Kirja "Muoti, usko, fantasia ja maailmankaikkeuden uusi fysiikka"

Hei Habron asukkaat! Onko perustieteessä mahdollista puhua muodista, uskosta tai fantasiasta?

Maailmankaikkeus ei ole kiinnostunut inhimillisestä muodista. Tiedettä ei voida tulkita uskoksi, koska tieteelliset postulaatit altistetaan jatkuvasti tiukalle kokeelliselle todentamiselle ja hylätään heti, kun dogma alkaa olla ristiriidassa objektiivisen todellisuuden kanssa. Ja fantasia yleensä jättää huomiotta sekä tosiasiat että logiikan. Siitä huolimatta suuri Roger Penrose ei ole halukas täysin hylkäämään näitä ilmiöitä, koska tieteellinen muoti voi olla edistyksen ajuri, usko syntyy, kun teoria vahvistetaan todellisilla kokeilla, ja ilman mielikuvituksen loikkaa emme voi ymmärtää maailmankaikkeutemme kaikkea outoutta.

”Muoti”-luvussa opit säieteoriasta – viime vuosikymmenten muodikkaimmasta teoriasta. ”Usko” on omistettu kvanttimekaniikan taustalla oleville dogmeille. Ja ”Fantasia” käsittelee suorastaan ​​teorioita tunnetun maailmankaikkeuden synnystä.

3.4 Alkuräjähdyksen paradoksi

Käsitellään ensin havaintokysymystä. Mitä suoria todisteita on siitä, että koko havaittava maailmankaikkeus oli aikoinaan erittäin kokoonpuristuneessa ja uskomattoman kuumassa tilassa, yhdenmukaisesti osiossa 3.1 esitetyn alkuräjähdyskuvan kanssa? Vakuuttavin todiste on kosminen taustasäteily (KMA), jota joskus kutsutaan alkuräjähdyksen hehkuksi. KMA on valoa, mutta erittäin pitkällä aallonpituudella, minkä vuoksi se on täysin näkymätön paljaalla silmällä. Tämä valo siivilöityy meihin kaikista suunnista erittäin tasaisesti (mutta enimmäkseen epäkoherenssisesti). Se on lämpösäteilyä, jonka lämpötila on ~2,725 K eli yli kaksi astetta absoluuttisen nollapisteen yläpuolella. Havaitun "kimalluksen" uskotaan saaneen alkunsa uskomattoman kuumasta maailmankaikkeudesta (tuolloin ~3000 K) noin 379 000 vuotta alkuräjähdyksen jälkeen – viimeisen sironnan aikana, jolloin maailmankaikkeus tuli ensimmäisen kerran läpinäkyväksi sähkömagneettiselle säteilylle (vaikka tämä ei tapahtunutkaan alkuräjähdyksessä; tämä tapahtuma tapahtuu maailmankaikkeuden kokonaisiän ensimmäisessä 1/40 000-osassa – alkuräjähdyksestä nykypäivään). Viimeisimmän sironnan epookin jälkeen näiden valoaaltojen aallonpituus on kasvanut suunnilleen saman verran kuin maailmankaikkeus itse on laajentunut (noin 1100 kertaa), joten energiatiheys on laskenut yhtä dramaattisesti. Siksi CMB:n havaittu lämpötila on vain 2,725 K.

Säteilyn pohjimmiltaan epäkoherentti (eli terminen) säteily vahvistetaan vaikuttavasti jo sen taajuusspektrin luonteen ansiosta, kuten kuvassa 3.13 on esitetty. Kuvaajan pystysuora akseli edustaa säteilyn intensiteettiä kullakin tietyllä taajuudella taajuuden kasvaessa vasemmalta oikealle. Jatkuva käyrä vastaa mustan kappaleen Planckin spektriä, jota käsitellään luvussa 2.2, lämpötilassa 2,725 K. Käyrän pisteet edustavat tiettyjä havaintoja, joille on annettu virhepalkit. Virhepalkit on liioiteltu kertoimella 500, koska muuten niitä olisi yksinkertaisesti mahdotonta havaita edes oikealla puolella, missä virheet ovat suurimmat. Teoreettisen käyrän ja havaintotietojen välinen yhteensopivuus on yksinkertaisesti huomattava – kenties paras vastaavuus luonnossa koskaan löydetyn terminen spektrin kanssa.

