er der stadig nogle mysterier tilbage. Turing lånte angiveligt Gandhi bogen, men hvornår? Formen for lambdaregning får det til at se ud som om det var omkring 1930'erne. Men baseret på kommentarer til Gandhis afhandling, ville han sandsynligvis ikke gøre noget med lambdaregning før slutningen af 1940'erne. Spørgsmålet opstår så, hvorfor Gandhi skrev dette. Dette ser ikke ud til at være direkte relateret til hans afhandling, så det kan have været, da han første gang forsøgte at finde ud af lambdaregning.
Jeg tvivler på, at vi nogensinde får sandheden at vide, men det var bestemt sjovt at prøve at finde ud af det. Her må jeg sige, at hele denne rejse har gjort meget for at udvide min forståelse af, hvor komplekse historierne om lignende bøger fra tidligere århundreder, som jeg især ejer, kan være. Det får mig til at tænke, at jeg hellere skal sørge for at kigge på alle deres sider - bare for at se, hvad der kunne være interessant der...
Tak for hjælpen til: Jonathan Gorard (Cambridge Private Studies), Dana Scott (matematisk logik) og Matthew Szudzik (matematisk logik).
Om oversættelseOversættelse af Stephen Wolframs indlæg "".
Jeg udtrykker min dybe taknemmelighed и for hjælp til oversættelse og udarbejdelse af udgivelse.
Vil du lære at programmere i Wolfram-sproget?
Se ugentligt .
. Parat .
på Wolfram Language.
Kilde: www.habr.com