Mutta mitä tämä sattuma osoittaa? Että tarkastelemme tilaa, joka oli näennäisesti hyvin lähellä termodynaamista tasapainoa (tästä johtuu termi epäkoherentti). Mutta mitä tarkoittaa, että juuri muodostunut maailmankaikkeus oli hyvin lähellä termodynaamista tasapainoa? Palataanpa kuvaan 3.12 osiosta 3.3. Suurin karkearakeinen alue (määritelmän mukaan) on paljon suurempi kuin mikään muu tällainen alue, ja yleensä se on niin suuri verrattuna muihin, että se ylittää merkittävästi niiden tilavuuden! Termodynaaminen tasapaino vastaa makroskooppista tilaa, jonka minkä tahansa järjestelmän odotetaan lopulta saavuttavan. Sitä kutsutaan joskus maailmankaikkeuden lämpökuolemaksi, mutta tässä tapauksessa, kumma kyllä, meidän pitäisi puhua maailmankaikkeuden lämpösyntymästä. Tilannetta monimutkaistaa se, että vastasyntynyt maailmankaikkeus laajeni nopeasti, joten tarkastelemamme tila on itse asiassa epätasapainotila. Siitä huolimatta laajenemista voidaan tässä tapauksessa pitää olennaisesti adiabaattisena – Tolman ymmärsi tämän täysin jo vuonna 1934 [Tolman, 1934]. Tämä tarkoittaa, että entropian arvo ei muuttunut laajenemisen aikana. (Tällaista tilannetta, jossa termodynaaminen tasapaino säilyy adiabaattisen laajenemisen ansiosta, voidaan kuvata faasiavaruudessa joukkona yhtä suuria tilavuuksia omaavia alueita, joilla on karkeajakoisuus ja jotka eroavat toisistaan ​​vain maailmankaikkeuden ominaistilavuuksien suhteen. Tämän alkutilan voidaan katsoa olleen karakterisoitu maksimaalisen entropian vallitessa – laajenemisesta huolimatta!).

Näyttää siltä, ​​että kohtaamme singulaarisen paradoksin. Luvussa 3.3 esitettyjen argumenttien mukaan toinen pääsääntö edellyttää (ja periaatteessa selittääkin sen), että alkuräjähdys on makroskooppinen tila, jolla on erittäin alhainen entropia. Kollageenin säteilyn havainnot kuitenkin viittaavat siihen, että alkuräjähdyksen makroskooppiselle tilalle oli ominaista valtava entropia, kenties jopa korkein mahdollinen. Missä olemme niin pahasti väärässä?

Yksi yleinen selitys tälle paradoksille on, että koska syntyvä maailmankaikkeus oli niin "pieni", sen maksimaalisella entropialla on täytynyt olla jokin raja, ja tuolloin ilmeisesti vallinnut termodynaaminen tasapainotila oli yksinkertaisesti tuolloin mahdollinen maksimaalinen entropiataso. Tämä on kuitenkin väärä vastaus. Tällainen kuva voisi vastata täysin erilaista tilannetta, jossa maailmankaikkeuden koko riippuisi jostakin ulkoisesta rajoitteesta, kuten suljetussa männässä olevaan sylinteriin suljetusta kaasusta. Tällaisessa tapauksessa männän paineen tarjoaa jokin ulkoinen mekanismi, joka on varustettu ulkoisella energian lähteellä (tai ulostulolla). Mutta tämä tilanne ei koske koko maailmankaikkeutta, jonka geometria ja energia sekä sen "kokonaiskoko" määräytyvät yksinomaan sen sisäisen rakenteen perusteella ja joita hallitsevat Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian dynaamiset yhtälöt (mukaan lukien aineen olomuotoa kuvaavat yhtälöt; katso kohdat 3.1 ja 3.2). Näissä olosuhteissa (kun yhtälöt ovat täysin deterministisiä ja invariantteja ajan suunnan suhteen – katso luku 3.3), faasiavaruuden kokonaistilavuus ei voi muuttua ajan kuluessa. Tämä tarkoittaa, että faasiavaruuden P itsessään ei pitäisi "kehittyä"! Kaikki evoluutio kuvataan yksinkertaisesti käyrän C sijainnilla avaruudessa P ja tässä tapauksessa se edustaa maailmankaikkeuden täydellistä evoluutiota (katso luku 3.3).

Ongelma ehkä selvenee, jos tarkastelemme maailmankaikkeuden romahduksen loppuvaiheita sen lähestyessä suurta romahdusta. Palataanpa Friedmannin malliin, jossa K > 0, Λ = 0, joka on esitetty kuvassa 3.2a osiossa 3.1. Oletetaan nyt, että tämän mallin häiriöt johtuvat aineen epäsäännöllisestä jakautumisesta ja että joissakin osissa paikallisia romahduksia on jo tapahtunut, jättäen jälkeensä mustia aukkoja. Meidän on sitten oletettava, että jotkut mustat aukot sulautuvat yhteen ja että romahdus lopulliseen singulariteettiin osoittautuu erittäin monimutkaiseksi prosessiksi, jolla ei ole juurikaan mitään yhteistä kuvassa 3.6a esitetyn täydellisen pallomaisen symmetrisen Friedmannin mallin ehdottoman symmetrisen suuren romahduksen kanssa. Päinvastoin, laadullisesti romahdustilanne muistuttaa paljon enemmän kuvassa 3.14a esitettyä valtavaa sotkua. Tuloksena oleva singulariteetti saattaa olla jossain määrin yhdenmukainen osan 3.2 lopussa mainitun BCLM-hypoteesin kanssa. Lopullisella romahdustilalla olisi käsittämätön entropia, vaikka maailmankaikkeus romahtaisi uudelleen pieneksi. Vaikka tätä tiettyä (avaruudellisesti suljettua) uudelleen romahtavaa Friedmannin mallia ei tällä hetkellä pidetä uskottavana esityksenä omasta maailmankaikkeudestamme, samat näkökohdat pätevät muihin Friedmannin malleihin, kosmologisen vakion kanssa tai ilman. Minkä tahansa tällaisen mallin romahtava versio, joka kokisi samanlaisia ​​häiriöitä aineen epätasaisen jakautumisen vuoksi, romahtaisi jälleen kaiken kuluttavaksi kaaokseksi, mustan aukon kaltaiseksi singulariteetiksi (kuva 3.14b). Kääntämällä aikaa taaksepäin kussakin näistä tiloista saavutamme mahdollisen alkusingulaarisuuden (potentiaalisen alkuräjähdyksen), jolla on vastaavasti kolossaalinen entropia, mikä on ristiriidassa tässä esitetyn oletuksen kanssa entropian "katosta" (kuva 3.14c).

Tässä minun on käännyttävä vaihtoehtoisten mahdollisuuksien puoleen, joita myös joskus harkitaan. Jotkut teoreetikot ehdottavat, että toisen pääsäännön täytyy jotenkin kääntyä päinvastaiseksi tällaisissa romahdusmalleissa, niin että maailmankaikkeuden kokonaisentropia pienenee (maksimilaajenemisen jälkeen) suuren murskan lähestyessä. Tätä kuvaa on kuitenkin erityisen vaikea kuvitella mustien aukkojen läsnä ollessa, jotka muodostuttuaan itse lisäävät entropiaa (nollakartioiden järjestelyn aika-asymmetrian vuoksi tapahtumahorisontin lähellä, katso kuva 3.9). Tämä jatkuu kaukaiseen tulevaisuuteen – ainakin siihen asti, kunnes mustat aukot haihtuvat Hawkingin mekanismin mukaisesti (katso kohdat 3.7 ja 4.3). Joka tapauksessa tällainen mahdollisuus ei mitätöi tässä esitettyjä argumentteja. Tällaisiin monimutkaisiin romahdusmalleihin liittyy toinen tärkeä ongelma, jota lukijat ovat saattaneet itsekin pitää: mustan aukon singulariteetit eivät välttämättä synny samanaikaisesti, joten ajan kääntyminen ei tuottaisi alkuräjähdystä, joka tapahtuu "kaikki kerralla". Tämä on kuitenkin juuri yksi (vielä todistamattoman, mutta vakuuttavan) vahvan kosmisen sensuurin hypoteesin ominaisuuksista [Penrose, 1998a; T&K, luku 28.8], jonka mukaan yleisessä tapauksessa tällainen singulariteetti on avaruudellinen (luku 1.7) ja sitä voidaan siksi pitää kertaluonteisena tapahtumana. Lisäksi, riippumatta itse vahvan kosmisen sensuurin hypoteesin pätevyydestä, tunnetaan monia ratkaisuja, jotka täyttävät tämän ehdon, ja kaikilla tällaisilla varianteilla (laajennettavilla) on suhteellisen korkeat entropia-arvot. Tämä vähentää merkittävästi huolta johtopäätöstemme pätevyydestä.

Näin ollen emme löydä todisteita siitä, että maailmankaikkeudessa olisi välttämättä olemassa "matala katto" mahdolliselle entropialle sen pienten spatiaalisten ulottuvuuksien vuoksi. Periaatteessa aineen aggregoituminen mustien aukkojen muodossa ja "mustien aukkojen" singulaariteettien yhdistyminen yhdeksi singulaariseksi kaaokseksi on prosessi, joka on täysin yhdenmukainen toisen pääsäännön kanssa, ja tähän lopulliseen prosessiin tulisi liittyä valtava entropian kasvu. Maailmankaikkeuden lopullinen tila, geometristen standardien mukaan "pieni", voisi omata käsittämättömän entropian, paljon korkeamman kuin tällaisen romahtavan kosmologisen mallin suhteellisen varhaisissa vaiheissa, eikä spatiaalinen miniatyrisointi sinänsä luo "kattoa" entropian maksimiarvolle, vaikka tällainen "katto" (ajan kääntyessä) voisi selittää tarkasti, miksi entropia oli erittäin alhainen alkuräjähdyksessä. Itse asiassa tämä kuva (kuva 3.14 a, b), joka yleisesti kuvaa maailmankaikkeuden romahdusta, ehdottaa ratkaisua paradoksiin: miksi alkuräjähdyksellä oli poikkeuksellisen alhainen entropia verrattuna siihen, mitä sillä olisi voinut olla, vaikka räjähdys oli kuuma (ja tällaisella tilalla pitäisi olla maksimaalinen entropia)? Vastaus on, että entropia voi kasvaa radikaalisti, jos sallitaan merkittäviä poikkeamia spatiaalisesta homogeenisyydestä, ja suurin tällainen kasvu liittyy juuri mustien aukkojen muodostumisen aiheuttamiin epäsäännöllisyyksiin. Näin ollen spatiaalisesti homogeenisella alkuräjähdyksellä olisi todellakin voinut olla suhteellisesti ottaen uskomattoman alhainen entropia, vaikka sen sisältö oli uskomattoman kuumaa.

Yksi vakuuttavimmista todisteista siitä, että alkuräjähdys oli todellakin spatiaalisesti melko tasainen, FLUE-mallin geometrian mukainen (mutta ristiriidassa paljon yleisemmän kuvassa 3.14c havainnollistetun epäjärjestyneen singulaarisuuden tapauksen kanssa), liittyy jälleen kemialliseen magneettikenttään, mutta tällä kertaa sen kulmatasaisuuteen pikemminkin kuin sen termodynaamiseen luonteeseen. Tämä tasaisuus ilmenee siinä, että kemiallisen magneettikentän lämpötila on käytännössä sama missä tahansa taivaan pisteessä, ja poikkeamat tasaisuudesta ovat enintään 10–5 (korjattuna pienellä Doppler-ilmiöllä, joka liittyy liikkeeseemme ympäröivässä aineessa). Lisäksi galaksien ja muun aineen jakautumisessa on käytännössä universaali tasaisuus; esimerkiksi baryonien jakautuminen (katso kohta 1.3) melko suurissa mittakaavoissa on tunnusomaista merkittävällä tasaisuudella, vaikka havaittavissa on poikkeamia, erityisesti niin sanottuja tyhjiä tiloja, joissa näkyvän aineen tiheys on huomattavasti keskimääräistä pienempi. Yleisesti voidaan väittää, että homogeenisuus on suurempaa, mitä kauemmas maailmankaikkeuden menneisyyteen katsomme, ja RI on vanhin todiste aineen jakautumisesta, jonka voimme suoraan havaita.

Tämä kuva on yhdenmukainen sen näkemyksen kanssa, että kehitysnsä alkuvaiheissa maailmankaikkeus oli todellakin äärimmäisen homogeeninen, mutta tiheydeltään hieman epäsäännöllinen. Ajan myötä (ja erilaisten "kitkan" - prosessien, jotka hidastavat suhteellisia liikkeitä - vaikutuksesta) painovoima korosti näitä tiheysepäsäännöllisyyksiä, mikä on yhdenmukaista aineen asteittaisen paakkuuntumisen ajatuksen kanssa. Ajan myötä tämä paakkuuntuminen lisääntyy, mikä johtaa tähtien muodostumiseen; ne ryhmittyvät galakseiksi, joista jokaisen keskelle kehittyy massiivinen musta aukko. Viime kädessä tätä paakkuuntumista ohjaa painovoiman vääjäämätön vaikutus. Tällaiset prosessit liittyvät todellakin voimakkaaseen entropian kasvuun ja osoittavat, että painovoima huomioon ottaen alkukantainen hehkuva pallo, josta on jäljellä vain KMB, on voinut olla kaukana maksimaalisesta entropiasta. Tämän pallon terminen luonne, kuten kuvassa 3.13 esitetty Planckin spektri osoittaa, sanoo yksinkertaisesti seuraavaa: jos tarkastelemme maailmankaikkeutta (viimeisen hajaantumisen aikaan) yksinkertaisesti järjestelmänä, joka koostuu keskenään vuorovaikutuksessa olevasta aineesta ja energiasta, voimme olettaa, että se oli olennaisesti termodynaamisessa tasapainossa. Jos kuitenkin otamme huomioon myös gravitaatiovaikutukset, kuva muuttuu dramaattisesti.

Jos kuvittelemme esimerkiksi kaasua suljetussa astiassa, on luonnollista olettaa, että se saavuttaa maksimientropiansa makroskooppisessa tilassa, jossa se on tasaisesti jakautunut koko astiaan (kuva 3.15 a). Tässä suhteessa se muistuttaisi kuumaa palloa, joka synnytti CMB:n, joka on tasaisesti jakautunut taivaalle. Jos kuitenkin korvaamme kaasumolekyylit laajalla painovoiman yhteen sitomien kappaleiden järjestelmällä, kuten yksittäisillä tähdillä, saamme täysin erilaisen kuvan (kuva 3.15 b). Painovoimavaikutusten vuoksi tähdet jakautuvat epätasaisesti tähtijoukkoihin. Lopulta korkein entropia saavutetaan, kun lukuisat tähdet romahtavat tai yhdistyvät mustiksi aukoiksi. Vaikka tämä prosessi voi viedä huomattavan kauan (vaikka sitä helpottaa tähtienvälisen kaasun läsnäolon aiheuttama kitka), näemme, että lopulta painovoiman vaikutuksen alaisena entropia kasvaa aineen epätasaisemman jakautumisen myötä järjestelmässä.

Nämä vaikutukset ovat ilmeisiä jopa jokapäiväisen kokemuksen tasolla. Voisi kysyä: mikä on toisen pääsäännön rooli elämän ylläpitämisessä Maassa? Usein sanotaan, että elämme tällä planeetalla Auringolta saamamme energian ansiosta. Mutta tämä ei ole täysin tarkkaa, kun tarkastellaan Maata kokonaisuutena, sillä käytännössä kaikki Maan päivän aikana vastaanottama energia karkaa pian takaisin avaruuteen, pimeälle yötaivaalle. (Tarkkaa tasapainoa tietysti hieman säätelevät tekijät, kuten ilmaston lämpeneminen ja planeetan lämpeneminen radioaktiivisen hajoamisen seurauksena.) Muuten Maa yksinkertaisesti kuumenisi yhä enemmän ja siitä tulisi asumiskelvoton muutamassa päivässä! Suoraan Auringosta vastaanotetut fotonit ovat kuitenkin suhteellisen korkeataajuisia (ne keskittyvät spektrin keltaiseen osaan), kun taas Maa lähettää avaruuteen paljon matalataajuisia fotoneja, jotka kuuluvat infrapunaspektriin. Planckin yhtälön (E = hν, katso kohta 2.2) mukaan jokaisella Auringosta erikseen saapuvalla fotonilla on paljon suurempi energia kuin avaruuteen lähetetyillä fotoneilla, joten tasapainon saavuttamiseksi Maasta täytyy lähteä paljon enemmän fotoneja kuin saapua (katso kuva 3.16). Jos Maahan saapuu vähemmän fotoneja, saapuvalla energialla on vähemmän vapausasteita, kun taas lähtevällä energialla on enemmän, ja siksi Boltzmannin yhtälön (S = k log V) mukaan saapuvilla fotoneilla on paljon pienempi entropia kuin lähtevillä. Käytämme kasveihin varastoitunutta matalan entropian omaavaa energiaa oman entropiamme alentamiseen: syömme kasveja tai kasvinsyöjiä. Näin elämä Maassa säilyy ja kukoistaa. (Nämä ajatukset ilmeisesti muotoili ensimmäisen kerran selkeästi Erwin Schrödinger vuonna 1967 uraauurtavassa kirjassaan Elämä sellaisena kuin me sen tunnemme [Schrödinger, 2012].)

Tärkein tähän matalan entropian tasapainoon liittyvä tosiasia on tämä: Aurinko on kuuma piste täysin pimeällä taivaalla. Mutta miten nämä olosuhteet syntyivät? Monet monimutkaiset prosessit, kuten lämpöydinreaktiot ja niin edelleen, vaikuttivat asiaan, mutta tärkeintä on, että Aurinko ylipäätään on olemassa. Ja se syntyi, koska auringon aine (kuten aine, josta muut tähdet muodostuvat) kehittyi gravitaatiopaakkuuntumisen kautta, alkaen suhteellisen tasaisesta kaasun ja pimeän aineen jakautumisesta.

Tässä kannattaa mainita salaperäinen pimeä aine, joka näyttää muodostavan 85 % maailmankaikkeuden aineellisesta (ei-Λ) sisällöstä, mutta se on havaittavissa vain gravitaatiovuorovaikutusten kautta, eikä sen koostumusta tiedetä. Nykyään otamme tämän aineen huomioon vain arvioidessamme kokonaismassaa, jota tarvitaan tiettyjen numeeristen suureiden laskemiseen (katso kohdat 3.6, 3.7, 3.9; pimeän aineen tärkeämmän teoreettisen roolin löydät kohdasta 4.3). Pimeän aineen ongelmasta riippumatta näemme, kuinka ratkaiseva aineen alkuperäisen tasaisen jakautumisen matalan entropian luonne on ollut elämällemme. Olemassaolomme, sellaisena kuin me sen ymmärrämme, riippuu matalan entropian gravitaatioreservistä, joka on ominaista aineen alkuperäiselle tasaiselle jakautumiselle.

Tässä kohtaa tulemme merkittävään – itse asiassa jopa fantastiseen – alkuräjähdyksen aspektiin. Mysteeri ei ole pelkästään siinä, miten se tapahtui, vaan myös siinä, että kyseessä oli äärimmäisen matalan entropian tapahtuma. Lisäksi merkittävää ei ole niinkään tämä seikka kuin se, että entropia oli alhainen vain yhdessä tietyssä suhteessa: gravitaatiovapausasteet olivat jostain syystä täysin pois päältä. Tämä on jyrkässä ristiriidassa aineen ja (sähkömagneettisen) säteilyn vapausasteiden kanssa, sillä ne näyttävät olleen maksimaalisesti virittyneet kuumassa tilassa, jossa entropia on maksimaalinen. Mielestäni tämä on kenties syvin kosmologinen mysteeri, ja jostain syystä sitä ei ole vieläkään täysin ymmärretty!

On hyödyllistä tarkastella tarkemmin, kuinka erityinen alkuräjähdystila oli ja millaista entropiaa gravitaatiopaakkuuntumisen aikana saattoi syntyä. Näin ollen meidän on ensin ymmärrettävä mustan aukon todellisuudessa uskomaton entropia (katso kuva 3.15 b). Käsittelemme tätä asiaa osiossa 3.6. Mutta nyt siirrytään toiseen ongelmaan, joka liittyy seuraavaan, melko todennäköiseen mahdollisuuteen: maailmankaikkeus voi itse asiassa olla avaruudellisesti ääretön (kuten FLUE-mallien tapauksessa, joissa on K 0, katso luku 3.1), tai ainakin suuri osa maailmankaikkeudesta voi olla suoran havainnoinnin ulottumattomissa. Näin ollen lähestymme kosmologisten horisonttien ongelmaa, jota käsittelemme seuraavassa osiossa.

» Lisätietoja kirjasta on osoitteessa kustantajan verkkosivuilla
» sisällysluettelo
» Ote

Khabrozhitelille 25% alennus kupongista - Uusi tiede

Kun kirjan paperiversio on maksettu, sähköpostiin lähetetään e-kirja.

Lähde: will.com